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专题01 集合、常用逻辑用语与复数
一、单选题
1．（2024 届福建省福州市高三上学期第一次质量检测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，故
，故选C．
2．（2024 届湖南省长沙市长郡中学高三上学期开学考试）已知
（为虚数单位），其
中
，
为实数，则
，
的值分别为（ ）
A．
，1
B．1，
C．1，1
D．
，
【答案】A
【解析】由
，得
，得
，
所以
解得
，故选A.
3．（2023 届陕西省西安市第三十八中学高三2 月模拟）若
，则在复平面内所对应的点的
坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题设有
，则
，
1
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所以在复平面内所对应的点的坐标为
．故选B
4．（2024 届宁夏吴忠市盐池中学高三第一次月考）若命题“
，使得
”是假命题，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】C
【解析】命题“
，使得
”是假命题，即“
成立”是真命题，
故
，解得
.故选C.
5．（2024 届河南省高三上学期起点考试）已知
，甲：
，乙：
，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】A
【解析】充分性：若
，显然两集合对应的不等式相同，可得
，即充分性成立；
必要性：若
，当
都为空集时，此时只需要满足
且
即可，
不妨取
，此时满足
，但
，即必要性不成立；
所以甲是乙的充分条件但不是必要条件.故选A
6．（2024 届安徽省江淮十校高三第一次联考）在数列
中，已知
，则“
”是“
为
单调递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】已知
为单调递减数列，所以
恒成立，
2
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即
对任意的
恒成立，因为函数
在
上单调递减，故
，故
.因为
，因此“
”是“
为单调递减数列”的必要
不充分条件，故选B.
7．（2024 届江苏省淮阴中学等四校高三上学期期初联考）设集合
，其中
为实数． 令
，
．若
的所有元素和为，则
的所有元素之积为（ ）
A．0
B．2
C．4
D．0 或4
【答案】A
【解析】根据集合中元素的互异性，
且
.由题意，
.
情况一：若
时
当
时，
，
，
，
的所有元素和为，符合题意，此时
的所有元素之积为；
当
时，
，
，
，
的所有元素和为
，不符题意；
情况二：若
时，此时
，
，
，
但
此时含有唯一的无理数
，不可能元素之和为；
情况三：若
，
，
且
时，则
中只有唯一重复元素
，
则
，由题意
，即
，
此时
，矛盾.综上所述，
时符合题意，此时
的所有元素之积为.故选A
8．（2024 届江苏省南通市如皋市高三上学期诊断测试）已知
，
，
若
，则实数m 的取值范围（ ）
A．
B．
3
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C．
D．
【答案】B
【解析】解不等式
，即
，即
，又
，
，
故
在
上恒成立，即
在
上恒成立，而
在
上单调递减，
故
，故
，即实数m 的取值范围为
，故选B
9．（2024 届北京市新高三入学定位考试）已知不共线的两个非零向量
，则“
与
所成角为
钝角”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为“
与
所成角为钝角,所以
，
所以“
与
所成角为钝角”是“
”的充要条件.故选C.
10．（2023 届湖北省部分名校高三二模）设
、
、
、
、
是均含有
个元素的集合，且
，
，记
，则
中元素个数的最小值是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】解：设
、
、
、
是集合
互不相同的元素，若
，则
，不合乎题意.
①假设集合
中含有
个元素，可设
，则
，
，这与
矛盾；
4
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②假设集合
中含有个元素，可设
，
，
，
，
，满足题意.
综上所述，集合
中元素个数最少为.故选A.
11．（2023 届北京市第四中学高三数学保温测试）有三支股票
位股民的持有情况如下：每位股
民至少持有其中一支股票.在不持有
股票的人中，持有
股票的人数是持有
股票的人数的2 倍.在持有
股票的人中，只持有
股票的人数比除了持有
股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股
票的人中，有一半持有
股票.则只持有
股票的股民人数是（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4
【答案】A
【解析】由题意，设只持有
股票的人数为
，则持有
股票还持有其它殸票的人数为
(图中
的和 )，∵只持有一支股票的人中, 有一半没持有
或
股票, ∴只持有了
和
股票的人数和为
(图中
部分) . 假设只同时持有了
和
股票的人数为
, ∴
, 即
，
则
的取值可能是
, 与之对应的
值为
,
∵没持有
股票的股民中，持有
股票的人数是持有
股票的人数的2 倍
∴
，即
，∴
时满足题意，此时
,
∴只持有
股票的股民人数是
, 故选A.
12．（2023 届广东省广州市天河区高三三模）定义
，设函数
，若
使得
成立，则实数a 的取值范围为（ ）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】命题
使得
成立的否定为对
，
，因为当
或
时，
，
当
时，
，所以当
或
时，
，若命题
，
为真命题，
则当
时，
恒成立，所以
，其中
，
设
，当
时，函数
在
单调递增，
所以当
时，函数
取最小值，所以
，所以
，矛盾；
当
时，函数
在
单调递减，所以当
时，函数
取最小值，所以
，
所以
，矛盾；当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
时，函数
取最小值，所以
，所以
，
所以当
时，命题
，
为真命题，
所以若
使得
成立，则a 的取值范围为
.故选A.
二、多选题
13．（2023 届河北省邯郸市大名县第一中学高三下学期2 月月考）已知复数
，则下列结论中正确
的是（ ）
A．对应的点位于第二象限
B．
的虚部为2
C．
D．
【答案】CD
【解析】因为
，
6
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所以在复平面内对应的点为
，位于第一象限，故A 错误；
，则复数
的虚部为
，故B 错误，
，故C 正确；
，故D 正确；故选CD
14．（2023 届北京市育英学校高三6 月统一练习）设
是
中两个子集，对
，定义：
，若对任意
，
，则
的关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】解：因为
，且对任意
，
，
所以m，n 的值一个为0，另一个为1，即
时，
，或
时，
，
所以
的关系为
或
，故选AC
15．（2023 届河南省安阳市第一中学高三第四次全真模拟）由无理数引发的数学危机一直延续到19 世纪
直到1872 年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分
割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续
2000 多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与
N，且满足
，
，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称
为戴德金
分割试判断下列选项中，可能成立的是（ ）
A．
是一个戴德金分割
B．M 没有最大元素，N 有一个最小元素
C．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素
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D．M 没有最大元素，N 也没有最小元素
【答案】BD
【解析】对于A，因为
，
，故A 错误；
对于B，若
，则满足戴德金分割，
此时M 没有最大元素，N 有一个最小元素0，故B 正确；
对于C，若M 有一个最大元素，设为a，N 有一个最小元素，设为b，则
，
则
，而
内也有有理数，
则
，故C 错误；
对于D，若
，
，
则满足戴德金分割，此时M 没有最大元素，N 也没有最小元素，故D 正确，故选BD
16．（2024 届河南省TOP 二十名校高三上学期调研）下列选项中，满足
是
的充分条件的是（ ）
A．
；
B．
；
C．
：四边形
满足
；
：四边形
是菱形
D．
：
中
；
【答案】BD
【解析】对A，由
，得
，所以由
推不出
，故A 错误；
对B，由
，得
，满足充分性，故B 正确；
对C，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故C 错误；
对D，由
知
，又
，所以
，满足充分性，故D 正确．故选BD．
17．（2024 届】湖北省黄冈市浠水县第一中学高三上学期7 月质量检测）已知复数z=a+bi（a，b
），
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其共轭复数为
，则下列结果为实数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】对于A，
，不一定为实数;
对于 B，
;
对于 C，
;
对于 D，
.故选BCD.
三、填空题
18．（2024 届湖北省武汉市高三上学期摸底考试）已知复数满足
，则
．
【答案】3
【解析】因为
，由求根公式可得
，
，
所以
.
19．（2023 届福建省厦门市高三毕业班适应性练习）设集合
，集合
，若
，写出一个符合条件的集合
．
【答案】
（答案不唯一）
【解析】
，
，故若
，则可有
.
20．已知“
”是“
”表示圆的必要不充分条件，则实数t 的取值范围为
．
【答案】
9
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【解析】若“
”表示圆，
则
，解得
．
“
”是“
”表示圆的必要不充分条件，
可得
，即
所以实数t 的取值范围是
．
21．（2023 届上海市徐汇区高三三模）对任意数集
，满足表达式为
且值域
为
的函数个数为
.记所有可能的
的值组成集合
，则集合
中元素之和为 .
【答案】643
【解析】
，当
或
时，
，当
时，
，
即函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，函数
取得极大值0，当
时，该函数取得极小值
，图象如图：
观察图象知，当
与图像有一个公共点时，相应的
有1 种取法；
当
与图像有两个公共点时，相应的
有
种取法；
当
与图像有三个公共点时，相应的
有
种取法，
直线
与函数图象的交点个数可能的取值如下：
，
对应的函数个数为
，
10
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.
所以集合
中元素之和为643.
22．（2023 届上海市进才中学高三上学期12 月月考）在复平面中，已知点
，复数
对
应的点分别为
，且满足
，则
的最大值为 .
【答案】
【解析】因为复数
对应的点为
且
则可确定点
在以O 为圆心，2 为半径的圆上
又
，所以
为圆的直径，即
关于原点对称
所以
因为
所以
又
，
，
则
所以
即
的最大值为
，所以
的最大值为
.
11
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