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2024 年上海高考数学第一次模拟考试
高三数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共21题。答卷前，考生务必将自己的姓名、
准考证号填写在答题卡上。
2.本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择
题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答
题纸的相应位置直接填写结果．
1．若关于x的不等式|x+1|＜6﹣|x﹣m|的解集为∅，则实数m的取值范围是 ．
2．在△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠A＝60°，M为△ABC的外心，若 ，λ，
μ∈R，则 ＝ ．
3．各项均为正数的等比数列{a }的前n项和为S ，a ＝1，S ＝7a ，则使 成立的n的最
n n 1 3 3
小值为 ．
4．若4sin（x﹣ ）＝1，则cos（2x﹣ ）＝ ．
5．若函数 的值域为（﹣∞，3]，则实数 m 的取值范围是
．
6．已知i为虚数单位，设z ＝x+2i，z ＝3﹣yi（x，y∈R），且z +z ＝5﹣6i，则z ﹣z ＝
1 2 1 2 1 2
7．圆x2+y2﹣2x﹣3＝0的半径为 ．
8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2＝2b2，sinC＝ sinB，则cosA＝
．
9．已知一组数据为﹣3，5，7，x，11，且这组数据的众数为5，那么该组数据的中位数是 ．10．在（x﹣2y+3z）7的展开式中，x4y3项的系数为 ．
11．下列说法中，正确的个数为 ．
（Ⅰ）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
（Ⅱ）有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
（Ⅲ）底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
（Ⅳ）棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥．
12．已知△ABC 的边 AC＝2，且 ，则△ABC 的面积的最大值为
．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）每题有且
仅有一个正确选项，考生应在答题纸相应编号位置将代表正确选项的小方格涂黑。
13．设集合A＝{x|x＞3}，则（ ）
A．∅∈A B．0∈A C．2∈A D．4∈A
14．对三组数据进行统计，获得以下散点图．关于其相关系数依次是 r ，r ，r ，则它们的大小关
1 2 3
系 是 （ ）
A．r ＞r ＞r B．r ＞r ＞r C．r ＞r ＞r D．r ＞r ＞r
1 3 2 1 2 3 2 1 3 3 1 2
15．关于曲线C：x2﹣xy+y2＝1有下列四个结论：
①曲线C关于y轴对称；
②曲线C关于原点对称；
③曲线C上任意一点的横坐标不大于1；
④曲线C上任意一点到原点的距离不超过 ．
其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．416．设函数 在区间 上的最大值为M，最小值为m，则M﹣m的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
三、解答题（本大题共有6题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步
骤．
17．（14分）由四棱柱ABCD﹣A B C D 截去三棱锥C ﹣B CD 后得到的几何体如图所示，四边
1 1 1 1 1 1 1
形A ADD 和ABCD是全等的边长为2的菱形，且∠A AD＝∠ABC＝ ，A C＝3．
1 1 1 1
（1）求三棱锥A ﹣ACD的体积；
1
（2）求直线CD 和平面B BC所成角的正弦值．
1 1
18．（14分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当时x＜0时，f（x）＝x2+2x﹣1．
（1）求f（x）解析式；
（2）画出函数图像，并写出单调区间．（无需证明）
19．（14分）在某校开展的知识竞赛活动中，共有A，B，C三道题，答对A，B，C分别得1分、
1分、2分，答错不得分．已知甲同学答对问题A，B，C的概率分别为 ，乙同学答
对问题A，B，C的概率均为 ，甲、乙两位同学都需回答这三道题，且各题回答正确与否相互
独立．
（1）求乙同学恰好答对两道题的概率；
（2）运用你学过的知识判断，谁的得分能力更强．
20．（18 分）设椭圆 是椭圆 Γ 的左、右焦点，点在椭圆Γ上，点P（4，0）在椭圆Γ外，且 ．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）若 ，点C为椭圆Γ上横坐标大于1的一点，过点C的直线l与椭圆有且仅有
一个交点，并与直线PA，PB交于M，N两点，O为坐标原点，记△OMN，△PMN的面积分别
为S ，S ，求 的最小值．
1 2
21．（18分）设函数 ．
（1）求函数f （x）在点（1，f （1））处的切线方程；
3 3
（2）证明：对每个n∈N*，存在唯一的 ，满足f （x ）＝0；
n n
（3）证明：对于任意p∈N*，由（2）中x 构成的数列{x }满足 ．
n n
