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2023 年高考押题预测卷01【广东卷】
数学·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求.
1．设全集
，集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，将集合
化简，然后结合集合的运算，即可得到结果.
【详解】因为
，则
，
因为
，则
，
所以
，即
.
故选:C
2．已知复数z 满足
，则z 在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【分析】化简复数，结合复数的坐标表示，即可求解.
【详解】由题意，复数满足
，
可得
，
所以复数在复平面内对应的点
位于第二象限.
故选：B.
3．已知向量
，
满足
，
，则
在
方向上的投影向量的模为（ ）
1
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A．
B．
C．
D．3
【答案】D
【分析】根据题意和向量数量积的运算得出
，然后代入公式即可求解.
【详解】因为
，所以
，又
，
所以
，则
在
方向上的投影向量的模为
，
故选：D．
4．二十四节气歌是为了方便记忆我国古时立法中的二十四个节气而编成的小诗歌，体现着我国古代劳动
人民的智慧.四句诗歌“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一
句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6 个节气.若从24 个节气中任选2 个节气，
这2 个节气恰好在一个季节的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】直接由组合结合古典概型求解即可.
【详解】由题意知：从24 个节气中任选2 个节气，这2 个节气恰好在一个季节的概率为
.
故选：C.
5．设随机变量
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由正态曲线的对称性结合必要不充分条件的定义即可得到答案.
【详解】当
时，根据正态曲线的对称性可知
，故
不是
的充分条件；反
之，若
，由对称性可知
，故
是
的必要条件；
故
是
的必要不充分条件，
故选：B
6．已知等比数列
的公比为
（
且
），若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
2
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【答案】C
【分析】根据等比数列通项的运算性质可求得公比的值.
【详解】已知等比数列
的公比为
（
且
），若
，
则
，所以
，解得
.
故选：C.
7．已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用降幂公式及两角和差的余弦公式化简即可得解.
【详解】
.
故选：B.
8．在直三棱柱
中，
为等边三角形，若三棱柱
的体积为
，则该三棱柱
外接球表面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据直三棱柱的体积得到
，根据直三棱柱外接球半径的求法得到
，然
后构造函数，求导得到
的最小值，即可得到外接球表面积的最小值.
【详解】设直三棱柱的高为，外接球的半径为
，
外接圆的半径为，则
，所
以
，又
，令
，则
，易知
的最小值为
，此时
，所以该三棱柱外接球表面积的最小值为
.
故选：A.
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.
3
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9．下列说法正确的是（ ）
A．“
”是“
”的既不充分也不必要条件
B．命题“
，
”的否定是“
，
”
C．若
，则
D．
的最大值为
【答案】AD
【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断A；利用全称量词命题的否定判断B；举例说明判断C；利
用对数函数单调性求出最值判断D 作答.
【详解】对于A，“若
，则
”是假命题，因为
，而
；“若
，则
”是
假命题，
因为
，而
，即“
”是“
”的既不充分也不必要条件，A 正确；
对于B，命题“
，
”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
因此它的否定是“
，
”，B 错误；
对于C，当
时，
成立，因此
成立，不一定有
，C 错
误；
对于D，函数
的定义域为
，
，
而函数
在
上单调递增，因此当
时，
，D 正确.
故选：AD
10．已知
，下列选项正确的是（ ）
A．
的值域为
B．
的对称中心为
C．
的单调递增区间为
和
D．
图像向右平移
个单位与
的图像重合
【答案】ABD
4
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【分析】利用三角恒等变换化简整理得
，结合三角函数性质以及图象变换逐项分析判
断.
【详解】由题意可得：
，
对于A：因为
，所以
，故A 正确；
对于B：因为
的对称中心与函数
的对称中心相同，
令
，解得
，
故
的对称中心为
，故B 正确；
对于C：若
单调递增，则
单调递减，
令
，
解得
，
所以
的单调递增区间为
和
，故C 错误；
对于D：
图像向右平移
个单位，
得到
，
与
解析式相同，图像重合，故D 正确．
故选：ABD.
11．下列说法正确的是（ ）
A．若
，
，且
，则
的最小值为1
B．若
，
，且
，则
的最小值为1
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C．若关于
的不等式
的解集为
，则
D．关于
的不等式
的解集为
【答案】AC
【分析】根据基本不等式判断A；根据
判断B；根据一元二次不等式的解集判断C；根据
的大小关系判断D.
【详解】解：对于A，因为
，当且仅当
时，等号成立，
故A 正确；
对于B，因为
，所以
，当且仅当
时，等号成立，所以
的最大值为1，故
B 错误；
对于C，因为
的解集为
，所以
，故C 正确；
对于D，因为
，
所以，当
时，不等式的解集为
；当
时，不等式的解集为
；当
时，不等式的解集为
，故D 错误.
故选：AC
12．设双曲线
的右焦点为
，若直线与
的右支交于
两点，且
为
的重心，则（ ）
A．
的离心率的取值范围为
B．
的离心率的取值范围为
C．直线斜率的取值范围为
D．直线斜率的取值范围为
【答案】AC
【分析】根据重心性质得出
中点
的坐标，根据直线与
的右支交于
两点可知点
在右支内部，
将
的坐标代入双曲线中建立不等式，即可得离心率的范围，根据点差法可得直线的斜率与
之间等
式关系，由
不共线建立不等式，解出离心率具体范围，根据离心率的范围及直线的斜率与
6
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之间等式关系，即可得斜率的取值范围，解出即可.
【详解】解：设
为
的中点，根据重心性质可得
，
因为
，则
，
因为直线与
的右支交于
两点，所以点
在双曲线右支内部，
故有
，解得
，
当直线斜率不存在时，
的中点
在
轴上，
故
三点不共线，不符合题意舍，
设直线斜率为
，设
，
所以
，
，
因为
在双曲线上，所以
，
两式相减可得：
，
即
，
即有
成立，
即有
，因为
不共线，
即
，即
，即
，
所以
的离心率的取值范围为
，
因为
，
因为
，即
，
所以
，
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所以
.
故选：AC
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分
13．二项式
的展开式的第项为常数项，则
__________．
【答案】6
【分析】根据二项式通项公式和展开式的第项为常数项建立方程即可得解．
【详解】二项式
展开式的通项公式为
，
由展开式中，第项为常数项，此时
，则
，即
．
故答案为：.
14．已知函数
的图像关于直线
对称，且
时，
，则曲线
在点
处的切线方程为___________.
【答案】
【分析】先求出当
时，
，利用导数的几何意义求出切线斜率，写出切线方程.
【详解】设
分别为函数
的图像上关于直线
对称的两点，不妨设
，则
.
所以
，所以
所以
.
所以当
时，
.
所以
.
而
，所以
.
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
故答案为：
.
15．已知椭圆C：
的离心率为
，F 为椭圆C 的一个焦点，P 为椭圆C 上一
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点，则
的最大值为___________.
【答案】
/
【分析】根据椭圆方程及其离心率可求的
值，再根据椭圆的性质可求
的最大值．
【详解】设椭圆的半长轴为a，半焦距为c，
因为
，所以
，故椭圆焦点在y 轴上，
因为
，离心率为
，
所以
，解得
，
所以
，
，
由椭圆性质知，
，
故答案为：
．
16．设定义在
上的函数
和
.若
，
，且
为奇函数，
则
______.
【答案】
【分析】由
，
，可得
，再结合
为奇函数，可
得
，从而可得函数
是以
为周期的一个周期函数，求出
即
可得解.
【详解】因为
，所以
，
即
，
又因
，所以
，即
，
因为
为奇函数，所以
，且
，
所以
，则
，
所以函数
是以
为周期的一个周期函数，
由
，得
，
则
，
所以
.
故答案为：.
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【点睛】关键点点睛：本题的关键在于先根据
，
，可得
，再结合
为奇函数，可得
，从而可得函数的周期.
四、解答题：本小题共6 小题，共70 分，其中第17 题10 分，18~22 题12 分。解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤.
17．如图，在
中，D，E 在BC 上，
，
，
．
(1)求
的值；
(2)求
面积的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据三角形面积公式结合条件可得
，
，进而可得
，然后
利用正弦定理即得；
（2）设
，根据余弦定理及三角形面积公式结合条件可表示三角形面积，然后利用二次函数的性质
结合条件即得.
【详解】（1）因为
，
，
，
所以
，
，
故
，即
，
则在
中，根据正弦定理可得，
；
（2）设
，则
，由
解得
，
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在
中，
，
则
，
，
由
，得
，
则
，
故
面积的取值范围为
．
18．已知数列
的前n 项和为
，数列
为等差数列，且满足
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
，
；
(2)
.
【分析】（1）求出
即得数列
的通项公式，利用
与
的关系求出数列
的通项公式；
（2）求出
，再利用分组求和求数列
的前
项和
．
【详解】（1）解：令
，
令
，又
，所以
，即
．所以
，
，①
．②
两式相减得
，
，
即
是公比为2 的等比数列，且
，
所以
．
（2）解：由
可得
，
．
累加可得
，
，
而
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，
∴
.
19．国学小组有编号为1，2，3，…，
的
位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为
、答
对第二题的概率为
，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依
次进行，第1 号同学开始第1 轮出赛，先答第一题；②若第
号同学未答对第一题，则第
轮比赛失败，由第
号同学继继续比赛；③若第
号同学答对第一题，则再答第二题，
若该生答对第二题，则比赛在第轮结枣；若该生未答对第二题，则第轮比赛失败，由第
号同学继续
答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第
轮，则不管第
号同学答题情况，比赛
结束．
(1)令随机变量
表示
名同学在第
轮比赛结束，当
时，求随机变量
的分布列；
(2)若把比赛规则③改为：若第
号同学未答对第二题，则第轮比赛失败，第
号同学
重新从第一题开始作答．令随机变量
表示
名挑战者在第
轮比赛结束．
①求随机变量
的分布列；
②证明：
单调递增，且小于3．
【答案】(1)分布列见解析
(2)①分布列见解析 ；②证明见解析
【分析】（1）由题设有，
可取值为1，2，3，应用独立事件乘法公式、互斥事件概率求法求各值对应
的概率，即可得分布列；
（2）①应用二项分布概率公式求
取值1，2，…，
对应概率，即可得分布列；
②由①分布列得
（
，
），定义法判断
单调性，累加法、
等比数列前n 项和公式求
通项公式，即可证结论.
【详解】（1）由题设，
可取值为1，2，3，
，
，
，
因此
的分布列为
1
2
3
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（2）①
可取值为1，2，…，
，
每位同学两题都答对的概率为
，则答题失败的概率均为：
，
所以
时，
；当
时
，
故
的分布列为：
1
2
3
…
…
②由①知：
（
，
）．
，故
单调递增；
由上得
，故
，
∴
，
故
．
20．如图，在三棱锥
中，侧面
底面
是边长为2 的正三角形，
分别是
的中点，记平面
与平面
的交线.
(1)证明：直线
平面
.
(2)若
在直线上且
为锐角，当
时，求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明线面平行，进而由线面平行的性质得到线线平行，结合面面垂直证明线面垂直；
（2）根据体积关系求出边长，建系求出法向量，求出二面角即可.
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【详解】（1）证明
分别是
的中点，
,
平面
,
平面
平面
平面
，平面
平面
.
平面
平面
，平面
平面
，
平面
平面
.
平面
（2）
是
的中位线，
又
，当
时，
又因为
故此时
以
为原点，直线
为
轴，直线
为
轴，过点
且垂直于平面
的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则
，
，
令平面
的法向量为
则
令
则
令平面
的法向量为
则
令
则
因为
，因为二面角
为钝角，所以二面角的余弦值为
.
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21．已知椭圆
的短轴长为
，且点
在椭圆上．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）椭圆C 的左、右顶点分别为A、B，点P、Q 是椭圆C 上异于A、B 的不同两点，直线BP 的斜率为
，直线AQ 的斜率为
，求证：直线PQ 过定点．
【答案】（1）
；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据题意得
，解方程即可得答案；
（2）设点P、Q 的坐标分别为
，
，根据题意得直线BP 的方程为
，直线AQ 的
斜率为
进而联立方程得
，
，
，
．再讨论当
时得直线PQ 过点
，当
时，
，
三点共线，即直线PQ 过
定点
.
【详解】解：（1）由题意有
，解得
，
，
故椭圆C 的标准方程为
．
（2）证明：设点P、Q 的坐标分别为
，
由（1）知，点A 的坐标为
，点B 的坐标为
，
直线BP 的方程为
，
联立方程
，
消去y 后整理为
，有
，
可得
，
．
直线AQ 的斜率为
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联立方程
，
消去y 后整理为
，有
，
可得
，
．
当
时，解得
，直线PQ 的方程为
，过点
，
当
时，
，
，即
，
所以
三点共线，
故直线PQ 过定点
．
【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：
1.参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核
心变量（通常为变量
）；②利用条件找到
过定点的曲线
之间的关系，得到关于
与
的等
式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
2.由特殊到一般出发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再
证明该定点与变量无关.
22．已知函数
.
（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线l 过点（0，1-e），求实数a 的值；
（2）当a＞0 时，若函数f（x）有且仅有3 个零点，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
;(2)
【分析】（1）求出
，进而可求出
，
，求出
与
连线斜率，该斜率与
相等，从而可求出
；
（2）结合导数，求出
的单调性及存在
，使得
，由函数的零点情况可得
，
令
，结合导数求出单调性，进而求出
的取值范围，即可求出a 的
取值范围.
【详解】解：（1）
，
，
，则
与
连线斜率
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，则
；
（2）由
,当
时，由
可得，
，此时
；
当
时，令
，则
，则
在
上为增函数，
因为
，
，故存在
，使得
，
当
时，
，则
；当
时，
，则
，
则函数
的增区间为
，减区间为
；
令
，有
，则
单调递增，有
，
又
，可得
，
有
，又由
，
故
在
上有且只有一个零点，因为
有且只有三个零点，必有
，
即
，令
，
有
，可得
为减函数，由
，可得
时，
，有
，当
且
时，有
，
，故当
时，
若
有且只有三个零点，则实数
的取值范围是
.
【点睛】关键点睛:
本题的关键是第二问中，运用导数求函数的单调性后，得出函数极小值的正负情况.
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