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专题7.1 空间几何体的结构、表面积与体积
重难点题型1 空间几何体的结构特征
1．（2025·江苏南通·模拟预测）过正方体
的中心作与
垂直的平面
，则平面
截正方
体
所得的截面是（ ）
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．六边形
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】判断正方体的截面形状
【分析】证明线面垂直作出图判断截面图形即可.
【详解】
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
空间几何体的结构特征
重难点题型2
空间几何体的表面积
重难点题型3
空间几何体的体积
重难点题型4
直观图
重难点题型5
展开图
重难点题型6
最短路径
在正方体中，
平面
，
平面
，所以
，
又在正方形
中，
，
，所以
平面
，
平面
，所以
，
由于
分别为
的中点，所以
，
故
，同理
，
，所以
平面
，
且平面
过正方体
的中心
，
故选：D
2．（2025·内蒙古包头·模拟预测）如图，正方体
的棱长为2，
分别是棱
的中
点，点
是底面
内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A．不存在点
，使得
平面
B．过
三点的平面截正方体所得截面图形是五边形
C．三棱锥
的体积为4
D．三棱锥
的外接球表面积为
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】判断正方体的截面形状、多面体与球体内切外接问题、锥体体积的有关计算、证明线面平行
【分析】对于A，找到
中点为点
，易得
平面
，排除A 项；对于B，作出截面并判断形状
即可排除；对于C，利用等体积法转化，结合三棱锥体积公式即可判断；对于D，根据三棱锥的墙角模型，
将其补形成长方体，从而将三棱锥的外接球转化成对应长方体的外接球来求解.
【详解】对于A，当
为
中点时，由三角形中位线定理可得
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
．故A 错误；
对于B，由中位线可得
，在正方体中，易证
，所以
，
即
就是一条截线，连
，得截面
，又因
，所以截面
为梯形，故B 错误；
对于C，点
到平面
的距离为2，
故
，故C 错误；
对于D，因
两两垂直，
则三棱锥
的外接球可以补形成以这三边长为长、宽、高的长方体的外接球，
则外接球半径
即该长方体的体对角线的一半，即
，
故其表面积
，故D 正确．
故选：D.
3．（2025·海南·模拟预测）（多选题）如图所示，正方体
的棱长为2，点
为侧面
内的一个动点（含边界），点
分别是线段
、
、
的中点，则下列结论正确的是
（ ）
A．直线
平面
B．平面
截正方体所得的截面面积为
C．
的最小值为
D．若
，则点
的运动轨迹长度为
【答案】AC
【难度】0.4
【知识点】证明线面平行、立体几何中的轨迹问题、判断正方体的截面形状、空间向量数量积的应用
【分析】对于A,利用线面平行的判定定理，证明
平行于平面
内的一条线即可；对于B，判断截面
为等腰梯形，然后利用梯形的面积公式求解即可；对于C，建立空间直角坐标系，设
点坐标，将
表示出来，利用二次函数求最值即可；对于D，利用
确定点
的轨迹方程，然后利用两点距离
公式求长度即可.
【详解】对于A，连接
,
因为点
分别是线段
、
的中点，
所以
，所以
平面
，
点
分别是线段
、
的中点，故
,
故四边形
为平行四边形，所以
且
平面
，
故直线
平面
，故A 正确；
对于B，由A 选项可知，平面
截正方体所得的截面为梯形
且由正方体可知，
,
故梯形
的高
,
故梯形
的面积
,故B 错误；
对于C，以
为原点，分别以
为
轴，
轴，
轴建空间直角坐标系，
则
,
点
为侧面
内的一个动点（含边界），故设
所以
，
所以
，
当
时，即
时，等号成立，故C 正确；
对于D，
，若
，
则
，即
，
因为
故当
时，
此时
，
当
时，
此时
，
故点
的运动轨迹为从点
到点
的一条线段，轨迹长度为
，故D 错误.
故选：AC
4．（2025·山东·模拟预测）（多选题）在棱长为3 的正四面体
中，已知点
分别在线段
上运动（不含端点），则（ ）
A．
两点距离的最小值为
B．直线
与直线
有可能平行
C．当
最小时，以线段
为直径的球与正四面体的棱恰有6 个公共点
D．当
最小时，与
垂直的平面截正四面体得到的截面为矩形
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】棱锥的结构特征和分类、棱锥中截面的有关计算、直线与球、平面与球的位置关系
【分析】根据题意可把正四面体放入正方体中，易得当
分别为
的中点时，
两点距离的
最小，最小值为正方体边长，可判断A 正确；根据
平面
，可确定直线
与直线
是异面
直线，可判断B 错误；
最小时，以线段
为直径的球与正四面体的各棱相切，所以恰有6 个交点，
可判断C 正确；截面与正方体左右侧面平行，然后可证其是矩形，可判断D 正确.
【详解】根据题意可把正四面体放入正方体中，正四面体
棱长为3，所以正方体边长为
，
分别在线段
上，
当
分别为
的中点时，
两点距离的最小，最小值为
，故A 正确；
平面
，
平面
，
直线
与直线
异面，故B 错误；
当
最小时，
分别为
的中点，最小值为
，
所以以线段
为直径的球球心为
中点，也是正方体的中心位置，
设
分别为
中点，
在正方体中，
，
故球与正四面体各棱相切，即与正四面体只有6 个公共点，故C 正确；
当
最小时，
分别为
的中点，此时
与正方体左右侧面垂直，
所以截面与正方体左右侧面平行，设截面为
，
平面
，
平面
，平面
平面平面
，
，同理可证
，即
，
同理可证
，所以截面
为平行四边形，
又在正方体中
，
，
，所以
，
即截面
为矩形，故D 正确；
故选：ACD.
5．（2025·陕西安康·模拟预测）（多选题）如图，已知正方体
的外接球表面积为
，点
M 为线段BC 的中点，则（ ）
A．正方体
的棱切球（球与正方体的棱均相切）表面积为
B．
平面
C．在该正方体的8 个顶点中任选4 个构造一个三棱锥，则该三棱锥体积的最大值为
D．平面
截正方体
所得的截面的面积为
【答案】BCD
【难度】0.4
【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、判断正方体的截面形状、判断线面平行
【分析】先由外接球的表面积计算正方体的棱长
，由面对角线为棱切球的直径即可求得棱切球的半径，
进而得表面积，连接
交
于
，连接
，即证
，由线面平行判断定理即可判断，求当底
面为正方体一个面的一半，高为棱长时，三棱锥的体积，再求当底面为正方体面对角线时，高为
时，三棱锥的体积，比较体积最大即可判断C，先求平面
截正方体
所得的截面即可
求解.
【详解】设正方体的棱长为
，由正方体的外接球的表面积为
，所以
，
解得
，又
，
对于A：设正方体
的棱切球的半径为，
所以
，所以棱切球的表面积为
，故A 错误；
对于B：连接
交
于
，连接
，在正方体
中，
为
的中点，又M 为线段BC
的中点，
所以
，又
不在平面
内，
平面
，所以
平面
，故B 正确；
对于C：这样的三棱锥有两类：有3 个顶点在正方体的一个面内，体积为
，
三棱锥任意3 个顶点不在正方体的同一面内，体积为
，因此三棱锥的体积最大为
，C 正确；
对于D：取
的中点为
，连接
，取
的中点为
，连接
，由
且
所以四边形
平行四边形，所以
，又
且
，所以四边形
为平行
四边形，
所以
，所以
，所以平面
为平面
截正方体
所得的截面，
又正方体的棱长为2，所以
,所以四边形
为菱形，
又
，所以四边形
的面积为
，故D 正确，
故选：BCD.
重难点题型2 空间几何体的表面积
1．（2025·山东临沂·三模）一圆台的上、下底面半径分别为2、4，体积为
，则该圆台的侧面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】圆台表面积的有关计算、台体体积的有关计算
【分析】利用圆台体积公式可得其高为，即可知母线长，利用侧面展开图面积求出圆台的侧面积.
【详解】根据题意可知，圆台上底面面积为
，下底面面积为
；
设圆台的高为，由体积可得
，
解得
，所以可得圆台母线长为
，
根据侧面展开图可得圆台侧面积为
.
故选：C
2．（2025·江西·模拟预测）任意一圆锥的表面积与其侧面积之比的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】圆锥表面积的有关计算
【分析】根据题意，设圆锥的底面圆半径和母线长分别为r，l，求出表面积和侧面积，列式运算得解.
【详解】设某圆锥的底面圆半径和母线长分别为r，l，
则其表面积与其侧面积之比为
，
在直角三角形中，易得
，故其取值范围为
.
故选：D．
3．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知一个等腰梯形的下底边长是上底边长的3 倍，两腰与下底边所成角为
，面积为
．若该等腰梯形是一个圆台的轴截面，则该圆台的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】圆台表面积的有关计算、圆台的结构特征辨析
【分析】由题意得
．设等腰梯形ABCD 的上、下底边长分别为a，
，
，分
别过点D，A 作
，垂足分别为点G，F，判断四边形ADGF 为矩形，且
，
再根据腰与底边的角度，求圆台的侧面积.
【详解】如图，由题意得
．
设等腰梯形ABCD 的上、下底边长分别为a，
，
，即
．
分别过点D，A 作
，垂足分别为点G，F，
因为
，则四边形ADGF 为矩形，且
，所以
．
在
中，
，
，
则等腰梯形的面积
，解得
，
则圆台的上、下底面的半径分别为
，母线长为
，
所以圆台的侧面积为
．
故选：A．
4．（2025·河北邢台·三模）在平面直角坐标系中，点
，
与
关于原点
对称，现以
轴为折痕，
将
轴下方部分翻折，使其与上方部分构成直二面角，
两点相应变成
，
两点，将
绕直线
旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、余弦定理解三角形
【分析】先判断
的形状，将其绕直线
旋转一周得到的旋转体为两个同底面且等高的圆锥组合体，
计算该旋转体内切球的半径即可求解.
【详解】由题可知
，所以
，由翻折的不变性可知
，翻折后的图形如图
所示，
设点
在
轴上的投影为
，易知
平面
，
连接
，
，所以
.点
在
轴上的投影为
，
在
中，由勾股定理得
，
所以在
中，易得
，
在
中，由余弦定理得，
，
即
，解得
，所以
.
所以
是一个顶角为
，腰长为
的等腰三角形，
将其绕直线
旋转一周得到的旋转体为两个同底面且等高的圆锥组合体，
其轴截面如图所示，
则在该轴截面中
和
为边长为
的等边三角形，
则该旋转体内切球的半径即为菱形
内切圆的半径，
由等面积法可得
，
即
，解得
，
因此该旋转体内切球的表面积为
.
故选：C.
5．（2025·陕西汉中·三模）如图，将棱长为2 的正方体六个面的中心连线，可得到八面体
，
则该八面体的表面积为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】棱锥表面积的有关计算
【分析】八面体
是由八个边长为
的等边三角形所组成的，结合等边三角形的面
积公式即可求解.
【详解】由题意八面体
是由八个边长为
的等边三角形所组成的，
故所求为
.
故答案为：
.
重难点题型3 空间几何体的体积
1．（2025·北京·模拟预测）如图，正四棱台
，上下底面的中心分别为
和
，若
，侧面与底面所成锐二面角的正切值为
，则正四棱台
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】台体体积的有关计算、由二面角大小求线段长度或距离
【分析】在正四棱台中利用定义找出侧面与底面所成锐二面角，根据其正切值可计算棱台的高，再利用棱
台的体积公式即可求.
【详解】取
、
的中点
、
，连接
、
、
，
则由题意可知
为侧面与底面所成锐二面角，则
，
，得
，
，
在直角梯形
中，
，则
，
则正四棱台的体积为
.
故选：A.
2．（2025·湖北武汉·三模）如图，如图1 的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2 的方斗杯，其形状
是一个上大下小的正四棱台，
，
，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的
时，
水的体积为84，则该方斗杯可盛水的总体积为（ ）
A．112
B．
C．
D．496
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】台体体积的有关计算
【分析】根据已知条件结合台体体积公式计算求解即可.
【详解】设水面与棱台的四条侧棱分别相交于
，
过
作
交
于点E，交
于点
，如下图所示：
易知四边形
为等腰梯形，则四边形
为平行四边形，
因为水面的高度是方斗杯高度的
，则
，因此
，
设棱台
的高为，设体积为V，
则棱台
的高为
，设体积为
，
则
所以
，由题意，
，
则该方斗杯可盛水的总体积为
故选：B.
3．（2025·重庆·模拟预测）高为2 的圆锥的侧面展开图是圆心角为
的扇形，则此圆锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】锥体体积的有关计算、弧长的有关计算
【分析】利用圆锥的底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，以及圆锥的高、底面圆的半径、母线之间
的关系列出方程组求出底面半径和弧长，利用圆锥的体积公式进行求解.
【详解】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，高为，体积为
，侧面展开图扇形的圆心角为
，
则根据题意可知
，
，
所以
，即
，解得
，
，
所以圆锥的体积为
.
故选：B.
4．（2025·福建莆田·模拟预测）在三棱柱
中，
为
的中点，平面
将三棱柱分成体积
为
，
两部分，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算、面面平行证明线线平行
【分析】根据割补法及棱台、棱柱的体积公式即可求解.
【详解】由题可知
，
，
，
四点共面.
在三棱柱
中，∵平面
平面
，平面
平面
，平面
平面
，
∴
，∴
.
∵
为
的中点，∴
为
的中点.
延长
至点
使
，延长
至点
使
，延长
至点
使
，连接
，
，
，得到三棱柱
.延长
，
.
在三棱柱
中，∵
，
分别为
，
的中点，∴
，
相交于点
，∴多面体
为三棱台.
设三棱柱
的高为，上下底面面积均为，体积为
，则
.
∵
，
分别为
，
的中点，∴
.
根据棱台的体积公式可知
，
，
∴
.
故选：D
5．（2025·北京大兴·三模）《九章算术》是我国古代的一部数学名著，书中记载了一类名为“羡除”的五
面体．如图，在羡除
中，底面
是正方形，
∥平面
，
，其余棱长都为，
则这个几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】锥体体积的有关计算、求组合体的体积
【分析】连接
交于点
,取
的中点为
,则
平面
,取
的中点为
,连接
,则
, 过
作
,则
平面
,进而求解体积.
【详解】连接
交于点
,取
的中点为
,则
平面
,
由
其余棱长都为，所以
取
的中点为
,连接
,则
, 过
作
,
则
平面
,如图所示，由题意可知，
,则
,
所以
,
所以
.
故选：D
6．（2025·陕西延安·模拟预测）已知正四棱台
中，侧棱与底面所成的角为
，
，则该四棱台的体积为 ．
【答案】
/
【难度】0.85
【知识点】台体体积的有关计算
【分析】首先求棱台的高，再代入体积公式，即可求解.
【详解】由条件可知，上下底面对角线长为2 和4，因为侧棱与底面所成角为
，
所以高为
，则四棱台的体积
.
故答案为：
7．（24-25 高一下·北京丰台·期中）如图，一个直三棱柱容器中盛有水，侧棱
．若侧面
水平
放置时，水面恰好过
的三等分点（靠近
和
），此时容器中的水形成的几何体为
（填“棱柱”或“棱台”）．当底面
水平放置时，水面高为 ．
【答案】 棱柱
【难度】0.85
【知识点】棱柱的结构特征和分类、柱体体积的有关计算
【分析】根据棱柱的定义判断容器中的水形成的几何体为棱柱；不同放置方式水的体积相等，结合柱体的
体积公式求解即可.
【详解】当侧面
水平放置时，由于水面恰好过
的三等分点，
此时平面
平面
，其余各面都是平行四边形，
且每相邻四边形的公共边互相平行，所以容器中的水形成的几何体为棱柱；
设当底面
水平放置时，液面高度为，
依题意，侧面
水平放置时，液面恰好过
的三等分点处，
，
所以水的体积
，解得
.
故答案为：棱柱；
重难点题型4 直观图
1．（2025·四川成都·模拟预测）用斜二测画法画出的水平放置的平面图形
的直观图为如图所示的
，已知
是边长为2 的等边三角形，则顶点
到
轴的距离是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算
【分析】利用斜二测画法推导出原图形
，根据边角关系求解.
【详解】如图①中，过
作
平行
轴，交
轴于点
，
如图②，在平面直角坐标系
中，在
轴上取
，
过点
作
平行
轴，取
，连接
，则
即原图形.
故
为
到
轴距离，设
则
.
在①中过
作
垂直
轴，且交
轴于
，
则
，
，即
，解得
.
故答案为：
.
2．（2023·辽宁锦州·模拟预测）已知用斜二测画法画梯形OABC 的直观图
如图所示，
，
，
，
轴，
，
为
的三等分点，则四边形OABC 绕y 轴旋转一周
形成的空间几何体的体积为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】斜二测画法中有关量的计算、求组合体的体积
【分析】先由直观图还原梯形
，再利用斜二测画法的性质求得其边与高，从而判断得该梯形为等腰
梯形，进而利用圆台与圆锥的体积公式求解即可.
【详解】在直观图中，
，所以在还原图中，
，如图，
在直观图中，
，
为
的三等分点，
所以在还原图中，
，D 为OA 的三等分点，
又在直观图中，
轴，
所以在还原图中，
轴，则
，
所以
，则
，
故
，
，所以四边形OABC 是等腰梯形，
所以四边形OABC 绕y 轴旋转一周所形成的空间几何体的体积等于一个圆台的体积减去一个圆锥的体积，
即
．
故答案为：
.
3．（24-25 高三下·重庆·阶段练习）已知正三棱锥的体积为
，其底面三角形的斜二测直观图面积为
，
则三棱锥的高为（ ）
A．2
B．
C．1
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】斜二测画法中有关量的计算、锥体体积的有关计算
【分析】利用直观图和原图面积关系求出底面积，结合正三棱锥体积公式建立方程，求解高即可.
【详解】设底面三角形面积为，三棱锥的高为，
由直观图的性质得
，解得
，
因为正三棱锥的体积为
，所以
，解得
，故A 正确.
故选：A
4．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知正三棱锥的高为
，其底面三角形的斜二测直观图面积为
，则三
棱锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】锥体体积的有关计算、斜二测画法中有关量的计算
【分析】根据三棱锥底面三角形的斜二测直观图面积，求出底面边长，利用三棱锥体积公式，即可求得答
案.
【详解】正三棱锥的底面为正三角形，设其边长为a，底面三角形的斜二测直观图如图示：
则
，解得
（舍去负值），
则正三棱锥的底面积为
，
故三棱锥的体积为
，
故选：A
5．（2025·陕西西安·二模）（多选题）如图，四边形
的斜二测画法的直观图为等腰梯形
，
已知
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．四边形
的面积为
D．四边形
的周长为
【答案】BC
【难度】0.85
【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算
【分析】A 选项，作出辅助线，得到各边长，结合
，求出
；B 选项，由斜二测法可
知
；C 选项，作出原图形，求出各边，由梯形面积公式得到C 正确；D 选项，在C 基础上，求
出各边长，得到周长.
【详解】A 选项，过点
作
⊥
轴于点
，
因为等腰梯形
中
，
，
所以
，
又
，所以
，A 错误；
B 选项，由斜二测法可知
，B 正确；
C 选项，作出原图形，可知
，
，
，
⊥
，
故四边形
的面积为
，C 正确；
D 选项，过点
作
⊥
于点
，
则
，
由勾股定理得
，
四边形
的周长为
，D 错误.
故选：BC
重难点题型5 展开图
1．（2025·辽宁·三模）（多选题）有一张长方形的纸（如图所示），现可任意沿虚线将其剪开或折叠（不
将纸剪断），可以得到的图形的直观图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】斜二测法画平面图形的直观图
【分析】根据立体图形直观图的斜二测画法，分别判断各选项正误.
【详解】
A 项沿着
和
竖线剪开，沿中间线上翻得到.
B 项
和
线剪开，
和
线剪开，沿中间线上翻得到.
C 项四边形
和四边形
都被剪了，四边形
和四边形
位置冲突，所以不可能得到.
D 项沿
和
剪开，沿中间线上翻，再沿
线剪开，沿中间线下翻得到.
故选：ABD.
2．如图为正方体的平面展开图，则图中的
在原正方体中互为异面直线的对数为（ ）
A．1
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】异面直线的判定
【分析】首先画出正方体，根据异面直线的定义，正方体中判断.
【详解】如图，
和
，
和
，
和
都是异面直线，有3 对.
故选：B
3．如图，圆台
的侧面展开图扇环的圆心角为
，其中
，则该圆台的高为（ ）
A．
B．
C．1
D．4
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】圆台的结构特征辨析
【分析】利用扇形的弧长公式，结合已知条件，求出圆台上、下底面圆的半径
和
的长，再结合圆
台的几何结构特征，即可求得圆台的高.
【详解】因为圆台
的侧面展开图扇环的圆心角为
，
所以在圆锥
中，可得
，所以
，
又在圆锥
中，可得
，所以
，
所以该圆台的高为
.
故选：A.
4．（2024·安徽·模拟预测）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，
①
与
平行；
②
与
是异面直线；
③
与
成
角；
④
与
垂直．
以上四个结论中，正确结论的序号是（ ）
A．①②③
B．②④
C．③④
D．①③④
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】异面直线的判定、求异面直线所成的角
【分析】由正方体的平面展开图复原可以直接判断.
【详解】由正方体的平面展开图复原得空间正方体如图所示:
由图可知:①
和
是异面直线，故不对；②
和
是平行直线，故不对；
③
和
平行，
与
的夹角是
，故
与
所成的角也是
，故正确；
④
与
是异面垂直，正确；所以正确的序号为③④.
故选：C.
5．如图所示，是一个正方体的表面展开图，则图中“九”在正方体中的对面是（ ）
A．县
B．市
C．联
D．考
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题
【分析】把正方体还原求解.
【详解】解：把正方体还原如下图：
则上面是九，下面是市，左面是县，右面是联，前面是考，后面是区，
6．（2025·河北·模拟预测）已知一个圆台母线长为3，侧面展开图是一个面积为
的半圆形扇环（如图
所示），在该圆台内能放入一个可以自由转动的正四面体（圆台表面厚度忽略不计），则该正四面体体积
的最大值为 ．
【答案】
【难度】0.4
【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、圆台表面积的有关计算
【分析】由题中条件可求得圆台的侧面展开图半圆形扇环的内圆半径为
，外圆半径为
，进而可
求圆台上、下底面圆半径
.还台为锥，设上、下底面圆心为
，分析可求得圆台的高.通过比
较圆锥的内切圆直径与圆台的高的大小可知：圆锥内切球即圆台内能放入的最大的球，其半径为
.设
正四面体的棱长为
，外接球半径为
，求出正四面体的外接球半径为
，让其等于圆锥的内切球半径
即可求解.
【详解】设圆台的侧面展开图半圆形扇环的内圆半径为
，外圆半径为
，
则
，化简得
.
又圆台母线长为，所以
，
联立
，解得
，
.
设圆台上、下底面圆半径分别为
，则
，
，解得
.
如图1，还台为锥，设上、下底面圆心为
，
在
中，
.
又
为锐角，所以
.
由相似性可知，圆台的轴截面等腰梯形的底角为
，
故圆台的高
.
如图2，圆锥轴截面
为正三角形，
则正三角形的内切圆半径即圆锥内切球半径长为
.
因为正三角形内切圆直径
，
故圆锥内切球即圆台内能放入的最大的球，其半径为
.
设正四面体的棱长为
，外接球半径为
，则在正四面体
中，
可知点
为底面
的中心，由正弦定理可求得
，
正四面体
的高为
，
在
中，
，即
，解得
.
正四面体
的外接球半径为
，
所以
，解得
，
此时正四面体的体积最大，体积为
.
故答案为：
.
：B
7．（多选）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形
为正方形，
，
，
，
分别为
，
，
，
的中点，在此几何体中，下列结论正确的是（ ）
A．平面
平面
B．平面
C．平面
D．平面
平面
【答案】ABC
【难度】0.85
【知识点】判断线面平行、判断面面平行
【分析】根据面面平行，线面平行的判定定理逐个进行判断即可.
【详解】
如图所示，把平面展开图还原为四棱锥，
对于A：由
，
平面
，
平面
，
平面
，
又
，同理可证
平面
，又
，
，
平面
，
所以，平面
平面
，故A 正确；
对于B： 因为
，
平面
，
平面
，所以平面
．
故B 正确；
对于C：因为
，
平面
，
平面
，所以平面
．
故C 正确；
对于D：由平面
与平面
有公共点
，故平面
与平面
不平行，故D 不正确；
故选：ABC.
重难点题型6 最短路径问题
1．如图，一个矩形边长为1 和4，绕它的长为
的边旋转二周后所得如图的一开口容器（下表面密封），
是
中点，现有一只妈蚁位于外壁
处，内壁
处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点
处取得米粒，则它所需经过的最短路程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】依题意可得圆柱的底面半径
，高
将圆柱的侧面（一半）展开后得矩形
，其中
，
，
问题转化为在
上找一点
，使
最短，
作
关于
的对称点
，连接
，令
与
交于点
，
则得
的最小值就是为
．
故选：A
2．如图所示，在正三棱柱
中，
，
，由顶点
沿棱柱侧面(经过棱
)到达顶点
，与
的交点记为
，则从点
经点
到
的最短路线长为（ ）
A．
B．
C．4
D．
【答案】B
【解析】如图，沿侧棱
将正三棱柱的侧面展开
由侧面展开图可知，当
，
，
三点共线时，从点
经点
到
的路线最短．
所以最短路线长为
.
故选：B.
3．（24-25 高三下·河南·周测）如图，正四面体
的棱长均为2，
是棱
的中点，
是棱
上
一动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】余弦定理解三角形、正棱锥及其有关计算
【分析】将
与
展开至位于同一平面内，利用余弦定理求解即可.
【详解】将
与
展开至位于同一平面内且位于直线
的两侧，连接
，与
交于点
，
则此时
最小.
在
中，由余弦定理可得
，
所以
，故
的最小值为
.
故选：B.
4．（2023·四川资阳·三模）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，
，D 在A1C 上，E 是A1B 的中
点，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】余弦定理解三角形、棱柱的展开图及最短距离问题
【分析】将平面A1BC 与平面A1AC 翻折到同一平面上，连接AE，记
，再根据余弦定理可得
，进而求得
，再根据两角和的余弦公式可得
，进而由余
弦定理可得
即可.
【详解】如图，将平面A1BC 与平面A1AC 翻折到同一平面上，连接AE，记
，
由题意可知
，
，
则
，
，从而
，
故
.
因为E 是A1B 的中点，所以
，
由余弦定理可得
，
因为D 在A1C 上，所以
，
则
，故
的最小值是
.
故选：C
