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2023 年高考押题预测卷02【新高考Ⅰ卷】
数学·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上
写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求.
1．设集合
,
,则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
,得
,所以
,又
,
所以
.
故选：C
2．已知
，则复数z 在复平面上对应的点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【详解】设
，则
，
∴由
，得
，
解得
，
，
∴复数在复平面上对应的点
在第一象限．
故选：A．
3．如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体,设圆锥部分的高为
米,圆柱部分的
高为
米,底面圆的半径为米,则该组合体体积为( )
1
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A．
立方米
B．
立方米
C．
立方米
D．
立方米
【答案】C
【详解】由题知底面圆的半径
，圆柱高
，圆锥高
.
圆柱的体积
.
圆锥的体积
.
所以该组合体体积
（立方米）.
故选：C
4．在正方形
中，动点
从点
出发，经过
，
，到达
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】以
为坐标原点，
，
所在直线分别为
轴，
轴，建立平面直角坐标系，
设
，则
，
当点
在
上时，设
，
则
，即
，故
，
当点
在
上时，设
，
则
，即
，解得
，
故
，
当点
在
上时，设
，
则
，即
，故
综上，
的取值范围是
.
2
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故选：B
5．已知
，则
（ ）
A．
B．－1
C．
D．
【答案】C
【详解】由
，
所以
，则
，
所以
，则
，故
，
由
.
故选：C
6．一袋中有大小相同的个白球和
个红球，现从中任意取出个球，记事件
“ 个球
中至少有一个白球”，事件
“ 个球中至少有一个红球”，事件
“ 个球中有红球也
有白球”，下列结论不正确的是（ ）
A．事件
与事件
不为互斥事件
B．事件
与事件
不是相互独立事件
C．
D．
3
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【答案】D
【详解】根据题意，取出的个球的可能情况为：个红球；个红球
个白球；
个红球
个白球；个白球.
故事件
包含：个红球
个白球；
个红球个白球；个白球，且
；
事件
包含：个红球
个白球；
个红球个白球；个红球，且
；
事件
包含：个红球
个白球；
个红球个白球，且
.
所以，
，
，
因为
，则事件
与事件
不为互斥事件，A 选项错误；
，故事件
与事件
不是相互独立事件，B 正确；
，故D 错误；
，故C 正确；
故选：D.
7．已知
，
，
，则
，
，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】∵
，∴
，即
，
∴
，∴
，∴
，∴
.
令
，则
，
∴
在
上单调递增，∴
，即
，∴
，∴
.
4
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故选：D.
8．已知数列
、
，
，
，
其中
为不大于x 的最大整
数.若
，
，
，有且仅有4 个不同的，使得
，则m 一共有
（ ）个不同的取值.
A．120
B．126
C．210
D．252
【答案】C
【详解】设
，其中
，且
不
全为0，
，
若
，则
，
，
，
，
若
，则
，
，
，
，
所以若
则，
，若
，则
，
若
，
，则
，
，
，
，
，
，
若
，
，则
，
，
，
，
，
，
若
，
，则
，
，
，
，
，
，
若
，
，则
，
，
，
，
，
，
所以
时，
，
时，
，
同理可以证明
时，
，
，
，
因为有且仅有4 个不同的，使得
，即
中有且仅有4 个变量取值为1，其
余变量取值为0，又从
中任选4 个变量有
种取法，
故满足条件的
的个数为
，即210 个，
5
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故选：C.
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.
9．某学校为普及安全知识，对本校1500 名高一学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活
动(满分为100 分).现从中随机抽取100 名学生的得分进行统计分析，整理得到如图所示的
频率分布直方图，则根据该直方图，下列结论正确的是（ ）
A．图中
的值为0.016
B．估计该校高一大约有77%的学生竞赛得分介于60 至90 之间
C．该校高一学生竞赛得分不小于90 的人数估计为195 人
D．该校高一学生竞赛得分的第75 百分位数估计大于80
【答案】BCD
【详解】由频率分布直方图性质可得：
，解得
，故A 错误；
得分介于60 至90 之间的频率为
，故B 正确；
得分不小于90 的人数估计为
，故C 正确；
得分介于50 至80 之间的频率为
，故D 正确.
故选：BCD.
10．在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，且
，则
不可能为（ ）
A．等腰直角三角形
B．等边三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
【答案】BCD
【详解】由余弦定理
，所以
，又
，所以
，
故
为等腰直角三角形.
故选：BCD
6
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11．双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的
反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线.平分该点与两
焦点连线的夹角.已知
分别为双曲线
的左，右焦点，过
右支上一点
作直线交
轴于点
，交
轴于点
.则（ ）
A．
的渐近线方程为
B．点
的坐标为
C．过点
作
，垂足为
，则
D．四边形
面积的最小值为4
【答案】ACD
【详解】对于A 项，由已知可得
，
，所以
的渐近线方程为
，
故A 项正确；
对于B 项，设
，则
，整理可得
.
又
，所以
，所以有
，解得
，所以点
的坐标为
，故B 项错误；
对于C 项，如上图，显然
为双曲线的切线.
由双曲线的光学性质可知，
平分
，延长
与
的延长线交于点
.
则
垂直平分
，即点
为
的中点.
又
是
的中点，所以，
，故C
项正确；
7
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对于D 项，
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
所以，四边形
面积的最小值为4，故D 项正确.
故选：ACD.
12．定义：对于定义在区间
上的函数
和正数
，若存在正数
，使得不
等式
对任意
恒成立，则称函数
在区间
上满足
阶李普希兹条件，则下列说法正确的有（ ）
A．函数
在
上满足
阶李普希兹条件.
B．若函数
在
上满足一阶李普希兹条件，则
的最小值为2.
C．若函数
在
上满足
的一阶李普希兹条件，且方程
在区
间
上有解
，则
是方程
在区间
上的唯一解.
D．若函数
在
上满足
的一阶李普希兹条件，且
，则存在满足条
件的函数
，存在
，使得
.
【答案】ABC
【详解】A 选项：不妨设
，
，即
，故
，对
，均有
，A 选项正确；
B 选项：不妨设
，
在
单调递增，
，
，即
，即
对
，
恒成立，即
在
上单调递减，
对
恒成立，所以
对
恒成立，即
，即
的最小值为
，B
选项正确；
C 选项：假设方程
在区间
上有两个解
，，则
，这与
矛盾，故只有唯一解，C 选项正
确；
8
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D 选项：不妨设
，当
时，
，当
时，
故对
，
，不存在
使
，D 选项错误；
故选：ABC.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分,其中第16 题第一空2 分，第二空3 分．
13．若数列
是公差为2 的等差数列，
，写出满足题意的一个通项公式
______.
【答案】
（答案不唯一）
【详解】设等差数列的首项为
，且公差
，
则
，
即
，所以
，
令
，所以
，
所以可取
故答案为：
（答案不唯一）
14．已知常数
，
的二项展开式中
项的系数是
，则
的值为
_____________．
【答案】
【详解】由已知
，则其展开式的通项为
，
又其二项展开式中
项的系数是
，
则令
，即
，
，
又
，
所以
，
故答案为：
.
15．如图，线段AB 的长为8，点C 在线段AB 上，
．点P 为线段CB 上任意一点，
点A 绕着点C 顺时针旋转，点B 绕着点P 逆时针旋转．若它们恰重合于点D，则
的
面积的最大值为__________．
9
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【答案】
【详解】由题意可知，
，即
.
在
中，有
，
，
所以
.
由余弦定理可得，
，
所以
，
所以有
，
当且仅当
时，等号成立.
所以，
，
所以，
，即
的面积的最大值为
.
故答案为：
.
16．在棱长为1 的正方体
中，点
分别是棱
的中点，
是侧面
上的动点.且
平面
，则点
的轨迹长为__________.点
到直线
的距
离的最小值为__________.
【答案】
【详解】在正方体
中，连接
，如图，对角面
为矩形，
10
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因为点
分别是棱
的中点，则
，而
，
即平面
截正方体所得截面为梯形
，显然过点
与平面
平行的平面交平
面
、平面
分别于
，因此
，连
，平面
、平面
与平面
分别交于
，
，
因此
，而
，即四边形
为平行四边形，于是
，
即点M 为
的中点，同理
为
中点，
，因为动点
始终满足
平面
，
于是
平面
，又
在侧面
上，所以点
的轨迹是线段
，轨迹长为
；
以点D 为原点建立空间直角坐标系，则
，
则
，令
，
则有
，
，
于是点
到直线
的距离
，
当且仅当
时取等号，所以点
到直线
的距离的最小值为
.
11
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故答案为：
；
四、解答题：本小题共6 小题，共70 分，其中第17 题10 分，18~22 题12 分。解答应写出
文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知各项均为正数的等比数列
，其前
项和为
，满足
，
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
为数列
在区间
中最大的项，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
；
(2)
.
【详解】（1）设
的公比为
，则
，又
，
当
时，
，当
时，
，
两式相减可得，
，所以
，
所以
或
(舍去)，
所以
，即
，
所以等比数列
的通项公式为
；
（2）由
，
，可得
，
所以
，又
，
所以
，当且仅当
时等号成立，
所以
，
所以
，
所以
.
即
.
18．在锐角
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，满足
，且
.
(1)求证：
；
(2)已知
是
的平分线，若
，求线段
长度的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
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(2)
【详解】（1）由题意得
，即
.
由正弦定理得
，
又由余弦定理得
，
所以
，故
，
故
，整理得
，
又
为锐角三角形，则
所以
，因此
.
（2）在
中，由正弦定理得
，所以
.
所以
，
因为
为锐角三角形，且
，所以
，解得
.
故
，所以
.
因此线段
长度的取值范围
.
19．如图，在三棱台
中，
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)若四面体
的体积为2，求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
13
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(2)
.
【详解】（1）（1）延长三条侧棱交于点
.因为
所以
，
分别为中点，
且
.
因为
，所以
.
取
的中点
，则
.
因为
所以
所以
.
，则
，故
，
即
.
因为
，
,
平面
,
平面
,
所以
平面
.
又
平面
，故平面
平面
.
（2）因为
，所以
.
而
,
所以
，解得：
.
以
为坐标原点，
为
轴，
轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
14
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则
，
设
为面
的一个法向量，
因为
，所以
，
不妨设
，则面
的一个法向量
.
同理可求得面
的一个法向量
.
由图示，二面角
的平面角为锐角，
所以
，
所以二面角
的余弦值为
.
20．学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后，由教师甲、
乙作为代表进行决赛.决赛共设三个项目，每个项目胜者得10 分，负者得
分，没有平局.
三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为
0.4，0.5，0.75，各项目的比赛结果相互独立.甲、乙获得冠军的概率分别记为
，
.
(1)判断甲、乙获得冠军的实力是否有明显差别（如果
，那么认
为甲、乙获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别）；
(2)用X 表示教师乙的总得分，求X 的分布列与期望.
【答案】(1)甲、乙获得冠军的实力没有明显差别
(2)分布列见解析，
【详解】（1）解：设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为
，
则教师甲获得冠军的概率
15
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，
由对立事件的概率公式，可得得
，
所以
，解得
，
因为
，所以甲、乙获得冠军的实力没有明显差别.
（2）解：根据题意知，
的可能取值为
，
可得
，
，
，
.
所以随机变量
的分布列为
0
15
30
0.15
0.425
0.35
0.075
所以期望为
.
21．已知椭圆
的左、右顶点分别为
、
，短轴长为
，点
上的点
满足直线
、
的斜率之积为
．
(1)求
的方程；
(2)若过点
且不与
轴垂直的直线与
交于
、
两点，记直线
、
交于点
．
探究：点
是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点
在定直线
上
【详解】（1）解：设
，则
，且
，所以，
，
则
，
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故
①，又
②，
联立①②，解得
，
，故椭圆
的方程为
．
（2）解：结论：点
在定直线上
．
由（1）得，
、
，设
，
设直线的方程为
，设点
、
，
联立
，整理得
，
，
，
直线
的方程为
，直线
的方程为
，
所以，
，
可得
，解得
，
因此，点
在直线
上.
22．已知函数
，
．
(1)讨论
的极值；
(2)若不等式
在
上恒成立，求m 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）因为函数
，则
，
，当
时，
，此时
单调递增，无极值；
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当
时，令
，得
；令
，得
，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
，无极小值；
当
时，令
，得
；令
，得
，所以
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
，无极大值．
综上，当
时，函数
无极值；当
时，
，无极小值；
当
时，
，无极大值．
（2）由
及
，得
，
，
即
．设
，
，
当
时，需
．由
，得
，
，设
，
则
，
，
当
时，由
，得
，因为
，所以
，
所以当
时，则
，
即
为增函数，则
，
为增函数，则
，所以
符合条件．
当
时，由
，得
，
因为
，所以
，所以当
时，
，则
即
为减函
数，则
，
为减函数，则
，不符合条件．
综上所述，m 的取值范围为
．
18
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