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专题1.5 基本不等式
重难点题型1 基本不等式及其应用
1．（2023·河北衡水·一模）《几何原本》卷2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数
学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为
无字证明．现有如图所示图形，点
在半圆
上，点
在直径
上，且
，设
，
，
则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】基本不等式的内容及辨析
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
基本不等式及其应用
重难点题型2
“直接法”求最值
重难点题型3
“配凑法”求最值
重难点题型4
“1”的代换求最值
重难点题型5
齐次化求最值
重难点题型6
与
、平方和、
有关问题的最值
重难点题型7
其它综合问题
【分析】利用数形结合计算出
，再在
中，利用勾股定理得
，再由
，可得结论．
【详解】设
，可得圆
的半径为
，
又由
，
在
中，可得
，
因为
，所以
，当且仅当
时取等号．
故选：D.
2．（2023·浙江·二模）数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象
而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证
明更为优雅与有条理．如下图，点
为半圆
上一点，
，垂足为
，记
，则由
可以直接证明的三角函数公式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】半角公式
【分析】根据直角三角形中的定义写出
，用
表示出
，然后分析可得．
【详解】由已知
，
，则
，
又
，
，
，
，
即
，
，
所以
.
故选：B．
3．（22-23 高三上·浙江）如图在北京召开的第24 届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家
赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.我们教材中利用该图作为
一个说法的一个几何解释，这个说法正确的是（ ）
A．如果
，
，那么
B．如果
，那么
C．对任意实数
和
，有
，当且仅当
时等号成立
D．对任意实数
和
，有
，当且仅当
时等号成立
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】基本不等式的内容及辨析
【分析】可将直角三角形的两直角边长度取作
，
，斜边为
，可得外围的正方形的面积为
，也就是
，四个阴影面积之和刚好为
，可得对任意正实数
和
，有
，即可得出．
【详解】可将直角三角形的两直角边长度取作
，
，斜边为
，
则外围的正方形的面积为
，也就是
，四个阴影面积之和刚好为
，
对任意正实数
和
，有
，当且仅当
时等号成立．
故选：
．
【点睛】本题考查了基本不等式的性质、正方形的面积计算公式，考查了推理能力，属于基础题．
4．（2023·上海奉贤·二模）已知两个正数
，
的几何平均值为1，则
的最小值为 ．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的内容及辨析
【分析】由几何平均值的定义得到
，利用基本不等式求解即可.
【详解】由题意得
，即
，故
，当且仅当
时，等号成立，
故答案为：2
5．（2017·天津河东·二模）已知
，
，且
，则
的最小值是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本（均值）不等式求最值、基本不等式（均值定理）
【详解】因为
，所以
，即
，所以
，应填答案
．
点睛：本题旨在考查基本不等式的灵活运用，求解时先运用基本不等式
，即
，进
而得到
，从而获得答案．运用基本不等式的三个条件是“正”＼“定”＼“等”缺一不可，这是运
用基本不等式的前提．
重难点题型2 “直接法”求最值
1．（24-25 高一上·云南昭通·期中）若正实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值
【分析】利用基本不等式将方程化成
，取
求解关于的一元二次不等式即
得.
【详解】
正实数
满足
，又
，则
，当且仅当
时
取等号，
设
则
，代入整理可得
，解得
或
，
因
，故
，故当
时，
取得最小值为2.
故选：B.
2．（2025·云南昆明·模拟预测）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】条件等式求最值、解不含参数的一元二次不等式
【分析】利用基本不等式转化为一元二次不等式即可求解．
【详解】由题意可知
，当
时等号成立，
即
，
令
，则
解得
或
舍
即
，
当且仅当
时，等号成立．
故选：C.
3．（2025·广东汕头·模拟预测）已知
，
为
和
的等差中项，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】等差中项的应用、基本不等式求和的最小值
【分析】根据条件得到
，从而有
，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】由题知
，得到
，
所以
，
当且仅当
，即
时，取等号.
故选：D.
4．（2025·福建漳州·模拟预测）（多选题）已知正实数x，y 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙
用求最值
【分析】对于A，由基本不等式建立不等式，可得其正误；对于B，由等量关系可得函数解析式，根据二
次函数的性质，可得其正误；对于C，利用基本不等式隐藏“1”的妙用，可得其正误；对于D，由等量关
系可得函数解析式，利用基本不等式，可得其正误.
【详解】对于A，
，当且仅当
，等号成立，则
，故A 正确；
对于B，由
，则
，由
，则
，
所以
，故B 错误；
对于C，
，当且仅当
，等号成立，故C 正确；
对于D，由B 易知
，当且仅当
，等号成立，则
，故D 正确.
故选：ACD.
5．（2025·安徽淮北·二模）若实数
和
的等差中项为1，则
的最小值为 .
【答案】2
【难度】0.65
【知识点】等差中项的应用、基本不等式求和的最小值
【分析】利用等差中项性质，结合基本不等式可求得的最小值.
【详解】若实数
和
的等差中项为1，则
，
，即
，
即
，当且仅当
取等号.
故
的最小值为2.
故答案为：2.
6．（24-25 高三上·江西萍乡·期中）已知正数
满足
，则
的最小值为 .
【答案】12
【难度】0.94
【知识点】条件等式求最值
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】因为
，所以
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，所以
的最小值为12.
故答案为：12.
7．（2023·河北·高三学业考试）若，
，且
，则
的最大值为______．
【答案】
【解析】由题知，，
，且
因为
，
所以
，
所以
，即
，
当且仅当
，即
时，取等号，
故答案为：
重难点题型3 “配凑法”求最值
1．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．
D．6
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.
【详解】由
，得
，
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为3.
故选：A
2．（2025·辽宁·模拟预测）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】变形应用基本不等式求解即可.
【详解】由
，得
，
又
，
当且仅当
，即
时等号成立.
故选：A.
3．（2025·四川德阳·二模）若
，则函数
的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】利用基本不等式可得答案.
【详解】若
，则
，
所以函数
，
当且仅当
即
时等号成立.
故选：C.
4．（2025·河北石家庄·一模）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】利用基本不等式来求得正确答案.
【详解】
，
，
当且仅当
时等号成立
故选：D
5．（2025·重庆·模拟预测）若
，且
，则
的最小值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】利用已知条件构造
，利用乘“1”法及基本不等式计算可得；
【详解】由
，可知
，
，
所以
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
．
故答案为：
6．（2025·福建·模拟预测）已知
，则
的最小值为 .
【答案】9
【难度】0.85
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】先设
，再用基本不等式即可求得结果.
【详解】设
，
则
．
（当且仅当
,即
时，即
取“＝”）
故答案为：9
重难点题型4 “1”的代换求最值
1．（2025·河北·三模）已知
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．9
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求出最小值.
【详解】由
，得
，
当且仅当
时取等号得出最小值4，
故选：C.
2．（2025·山东济南·二模）若随机变量
，且
，则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、根据正态曲线的对称性求参数
【分析】由正态分布的对称性有
，再应用“1”的代换和基本不等式求目标式的最小值.
【详解】由题设
，则
，
当且仅当
时取等号，即
的最小值为1.
故选：C
3．（2025·广西·三模）在公差不为0 的等差数列
中，若
是
与
的等差中项，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】等差中项的应用、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】由已知可得
，再根据
，利用基本不等式即可求解.
【详解】因为在公差不为0 的等差数列
中，
是
与
的等差中项，
所以
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，
所以
的最小值为
.
故选：
.
4．（2025·山东日照·一模）点
在直线
上，且
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】由题意求得
，再利用常值代换法和基本不等式即可求得最小值.
【详解】因为点
在直线
上，可得
.
则
因
，则
，当且仅当
时等号成立.
即当
时，
取得最小值为.
故选：C.
5．（2025·重庆·模拟预测）若
，且
，则
的最小值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】利用已知条件构造
，利用乘“1”法及基本不等式计算可得；
【详解】由
，可知
，
，
所以
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
．
故答案为：
6．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知
，
，
，则
的最小值为 ．
【答案】
/
【难度】0.85
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】利用代换1 法,结合基本不等式求最小值即可.
【详解】由题意得
，
当且仅当
时，即
时取等号.
故答案为：
.
7．（24-25 高一下·贵州遵义·阶段练习）
中，
为边
的中点，
为中线
上的一点（不包含端
点），且
，则
的最小值为 .
【答案】
/
【难度】0.65
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、平面向量共线定理的推论
【分析】根据题意可知
，然后根据
三点共线得出
，再通过
基本不等式求解即可.
【详解】如下图所示：
因为
，
为边
的中点，所以
，
又
三点共线，所以
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
因此
的最小值为
.
故答案为：
.
8．（21-22 高一下·河北邢台·阶段练习）已知向量
，若
，则
的
最小值为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、平面向量线性运算的坐标表示
【分析】根据向量平行的坐标表示得
，利用常数代换和基本不等式可得.
【详解】因为
，所以
，
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立.
故答案为：
重难点题型5 齐次化求最值
1．（2025·河南·模拟预测）若
，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】条件等式求最值
【分析】对目标式合理变形，再利用基本不等式求解即可．
【详解】因为
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号.
故选：B.
2．（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数
，
，满足
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值
【分析】设令
，故
，
，变形得到
，由基
本不等式“1”的代换求出
的最小值，从而得到答案.
【详解】正数
，
，满足
，故
，
令
，故
，
，
，
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立，
故
.
故选：D
3．（2024·四川德阳·模拟预测）已知
，
，
，
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】结合条件可得
，展开等式右侧，结合基本不等
式求其最小值即可.
【详解】因为
，所以
，
所以
所以
，
又
，当且仅当
时等号成立，
，当且仅当
时等号成立，
，当且仅当
时等号成立，
所以
，当且仅当
，
，
时等号成立，
所以
的最小值为
，
故选：A.
4．（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数
，
满足
，则
的最小值是 ．
【答案】
/0.25
【难度】0.65
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】方法一，利用换元法，然后根据基本不等式“1”的妙用求解.方法二，直接根据基本不等式“1”的
妙用求解.
【详解】方法一
设
，
，则
，
，
，
当且仅当
，
，即
，
时取等号，
．
方法二
，
，
，
当且仅当
，
时取等号，
．
故答案为：
5．（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知
，且
，则
的最小值是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值
【分析】利用代换1 法来，结合基本不等式，即可求解.
【详解】设
，由对应系数相等得
，
解得
所以
，整理得
，
即
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
的最小值是
.
故答案为：
.
6．（24-25 高一上·山西大同·阶段练习）已知
，
，且
，则
的最大值为
.
【答案】
/0.125
【难度】0.65
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值
【分析】由已知条件，
可变形为
，利用基本不等式求出
的最小值，可得
的
最大值.
【详解】已知
，
，且
，
则
，
，
当且仅当
，即
时等号成立，
则有
，
，所以
的最大值为
.
故答案为：
.
重难点题型6 与
、平方和、
有关问题的最值
1．（2024·四川攀枝花·一模）（多选题）已知实数
，且满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】对数的运算、由已知条件判断所给不等式是否正确、由基本不等式比较大小
【分析】根据不等式的性质，以及基本不等式，即可判断选项.
【详解】A.由条件可知，
，则
，故A 正确；
B.
，当且仅当
时等号成立，故B 正确；
C.
，当
时等号成立，故C 错误；
D.因为
，
，故D 正确.
故选：ABD
2．（2025·安徽·模拟预测）（多选题）已知
，
均为正数且
，则下列不等式正确的有
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【难度】0.65
【知识点】对数的运算性质的应用、由已知条件判断所给不等式是否正确、基本不等式求和的最小值
【分析】先根据原式化简得
，则ABC 选项可直接判断；由对数的运算性质结合基本不等式即可判
断D.
【详解】由
，
因为
，
均为正数，所以
，
，故A 错误；
由上知
，
，所以
，
，所以
，故B 正确；
，
，所以
，故C 错误；
，
当且仅当
，
时，等号成立，故D 正确.
故选：BD.
3．（2025·江西上饶·二模）（多选题）若正实数
满足
，则（ ）
A．
的最大值是
B．
的最小值是9
C．
的最大值是
D．
的最小值是
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】求二次函数的值域或最值、基本不等式求积的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】利用基本不等式求积的最大值判断AC；利用“1”的妙用求出最小值判断B；消元利用二次函数求
出最小值判断D.
【详解】对于A，
，当且仅当
时取等号，A 正确；
对于B，
，当且仅当
时取等号，B 正确；
对于C，
，当且仅当
时取等号，C 正确；
对于D，
，则
，
当且仅当
时取等号，D 错误.
故选：ABC
4．（多选题）（2023·重庆·统考模拟预测）若实数，满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】
,
当
时，
，当且仅当
或
时等号成立，得
，
当
时，
，当且仅当
或
时等
号成立，得
，
当
时，由
可得
或
综合可得
，故C 正确，D 错误；
，
当
时，
，故A 错误，B 正确；
故选：BC.
重难点题型7 其它综合问题
1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】基本不等式求积的最大值、条件等式求最值
【分析】对
进行变形，结合
，运用基本不等式计算即可.
【详解】
,
由于
，
当且仅当
，即
取等号.
则
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键是对
进行变形，然后结合
进行配凑放缩，即
可求出最值.
2．（2023·江西·二模）实数
，
，满足：
，则
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】高次不等式、条件等式求最值
【分析】用立方和公式和完全平方公式将
用
与
表示，再分离出
，使用基本不等式求解即
可.
【详解】∵
，∴
，
∴
，∴
，
∴
，
∵
，
，令
，则
易知
与
均不为
且符号相同，∴
，解得
或
.
（此时，可通过验证
时，
满足题意，
，结合选项确定选项D 正确.）
又∵
，
，
，
，
∴由基本不等式，
，当且仅当
时，等号成立，
∴
，
又∵
，
∴
，（当
时，
），
∴解得
，即
，当且仅当
时，等号成立.
∴综上所述，
的取值范围是
.
故选：D.
【点睛】易错点睛：本题若忽视
中的
与
同号，直接使用基本不等式求解，就容
易错解，而优先考虑
与
同号，并结合选项进行特值验证，则可以很轻松的选出正确选项.
3．（2024·河北秦皇岛·三模）设
，则
的最大值为 .
【答案】2
【难度】0.4
【知识点】基本不等式求积的最大值、基本（均值）不等式的应用
【分析】设
，利用基本不等式得到
，再将右式配凑成
的倍数，从而得解.
【详解】设
，则
，
，
当且仅当
，
时，等号成立，
故
.
令
，解得
，
，
所以
，当
，
时，等号成立.
故答案为：2.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用基本不等式，配凑出一个定值出来，从而得解.
4．（24-25 高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知
，
，且
，若
的最小
值为3，则
.
【答案】8
【难度】0.4
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】根据题意整理可得
，利用基本不等式可得
，结合题意可得
，运算求解即可.
【详解】因为
，则
，
又因为
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
即
，由题意可知：
，解得
.
故答案为：8.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是根据
整理可得
，结合基本不等式运算求解即可.
