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专题7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
重难点题型1 平面基本事实的应用（证明）
1．（2025·云南红河·模拟预测）如图1，等腰梯形
中，
，
，
，
分别为
的中点，且
，将梯形
沿
翻折至梯形
，使得平面
平面
，
得到如图2 的多面体
.
(1)证明：
四点共面；
(2)在
上取一点
，使得平面
平面
，求平面
与平面
夹角的余弦值.
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
平面基本事实的应用
重难点题型2
截面问题
重难点题型3
异面直线的判断
重难点题型4
异面直线的夹角
重难点题型5
平面的基本性质
2．（2025·山东聊城·三模）如图，在三棱柱
中，
，
，
．
(1)求证：四边形
为矩形；
(2)若
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
3．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图所示，在平行六面体
中，底面
是边长为3 的
菱形，
分别在线段
和
上，且
，
．
(1)证明：
四点共面；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值．
4．（2025·山西·二模）
中，
，
，
，
是
的中点，
是
的中点，
是
的中点.如图，将
和
分别沿
、
向平面
的同侧翻折至
和
的位
置，且使得
.
(1)证明：
、
、
、
共面；
(2)若
，求三棱锥
的体积；
(3)求平面
与平面
的夹角的余弦值的最大值.
5．（2024·四川凉山·三模）如图，在正四棱柱
中，
，
，点
，
，
，
分别在棱
，
，
，
上，
．
(1)证明：点
在平面
中；
(2)求多面体
的体积．
6．（2024·四川凉山·三模）如图，在正四棱柱
中，
，
，点
分别在
棱
，
，
，
上，
，
，
．
(1)证明：点
在平面
中；
(2)点
为线段
的中点，求锐二面角
的余弦值．
重难点题型2 截面问题
1．（24-25 高三下·甘肃白银·月考）已知正方体
的棱长为2，平面
截正方体所得的图形
为六边形，设该六边形的周长为，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·天津和平·三模）已知正方体
的棱长为6，点
，
分别在棱
，
上，
且满足
，点
为底面
的中心，过点
，
，
作平面
，则平面
截正方体
所得的截面面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·四川南充·一模）如图，正方体
的棱长为2，E，F 分别为
，
的中点，则
平面
截正方体所得的截面面积为（ ）
A．
B．
C．9
D．18
4．（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2 的正方体
中，E 为棱BC 的中点，用过点
，
E，
的平面截正方体，则截面周长为（ ）
A．
B．9
C．
D．
5．（23-24 高三下·山东威海·月考）（多选题）如图，在棱长为2 的正方体
中，M，N，P
分别是
，
，
的中点，Q 是线段
上的动点，则（ ）
A．存在点Q，使B，N，P，Q 四点共面
B．存在点Q，使
平面MBN
C．过Q，M，N 三点的平面截正方体
所得截面面积的取值范围为
D．经过C，M，B，N 四点的球的表面积为
6．（23-24 高三下·河南郑州·周测）已知正四棱锥
的所有棱长均为4，点
为
中点，点
在
上，
，点
为
中点，则平面
截正四棱锥
所得的截面周长为 ．
7．（2024·山东济南·三模）在正四棱柱
中，
，
，M，N 分别是
，
的
中点，则平面
截该四棱柱所得截面的周长为 ．
重难点题型3 异面直线的判断
1．（2023·上海长宁·二模）如图，已知正方体
，点
在直线
上，
为线段
的中点，
则下列命题中假命题为（ ）
A．存在点
，使得
B．存在点
，使得
C．直线
始终与直线
异面
D．直线
始终与直线
异面
2．（2023·新疆·一模）如图，在长方体
中，
，则下列说法错
误的是（ ）
A．
B．
与
异面
C．
平面
D．平面
平面
3．一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形
为正方形，
分别为
的中点，在此几何
体中，下面结论错误的是（ ）
A．直线
与直线
异面
B．直线
与直线
异面
C．直线
平面
D．直线
平面
4．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线
与
的位置关系为（ ）
A．相交
B．平行
C．异面并且垂直
D．异面但不垂直
5．（2024·广西南宁·模拟预测）如图是长方体的展开图，且
，
为正方形，其中P、Q 分别
为
、
的中点，下列判断①
，②
，③
，④
中，正确的个数为
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
6．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E 是平面ADD1A1的中心，M、N、F 分别是B1C1、CC1、AB
的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．MN
EF，且MN 与EF 平行
B．MN
EF，且MN 与EF 平行
C．MN
EF，且MN 与EF 异面
D．MN
EF，且MN 与EF 异面
重难点题型4 异面直线的夹角
1．（2025 高三·全国·月考）在正四棱台
中，
，
，且该正四棱台的体积为
28，则异面直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·云南红河·三模）在四棱锥
中，底面
为矩形，
平面
，
为
的中
点，
，若四棱锥
的外接球半径为2，则
与
所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，三棱柱
的所有棱长都为
，且
，
、
、
分
别为
、
、
的中点，则异面直线
和
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·北京·模拟预测）（多选题）在直棱柱
中，底面
为正方形，
，
为线段
上动点，
，
分别为
和
的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则经过
，
，
三点的直棱柱的截面为四边形
B．直线
与
所成角的余弦值为
C．三棱锥
的体积为定值
D．
的最小值为
5．（2025·甘肃·模拟预测）（多选题）如图，在直三棱柱
中，
为
的中点，则（ ）
A．
B．三棱锥
的体积为
C．直线
与
所成角的余弦值为
D．三棱锥
的外接球的表面积为
6．（2025·湖北武汉·三模）已知三棱柱
的各条棱长相等，且
，则
异面直线
与
所成角为 .
7．（2024·四川德阳·模拟预测）如图，在棱长都相等的正三棱柱
中，若
为棱
的中点，
则直线
与直线
所成的角为 ．
重难点题型5 平面的基本性质
1．（2024·贵州毕节·三模）在长方体
中，点
，
分别是棱
，
的中点，点
为
对角线
，
的交点，若平面
平面
，
，且
，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD 为矩形，AB＝
AD，E，F 分别为BB1，AB 的中
点，则（ ）
A．AC1//平面DEF 且A1C1⊥DF
B．A1C1//平面DEF 且A1C1与DF 不垂直
C．A1C1与平面DEF 相交且A1C1⊥DF
D．A1C1与平面DEF 相交且A1C1与DF 不垂直
3．在棱长为3 的正方体
中，已知点P 为棱
上靠近点
的三等分点，点Q 为棱CD 上
一动点.若M 为平面
与平面ABCD 的公共点，且点M 在正方体的表面上，则所有满足条件的点M 构
成的区域面积为 .
4．（2023·陕西西安·模拟预测）在直四棱柱
中，
，
，M，N 在棱
，
上，且
，
，过
的平面交
于G，则截面
的面积为 ．
5．如图，在直三棱柱
中，
，D，E 分别为
，
分如中点，则过点
A，D，E 的截面与三棱柱的侧面
的交线的长为 ．
6．在四棱锥
中，底面
是正方形，
底面
，
，
、
、
分别是棱
、
、
的中点，对于平面
截四棱锥
所得的截面多边形，有以下三个结论：
①截面的面积等于
；
②截面是一个五边形；
③截面只与四棱锥
四条侧棱中的三条相交．
其中，所有正确结论的序号是 ．
