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专题7.4 直线、平面垂直的判定与性质
重难点题型1 垂直的性质
1．（2025·山东临沂·模拟预测）已知、
、
是直线，
是平面，且
，
，则“
，
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
2．（2025·天津·二模）已知
为两条不同的直线，
为两个不同的平面，则下列命题中正确的是
（ ）
A．
，
，
，
B．
，
，
C．
，
D．
，
3．（2025·天津·二模）已知a，b 是两条直线，α，β 是两个平面．下列命题正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
4．（2025·湖北黄冈·二模）已知
为两条不同的直线，
为两个不同的平面，则下列命题中正确的是
（ ）
①若
，则
；
目录●重难点题型分布
序号
题型
重难点题型1
垂直的性质
重难点题型2
证明线线垂直
重难点题型3
证明线面垂直
重难点题型4
证明面面垂直
重难点题型5
垂直关系的综合应用
②过直线
外一点，有且只有一个平面与这条直线平行；
③若
，则
必垂直于面
内的无数条直线；
④若
为异面直线且点
，则存在两条直线过点
且与
都相交.
A．④
B．③
C．②
D．①
5．（2025·吉林长春·模拟预测）（多选题）设m，n 为直线，α，β 为平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
6．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）（多选题）如图，棱长为2 的正方体
，O 为底面
ABCD 的中心，E 为棱
的中点，M 是线段
上的动点，P 为平面
内的动点，则下列说法正确的
是（ ）．
A．
平面
B．
C．
的最小值为
D．OP 的最小值为
重难点题型2 证明线线垂直
7．（2025·广东梅州·一模）如图，在三棱锥
中，
，
．
(1)求证：
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)若
，
，用平面α 将三棱锥
分为两部分，求截面面积的最大值．
8．（2025·云南丽江·一模）已知点
是边长为
的菱形
所在平面外一点，且点
在底面
上的
射影是
与
的交点
，已知
，
是等边三角形.
(1)求证：
；
(2)求二面角
的平面角的正切值；
(3)若点
是线段
上的动点，问：点
在何处时，直线
与平面
所成的角最大?求出最大角的正弦
值，并说明点
此时所在的位置.
9．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图，在四棱锥
中，
，
，
，
，
，
，
，其中O 为AC 中点．
(1)求证：
；
(2)求二面角
的正弦值．
10．（2025·山东聊城·模拟预测）如图，在四面体
中，
，
记二面角
为
分别为
的中点.
(1)求证：
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
重难点题型3 证明线面垂直
11．（2025·陕西汉中·模拟预测）如图1，在矩形
中，
，
是
的中点，连接
，将
沿直线
翻折，使得平面
平面
（如图2），连接
，
，
是棱
的中点．
(1)证明：
平面
；
(2)证明：
平面
；
(3)求直线
和平面
所成角的正弦值．
12．（2025·福建厦门·三模）在三棱锥
中，
，
，
，
是
的中点，
且平面
平面
.
(1)证明：
平面
；
(2)已知平面
经过直线
，且
，直线
与平面
所成角的正弦值为
，求三棱锥
的
体积.
13．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，在底面为正方形的四棱台
中，已知
，
，
，
.
(1)证明：
平面
；
(2)点
在棱
上，当二面角
的正弦值为
时，求
.
14．（2025·天津·二模）如图，在四棱锥
中，
是以
为斜边的等腰直角三角形，底面
是等腰梯形，且
，
，
，
，
为
中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与
所成角的余弦值；
(3)求平面
与平面
夹角的正弦值．
15．（2025·新疆喀什·模拟预测）如图，直四棱柱
中，
．
(1)若
，证明：
平面
；
(2)若
，且
，求二面角
的余弦值．
重难点题型4 证明面面垂直
16．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，
，
且
．
(1)求证：平面
平面BDEF；
(2)求四面体ADEF 的体积；
(3)求直线AD 与平面ABF 所成角的余弦值．
17．（2025·河北邢台·三模）如图，在斜三棱柱
中，
，
，点
在底面
上的投影为
的中点
，点
满足
.
(1)当
时，证明：平面
平面
；
(2)已知
，若平面
与平面
夹角的余弦值为
，求
的值.
18．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，在四棱锥
中，底面
是矩形，
，
，
．
(1)求证：平面
平面
．
(2)若
，求平面
与平面
的夹角的余弦值．
19．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，已知四棱锥
的底面是直角梯形，
，
，
，且
(1)证明：平面
平面
；
(2)求二面角
所成平面角的余弦值．
20．（2025·上海·模拟预测）如图所示，圆锥的底面半径为4，高为4，线段
为圆锥底面
的直径，
点
在线段
上，且
，点
是以
为直径的圆上一动点.
(1)当
时，证明:平面
平面
；
(2)当三棱锥
的体积最大时，求
与平面
所成角的正弦值.
重难点题型5 垂直关系的综合应用
21．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形CDEF 为正方形，
，
AD=AE=BC=BF=3，EF=2AB=4．
(1)设平面ADE∩平面BCF=l，证明：
；
(2)直线DE 上是否存在点G，使得DE⊥平面 ABG？若存在，确定点G 的位置并说明理由；若不存在，请
说明理由；
(3)若
，λ [0,1]
∈
，求平面BFG 与平面DEA 夹角的余弦的取值范围．
22．（2025·山东淄博·三模）在直四棱柱
中，底面
为平行四边形，
，
在
上，
，
在
上，
,
在
上，
，
为棱
上的
动点，
、
分别是二面角
和二面角
的平面角.
(1)当
为棱
的中点时，
(i)证明:
平面
；
(ii)
为底面
(包括边界)内的一个动点，且
到平面
的距离等于
到直线
的距离，
最大时,确定
的位置；
(2)当
最小时，求
.
23．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，四边形
是边长为2 的正方形，点
分别在线段
上
运动，且
．将
沿
折起，使得点
到达点
的位置，此时平面
平面
．
(1)当
时，求证：
；
(2)是否存在
，使
？若存在，求出此时
的值；若不存在，请说明理由；
(3)证明：存在
，使得二面角
的平面角为
．
24．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图①所示，长方形
中，
，点
是边
的中点，
将
沿
翻折到
，连接
，
，得到图②的四棱锥
．
(1)若
为等边三角形，求四棱锥
的体积；
(2)在图②中画出平面
与平面
的交线，并陈述作图方法的理由；
(3)设二面角
的大小为
，若
，求平面
和平面
夹角余弦值的最小值．
