文档文本内容
第03 讲 复数
考向一 复数的计算
复数的代数形式的运算主要有加法、减法、乘法、除法，
1.复数的加减，实质的合并同类项
2.复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不
含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．
3.复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形
式．除法实际上是分母实数化的过程
【例1-1】（2025·陕西西安·三模）已知
，则
（ ）
A．-1
B．1
C．
D．
【例1-2】（2026·四川宜宾·一模）已知为虚数单位，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-3】（2025·江苏·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-4】（2025·吉林松原·模拟预测）已知复数满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·吉林·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
3．（2025·广东·模拟预测）设
（其中为虚数单位），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025 甘肃天水）复数满足
，则
.
5．（2025·上海黄浦·一模）已知是虚数单位，则
．
6．（2025·上海静安·一模）已知复数满足
（其中为虚数单位），则复数
．
考向二 复数的实部、虚部
通过运算法则化成z=a+bi 的形式，虚部为i 前面的数字，不带i
【例2-1】（2026·山东·一模）复数
的共轭复数的虚部是（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【例2-2】（2026·河南洛阳·模拟预测）已知
，则的虚部为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【例2-3】（25-26 高三上·河北邢台·月考）复数
的实部为 ．
【一隅三反】
1．（2025·全国·模拟预测）复数满足
，则的虚部是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·广东汕尾·一模）在复平面内，复数满足
，则的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 高三上·江苏无锡·月考）已知复数
，则z 的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·云南·模拟预测）复数
的实部为 .
考向三 复数的模长
模长
【例3-1】（2026·四川巴中·一模）已知
（其中i 为虚数单位），则
（ ）．
A．5
B．7
C．9
D．25
【例3-2】（25-26 高三上·河南·月考）已知
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2026·黑龙江大庆·二模）已知复数
，则
（ ）
A．2
B．
C．1
D．
2．（2026·云南昭通·模拟预测）设i 为虚数单位，若复数
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
3．（2026·辽宁大连·一模）已知
，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．4
4．（2026·河南鹤壁·一模）若复数满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
考向四 复数的几何意义
【例4-1】（2026·河北·模拟预测）复数
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【例4-2】（25-26 高三上·吉林四平·月考）在复平面内，复数
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【例4-3】（2026·四川广安·一模）已知复数在复平面内对应的点为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2025·陕西榆林·模拟预测）复数
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．（2026·湖北荆门·模拟预测）复数
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．（2025·四川成都·模拟预测）复数
在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
考向五 复数的分类
【例5-1】（2026 湖北）已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i 为虚数单位)是实数，则a=（ ）
A．1
B．–1
C．2
D．–2
【例5-2】（2026 河南）若复数
是虚数单位为纯虚数，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2025·江苏）已知复数
的实部为0，其中为虚数单位，则实数a 的值是_____.
2．（2026 山东）已知
，为虚数单位，若
为实数，则
的值为__________．
3．（2026·黑龙江）若
( 为虚数单位)是纯虚数，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026 福建）设a 为实数，且
为纯虚数(其中i 是虚数单位)，则a＝（ ）
A．1
B．－1
C．
D．－2
考向六 复数范围内解方程
方程的两根互为共轭复数，根与系数的关系可以韦达定理。
【例6-1】（2026·江苏）已知
是关于x 的方程
的根，则实数
（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【例6-2】（2025 河南）已知
是关于x 的方程
的一个根，其中p，
，则p＋q＝
．
【一隅三反】
1（2025·江苏）已知
是关于x 的方程
的一个根，则该方程的另一个根为（
）
A．2i＋3
B．－2i－3
C．2i－3
D．－2i＋3
2．（2026·河南）已知
，为实数，
（i 为虚数单位）是关于的方程
的一个根，
则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
3．（2025·湖南）已知复数
是关于的方程
的一个根，则
（ ）
A．25
B．5
C．
D．41
考向七 复数在平面几何中的应用
复数的方程在复平面上表示的图形
(1)
表示以原点O 为圆心，以a 和b 为半径的两圆所夹的圆环；
(2)
表示以
为圆心，r 为半径的圆．
【例7-1】（2025·江苏苏州·模拟预测）设
，则复数z 对应的点Z 的轨迹是（ ）
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．抛物线
【例7-2】（2026·上海闵行）若
，则
的最大值与最小值的和为___________.
【例7-3】（2025·陕西西安）在复平面内，已知复数满足
，为虚数单位，则
的最
大值为____________.
【一隅三反】
1．（2026·湖北）已知
为复数，且
，则
的最大值为____________.
2．（2026·重庆）（多选）已知复数
（为虚数单位）在复平面内的对应的点为
，复数
满足
在复平面内对应的点
为
，则下列结论正确的有（ ）
A．复数
的虚部为 B．
C．
的最大值
D．
的最小值为
3．（2026·山东文登）（多选）已知复数
（i 为虚数单位），
，则下列结论中正确的
是（ ）
A．
的虚部为
B．
在复平面内对应的点位于第四象限
C．
D．若
，则
的最大值为
一．单选题
1．（2025·陕西西安·模拟预测）复数
，z 的共轭复数为
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
2．（2025·江苏南通·模拟预测）已知复数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·陕西·模拟预测）设复数满足
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
4．（2026·重庆·模拟预测）设为虚数单位，则
的虚部为（ ）
A．-1
B．1
C．-2
D．2
5．（2026·陕西西安·一模）复数
的虚部为（ ）
A．2
B．
C．0
D．
6．（2026·新疆·二模）已知在复平面内，
为原点，向量
对应的复数分别为
，
那么向量
对应的复数的虚部为（ ）
A．
B．7
C．
D．
7．（2026·湖北·模拟预测）复数
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．i
8．（2026·河北邯郸·模拟预测）复数
的共轭复数记为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
9．（2026·重庆九龙坡·一模）已知i 为虚数单位，则复数
在复平面内对应的点位于
（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
10．（2025·四川成都·一模）在复平面内，复数
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
11．（2026·河北邢台·一模）已知复数z 满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2026·河北沧州·一模）已知
，则
（ ）
A．1
B．
C．0
D．5
13．（2026·河南郑州·模拟预测）设复数在复平面内对应的点为
，则复数
的虚部为
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
14．（2026·吉林长春·一模）复数
的虚部是（ ）
A．
B．1
C．
D．
15．（25-26 高三上·山东·月考）已知复数
（为虚数单位），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2026·河南开封·一模）已知复数满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
17．（25-26 高三上·重庆·月考）已知复数满足
，则为（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（2026·四川绵阳·二模）i 为复数单位，复数
；则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
19．（2026·山东青岛·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．4
20．（2026·云南·模拟预测）若复数满足
，
，则
（ ）
A．0
B．1
C．
D．2
21．（2025·湖南长沙·二模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．40
22．（2025·江苏·模拟预测）
在复平面内对应的点位于第几象限（ ）
A．一
B．二
C．三
D．四
23．（2025·河北沧州·模拟预测）若复数
是虚数单位为纯虚数，则
的共轭复数为（ ）
A．
B．
C．
D．
24．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知
，q：复数
为纯虚数，则p
是q 的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
25．（2026·河北沧州·一模）已知复数
，其中
，则在复平面内所对应点的
轨迹为（ ）
A．线段
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
26．（2025·河北沧州·一模）“
”是“复数
为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
27．（2025·河北·模拟预测）已知复数是虚部为正数的纯虚数，且满足
，则
（ ）
A．1
B．2
C．1 或2
D．3
二．多选题
28．（2026·四川攀枝花·一模）设复数z 满足
（i 为虚数单位），记
为z 的共轭复数，
则（ ）
A．
B．复数z 的虚部为
C．
D．复数z 在复平面内对应的点在第一象限
29．（2026·吉林白山·一模）已知复数z 满足
，是z 的共轭复数，则下列说法正确
的是（ ）
A．z 的虚部为
B．复数在复平面中对应的点在第三象限
C．
D．
30．（2026·河北沧州·一模）已知
为复数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
是方程
的两根，则
31．（2026·陕西西安·三模）设
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
32．（2025·重庆·模拟预测）已知复数
，则下列结论正确的是
（ ）
A．若
为纯虚数，则
B．若
，则
C．若
，则
的最大值为
D．若
，则
的取值范围是
33．（2025·湖北武汉·二模）若复数
，则（ ）
A．
B．
C．在复平面内对应的点位于第四象限
D．复数
满足
，则
的最大值为
34．（2025·甘肃·模拟预测）若复数满足
（其中是虚数单位），复数的共轭复数
为
，则（ ）
A．的实部是
B．
C．
在复平面内对应的点在第一象限
D．与
在复平面内它们所对应的点关于轴对称
35．（2025·广东江门·模拟预测）若复数
，则（ ）
A．
的实部等于
的虚部
B．
的虚部等于
的实部
C．
D．
与
在复平面内对应的点均不在第二象限
36．（2025·辽宁葫芦岛·二模）已知复数满足
，则（ ）
A．的虚部为
B．在复平面内所对应的点在第二象限
C．
D．
37．（2025·吉林长春·模拟预测）已知复数
，则（ ）
A．的虚部为
B．
C．
D．复数在复平面内对应的点位于第四象限
三．填空题
38．（2025·天津河北·模拟预测）i 是虚数单位，则复数
．
39．（2025·天津·模拟预测）已知i 是虚数单位，化简
的结果为 ．
40．（25-26 高三上·天津滨海新·月考）已知是虚数单位，则
．
41．（2025 高三上·江西南昌·专题练习）若
，则
．
42．（25-26 高三上·重庆沙坪坝·月考）已知关于 的方程
的根为复数 ，其
中 为虚数单位，则
.
43．（25-26 高三上·上海·期中）已知复数
，
为纯虚数，则实数
.
44．（25-26 高三上·上海·月考）若复数
（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数的
值为 .
45．（25-26 湖南长沙 ）复数满足
，则
的最大值为 ．
46（2024·全国·模拟预测）设是复数且
，则
的最小值为
47.（2024·重庆·统考二模）复平面内复数满足
，则
的最小值为
48．（2024·全国·校联考三模）已知复数
满足
，则
的最大值为
