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专题7.3 直线、平面平行的判定与性质
重难点题型1 平行的判定
1．（2025·安徽合肥·模拟预测）设
是两条不重合的直线，
是三个不重合的平面，则下列命题中
错误的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
2．（24-25 高二下·北京·期中）已知直线
，平面
，给出下列四个命题：
①若
，则
；
②若
，则
；
③若
，则
；
④若
，则
.
其中正确命题的个数是（ ）
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
平行的判定
重难点题型2
线面平行（三角形的中位线法）
重难点题型3
线面平行（平行四边形法）
重难点题型4
线面平行的性质定理（用线面平行证明线线平行）
重难点题型5
面面平行的证明
重难点题型6
面面平行的性质
重难点题型7
平行关系的综合应用
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
3．（2025·福建福州·模拟预测）如图，点
为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，
不满足直线
平面
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·四川达州·模拟预测）（多选题）已知直线
，不同的平面
，下列命题中正确的是（ ）
A．若
，且
，则
B．若
，且
，则
C．若
，且
，则
D．若
，且
，则
5．（2024·江苏徐州·模拟预测）（多选题）如图，点
是正方体的顶点或所在棱的中点，则下
列各图中满足
平面
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·贵州贵阳·二模）（多选题）设
是三个不同的平面，
是两条不同的直线，在命题“
，
，且__________．则
”中的横线处填入下列四组条件中的一组，使该命题为真命
题，则可以填入的条件有（ ）
A．
B．
C．
D．
重难点题型2 线面平行（三角形的中位线法）
7．（2025·天津北辰·三模）如图，在四棱锥
中，底面
为矩形，侧棱
底面
是
的中点，点
是棱
上靠近
的四等分点.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)求点
到直线
的距离.
8．（2025·河南新乡·模拟预测）如图所示在直三棱柱
中，
，
，M
是
的中点，
(1)求证：
平面
，
(2)试问在棱
上是否存在点
，使得
与
与所成角为
?若存在，请确定点
的位置；若不存在，
请说明理由，
(3)在（2）题设条件下，试求平面
与平面
所成角的余弦值.
9．（2025·湖南·三模）如图，在长方体
中，
，点E 是棱
的中点．
(1)求证：
平面BDE；
(2)求直线
与平面BDE 所成角的正弦值．
10．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）如图，四棱锥
中，底面
是边长为2 的菱形，
为正三角形，且侧面
底面
分别为线段
的中点.
(1)求证：
平面
.
(2)求平面
和平面
夹角的正弦值.
重难点题型3 线面平行（平行四边形法）
11．（2025·四川成都·一模）如图，在四棱台
中，下底面是边长为
的正方形，侧棱
与底面垂直，且
.
(1)证明：
平面
；
(2)求平面
与平面
的夹角的大小.
12．（2025·河北保定·二模）如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，
，
平面
为棱
上的动点．
(1)当
为棱
的中点时，证明：
平面
；
(2)若
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
13．（2025·安徽淮北·模拟预测）在如图所示的五面体中，四边形ABCD 与FECD 均为等腰梯形
M，N 分别为EF，CD 的中点，AC 与BN 相交
于点P.
(1)求证: MP
平面BCE.
(2)若
平面
，求二面角M-AC-E 的余弦值.
14．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在四棱锥
中，四边形
是直角梯形，
，且
，
，
，E 为
中点.
(1)证明：
平面
；
(2)证明：
平面
；
(3)在线段
上是否存在点
，使得平面
与平面
夹角的余弦值为
?若存在，求出点
的位置；
若不存在，请说明理由.
重难点题型4 线面平行的性质定理（用线面平行证明线线平行）
15．（2025·重庆·三模）如图，在四面体
中，
分别为
的中点，过
的平面
分别交棱
(不含端点) 于
两点．
(1)证明：
；
(2)若
，求二面角
的正弦值．
16．（2025·北京西城·一模）如图，在多面体
中，
平面
，平面
平面
，
，
于点
．
(1)求证：
；
(2)设
，
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
17．（24-25 高三上·河北承德·开学考试）正四棱柱
中
，点
分别在
上，且
四点共面.
(1)若
，记平面
与底面的交线为，证明：
；
(2)已知
，若
，求四边形
面积的最大值.
18．（2024·江苏·模拟预测）如图，在四棱台
中，
，
，
．
(1)记平面
与平面
的交线为，证明：
；
(2)求平面
与平面
的夹角的余弦值．
重难点题型5 面面平行的证明
19．（2025·上海杨浦·三模）如图，在四棱锥
中，
平面ABCD，
，
，点
E，F，G 分别为PD，AB，AC 的中点.
(1)求证：平面
平面PBC；
(2)若
，
（i）求点F 到平面AEG 的距离.
（ii）画出四边形ABCD 的斜二测直观图，并求斜二测直观图面积
20．（2025·安徽·模拟预测）如图1，E，F，G，H 分别是正方形
各边中点，将
分别沿
折起，使得
所在平面与底面
均垂直（如图2），连接
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)求平面
与平面
所成二面角的正切值．
21．（2025·四川德阳·三模）如图，四边形
是矩形，
平面
，
，
，
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若平面
与棱
交于点
，求平面
与平面
所成角的正弦值.
22．（23-24 高一下·福建龙岩·期中）如图，梯形
是圆台
的轴截面，E，F 分别在底面圆
，
的圆周上，EF 为圆台的母线，
，已知
，
，G，H 分别为
，
的中点.
(1)证明：平面
平面
.
(2)若三棱锥
的体积为
，求圆台
的侧面积.
重难点题型6 面面平行的性质
23．（2025·海南·模拟预测）如图，在三棱台
中，
底面
，
与
都是
等腰直角三角形，
，
、
分别为
、
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求异面直线
与
夹角的余弦值．
24．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在五面体
中，
，
为
的中点，
为
的
中点.
(1)证明：
平面
；
(2)已知
平面
，
，
，
为正三角形，
，当二面角
的余弦值为
时，求
.
25．（2025·浙江·三模）如图，在四棱锥
中，底面
为矩形，
底面
，
，
，M，N 为别为棱PB，CD 的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求平面
与平面
的夹角的余弦值．
26．（2025·上海松江·二模）已知梯形
中，
，
为
上的一点且
，
，
，将
沿
翻折使得二面角
的平面角为
，连接
、
，
为棱
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)当
时，求直线
和平面
所成角的大小.
重难点题型7 平行关系的综合应用
27．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形CDEF 为正方形，
，
AD=AE=BC=BF=3，EF=2AB=4．
(1)设平面ADE∩平面BCF=l，证明：
；
(2)直线DE 上是否存在点G，使得DE⊥平面 ABG？若存在，确定点G 的位置并说明理由；若不存在，请
说明理由；
(3)若
，λ [0,1]
∈
，求平面BFG 与平面DEA 夹角的余弦的取值范围．
28．（2025·重庆·二模）如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，平面
平面
，
，
，
，点
在线段
上(
与
不重合).
(1)若平面
平面
，证明:
平面
；
(2)当
的面积最小时，求
值；
(3)在 (2) 的条件下，若点
是线段
的
等分点，分别过点
在四棱锥上作
平行于平面
的截面，记相应的截面面积为
，证明:
.
参考公式:
29．（2025·辽宁沈阳·三模）如图所示，在直角梯形
中，
，A，D 分别是
，
上的点，且
，
，
，
，将四边形
沿
向上折
起，连接
，
，
，在折起的过程中，记二面角
的大小为
，记几何体
的体积为V．
(1)求证：
平面
；
(2)当
时，请将V 表达为关于
的函数，并求该函数的最大值；
(3)若平面
和平面
垂直，当
取得最大值时，求V 的值．
30．（2025·河北·模拟预测）如图，已知圆柱的轴截面是矩形
，点
为
上不同于
的一点，点
在
上，且
，动点
满足
，动点
在上底
面上，满足
．
(1)证明：
平面
；
(2)①求动点
的轨迹长度；
②当点
为
的中点时，若平面
与平面
的夹角的余弦值为
，求
的值．
