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2023 年高考押题预测卷01【新高考Ⅰ卷】
数学·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求.
1．已知集合
，
，则
中的元素个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【详解】由题设
，所以
，故其中元素共有4 个.
故选：B
2．已知
，为虚数单位，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，则
.
故选：C.
3．某班级有50 名学生，期末考试数学成绩服从正态分布
，已
，则
的学生人数为（ ）
A．5
B．10
C．20
D．30
【答案】D
【详解】因为期末考试数学成绩服从正态分布
，所以期末考试数学成绩关于
对称，
则
，所以
，
所以
的学生人数为：
人.
故选：D.
4．已知直四棱柱
的底面为正方形，
，
为
的中点，则过点
，
和
1
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的平面截直四棱柱
所得截面的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】如图，
过点
作
的平行线，交
于点
，则
为
的中点，连接
，则过点
，
和
的平面截直四
棱柱
所得截面即四边形
．
易得
，所以四边形
为菱形，连接
，
则
，又
，
，
所以截面面积为
，
故选：D．
5．已知函数
，若
使得
的图象在点
处的切线与
轴平行，则
的最小值是（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】A
【详解】
，
因为
使得
的图象在点
处的切线与
轴平行，
所以函数
在
上存在最值，即函数
在
上存在对称轴，
令
，得
，
因为
，所以
，
2
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即
，则
，
又
，故
时，
取最小值为
，
故选：A
6．已知焦点在x 轴上的椭圆C：
上顶点A 与右顶点C 连线与过下顶点B 和右焦点F
的直线交于点P，若
为钝角，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设椭圆的半焦距为c，
由题意可得：
，
可得：
，
由图可得：∠APB 即为
的补角，
若∠APB 为钝角，即
为锐角，
由图可知
，故原题意等价于
，
整理得
，且
，解得
，
所以椭圆的离心率的取值范围是
.
故选：D.
7．已知
，若
是方程
的一个解，则
可能存在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
3
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【答案】C
【详解】
，所以
，
因为
是方程
的一个解，
所以
是方程
的解，令
，
则
，当
时，
恒成立，
所以
单调递增，
又
，
所以
.
故选：C.
8．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一
个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均
小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角
；当三角
形有一内角大于或等于
时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已
知
分别是
三个内角
的对边，且
，
，若点P 为
的费马点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
,
即
,
又
,
,
即
,
, 又
.
由三角形内角和性质知：△ABC 内角均小于120°，结合题设易知：P 点一定在三角形的内部，
再由余弦定理知,
,
,
4
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,
.
由
等号左右两边同时乘以
可得：
，
.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.
9．2022 年6 月，某学校为宣传我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，增强学生
的国防意识，组织了一次“逐梦深蓝，山河荣耀”国防知识竞赛，对100 名学生的参赛成绩进行统计，可
得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为
，为进一步了
解学生的答题情况，通过分层抽样，从成绩在区间
内的学生中抽取6 人，再从这6 人中先后抽取2
人的成绩作分析，下列结论正确的是（ ）
A．频率分布直方图中的
B．估计100 名学生成绩的中位数是85
C．估计100 名学生成绩的80%分位数是95
D．从6 人中先后抽取2 人作分析时，若先抽取的学生成绩位于
，则后抽取的学生成绩在
的
概率是
【答案】AC
【详解】对于A：根据学生的成绩都在50 分到100 分之间的频率和为1，可得
，解得
，故A 正确；
对于B：全校学生成绩的中位数为
5
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，
故中位数位于
之间，故中位数为
，故B 错误，
对于C：全校学生成绩的样本数据的
分位数约为
分，故C 正确．
对于D：在被抽取的学生中，成绩在区间
，
和
的学生人数之比为
，故
抽
取了2 人，
中抽取了4 人，先抽取的学生成绩位于
，则第二次抽取时，是在5 个人中抽取，
而此时学生成绩在
的个数有4 个，故概率为
，故D 不正确，
故选：AC
10．已知
为定义在
上的偶函数，则函数
的解析式可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】因为
是偶函数，所以
，即
，所以
是奇函数.
对于A，定义域为
，所以不满足题意；
对于B，定义域为
，
，符合题意；
对于C，定义域为
，
，不符合题意；
对于D，定义域为
，
，而
，符合
题意.
故选：BD.
11．如图，在棱长为2 的正方体
中，E 为边AD 的中点，点P 为线段
上的动点，设
，则（ ）
6
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A．当
时，EP//平面
B．当
时，
取得最小值，其值为
C．
的最小值为
D．当
平面CEP 时，
【答案】BC
【详解】在棱长为2 的正方体
中，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，则点
，
对于A，
，
，
，而
，
显然
，即
是平面
的一个法向量，
而
，因此
不平行于平面
，即直线
与平面
不平行，A
错误；
对于B，
，则
，
因此当
时，
取得最小值
，B 正确；
对于C，
，
于是
，当且仅当
时取等号，C 正
确；
对于D，取
的中点
，连接
，如图，
7
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因为E 为边AD 的中点，则
，当
平面CEP 时，
平面
，
连接
，连接
，连接
，显然平面
平面
，
因此
，
平面
，
平面
，则
平面
，
即有
，而
，所以
，D 错误.
故选：BC
12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为坐标原点，
，点列P 在圆
上，若对于
，存在数列
，
，使得
，则下列说法正确的是（ ）
A．
为公差为2 的等差数列
B．
为公比为2 的等比数列
C．
D．
前n 项和
【答案】CD
【详解】对AB，由点列P 在圆
上，则由参数方程得
，则
，∴
.
对于
，存在数列
，
，使得
，即
①，
②，
①②两式相除得
，
令
，则
，则
为以首项
，公比为
8
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的等比数列.
则
，AB 错；
对C，
，C 对；
对D，
，
，
两式相减得，
.
∴
，D 对.
故选：CD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分,其中第16 题第一空2 分，第二空3 分．
13．已知向量
，
的夹角为
，且
，则向量
在向量
上的投影向量为__________. 用
表示
【答案】
【详解】∵
夹角为
，
，
∴
，
∴所以向量
在向量
方向上的投影向量为
.
故答案为：
.
14．已知函数
，则曲线
在
处的切线方程为__________.
【答案】
【详解】因为
，所以
，
则
，所以
；
9
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所以
，所以
，
曲线
在
处的切线方程为
，即
.
故答案为：
.
15．冰雹猜想是指：一个正整数
，如果是奇数就乘以再加，如果是偶数就析出偶数因数
，这样经过
若干次，最终回到．问题提出八十多年来，许多专业数学家前仆后继，依然无法解决这个问题，已知正
整数列
满足
，若存在首项
，使得
，已知
，则
___________.（写出一个满足条件的值即可）
【答案】
或
（只填写一个即可）
【详解】
，
，
所以若
是偶数，则
，若
是奇数，则
，与已知矛盾，故
；
所以若
是偶数，则
，若
是奇数，则
，与已知矛盾，故
；
所以若
是偶数，则
，若
是奇数，则
，与已知矛盾，故
；
所以若
是偶数，则
，若
是奇数，则
，与已知矛盾，故
；
所以若
是偶数，则
，若
是奇数，则
，故
或；
余下推导用图表示可得：
故答案为：
或
（只填写一个即可）
16．某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆
的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形
的垂心（即三角形三条高线的交点）.如图，已知锐角
外接圆的半径为2，且三条圆弧沿
三边
翻折后交于点
.若
，则
___________；若
，则
的值为
10
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___________.
【答案】
/5.75
【详解】设外接圆半径为
，则
，
由正弦定理，可知
，
即
，由于
是锐角，故
，
又由题意可知P 为三角形ABC 的垂心，即
,故
，
所以
；
设
，
则
，
由于
，不妨假设
，
由余弦定理知
，
设AD,CE,BF 为三角形的三条高，由于
,
故
,
则得
，
11
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所以
，
同理可得
，
所以
,
故答案为：
；
四、解答题：本小题共6 小题，共70 分，其中第17 题10 分，18~22 题12 分。解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤.
17．为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政府规定自2023 年1 月21 日起
至3 月31 日在全省实施景区门票减免，全省国有A 级旅游景区免首道门票，鼓励非国有A 级旅游景区首道
门票至少半价优惠．本次门票优惠几乎涵盖了全省所有知名的重点景区，据统计，活动开展以来游客至少
去过两个及以上景区的人数占比约为90%．某市旅游局从游客中随机抽取100 人（其中年龄在50 周岁及以
下的有60 人）了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度，并按年龄（50 周岁及以下和50 周岁以
上）分类统计得到如下不完整的
列联表：
不满
意
满意
总计
50 周岁及以下
55
50 周岁以上
15
总计
100
(1)根据统计数据完成以上
列联表，并根据小概率值
的独立性检验，能否认为对全省实施景区
门票减免活动是否满意与年龄有关联？
(2)现从本市游客中随机抽取3 人了解他们的出游情况，设其中至少去过两个及以上景区的人数为
，若以
本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率为概率．
①求
的分布列和数学期望；
②求
．
参考公式及数据：
，其中
．
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
【答案】(1)补全的
列联表见解析；有关；
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(2)①分布列见解析；
；②
【详解】（1）由题意，抽取的100 人年龄在50 周岁及以下的有60 人，则年龄在50 周岁以上的有40 人，
补全的
列联表如下：
不满
意
满意
总计
50 周岁及以下
5
55
60
50 周岁以上
15
25
40
总计
20
80
100
则
.
所以在犯错误的概率不超过0.001 的情况下认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联.
（2）①由题意可得，游客至少去过两个及以上景区的概率为0.9，
则
，
的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
所以
的分布列如下：
0
1
2
3
因为
，所以数学期望
.
②
.
18．从下列条件中选择一个条件补充到题目中：
①
，其中为
的面积，②
，③
．
在
中，角
，
，
对应边分别为
，
，，_______________．
(1)求角
；
(2)若
为边
的中点，
，求
的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）选①，由余弦定理得：
，
13
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又
，所以
，
得
，
因为
，所以
．
选②，因为
，由正弦定理得：
，
整理得：
，
由余弦定理得：
，
因为
，所以
．
选③，因为
，由正弦定理得：
，
即
，
又因为
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，即
．
（2）在
中，设
，
由正弦定理得
，
所以
，
，
∴
，其中
，
当
时取等号，所以
的最大值是
．
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19．已知数列
的前n 项和为
，
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)已知
，求数列
的前n 项和
.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵
，则有：
当
时，
，解得
；
当
时，则
，
两式相减得
，即
；
注意到
，故
，
∴
是首项为3，公比为3 的等比数列，
故
.
（2）由（1）得
，
当n 为偶数时，
；
当n 为奇数时
；
综上所述：
.
15
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20．如图1，在四边形ABCD 中，
，
，AE=BE=2CD=2，
.将四边形AECD 沿AE
折起，使得
，得到如图2 所示的几何体.
(1)若G 为AB 的中点，证明：
平面ABE；
(2)若F 为BE 上一动点，且二面角
的余弦值为
，求
的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图，取BE 的中点O，连接OC，OG，则
，
，
因为
，
，故
且CD=OG，
所以四边形CDGO 为平行四边形，则
.
因为
，
，
，
面BCE，
所以
平面BCE，
面BCE，所以
.
因为BC=CE，所以
.
因为
，
面ABE，所以
平面ABE，
所以
平面ABE.
（2）如图，过点E 作直线
，则直线
面ABE，
面ABE，
16
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又
，所以直线l，EA，EB 两两相互垂直，
以E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
，
，
设
，则
，
，
.
设面ADF 的一个法向量为
，则
，令
，则
.
设面ABD 的一个法向量为
，则
，令
，则
，
所以
，解得
或8（舍去），
故
.
21．如图：小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一
根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A 处，另一端固定在画板上点F
处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在
平面上画出了圆锥曲线C 的一部分图象.已知细绳长度为3，经测量，当笔尖运动到点P 处，此时，
.设直尺边沿所在直线为a，以过F 垂直于直尺的直线为x 轴，以过F 垂直于a 的
垂线段的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系.
(1)求曲线C 的方程；
(2)斜率为k 的直线过点
，且与曲线C 交于不同的两点M，N，已知k 的取值范围为
，探究：是
否存在
，使得
，若存在，求出
的范围，若不存在，说明理由.
【答案】(1)
；
(2)存在
，使得
成立.
17
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【详解】（1）依题意，笔尖到点
的距离与它到直线
的距离相等，
因此笔尖留下的轨迹为以
为焦点，
为准线的抛物线，设其方程为
，
则
，由
，得
，
由
得点
的横坐标
，而抛物线的准线方程为
，则
，解得
，
所以轨迹
的方程为
.
（2）假设存在
，使得
，设
，直线的方程为
，
由
消去y 得：
，
而
，
，
，
，由
得
，即
，
于是
，令
，
，
因此
，又
，即
，解得
或
，
所以存在
，使得
成立.
18
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22．已知函数
，
为
的导函数．
(1)当
时，若
在[
上的最大值为
，求
；
(2)已知
是函数f（x）的两个极值点，且
，若不等式
恒成立，求正数m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当
时，
，其定义域为（0，＋∞），
且
，所以
，
所以
，
令
，得
；令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减．
①当
，即
时，
在[t，t＋1]上单调递增，
所以
；
②当
，即
时，
；
③当
时，g（x）在[t，t＋1]上单调递减，
所以
，
综上所述
（2）因为
，所以
，
由题意知
的定义域为
，
故
是关于x 的方程
的两个根，
所以
，
19
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即
，
所以
，
等价于
．
因为
，所以原式等价于
，
又
，作差，得
，
即
，所以原式等价
，
因为
，所以
恒成立．
令
，则
，
故不等式
在
上恒成立，
令
．
又因为
，
当
时，得
，所以
在
上单调递增，
又
，所
在
上恒成立，符合题意；
当
时，可得
时，
，
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
又因为
，
所以
在
上不能恒小于0，不符合题意，舍去．
综上所述，若不等式
恒成立，
只需满足
，又
，故
，
即正数m 的取值范围为
．
20
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