文档文本内容
计数原理与概率统计
猜押考点
3 年真题
考情分析
押题依据
计数原理
与概率统
计
2024 全国新高考I
卷9、14、
2024 全国新高考
Ⅱ卷4、14、18
2023 全国新高考I
卷9、10、13、21
2023 全国新高考
Ⅱ卷3、12、19
2022 全国新高考I
卷13、20
2022 全国新高考
Ⅱ卷5、19
关于排列、组合与二项式定理的考查，往
往以客观题形式考查.
1.基本原理的应用；
2.基本原理与排列的综合问题；
3.基本原理与组合的综合问题；
4.基本原理、排列、组合综合问题；
5.二项展开式指定项（系数）；
6.二项式系数的性质；
7.数学文化与杨辉三角.
8.概率的计算问题：古典概型是基础，条
件概率、乘法公式与全概率公式的应用，
独立性与条件概率综合问题；
9.随机抽样、统计图表及其应用、数据数
字特征的计算及其应用等，其中频率分布
表、频率分布直方图是重点；
10.线性回归问题也许会成为“黑马”、独
立性检验；
11.两点分布、二项分布、超几何分布、正
态分布及其数字特征，考查方式可能分别
以客观题、主观题两种.
统计案例以及数字特征类的
运算子近年的考查频率非常
高，容易与实际情景以及频
率分布直方图相结合，从而
考查统计与概率的相关知识
点，将是高考的一个方向。
古典概型是高考数学中的一
个重要考查点，难度小。排
列组合在近年的高考中考查
的不是很多，一般是排队性
问题，插空类，以及分类讨
论性问题
离散型分布是高考的一个常
考题型，主要是赛制类问
题，二项分布，超几何分布
类问题
条件概率与全概率的应用是
高考在概率方面的一个重要
方向，在新高考中将是一个
非常重要的方向
题型一 统计案例与数据分析
1．（24-25 高三下·河南周口·阶段练习）某校高三年级共有2000 人，其中男生1200 人，女生800 人，某次
考试结束后，学校采用按性别分层随机抽样的方法抽取容量为
的样本，已知样本中男生比女生人数多8
人，则
（ ）
A．20
B．30
C．40
D．48
2．（24-25 高二下·上海·开学考试）某公司利用随机数表对生产的900 支新冠疫苗进行抽样测试，先将疫
苗按000，001，…，899 进行编号，从中抽取90 个样本，若选定从第4 行第4 列的数开始向右读数，（下
面摘取了随机数表中的第3 行至第5 行），根据下图，读出的第5 个数的编号是 ．
1676622766 5650267107 3290797853 1355385859 8897541410
1256859926 9682731099 1696729315 5712101421 8826498176
5559563564 3854824622 3162430990 0618443253 2383013030
3．（22-23 高一下·云南昭通·期末）高一（1）班有学生45 人，高一（2）班有学生27 人，高一（3）班有
学生36 人，用分层抽样的方法从这三个班中抽出一部分人组成
的方队，进行体操比赛，则高一（1）
班、高一（2）班、高一（3）班分别被抽取的人数是（ ）
A．15，9，12
B．9，15，12
C．12，9，15
D．15，12，9
4．（2025·河南·一模）（多选）已知
，样本数据
，
，则
（ ）
A．
的平均数一定等于
的平均数
B．
的中位数一定小于
的中位数
C．
的极差一定大于
的极差
D．
的方差一定小于
的方差
5．（24-25 高一下·广东广州·期中）（多选）某兴趣小组9 名同学的数学成绩（单位：分）分别为：
，
，
，
，
，
，
，
，
，则（ ）
A．中位数是88.5
B．上四分位数是91
C．下四分位数是80
D．极差是30
6．（24-25 高一下·广东广州·期中）（多选）某项比赛共有10 个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低
分，则与原始数据相比，一定不变的是（ ）
A．极差
B．45 百分位数
C．中位数不变
D．众数
7．（24-25 高二下·上海青浦·期中）设一组样本数据
的平均数为
，则数据
平均数为 .
8．（2025·辽宁鞍山·二模）已知互不相等的数据
，
，
，
，
，
，的平均数为，方差为
，
数据
，
，
，
，
，
的方差为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
与
的大小关系无法判断
题型二 古典概型与排列组合
1．（2025·江西新余·模拟预测）毕业是青春的里程碑，更是奔赴星海的启航．希望中学高三（8）班的九
名身高互不相同的挚友想拍一张毕业照，要求排成三行三列，每列后面的人身高都高于前面的人，其中小
郅与小豪两位好朋友在这九人中身高由高到低分别位居第1 位与第4 位，他们要求要站在同一行相邻的位
置，则不同的排列方式共有（ ）种．
A．200
B．300
C．400
D．600
2．（24-25 高二下·江苏苏州·阶段练习）用0、2、4、6、8 这5 个数字，组成没有重复数字的三位数的个数
为 .（用数字作答）
3．（24-25 高二下·福建泉州·阶段练习）有3 位高三学生参加4 所重点院校的自主招生考试，每人参加且只
能参加一所学校的考试，则不同的考试方法种数为（ ）
A．9
B．12
C．64
D．81
4．（24-25 高二下·陕西榆林·阶段练习）寒假期间，南京有4 个家庭分别选择吉林、白山、四平三个城市
中的一个避暑旅游，则这4 个家庭不同的选择方法共有（ ）
A．6 种
B．24 种
C．64 种
D．81 种
5．（2025·陕西汉中·二模）从正四棱台
的12 条棱中任取2 条，则这2 条棱互相平行的概
率为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高二下·安徽安庆·阶段练习）已知
，
，
，则关于
，
，
的方程
共有（ ）组不同的解.
A．36
B．45
C．50
D．24
7．（2023·广西南宁·模拟预测）五行是华夏民族创造的哲学思想.多用于哲学、中医学和占卜方面.五行学
说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼
此之间存在相生相克的关系.五行是指木、火、土、金、水五种物质的运动变化.所以，在中国，“五行”
有悠久的历史渊源.下图是五行图，现有
种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜
色（例如木生火，木与火不能同色，水生木，水与木不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如火与
水相克可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·河北沧州·模拟预测）将5 个大小相同，颜色不同的小球放入编号为1，2，3，4，5 的5 个盒子
中，恰好有2 个空盒的放法共有（ ）
A．1500 种
B．1800 种
C．2340 种
D．2400 种
9．（19-20 高二上·四川成都·期中）如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G 七个点涂
色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A．192
B．336
C．600
D．以上答案均不对
10．（24-25 高二下·广东汕头·期中）
年春节档共有
部影片定档，某影城根据第一周的观影情况，决
定第二周只播放其中的《哪吒之魔童闹海》、《唐探
》、《熊出没·重启未来》及《蛟龙行动》．为了
家庭中的大人和孩子观影便利，该影城对第、周影片播放顺序做出如下要求：《哪吒之魔童闹海》不排第
一场，《熊出没·重启未来》不排最后一场，《蛟龙行动》和《熊出没·重启未来》必须连续安排，则不同
的安排方式有（ ）
A．
种
B．种
C．10 种
D．
种
11．（24-25 高二下·江西·阶段练习）要让如图所示的电路在只合上两个开关的情况下正常工作，不同方法
种数为（ ）
A．10
B．8
C．6
D．5
题型三 二项式定理
1．（2025·江苏·模拟预测）已知
展开式的第3 项的二项式系数与第5 项的二项式系数相等，则
展开式中
项的系数为 .（用数字作答）
2．（24-25 高三下·江苏·阶段练习）已知
（
为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系
数的和相等，则该展开式中的常数项为
3．（2025·山东聊城·模拟预测）
的展开式中
的系数为
，则
．
4．（24-25 高二下·河北沧州·阶段练习）已知
的展开式中第5 项与第8 项的二项式系数相等，则奇
数项的二项式系数和为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·广西桂林·一模）（多选）已知
的二项式系数和为64，则（ ）
A．
B．常数项是第3 项
C．二项式系数最大值为20
D．所有项系数之和等于1
6．（24-25 高三下·广东梅州·阶段练习）
的末三位数是 ．
7．（24-25 高二下·湖北省直辖县级单位·期中）
的展开式中，
的系数为 （结果用数
字作答）
8．（24-25 高二下·江苏镇江·期中）
的值是（ ）
A．
B．1
C．0
D．22024
9．（24-25 高二下·河北邢台·期中）已知
，则
为（ ）
A．180
B．150
C．120
D．200
题型四 离散型随机变量及其分布列、二项分布，超几何分布、正态分布
1．（24-25 高二下·陕西榆林·阶段练习）（多选）已知随机变量X 的分布列为
X
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
m
0.3
0.1
则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高二下·辽宁葫芦岛·阶段练习）设离散型随机变量X 的分布列如下表所示.若随机变量
，
则
（ ）
X
0
1
2
P
0.1
0.4
0.2
0.3
A．0.7
B．0.4
C．0.3
D．0.6
3．（24-25 高二下·吉林长春·阶段练习）（多选）已知随机变量X 的分布列为
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知随机变量
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（湖北省第十届（2025 届）高三下学期4 月调研模拟考试数学试题）（多选）下列命题正确的是（
）
A．
是一组样本数据，去掉其中的最大数和最小数后，剩下10 个数的中位数小于原样本
的中位数
B．若事件A，B 相互独立，且
，
，则事件A，B 不互斥
C．若随机变量
，
，则
D．若随机变量
的方差
，期望
，则随机变量
的期望
6．（2025·湖南郴州·三模）已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋
内装有两个1 号球，一个2 号球和一个3 号球；乙袋内装有两个1 号球，一个3 号球；丙袋内装有三个1 号
球，两个2 号球和一个3 号球.
(1)从甲袋中一次性摸出2 个小球，记随机变量
为1 号球的个数，求随机变量
的分布列和数学期望；
(2)现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1 个球，若摸出的是1 号球放入甲袋，
摸出的是2 号球放入乙袋，摸出的是3 号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1 个球.求第二
次摸到的是3 号球的概率.
7．（24-25 高三下·山东·阶段练习）已知随机变量
，且
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．
8．（2025·山东济南·一模）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服
的回答被采纳的概率为
，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为
.已知输入的问
题表达不清晰的概率为
.
(1)求智能客服的回答被采纳的概率；
(2)在某次测试中输入了3 个问题（3 个问题相互独立），设
表示智能客服的回答被采纳的次数.求
的分
布列、期望及方差.
9．（2025·河南郑州·模拟预测）一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1 分钟，猫和老鼠都可以选择
进行一次移动.猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟猫和老鼠
都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当
前房间的概率均为0.5.已知在第0 分钟时，猫在0 号房间，老鼠在1 号房间.设在第
分钟时，猫和老鼠在0
号房间的概率分别为
，
.
(1)求第1 分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1 的概率；
(2)求证：
，
均为等比数列并求它们的通项公式.
题型五 事件的独立，条件概率与全概率公式应用，独立性检验
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知
，
，
，则
（ ）
A．0.2
B．0.375
C．0.75
D．0.8
2．（24-25 高三下·江苏常州·阶段练习）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件
：两次的点数之
和为偶数，
：两次的点数之积为奇数，
：第一次的点数小于，则（ ）
A．
B．
C．
与
相互独立
D．
与
互斥
3．（2025·安徽安庆·二模）设事件
为两个随机事件，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·江苏苏州·一模）（多选）
表示三个随机事件，判断下列选项正确的是（ ）
A．已知
是事件
与事件
相互独立的充要条件
B．已知
，则
C．已知
是事件
与事件
互斥的充要条件
D．已知
，则
5．（18-19 高三上·江苏无锡·开学考试）一个布袋中，有大小、质地相同的4 个小球，其中2 个是红球，2
个是白球，若从中随机抽取2 个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是 .
6．（12-13 高二上·湖北黄冈·期中）甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数
，按下列方法操作一次产
生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把
乘
以2 后再减去12,；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把
除以2 后再加上12，这样就得到一个新
的实数
，对实数
仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数
，当
时，甲获胜，否则乙
获胜，若甲获胜的概率为
，则
的取值范围是
7．（18-19 高一上·山西阳泉·期末）在2019 迎新年联欢会上,为了活跃大家气氛,设置了“摸球中奖”游戏,
桌子上放置一个不透明的箱子,箱子中有3 个黄色、3 个白色的乒乓球(其体积、质地完全相同)游戏规则：
从箱子中随机摸出3 个球,若摸得同一颜色的3 个球,摸球者中奖价值50 元奖品;若摸得非同一颜色的3 个球,
摸球者中奖价值20 元奖品.
(1)摸出的3 个球为白球的概率是多少?
(2)假定有10 人次参与游戏,试从概率的角度估算一下需要准备多少元钱购买奖品?
8．（2021·广东·二模）城市大气中总悬浮颗粒物(简称TSP)是影响城市空气质量的首要污染物，我国的
《环境空气质量标准》规定，TSP 日平均浓度(单位：
)在
时为一级水平，在
时为二
级水平.为打赢蓝天保卫战，有效管控和治理那些会加重TSP 日平均浓度的扬尘污染刻不容缓.扬尘监测仪
与智能雾化喷淋降尘系统为城市建筑工地的有效抑尘提供了技术支持.某建筑工地现新配置了智能雾化喷淋
降尘系统，实现了依据扬尘监测仪的TSP 日平均浓度进行自动雾化喷淋，其喷雾头的智能启用对应如下表：
TSP 日平均浓度
喷雾头个数
个
根据以往扬尘监测数据可知，该工地施工期间TSP 日平均浓度
不高于
，
，
，
的概率分别为
，
，
，
.
（1）若单个喷雾头能实现有效降尘
，求施工期间工地能平均有效降尘的立方米数.
（2）若实现智能雾化喷淋降尘之后，该工地施工期间TSP 日平均浓度
不高于
，
，
，
的概率均相应提升了
，求：
①该工地在未来
天中至少有
天TSP 日平均浓度能达到一级水平的概率；(
，结果精确到
)
②设单个喷雾头出水量一样，如果TSP 日平均浓度达到一级水平时，无需实施雾化喷淋，二级及以上水平
时启用所有喷雾头
个，这样设置能否实现节水节能的目的？说明理由.
9．（2025·河北石家庄·一模）在一个温馨的周末，甲同学一家人齐聚在宽敞明亮的客厅里进行掷游戏币活
动，假设每次掷游戏币出现正面的概率为
，且
，每次掷游戏币的结果相互独立.
(1)当
时，若甲连续投掷了两次，求至少出现一次正面向上的概率；
(2)若规定每轮游戏只要连续不断的出现三次正面向上，则游戏结束，每轮最多连续投掷6 次.
①甲在一轮游戏中恰好投掷了5 次游戏结束的概率为
，求
的表达式；
②设甲在一轮游戏中投掷次数为
，求
的最大值.
