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绝密★考试结束前
2023 年高考数学全国甲卷预测试卷 03
全卷满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答
题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目
1．若集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化简集合A，B，再利用交集运算求解.
【详解】解：由题意得 ，
，
故选：D.
2．已知复数 ，i为虚数单位， 则复数z 在复平面内所对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】由 的性质、除法运算和复数的几何意义可得答案.
【详解】因为复数 ，
所以复数z在复平面内所对应的点为 ， 该点位于第三象限.故选：C．
3．若执行下面的程序框图，则输出的 （ ）
A．有6个值，分别为6，10，28，36，66，78
B．有7个值，分别为6，10，28，36，66，78，91
C．有7个值.分别为6，10，28，36，66，78，120
D．有8个值，分别为6，10，28，36，66，78，120，136
【答案】C
【分析】 ，当结果为偶数时，输出，直到 ，依次计算得
到答案.
【详解】 ，当结果为偶数时，输出，直到 ，则
当 时，输出 ；
当 时，输出 ；
当 时，输出 ；
当 时，输出 ；
当 时，输出 ；
当 时，输出 ；
当 时， ，输出 ，结束.
故选：C.
4．校园环境对学生的成长是重要的，好的校园环境离不开学校的后勤部门.学校为了
评估后勤部门的工作，采用随机抽样的方法调查100名学生对校园环境的认可程度（100分制），评价标准如下：
中位数
评价 优秀 良好 合格 不合格
2023年的一次调查所得的分数频率分布直方图如图所示，则这次调查后勤部门的评价
是（ ）
A．优秀 B．良好 C．合格 D．不合格
【答案】B
【分析】根据频率分布直方图求解中位数即可得答案.
【详解】解：由频率分布直方图可知，前3组的频率分别为 ，第4组的频率
为
所以，中位数 ，即 满足 ，对应的评价是良好.
故选：B.
5．如图，在梯形ABCD中， ， ， ，将△ACD沿AC
边折起，使得点D翻折到点P，若三棱锥P-ABC的外接球表面积为 ，则
（ ）
A．8 B．4 C． D．2
【答案】C
【分析】先找出两个三角形外接圆的圆心及外接球的球心，通过证明 ，
可得四边形 为平行四边形，进而证得BC⊥面APC，通过勾股定理可求得PB的值.
【详解】如图所示，
由题意知， ，
所以 ， ，
所以AB的中点即为△ABC外接圆的圆心，记为 ，
又因为 ，
所以 ， ，
所以在 中，取AC的中点M，连接PM，则△APC的外心必在PM的延长线上，
记为 ，
所以在 中，因为 ， ，所以 为等边三角形，
所以 ，
（或由正弦定理得： ）
所以 ，
在 中， ， ， ，
设外接球半径为R，则 ，解得： ，
设O为三棱锥P-ABC的外接球球心，则 面ABC， 面APC．
所以在 中， ，
又因为在 ， ，
所以 ， ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
又因为 面APC，
所以BC⊥面APC，
所以 ，
所以 ，即： .
故选：C.
6．双曲线 的离心率为 ，其渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据 ，结合双曲线的结合性质求得 ，进而求得双曲线的渐
近线方程.
【详解】由题意知，双曲线 的离心率为 ，
可得 ，即 ，解得 ，
所以双曲线 的渐近线方程为 .
故选：B.
7．定义在 上的函数 满足 ，且 为奇函数，则（ ）
A． B． C．2022 D．2023
【答案】D【详解】∵ ，∴ 关于 对称，
∵ 为奇函数，∴由平移可得 关于 对称，且 ，
，即
上两式比较可得
∴函数 是以4为周期的周期函数. ， ，
∴ ， ∴ .
故选：D.
8．一个四棱台的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为上底长为4，下底长为
2，腰长为 的等腰梯形，则该四棱台的体积为（ ）
A． B． C．28 D．【答案】A【详解】解：由三视图可知该四棱台为正四棱台，且腰长为 ，
因为上底长为4，下底长为2，
所以该棱台的高为 ，
棱台的体积 ，
故选： .
9．某校为深入开展劳动教育，通过学校的电子屏幕播放“我的校园我打扫”，大力宣
传劳动的价值意义，使学生树立正确的劳动观 某日甲、乙、丙、丁四名同学值日打扫
卫生，卫生区域划分为 ， ， ， 四块，每个区域安排一个同学去打扫，其中甲
不去打扫 区域，乙不去打扫 区域，则不同的安排方法的种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分甲取打扫 区域和甲去打扫 或 区域两种情况，结合分步乘法计数原理
和分类加法计数原理求解.
【详解】因为甲不去打扫 区域，所以可以安排甲去打扫 中的一个区域，
若甲去打扫 区域，则甲的安排方法只有一种，再安排乙，丙，丁三人共 种安排方
法，由分步乘法计数原理可得有 种安排方法，
若甲去打扫 区域或 区域，则甲的安排方法只有两种，再安排乙，由于乙不能去打
扫 区域，故乙的安排方法有两种，再安排丙，丁两人，共 种安排方法，由分步乘
法计数原理可得有 种安排方法，
由分类加法计数原理可得共有 种安排方法.
故选：B.
10．为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO的比赛，
其中某位同学利用函数图像的一部分设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最
有可能是（ ）A． B．
B．C． D．
【答案】B
【分析】利用导数研究各函数的单调性，结合奇偶性判断函数图象，即可得答案.
【详解】A： ，即 在定义域上递增，不符合；
B： ，
在 上 ，在 上 ，在 上 ，
所以 在 、 上递减， 上递增，符合；
C：由 且定义域为 ，为偶函数，
所以题图不可能在y轴两侧，研究 上性质： ，故 递增，
不符合；
D：由 且定义域为R，为奇函数，
研究 上性质： ，故 在 递增，
所以 在R上递增，不符合；
故选：B
11．将一个顶角为120°的等腰三角形（含边界和内部）的底边三等分，挖去由两个等
分点和上顶点构成的等边三角形，得到与原三角形相似的两个全等三角形，再对余下
的所有三角形重复这一操作．如果这个操作过程无限继续下去…，最后挖剩下的就是
一条“雪花”状的Koch曲线，如图所示已知最初等腰三角形的面积为1，则经过4次
操作之后所得图形的面积是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可知，每一次操作之后面积是上一次面积的 ，按照等比数列即可
求得结果.
【详解】根据题意可知，每次挖去的三角形面积是被挖三角形面积的 ，
所以每一次操作之后所得图形的面积是上一次三角形面积的 ，
由此可得，第 次操作之后所得图形的面积是 ，
即经过4次操作之后所得图形的面积是 .
故选：A
12．设函数 ，其中 ， 是自然对数的底数（ …），
则（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】B
【分析】令 ，结合 ， 判断AC；将不等式
转化为 ， ，再构造函数求解最值即可判断B；借助特殊值 判断D.
【详解】解：令 ，则 ，且 ，
，
当 ， ，∴存在一个较小的正数 使得 都有 ，
当 时， ，∴存在一个较小的正数 使得 都有 ，
故A，C都不正确，
对于选项B，当 ，则显然成立，当 时，即证明 ，
也即证明 ， ，
令 ，则 ，
所以， 时， ， 单调递增， 时， ， 单调
递减，
所以， 的最小值为 ，
令 ，则 ，
所以， 时， ， 单调递减， 时， ， 单调
递增，
所以， 的最大值为 ，
所以， ，
因为不同时取等，
所以， ，即选项B正确，对于选项D，当 时， （成
立），即 ，所以选项D不正确．
故选：B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
选做题：
