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8.3 分布列（精练）
1．（2022 春·黑龙江哈尔滨）已知随机变量
的分布列是：
1
2
3
则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，所以
.
故选：A.
2．（2023·北京顺义）已知离散型随机变量X 的分布列如下表，则X 的数学期望
等于（ ）
X
0
1
2
P
0.2
a
0.5
A．0.3
B．0.8
C．1.2
D．1.3
【答案】D
【解析】依题意可得
，解得
，所以
；
故选：D
3．（2023 春·江苏连云港）若随机事件
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
.故选：D
4．（2023 秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：
若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为
1
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0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1 次投篮的人选，第1 次投篮的人是甲、乙的概率各为
0.5.则在第2 次投篮的人是乙的情况下第一次是甲投篮的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
表示第i 次投篮的人为甲，
；
表示第i 次投篮的人为乙，
；
则第2 次投篮的人是乙的情况下第一次是甲投篮的概率：
，
故选：A.
5．（2023 春河南）由1，2 组成的有重复数字的三位数中，若用A 表示事件“十位数字为1”，用B 表示事
件“百位数字为1”，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，
∴
．
故选：C．
6．（2023 秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）（多选）已知随机事件
满足
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
相互独立
2
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【答案】ABD
【解析】法一：由
，
，得
，
.
得
，
即
成立，则
相互独立，
故
相互独立，
相互独立，
相互独立，选项D 正确；
，
，则选项AB 正确；
又由
相互独立，则
，故选项C 错误.
法二：由
，
，得
，
，且已知
，
对选项A，由
，且
与
互斥，
所以
，
则有
，故A 正确；
对选项B，同理
，
则有
，故B 正确；
对选项C，因为
，故C 错误；
由
，得
，
所以
相互独立，故D 正确.
故选：ABD.
7．（2023 秋·湖北）（多选）设
为古典概率模型中的两个随机事件，以下命题正确的为（ ）
3
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A．若
，
，则当且仅当
时，
是互斥事件
B．若
，
，则
是必然事件
C．若
，
，则
时
是独立事件
D．若
，且
，则
是独立事件
【答案】ACD
【解析】对于A，因为
，所以
是互斥事件，所以A 正确，
对于B，若事件
为“抛骰子点数出现1 或2”，则
，若事件
为“抛骰子点数出现的是小于等于
4”，则
，
而此时
不是必然事件，所以B 错误，
对于C，因为
，
，
，
，
所以
，得
，
所以
，所以
是独立事件，所以C 正确，
对于D，因为
，所以
，
因为
，
，所以
，
所以
是独立事件，则
也是独立事件，所以D 正确，
故选：ACD
8．（2023 山东）（多选）某个班级共有学生40 人，其中有团员15 人．全班共分成4 个小组，第一小组
有学生10 人，其中团员x 人，如果要在班内选一人当学生代表，在已知该代表是团员的条件下，这个代表
恰好在第一小组内的概率是
，则x 不可能的值为（ ）
A．2
B．3
4
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C．4
D．5
【答案】ABD
【解析】设
在班内任选一个学生，该学生属于第一小组，
在班内任选一个学生，该学生是团员
．
则由已知
，
，
所以
，所以
，故C 正确．
故选：ABD.
9．（2023 春·安徽滁州）某校开展羽毛球比赛，甲组有选手6 名，其中3 名男生，3 名女生；乙组有选手5
名，其中3 名男生，2 名女生．现从甲组随机抽取一人加入乙组，再从乙组随机抽取一人，A 表示事件“从
甲组随机抽取的一人是女生”，
表示事件“从乙组随机抽取的一人是男生”，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】A 选项，在A 发生时，从乙组随机抽取一人，有6 种可能情况，其中抽取的一人是男生有3 种可
能情况，所以
，A 正确；
B 选项，在A 发生时，从乙组随机抽取一人，其中抽取的一人是女生有3 种可能情况，所以
错误；
C 选项，在
发生时，从乙组随机抽取一人，有6 种可能情况，其中抽取的一人是男生有4 种可能情况，
所以
，C 正确；
D 选项，在
发生时，从乙组随机抽取一人，有6 种可能情况，其中抽取的一人是女生有2 种可能情况，
5
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所以
，D 错误.
故选：AC．
10．（2023 秋·广东佛山·高三统考开学考试）（多选）设A，B 是一个随机试验中的两个事件，且
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】由
可知
，
又
可得
，
由
可得
，所以A 错误；
由
可知，
，所以B 正确；
由条件概率公式可得
，即C 正确；
又
可得
，同理
，即D 错误.
故选：BC
11．（2022·安徽安庆）已知
，且
若
，，则
．
【答案】
/
【解析】由
可得
相互独立，
又
，
，
6
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又因为
，所以
，
所以
故答案为：
．
12．（2023 秋·河北保定·高三校联考开学考试）“摸奖游戏”是商场促销最为常见的形式之一，某摸奖游
戏的规则如下：第一次在装有2 个红球、2 个白球的A 袋中随机取出2 个球，第二次在装有1 个红球、1 个
白球、1 个黑球的B 袋中随机取出1 个球，两次取球相互独立，两次取球合在一起称为一次摸奖，取出的3
个球的颜色与获得的积分对应如下表.
所取球的情
况
球同色
三球均不同
色
其他情况
所获得的积
分
100
60
0
(1)设一次摸奖中所获得的积分为X，求X 的分布列和期望；
(2)记甲在这次游戏获得0 积分为事件M，甲在B 袋中摸到黑球为事件N，判断事件M，N 是否相互独立，
并说明理由.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)不相互独立，理由见解析
【解析】（1）由题意得X 的可能取值有100，60，0，
则
，
，
，
所以X 的分布列为
X
100
60
0
P
所以
.
7
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（2）由（1）可知
，
又
，
，
则
，所以事件M，N 不相互独立.
13．（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）大连市是国内知名足球城市，足球氛围浓厚.在2022 年第
22 届卡塔尔足球世界杯阶段，大连二十四中的同学们对世界杯某一分组内的四支球队进行出线情况分析.
已知世界杯小组赛规则如下：小组内四支球队之间进行单循环（每只球队均与另外三只球队进行一场比
赛）；每场比赛胜者积3 分，负者0 分；若出现平局，则比赛双方各积1 分.现假设组内四支球队战胜或者
负于对手的概率均为0.25，出现平局的概率为0.5．
(1)求某一只球队在参加两场比赛后积分
的分布列与数学期望；
(2)小组赛结束后，求四支球队积分相同的概率．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【解析】（1）球队参加两场比赛后积分
的取值为0，1，2，3，4，6，
则
，
，
，
，
，
，
所以随机变量X 的分布列为：
0
1
2
3
4
6
随机变量
的数学期望：
.
（2）由于小组赛共打6 场比赛，每场比赛两个球队共积2 分或者3 分；
6 场比赛总积分的所有情况为12 分，13 分，14 分，15 分，16 分，17 分，18 分共7 种情况，
8
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要使四支球队积分相同，则总积分被4 整除，所以每只球队总积分为3 分或者4 分.
若每支球队得3 分：
则6 场比赛都出现平局，其概率为：
；
若每支球队得4 分：则每支球队3 场比赛结果均为1 胜1 平1 负，
其概率为：
﹒
所以四支球队积分相同的概率为
.
14．（2023·云南保山）旅游业是保山市特色产业，我市有热海风景区和顺古镇银杏村等多个著名景
､
､
点.2022 年，随着新冠疫情防控常态化，保山市有效统筹疫情防控和经济社会发展，全市文化旅游产业持
续复苏，为进一步推动旅游业发展，市旅游局对市民近半年的旅游情况进行了统计调查，其中去过3 个或
3 个以上景点的称为“旅游达人”，否则称为“非旅游达人”，从参与调查的人群中随机抽取了100 人的
数据进行统计分析，得到如下
列联表：
旅游达
人
非旅游达人
合计
男
20
50
女
15
合计
100
附：参考公式：
.
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
(1)请将
列联表补充完整，并依据
的独立性检验，判断称为“旅游达人”或“非旅游达人”与
性别是否有关联？
(2)现从抽取的男性人群中，按“旅游达人”和“非旅游达人”这两种类型进行分层抽样抽取5 人，然后再
从这5 人中随机选出3 人，设抽到“非旅游达人”的人数为
，求
的分布列和数学期望.
【答案】(1)列联表答案见解析，“旅游达人”或“非旅游达人者”与性别有关联，此推断犯错误的概率不
大于0.005
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(2)分布列答案见解析，数学期望：
【解析】（1）
旅游达
人
非旅游达人
合计
男
20
30
50
女
35
15
50
合计
55
45
100
零假设为
：称为“旅游达人”或“非旅游达人”与性别无关，
经计算
故推断
不成立，即称为“旅游达人”或“非旅游达人者”与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于
0.005.
（2）按分层抽样抽取的5 人中：2 名为“旅游达人”，3 名为“非旅游达人”.
则从这5 人中随机选出3 人，
的所有可能取值为
.
，
所以，
的分布列为
1
2
3
所以
.
15．（2023 春·江苏南京）为了迎接4 月23 日“世界图书日”，我市将组织中学生进行一次文化知识有奖
竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在
内的学生获三等奖，得分在
内的学生获二等奖，得分在
内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100 名学生
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的竞赛成绩，统计如下
成绩（分）
频数
6
12
18
34
16
8
6
(1)若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；
(2)若我市所有参赛学生的成绩
近似服从正态分布
，利用所得正态分布模型解决以下问题：
（ⅰ）若我市共有10000 名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79 分的学生数（结果四舍五入到
整数）；
（ⅱ）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于100000）随机抽取3 名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64
分以上的学生数为
，求随机变量
的分布列及均值．
附参考数据：若随机变量
服从正态分布
，则
，
．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）分布列见解析，
【解析】（1）从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为
，设“抽取的两名学生中恰
有一名学生获奖”为事件A，
则事件
包含的基本事件的个数为
，因为每个基本事件出现的可能性都相等，所以
，
即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为
；
（2）（ⅰ）因为
，所以
，
故参赛学生中成绩超过79 分的学生数约为
；
（ⅱ）由
，得
，即从所有参赛学生中堕机抽取1 名学生，该生竞赛成绩在64 分以上
11
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的概率为
，所以随机变量
服从二项分布
，所以
，
，
，
，
所以随机变量
的分布列为：
0
1
2
3
.
16．（2023·全国·高二专题练习）《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015 年5 月
印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领．制造业
是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基.发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作
为建设制造强国的生命线.某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从
正态分布
，并把质量差在
内的产品为优等品，质量差在
内的产品为
一等品，其余范围内的产品作为废品处理，优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随
机抽取1000 件，测得产品质量差的样本数据统计如下：
12
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(1)根据频率分布直方图，求样本平均数；
(2)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为
的近似值，用样
本标准差s 作为
的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率.（同一组中的数据用该组区间的中点值代
表）
[参考数据：若随机变量
服从正态分布
，则：
，
，
.
(3)假如企业包装时要求把3 件优等品和4 件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品
进行检验，记摸出三件产品中优等品的件数为X，求X 的分布列以及期望值.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，
；
【解析】（1）由频率分布直方图可知，
.
（2）由题意可知，样本方差
，故
，所以
，
该厂生产的产品为正品的概率：
；
（3）X 所有可能值为0，1，2，3.
，
，
13
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，
.
所以
的分布列为
数学期望
.
17．（2023·北京·高三景山学校校考期中）某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况.从全体学
生中，随机抽取12 名进行体质健康测试，测试成绩（百分制）如下
62ㅤ65ㅤ72ㅤ78ㅤ86ㅤ86ㅤ86ㅤ87ㅤ87ㅤ88ㅤ90ㅤ98
根据学生体质健康标准，成绩不低于76 的为优良.
(1)写出这组数据的众数和中位数；
(2)将频率视为概率.根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3 人进行体质健康测试，求至少有1 人成
绩是“优良”的概率；
(3)从抽取的12 人中随机选取3 人，记ξ 表示成绩“优良”的学生人数，求
的分布列及数学期望.
【答案】(1)这组数据的众数是86，中位数是86；
(2)
；
(3)分布列见解析，期望为
．
【解析】（1）这组数据的众数是86，中位数是
；
（2）抽取的12 人中成绩是“优良”的有9 人，频率为
，
依题意得从该校学生中任选1 人，成绩是“优良“的概率为
，
设事件A 表示“在该校学生中任选3 人，至少有1 人成绩是“优良””，
则
；
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（3）由题意可得，
的可能取值为0，1，2，3．
，
，
，
．
ξ
∴的分布列为
0
1
2
3
P
∴
的期望
1．（2022 秋·广东东莞·高三校考阶段练习）（多选）盒子中共有4 只黑球，2 只白球，现从中不放回地每
次任取一球，连取两次，则下列选项正确的是（ ）
A．第一次取到黑球的概率为
B．事件“第一次取到黑球”和“第一次取到白球”互斥不对立
C．在第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率为
D．第二次取到黑球的概率为
【答案】AC
【解析】对于A，第一次取到黑球的概率为
，故A 正确；
对于B，事件“第一次取到黑球”包括第一次取到黑球第二次取到黑球，
15
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或者第一次取到黑球第二次取到白球两种情况；
“第一次取到白球”包括第一次取到白球第二次取到白球，
或者第一次取到白球第二次取到黑球两种情况，
所以事件“第一次取到黑球”和“第一次取到白球”即互斥又对立，故B 错误；
对于C，设第一次取到白球为事件
，第二次取到黑球为事件
，
则第一次取到白球第二次取到黑球的概率为
，
，
所以在第一次取到白球的条件下，
第二次取到黑球的概率为
，故C 正确；
对于D，第二次取到黑球包括第一次取到黑球第二次取到黑球，
或者第一次取到白球第二次取到黑球两种情况，
所以第二次取到黑球的概率为
，故D 错误.
故选：AC.
2．（2023·广东佛山·统考模拟预测）现随机安排甲、乙等4 位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，
要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件
“甲参加跳高比赛”，事件
“乙
参加跳高比赛”，事件
“乙参加跳远比赛”，则（ ）
A．事件A 与B 相互独立
B．事件A 与C 为互斥事件
C．
D．
【答案】C
【解析】对于A，每项比赛至少一位同学参加，则有
不同的安排方法，
事件
“甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2 人，则有
种方法；
若跳高比赛安排1 人，则有
种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有
种，
则
，同理
，
若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2 人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1 人，有
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种不同的安排方法，所以
，
因为
，事件A 与B 不相互独立故A 错误；
对于B，在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件，事件A 与C 可以同时发生，故事件A
与C 不是互斥事件，故B 错误；
对于C，在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有
种，所以
，所以
，故C 正确；
对于D，
，故D 错误.
故选：C
3．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）某人在
次射击中击中目标的次数为
，
，
其中
，击中奇数次为事件
，则（ ）
A．若
，则
取最大值时
B．当
时，
取得最小值
C．当
时，
随着
的增大而增大
D．当
时，
随着
的增大而减小
【答案】C
【解析】对于选项A，在
次射击中击中目标的次数
，
当
时对应的概率
，
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因为
取最大值，所以
，
即
，
即
，解得
，
因为
且
，所以
，即
时概率
最大．故A 不正确；
对于选项B，
，当
时，
取得最大值，故B 不正确；
对于选项C、D，
，
，
，
当
时，
为正项且单调递增的数列，所以
随着
的增大而增大，故
C 正确；
当
时，
，
为正负交替的摆动数列，所以
不会随着
的增大而减小，
故D 不正确；
故选：C.
4．（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）（多选）已知
是两个事件，且
，则事件
相
互独立的充分条件可以是（ ）
A．
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B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】若
，
则事件
没有共同部分，即互斥，
得不出事件
相互独立，A 错；
由
，
得
，
则
，
得
，
即
，
则事件
相互独立，B 正确；
由
，
即
，
得
，
即
，
则事件
相互独立，C 正确；
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由
，①
且
，②
②式两边平方，并利用①式可得，
，③
结合①③，可得，
，
则
，
所以
，
,
所以
，
即事件
相互独立，D 正确
故选：BCD
5．（2023·山东淄博·统考三模）（多选）某种子站培育出A、B 两类种子，为了研究种子的发芽率，分别
抽取100 粒种子进行试种，得到如下饼状图与柱状图：
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用频率估计概率，且每一粒种子是否发芽均互不影响，则（ ）
A．若规定种子发芽时间越短，越适合种植，则从5 天内的发芽率来看，B 类种子更适合种植
B．若种下12 粒A 类种子，则有9 粒种子5 天内发芽的概率最大
C．从样本A、B 两类种子中各随机取一粒，则这两粒种子至少有一粒8 天内未发芽的概率是0.145
D．若种下10 粒B 类种子，5 至8 天发芽的种子数记为X，则
【答案】CD
【解析】从5 天内的发芽率来看，A 类种子为
，B 类种子为
，故A 选项错；
若种下12 粒A 类种子，由题意可知发芽数X 服从二项分布，
，
，
则
，且
，
可得
，且
，
所以
，即
，即有10 粒种子5 天内发芽的概率最大，故B 选项错；
记事件A: 样本A 种子中随机取一粒8 天内发芽；
事件B: 样本B 种子中随机取一粒8 天内发芽；
根据对立事件的性质，这两粒种子至少有一粒8 天内未发芽的概率：
，故C 选项正确；
由题意可知X 服从二项分布，
，
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所以
，故D 选项正确；
故选：CD
6．（2023·湖南常德·常德市一中校考模拟预测）（多选）设
，
是一个随机试验中的两个事件，且
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】对于A：
，
，
所以
，故A 错误；
对于B：
，
，∴
，
，故B 正确；
对于C：
，
，∴
，故C 正确.
对于D：
，
，∴
，∴
，
∴
，所以D 正确.
故选：BCD.
7．（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）（多选）已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙
两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为
，p．记小李在星期一到星期五这5 天每天上班
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路上在甲路口遇到红灯个数之和为
，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为
，则（ ）
A．
B．
C．小李星期一到星期五上班路上恰有3 天至少遇到一次红灯的概率的最大值为
D．当
时，
【答案】BC
【解析】对于A，B，小李在星期一到星期五这5 天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为
，
则
，则
，
，
故A 错误，B 正确；
对于C，由题意可设一天至少遇到一次红灯的概率为
，
星期一到星期五上班路上恰有3 天至少遇到一次红灯的概率为
，
设
，则
，
令
，则
（舍去）或
或
，
当
时，
，当
时，
，
故
时，
取得最大值，即
，
即小李星期一到星期五上班路上恰有3 天至少遇到一次红灯的概率的最大值为
，
此时
，故C 正确；
对于D，当
时，一天中不遇红灯的概率为
，
遇到一次红灯的概率为
，遇到两次红灯的概率为
，
故一天遇到红灯次数的数学期望为
，
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所以
，故D 错误，
故选：BC
8．（2023·山东泰安·统考模拟预测）某蓝莓基地种植蓝莓，按个蓝莓果重量
（克）分为
级：
的
为
级，
的为
级，
的为
级，
的为
级，
的为废果．将
级与
级果
称为优等果．已知蓝莓果重量
服从正态分布
．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出个
蓝莓果．记每次抽到优等果的概率为
（可精确到
）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽
出优等果，但抽查次数最多不超过
次，若抽查次数
的期望值不超过，
的最大值为 ．
附：
，
，
【答案】4
【解析】因为蓝莓果重量
服从正态分布
其中
，
，
设第
次抽到优等果的概率
（
），
恰好抽取
次的概率
，所以
，
设
，则
，
两式相减得：
，
所以
，
由
，即
，
的最大值为
．
故答案为：
．
9．（2023·河北·统考模拟预测）随着网络技术的迅速发展，直播带货成为网络销售的新梁道.某服装品牌为
了给所有带货网络平台分配合理的服装量，随机抽查了100 个带货平台的销售情况，销售每件服装平均所
需时间情况如下频率分布直方图.
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(1)求
的值，并估计出这100 个带货平台销售每件服装所用时间的平均数
和中位数；
(2)假设该服装品牌所有带货平台销售每件服装平均所需时间
服从正态分布
，其中
近似为
，
.若该服装品牌所有带货平台约有10000 个，销售每件服装平均所需时间在
范围内的平
台属于“合格平台”.为了提升平台销售业务，该服装品牌总公司对平台进行奖罚制度，在时间大于44.4 分
钟的平台中，每个平台每卖一件扣除
；在时间小于14.4 分钟的平台中，每卖一件服装进行
奖励
元，以资鼓励；对于“合格平台”每卖一件服装奖励1 元.求该服装品牌总公司在所有平台均销售
一件服装时总共需要准备多少资金作为本次平台销售业务提升.（结果保留整数）
附：若
服从正态分布
，则
，
，
.参考数据：
.
【答案】(1)
，
，中位数为
(2)
【解析】（1）由频率分布直方图可得
，解得
.
故平均数
.
设中位数为
，因
，
，故
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，则
，解得
，即中位数为
.
（2）由题意，
，且
，
，
故
，
所以在时间大于
分钟的平台内约有
件；
，
所以在时间小于
分钟的平台内约有
件；
则“合格平台”约有
件，
所以需要资金为
，
由于
，可令
，则
，令
有
，
当
时
，
递减；
当
时
，
递增；
故
有最小值
，故至少需要准备
元.
10．（2023·全国·学军中学校联考模拟预测）双淘汰赛制是一种竞赛形式，比赛一般分两个组进行，即胜
者组与负者组.在第一轮比赛后，获胜者编入胜者组，失败者编入负者组继续比赛.之后的每一轮，在负者
组中的失败者将被淘汰；胜者组的情况也类似，只是失败者仅被淘汰出胜者组降入负者组，只有在负者组
中再次失败后才会被淘汰出整个比赛.A、B、C、D 四人参加的双淘汰赛制的流程如图所示，其中第6 场比
赛为决赛.
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(1)假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为50%，求：
①队伍A 和D 在决赛中过招的概率；
②D 在一共输了两场比赛的情况下，成为亚军的概率；
(2)若A 的实力出类拔萃，即有A 参加的比赛其胜率均为75%，其余三人实力旗鼓相当，求D 进入决赛且先
前与对手已有过招的概率.
【答案】(1)①
；②
.
(2)
【解析】（1）解：假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为50%，即概率为
，
①由题意，第一轮队伍A 和队伍D 对阵，则获胜队伍需要赢得比赛3 的胜利，失败队伍需要赢得比赛4 和
比赛5 的胜利，他们才能在决赛中对阵，
所以A 和D 在决赛中过招的概率为
；
②设
表示队伍D 在比赛中胜利，
表示队伍D 所参加的比赛中失败，
则事件
：队伍D 获得亚军，事件
：队伍D 所参加所有比赛中失败了两场，
事件
：包括
，
，
，
，
五种情况.
其中这五种情况彼此互斥，可得:
，
其中积事件
包括
，
两种情况.
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可得
，
所以所求概率为
.
（2）解：由题意，A 获胜的概率为
，B、C、D 之间获胜的概率均为
，
要使得D 进入决赛且先前与对手已有过招，可分为两种情况：
①若A 与D 在决赛中相遇，分为A1 胜，3 胜，D1 负4 胜5 胜，或A1 负4 胜5 胜，D1 胜，3 胜，
可得概率为
；
②若B 与D 决赛相遇，D1 胜，3 胜，B2 胜3 负5 胜，或D1 胜，3 负，5 胜，B2 胜3 胜，可得概率为
，
③若C 与D 决赛相遇，同B 与D 在决赛中相遇，
可得概率为
；
所以D 进入决赛且先前与对手已有过招的概率.
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