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专题7.5 利用空间向量求空间角与距离
重难点题型1 求点到点的距离
1．（24-25 高二下·江苏连云港·周测）正方体
的棱长为1，
是异面直线
与
的
公垂线段，点M 在
上且N 在
上，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高二下·甘肃酒泉·期末）已知点A 的坐标是
，则
（ ）
A．5
B．6
C．
D．5
3．（24-25 高二下·甘肃白银·期中）已知空间中有两个动点
，
．则
的最小
值为（ ）
A．2
B．4
C．3
D．6
4．（24-25 高一下·重庆沙坪坝·期中）在棱长为1 的正方体
中，
为线段
上一动点，
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
求点到点的距离
重难点题型2
求点到平面的距离
重难点题型3
求平行平面之间的距离
重难点题型4
求线线角
重难点题型5
求线面角
重难点题型6
求二面角
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高二上·广东广州·期中）如图，正方形ABCD 和正方形ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面
所成的二面角
的大小是
，M，N 分别是AC，BF 上的动点，且
，则MN 的最小值
是
6．（24-25 高二上·河南周口·月考）已知正四棱柱
的体积为4，侧面积为8，动点
分
别在线段
上，则线段
长度的最小值是 ．
7．（23-24 高二下·江苏南通·期中）已知正方体
的棱长为1，
是异面直线AC 与
的
公垂线段，点
在AC 上且点
在
上，则
.
8．（24-25 高二下·江苏连云港·期中）已知
，
，且
，则
．
重难点题型2 求点到平面的距离
1．（24-25 高二下·江西·期末）已知经过点
的平面
的一个法向量为
，则点
到平面
的距离为（）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高二下·江苏·月考）若平面
的一个法向量为
且该平面过点
，则点
到
平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·甘肃甘南·模拟预测）在棱长为
的正方体
中，
，
分别为棱
，
的中点，
为棱
上的一点，且
，则点
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·天津南开·二模）如图所示，体积为
的半圆柱的轴截面为平面
是圆柱底面的直径，
为底面的圆心，
为一条母线，点
为棱
的中点，且
和
的弧长为
．则三棱锥
的体积为（ ）．
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高二下·河南南阳·期末）在空间直角坐标系中，
，平面
的一个法向量
为
，则点
到平面
的距离为 .
6．（2025·湖南·三模）如图，在直三棱柱
中，△ABC 是正三角形，D 为AC 的中点，点E 在
棱
上，且
，若
，
，则点
到平面BDE 的距离为 .
7．（24-25 高二下·安徽马鞍山·期末）如图，在四棱锥
中，底面
是边长为4 的正方形.
平面
，
，
分别是
，
的中点.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若平面
与平面
夹角的余弦值为
，求点
到平面
的距离.
8．（24-25 高三上·天津·期中）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，
为棱
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求平面
和平面
夹角的余弦值；
(3)求
点到平面
的距离．
重难点题型3 求平行平面之间的距离
1．正方体
的棱长为1，则平面
与平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．正方体
的棱长为2，
，
，
，
分别是棱
，
，
，
的中点，则平面
和平面
之间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高二上·上海虹口·周测）已知
是棱长为1 的正方体，则平面
与平面
的距离为 ．
4．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F 分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN 与
平面EFBD 的距离为 .
5．（23-24 高二上·内蒙古赤峰·周测）如图所示，在直三棱柱
中，
，点E 在线段
上，且
，D、F、G 分别为
的中点．
(1)求证：
平面ABD；
(2)求证：平面EGF
平面ABD；
(3)求平面EGF 与平面ABD 的距离．
6．设正方体
的棱长为2，求：
(1)求直线
到平面
的距离；
(2)求平面
与平面
间的距离.
重难点题型4 求线线角
1．（24-25 高一下·河北承德·期末）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱
，其中底面
是正方形，
，
，则直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高二下·福建厦门·期末）在正四面体
中，
，则直线
与直线
所成角的余弦
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高二下·河南南阳·期末）已知在直三棱柱
中，
，
，
，
，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高二下·云南·期末）在体积为
的正四棱锥
中，
为底面
内的任
意两点，则直线
与直线
所成角的余弦值的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高二下·上海青浦·期末）在正方体
中，
为
的中点，则异面直线
与
所成角的大小为 .
6．（24-25 高二下·江苏常州·期中）已知四棱锥
的底面为直角梯形，
，
，
底面ABCD，且
，
，则异面直线AC 与PB 所成的角的余弦值为 .
7．（24-25 高二下·江苏淮安·期中）在正四面体
中，点M 在
上，且
，则异面直线
与
所成角的余弦值为
重难点题型5 求线面角
1．（24-25 高二下·河北邯郸·期末）如图，在四棱锥
中，平面
平面
，平面
平面
，底面
为直角梯形，
，
，
与
相交于点
，点
满足
，且
.
(1)求证：
平面
；
(2)求
的长度；
(3)若点
到平面
的距离为
，求
与平面
所成角的正弦值.
2．（24-25 高二下·江苏南京·期末）如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
分别为
，
的中点．
(1)求证：
；
(2)求直线
与平面
所成角的余弦值．
3．（24-25 高二下·海南·月考）如图，在直四棱柱
中，
．
(1)证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值．
4．（24-25 高一下·海南·期末）如图，已知三棱柱
中，侧棱与底面垂直，且
，
，M、N、P、D 分别是
、
、
、
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
平面
所成角的正弦值.
5．（24-25 高三下·云南丽江·周测）在三棱柱
中
.
(1)证明:平面
平面
.
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
6．（24-25 高二下·贵州黔南·期末）如图，在长方体
中，
，
，
为
棱
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
7．（24-25 高二下·贵州毕节·期末）如图，四边形
中，
，
，
为
的中点，
在
上，
，
，
，将四边形
沿
翻折至四边形
，使得平面
平面
.
(1)证明：
平面
；
(2)求
与平面
所成角的正弦值.
重难点题型6 求二面角
1．（24-25 高一下·宁夏石嘴山·期末）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，M 是
的中点，N 是
上的一点．
(1)证明：平面
平面
；
(2)求点
到平面
的距离；
(3)若异面直线
和
所成角的余弦值为
，求二面角
的正弦值．
2．（24-25 高二下·重庆·期末）如图，已知
、
均是边长为2 的等边三角形，且平面
平
面
，
为
的中点，且
.
(1)证明：
；
(2)若
，
，求平面
与平面
夹角的大小.
3．（24-25 高二下·内蒙古包头·期末）如图，在四边形
中，
，
，
，
，
，E 是
的中点．现将
沿
翻折，使得点A 移动至平面
外的点
P．
(1)若点F 是靠近P 的四等分点，求证：
平面
；
(2)若平面
平面
，求平面
与平面
所成二面角的正弦值．
4．（24-25 高二下·广东深圳·期末）如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，
，
，
平面
，
，
分别为棱
，
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值．
5．（24-25 高二下·福建泉州·期中）如图，在四棱锥
中，
，点Q 为棱
上一点．
(1)用几何法证明：
平面
；
(2)当点Q 为棱
的中点时，求
①四棱锥
的体积；
②直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)当二面角
的余弦值为
时，求
．
6．（24-25 高二下·陕西西安·月考）在四棱锥
中，
平面ABCD，底面ABCD 是菱形，
，点
在线段PD 上，
平面AEC.
(1)证明：
为PD 的中点；
(2)若
，二面角
的余弦值为
，求PA 的长.
