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专题01 基本不等式及其应用
目录
一、基本不等式基础特训（精选代表性类型）.........................................................1
二、基本不等式综合应用特训（精选高考模拟题）.................................................3
三、基本不等式与数学文化.........................................................................................4
一、基本不等式基础特训（精选代表性类型）
1．（2023 秋·湖南株洲·高三株洲二中校考开学考试）已知正实数
，
，满足
，则下列不等式中
错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 秋·四川巴中·高三统考开学考试）已知
且
，则
的最小值为
（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7
3．（2023 秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考开学考试）已知
，则
的最小值为（ ）
A．6
B．
C．
D．4
4．（2023·全国·高一课堂例题）若正数x，y 满足
，则
的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
二、多选题
5．（2023 秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考开学考试）已知
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023 秋·河南·高三郑州一中校联考阶段练习）设某批产品的产量为
（单位：万件），总成本
（单位：万元），销售单价
（单位：元/件）．若该批产品全部售出，则总
利润（总利润
销售收入-总成本）最大时的产量为（ ）
1
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A．7 万件
B．8 万件
C．9 万件
D．10 万件
7．（2023 秋·广东中山·高三中山市华侨中学校考阶段练习）下列命题中的真命题有（ ）
A．当x＞1 时，
的最小值是3
B．
的最小值是2
C．当0＜x＜10 时，
的最大值是5
D．若正数x，y 为实数，若x+2y＝3xy，则2x+y 的最大值为3
8．（2023 春·云南曲靖·高二校考阶段练习）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把
“
”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“
”和“
”符号，并逐步被数学界接受，不
等号的引入对不等式的发展影响深远．下列结论不正确的是（ ）
A．当
时，
B．当
时，
的最小值是2
C．当
时，
的最小值是
D．设
，
，且
，则
的最小值是
三、填空题
9．（2023 秋·湖南株洲·高三校考阶段练习）已知实数
满足
，则
的最大值为
．
10．（2023 秋·江苏淮安·高一统考期末）已知a，b 为正实数，满足
，则
的最小
值为 ．
11．（2023·全国·高一专题练习）函数
的最小值为 ．
12．（2023·全国·高一专题练习）函数
在
上的最大值为 ．
13．（2023 春·江苏苏州·高二校考阶段练习）已知
，
，且
，则
的最小值为
.
2
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二、基本不等式综合应用特训（精选高考模拟题）
一、单选题
1．（2023·河南·校联考二模）若不等式
在
时恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）函数
的部分图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·河南·校联考模拟预测）在
中，
是
边上的点，满足
，
在线段
上（不
含端点），且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．8
4．（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）已知各项都为正数的等比数列
，满足
，若存在
两项
，
，使得
，则
最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．1
二、多选题
5．（2023·重庆·统考模拟预测）下列选项正确的是（ ）
A．
B．若正实数a，b 满足
，则
C．
的最小值为
3
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D．已知正实数a、b，若
，则
的最小值为9
三、填空题
6．（2023·全国·高一专题练习）函数
的最小值为 ．
7．（2023·全国·高一专题练习）函数
在
上的最大值为 ．
8．（2023·四川成都·校联考二模）平面向量
，
满足
，且
，则
的最小值是
．
9．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数
且
过定点
，
且定点
在直线
上，则
的最小值为 ．
10．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考模拟预测）已知函数
，其中
，若
曲线
在
处的切线斜率为1，则
的最小值为 ．
11．（2023·上海黄浦·格致中学校考三模）关于x 的不等式
的解集是
，则实数a 的
取值范围为 ．
三、基本不等式与数学文化
一、单选题
1．（2023 春·云南红河·高二开远市第一中学校校考阶段练习）公元前世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结
合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面
轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿
波罗尼斯圆.已知平面内有两点
和
，且该平面内的点P 满足
，若点P 的轨迹关
于直线
对称，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 春·陕西西安·高二校考阶段练习）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这
种方法是数学家处理问题的重要依据，很多代数公理、定理都可以根据这一原理实现证明，也称为“无字
证明”．如图，
是圆
的直径，点
为圆心，点
是线段
上的一点，且
．过点
作
垂直于
的半弦
，连接
，过点
作
垂直
于点
，则根据该图形我们可以完成的无
4
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字证明有：（ ）
①
②
③
④
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
3．（2023 春·浙江台州·高一统考期末）我国南宋数学家秦九韶，发现了三角形面积公式，即
，其中a，b，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积.若某三角形三边a，b，
c，满足
，
，则该三角形面积S 的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·全国·高三专题练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学
著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五
五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3 除余2 的正整数按照从小到大的
顺序排成一列，构成数列
，记数列
的前
项和为
，则
的最小值为（ ）
A．20
B．25
C．
D．40
二、填空题
5．（2023 春·江西九江·高二统考期末）在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特
例，其中“弦”指的是直角三角形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形，若其中一个三角形
“弦”的长度为
，则该矩形周长的最大值为 .
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