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2025 年高考押题预测卷
数学（广东卷01）·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合
，
且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
且
，当
时，
；当
时，
；
当
时，
；当
时，
；所以
，
所以
.
故选：B
2．若复数
满足
（为虚数单位），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
所以
.
故选：D
3．已知向量
，
，
.若
、
、
三点共线，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为向量
，
，
，
所以，
，
因为
、
、
三点共线，则
，所以，
，解得
.
故选：C.
4．已知函数
，则“
”是“
在
上的单调递增”的（ ）．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
在
为单调递增，满足
，
解得
，∴
，
当
时，
在
上为增，
综上，
在
为单增时
，
∴
，是
在
为增函数的必要不充分条件．
故选：B．
5．某校食堂为打造菜品，特举办菜品评选活动.已知评委团由家长代表，学生代表和教工代表组成，人数
比为
，现由评委团对1 号菜品和2 号菜品进行投票（每人只能投一票且必须投一票）.若投票结果显
示，家长代表和学生代表中均有
的人投票给1 号菜品，教工代表中有
的人投票给2 号菜品，那么，从1
号菜品的投票人中任选1 人，他是学生代表的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据人数比例设家长代表、学生代表和教工代表人数分别是
（
为比例系数），
由题意知：家长代表中有
的人投给1 号，人数为
；学生代表中有
的人投给1 号，人数为
；教工代表中有
的人投给2 号，那么教工代表中有
的人投给1 号，人数为
.
所以投给1 号的总人数为
，学生代表中投给1 号的人数为
，
因此所求概率为
.
故选：A.
6．正方体
中，点
分别为正方形
A1B1C1D1及
的中心，则异面直线
与
所
成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图，以点
为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，
则
，
故
，
所以
，
所以异面直线
与
所成角的余弦值为
.
故选：C.
7．在
中，角
所对的边分别为
．已知
成等差数列，
成等比数列，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为在
中，
成等差数列，所以
，
又
，所以
，
设
所成等比数列得公比为
，则
，
，
由正弦定理可得
，
整理可得
，
，
又
，即
，
整理可得
，
所以解得
，故
，于是
，所以
，
故选：D.
8．设椭圆
的左右焦点分别为
，点
在椭圆上，
的平分线与
轴
交于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】椭圆
的焦点
，
，
不妨令点
在第一象限，
在
中，
，
则
，解得
，
，则
，
由
平分
，得
，
而
，则
，
所以
.故选：D
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．下列说法正确的有（ ）
A．已知随机事件
的概率不为0，若
和
相互独立，则
和
一定不互斥
B．若
关于
的经验回归方程为
，则样本点
的残差为1.4
C．数据
的平均数为2，方差为12，则
D．设随机变量
服从正态分布
，则
【答案】AD
【解析】对于A 中，由随机事件
的概率不为0，即
，
若事件
和
互斥，则
，
若事件
和
相互独立，则
，
所以事件
和
相互独立，则事件
和
一定不互斥，所以A 正确；
对于B 中，将
代入回归方程为
，可得
，
则样本点的残差为
，所以B 不正确；
对于C 中，数据
的平均数为2，方差为12，
可得
且
，
可得
，
所以
，所以C 错误；
对于D 中，由随机变量
服从正态分布
，可得
则
，所以D 正确.
故选：AD.
10．若函数
与函数
的图象关于直线
对称，则函数
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】因为函数
与函数
的图象关于直线
对称，所以函数
需满足在定义域上单
调.
对于A，易知函数
在R 上单调递增，故A 正确；
对于B，因为
在R 上单调递增，函数
在R 上单调递减，故可知函数
在R 上单
调递增，故B 正确；
对于C，因为
，定义域为R，所以
.当
时，
，函数
单调递增；
当
时，
，函数
单调递减，故C 错误；
对于D，因为
，定义域为R，所以
，化简可得
，因为
，所以对
，
，又因为
，所以对
，
恒成立，所以函数
在R 上单
调递减，故D 正确.
故选：ABD.
11．几何体的体积可以看成面积的积累，因此可以得到：“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行
于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，则两个几何体体积相等”.旋转体体积
也可看作平面区域面积绕与其不相交的轴（可为其边界）旋转的积累，因每个点旋转的周长不一致，平面
区域旋转的长度可用该区域的重心旋转长度替代，于是可得到旋转体体积计算方法：旋转体体积=旋转区
域面积重心旋转的圆形轨迹周长.如图1，记圆面
绕
轴旋转形成的几何体体积为
，
记半圆面
重心坐标为
.如图2，阴影部分为函数
与
围成的区域，
记该区域绕
轴，
轴旋转形成的几何体体积分别为
，
.则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】对于A，易知它的重心即其圆心，由定义可知
，故A 错误；
对于B，易知该半圆面绕
旋转所得的几何体为半径为1 的球体，
其体积
，故B 正确；
对于C，根据条件易知半圆面
绕横轴旋转形成的几何体体积为
，
设点
，
则
，
所以图2 阴影面积小于半径为1 的半圆面积，即
，故C 正确；
对于D，图（1）阴影区域满足
，其绕纵轴旋转形成的几何体体积记为
，
图（2）阴影区域满足
，其绕纵轴旋转形成的几何体体积记为
，
设纵坐标为
的平面去截这两个几何体，
联立
得
，其截图（1）对应旋转体的截面面积为
，
联立
得
，其截图（2）对应旋转体的截面面积为
，则
，
易知
，而
，故D 正确；
故选：BCD
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知等差数列
的前
项和为
，
，
，则
．
【答案】110
【解析】
.
故答案为：110.
13．已知曲线
在点
处的切线与曲线
只有一个公共点，则
.
【答案】0 或2
【解析】由
得
，当
时，切线的斜率
，
则曲线
在点
处的切线方程为
，
因为它与
只有一个公共点，所以
有唯一解，
即
有唯一解，
故
或
，
解得
或
，
故答案为：0 或2
14．已知函数
在区间
上有且仅有一个零点，且
，则
.
【答案】
【解析】由
，得
，令
，
即
，整理得
，
即
，解得
或
，
则
或
，
或
，
当
时，
，由函数
在
上有且仅有一个零点，
得
，即
，当
时，
，
，
此时
或
，使得
，不符合要求；
当
时，
或
，
当
时，
，函数
在
上无零点，
当
时，
，当且仅当
时，
，符合要求，
因此
，
，
，
，
，
，
，
，
而
，所以
.
故答案为：
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）
近期世界地震、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险知识越来越引起人们的重视．某校为
考察学生对紧急避险知识的掌握情况，从全校学生中选取200 名学生进行紧急避险知识测试，其中男生
110 名，女生90 名．所有学生的测试成绩都在区间
范围内，由测试成绩数据作出如图所示的频率
分布直方图．
(1)若从频率分布直方图中估计出样本的平均数与中位数相等，求图中m 的值；
(2)规定测试成绩不低于80 分为优秀，已知共有45 名男生成绩优秀，完成下面的列联表，并根据小概
率值
的独立性检验，能否推断男生和女生的测试成绩优秀率有差异？
性别
测试成绩
合计
优秀
不优秀
男生
45
女生
合计
参考公式与数据：
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
【解析】（1）依题意，频率分布直方图中左起第一个小矩形的高为：
，
样本平均数的估计值为：
，
显然数据落在区间
的频率为
，落在
的频率为
，（4 分）
因此样本中位数在区间
内，其估计值为；
，
则
，解得
，
所以
. （6 分）
（2）总的成绩优秀人数为：
，
得到列联表为：
性别
测试成绩
合计
优秀
不优秀
男生
45
65
110
女生
25
65
90
合计
70
130
200
零假设
：男生和女生的测试成绩优秀率没有差异，
于是
的观测值为
，（11 分）
所以根据小概率值
的独立性检验，无法推断
不成立，即认为男生和女生的测试成绩优秀率
没有差异. （13 分）
16．（15 分）
记锐角
内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
.
(1)证明：
；
(2)求
的最大值.
【解析】（1）在
中，由
及正弦定理，得
，
则
，（3 分）
而
，则
，于是
，
整理得
，因此
，
所以
. （7 分）
（2）在锐角
中，由（1）知，
，则
，
而
，则
，当且仅当
时取等号，
因此
，
，所以
的最大值为1. （15 分）
17．（15 分）
如图，在四棱锥
中，底面
是等腰梯形，
，
，
，
，
．
(1)求证：
；
(2)求二面角
的正弦值．
【解析】（1）连接
，因为底面
是等腰梯形，
，
，
，
，
由余弦定理可得
，
所以
，则
，
因为
，
，
，所以
，则
，
因为
，
、
平面
，所以
平面
，
因此
平面
，所以
. （4 分）
（2）在
中，
，
，
由余弦定理可得
，
因为
，
，则
，
因为四边形
为等腰梯形，且
，则
，
，
所以，
，
，（7 分）
故
为等腰三角形，且
，
因为
平面
，以点
为坐标原点，
、
所在直线分别为
、
轴，
平面
内过点
且垂直于
的直线为
轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则
、
、
、
，（8 分）
设平面
的一个法向量为
，
，
，
所以
，取
，可得
，
设平面
的一个法向量为
，
，
所以
，取
，可得
，（12 分）
所以
，
所以
.
因此，二面角
的正弦值为
. （15 分）
18．（17 分）
已知函数
.
(1)若
在其定义域内单调递增，求
的取值范围；
(2)若
，证明：
，
；
(3)若
在
上有两个极值点，求
的取值范围.
【解析】（1）因为
在
上单调递增，所以
在
上
恒成立，
即
在
上恒成立.
设
，则
，则
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，则
，即
的取值范围为
. （5 分）
（2）证明：若
，则
.
设
，则
，
，则
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，则
在
上单调递增，
所以
，即当
时，
，
所以
，不等式得证. （10 分）
（3）
.
当
时，
，则
在
上单调递减，
无极值点.
当
时，由（1）知
在
上单调递增，
无极值点.
当
时，令
，
令
，得
，
则
在
上单调递减，在
上单调递增，（13 分）
，
，
由（2）知
，则
，
所以
恰有两个零点
，
，
令
，得
，令
，得
或
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，从而
有两个极值
点.
综上，
的取值范围是
. （17 分）
19．（17 分）
在平面直角坐标系
中，若圆
与抛物线
有公共点
，且圆
与抛物线
在点
处有相同的切线，则称
为抛物线
的和谐数，圆
为
的和谐
圆.
(1)试判断3 是否为抛物线
的和谐数.若是，求出3 的和谐圆；否则，请说明理由.
(2)设
，
，…，
均为抛物线
的和谐数，且
，记
，
，…，
的和谐圆
分别为圆
，
，…，
，设圆
，
，…，
与抛物线
的公共点分别为
，
，…，
，已知
，且
，圆
与
外切.
（ⅰ）求数列
的通项公式；
（ⅱ）设点
，记
的面积为
，证明：
.
【解析】（1）假设3 是抛物线
的和谐数，则3 的和谐圆为
，
由对称性，不妨设圆
与抛物线
有公共点
，
显然抛物线
在点
处的切线，即曲线
在点
处的切线，
易知该切线的斜率为
，
∵圆
与抛物线
在点
处有相同的切线，
∴
，解得
，
∴圆
与抛物线
有公共点
，
∴和谐圆的半径为
∴3 是抛物线
的和谐数，且3 的和谐圆为
. （4 分）
（2）由对称性，只需考虑
，
，…，
均在
轴上方的情形，不妨设
，
（ⅰ）∵
为抛物线
的和谐数，
∴
的和谐圆为
，
∴由（1）可知，
，解得
，（6 分）
∴
，
∵
在圆
上，∴
，
∵
，圆
与
外切，且
，
∴
，即
，
∴
，
∴数列
是等差数列，其公差为2，首项为
，
∴
，即
，
∴数列
的通项公式为
. （10 分）
（ⅱ）证明：显然点
为抛物线
的焦点，∴
，
易知
，且
，∴
为等腰三角形，
易知
的面积
，
当
时，
，（13 分）
∴
，
∴
，
∴
，
∴不等式
得证. （17 分）
