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2024 年高考数学第一次模拟考试
D．当 时， 的最小值为1
高三数学（理科） 5．如图，在矩形 中，已知 为边 的中点．将 沿 翻折成 ，若 为线
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 段 的中点，给出下列说法：①翻折到某个位置，可以使得 平面 ；②无论怎样翻折，点 总
注意事项：
在某个球面上运动．则（ ）．
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
A．①和②都正确 B．①和②都错误
4．测试范围：高考全部内容
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
6．如图，在某城市中， ､ 两地之间有整齐的方格形道路网，其中 ､ ､ ､ 是道路网中位于一条对
第Ⅰ卷（选择题）
角线上的 个交汇处．今在道路网 ､ 处的甲､乙两人分别要到 ､ 处，他们分别随机地选择一条沿街
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达 ､ 处为止．则下列说法正确的是（ ）
要求的．
1．已知复数z满足 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．已知集合 ，则 （ ）
A．甲从 到达 处的方法有 种
A． B． C． D． B．甲从 必须经过 到达 处的方法有 种
3．下列条件中，为“关于x的不等式 对 恒成立”的充分不必要条件的有（ ）
C．甲､乙两人在 处相遇的概率为
A． B．
D．甲､乙两人相遇的概率为
C． D．
7．已知函数 ．若 ， ，且 在 上恰有1个零点，则实
4．已知函数 ，则下列说法错误的是（ ）
数ω的取值范围为（ ）
A．函数 的图象关于原点对称
A．(0， ] B．( ， ] C．( ， ] D．( ， ]
B． 是函数 的一个周期
C．函数 的图象关于直线 对称
8．已知实数 满足 ，其中 ，则实数 的最小值为（ ）A． B． C． D． 13．已知双曲线 的渐近线与圆 相切，则双曲线的离心率为 .
9．如图，某城市有一条公路从正西方 通过市中心 后转向东北方 ，为了缓解城市交通压力，现准
14．在 中，过重心 的直线交边 于点 ，交边 于点 （ 、 为不同两点），且 ，
备修建一条绕城高速公路 ，并在 上分别设置两个出口 ，若 部分为直线段，且要求市中心
与AB的距离为20千米，则AB的最短距离为（ ）
，则 的取值范围为 .
15．在 中， ， ，当 取最大值时， ．
16．已知四棱锥的各个顶点都在同一个球面上.若该四棱锥体积的最大值为 ，则该球的体积为 .
A． 千米 B． 千米
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试
C． 千米 D． 千米 题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
10．若函数 既有极大值也有极小值，则错误的是（ ）
17．（10分）当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代表的新一代信息技术迅猛发展，
A． B． 现收集某地近6年区块链企业总数量相关数据，如下表：
C． D． 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022
编号 1 2 3 4 5 6
11．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，若椭圆 上恰好有 个不同的点 ，使
企业总数量 （单位：百个） 50 78 124 121 137 352
(1)若用模型 拟合 与 的关系，根据提供的数据，求出 与 的经验回归方程；
得 为等腰三角形，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）
(2)为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区
块链公司参赛．比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参
A． B．
加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公
C． D． 司获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为 ，甲胜丙的概率为 ，乙
12．已知 ，且 ，则 的大小关系为（ ） 胜丙的概率为 ，若首场由甲乙比赛，求甲公司获得“优胜公司”的概率．
A． B．
参考数据： ，其中，
C． D．
参考公式：对于一组数据 ，其经验回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分② .
别为
20．（12分）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若0是函数 的极小值点，求实数 的取值范围．
18（12分）如图，已知四边形 是矩形， 平面 ， ， ，点M，N分别在
线段 上． 21．（12分）已知点 在抛物线 上， 为抛物线 上两个动点， 不垂直
轴， 为焦点，且满足 .
(1)求 的值，并证明：线段 的垂直平分线过定点；
(2)设（1）中定点为 ，当 的面积最大时，求直线 的斜率 .
(1)求证：直线 平面 ．
(2)是否存在M，N，使得 ？若存在，求出直线 与平面 所成角的正弦值．若不
存在，请说明理由．
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
19．（12分）数列 中， ，对任意正整数n都有 .
22．（10分）已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 过点 ．
(1)求 的通项公式；
(1)求曲线 的普通方程；
(2)设 的前 项和为 ，证明：
(2)若直线 与曲线 交于 ， 两点，且 ，求直线 的倾斜角．
① ；选修4-5：不等式选讲
23．（10分）已知函数 .
(1)解不等式 ；
(2)若不等式 对于 恒成立，求 的取值范围.
