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第 02 讲 排列与组合
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·广东深圳·高二深圳市云顶学校校考期中） （ ）
A．56 B．32 C．50 D．48
【答案】A
【详解】 .
故选：A.
2．（2023春·新疆伊犁·高二统考期中）为配合垃圾分类在学校的全面展开，某学校举办了一次垃圾分类知
识比赛活动.高一､高二､高三年级分别有1名､2名､3名同学获一等奖.若将上述获一等奖的6名同学排成一
排合影，要求同年级同学排在一起，则不同的排法共有（ ）
A．18种 B．36种 C．72种 D．144种
【答案】C
【详解】由题意可得 ，
故选:C
3．（2023秋·黑龙江佳木斯·高三校考开学考试）甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙不相邻，排法
种数为（ ）
A．12 B．36 C．48 D．72
【答案】D
【详解】先排丙、丁、戊三人，共有 种排法，
甲和乙不相邻，再将甲、乙插空，
共有 种排法，故排法种数为 ．
故选：D
4．（2023春·甘肃临夏·高二校考开学考试）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．为
传承和弘扬中华优秀传统文化，某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次．讲
座次序要求“礼”在第一次，“射”和“御”两次相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
A．48种 B．36种 C．24种 D．20种
【答案】A
【详解】依题意，“礼”在第一次，固定，
“射”和“御”两次相邻，两者捆绑，与另外 艺进行排列，
所以“六艺”讲座不同的次序共有 种，
故选：A5．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）已知 ，则m等于（ ）
A．0 B．2或3 C．1或3 D．3
【答案】B
【详解】由 ，得 ，
而 ， ，有 ，所以 或 .
故选：B
6．（2023秋·江苏·高三校联考开学考试）甲、乙、丙等六人相约到电影院观看电影《封神榜》，恰好买到
了六张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（ ）
A．360 B．480 C．600 D．720
【答案】B
【详解】由题意，甲、乙、丙等六人的全排列，共有 种不同的排法，
其中甲、乙、丙三人的全排列有 种不同的排法，
其中甲、乙在丙的同侧有：甲乙丙、乙甲丙、丙甲乙，丙乙甲，共4种排法，
所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为 种.
故选：B.
7．（2023秋·北京东城·高三北京市广渠门中学校考开学考试）鱼缸里有8条热带鱼和2条冷水鱼，为避免
热带鱼咬死冷水鱼，现在把鱼缸出孔打开，让鱼随机游出，每次只能游出1条，直至2条冷水鱼全部游出
就关闭出孔，若恰好第3条鱼游出后就关闭了出孔，则不同游出方案的种数为（ ）
A．16 B．32 C．36 D．48
【答案】B
【详解】由题意得，前2条鱼游出1条冷水鱼，1条热带鱼，第3条为另一条冷水鱼，
先选出一条热带鱼，有 种，再选出一条冷水鱼，有 种，
两条鱼可在第一条鱼和第二条鱼顺序上进行全排列，
则不同游出方案的种数为 .
故选：B
8．（2023秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）“缤纷艺术节”是西大附中的一个特色，学生们
可以尽情地发挥自己的才能，某班的五个节目（甲､乙､丙､丁､戊）进入了初试环节，现对这五个节目的出
场顺序进行排序，其中甲不能第一个出场，乙不能第三个出场，则一共有（ ）种不同的出场顺序.
A．72 B．78 C．96 D．120
【答案】B
【详解】当甲在第三出场时，乙､丙､丁､戊全排列，共有 种；
当甲不在第一、三出场时，共有 种；故共有 种不同的出场顺序.
故选：B
二、多选题
9．（2023春·江苏南通·高二校考期中）在树人中学举行的演讲比赛中，有3名男生，2名女生获得一等奖.
现将获得一等奖的学生排成一排合影，则（ ）
A．3名男生排在一起，有6种不同排法 B．2名女生排在一起，有48种不同排法
C．3名男生均不相邻，有12种不同排法 D．女生不站在两端，有108种不同排法
【答案】BC
【详解】解：由题意得：
对于选项A：3名男生排在一起，先让3个男生全排后再作为一个整体和2个女生做一个全排，共有
种，A错误；
对于选项B：2名女生排在一起，先让2个女生全排后再作为一个整体和3个男生做一个全排，共有
种，B正确；
对于选项C：3名男生均不相邻，先让3个男生全排后，中间留出两个空位让女生进行插空，共有
种，C正确；
对于选项D：女生不站在两端，先从三个男生种选出两个进行全排后放在两端，共有 种，然后将
剩下的3人进行全排后放中间，共有 种，D错误.
故选：BC
10．（2023春·江苏淮安·高二统考期末）有甲、乙、丙等5名同学聚会，下列说法正确的有（ ）
A．5名同学每两人握手1次，共握手20次
B．5名同学相互赠送祝福卡片，共需要卡片20张
C．5名同学围成一圈做游戏，有120种排法
D．5名同学站成一排拍照，甲、乙相邻，且丙不站正中间，有40种排法
【答案】BD
【详解】A选项，5名同学每两人握手1次，共握手 次，故A错误；
B选项，5名同学相互赠送祝福卡片，共需要卡片 张，故B正确；
C选项，5名同学围成一圈做游戏，确定4个人之后，最后一个人的位置也就确定了，所以有 种排
法，故C错误；
D选项，5名同学站成一排拍照，甲、乙相邻，共有 种排法，其中丙站正中间的排法有
种，
所以甲、乙相邻，且丙不站正中间的排法有 种，故D正确.
故选：BD.三、填空题
11．（2023秋·浙江·高三校联考阶段练习）首个全国生态主场日活动于2023.8.15在浙江湖州举行，推动能
耗双控转向碳排放双控．有A，B，C，D，E，F共6项议程在该天举行，每个议程有半天会期．现在有
甲、乙、丙三个会议厅可以利用，每个会议厅每半天只能容纳一个议程．若要求A，B两议程不能同时在
上午举行，而C议程只能在下午举行，则不同的安排方案一共有 种．（用数字作答）
【答案】252
【详解】分两种情况，第一种，A，B议程中有一项在上午，有一项在下午举行，
先从3个上午中选1个和3个下午中选一个，由A，B议程进行选择，有 种选择，
再从剩余的2个下午中选择1个安排C议程，有 种选择，
剩余的3场会议和3个时间段进行全排列，有 种选择，
所以有 种选择，
第二种，A，B议程都安排在下午，C议程也按照在下午，故下午的3个时间段进行全排列，有 种选
择，
再将剩余的3个议程和3个上午时间段进行全排列，有 种选择，
所以有 种选择，
综上：不同的安排方案一共有 种选择.
故答案为：252
12．（2023秋·高二单元测试）老师和学生共10人一起照相，其中1名老师、4名女生、5名男生，排成一
行，要求男生、女生必须分性别站在一起，并且老师不站在两端，那么不同站队方式有 种．
【答案】
【详解】要求男生、女生必须分性别站在一起，可以考虑采用捆绑法，
把男生和女生分别看成一个大元素进行处理．男生站在一起看成一个大元素，
女生站在一起看成一个大元素，老师不站在两端，共有 种排列．
但4名女生、5名男生本身还有排列顺序要求．所以共有 种站队方式．
故答案为：
四、解答题
13．（2023春·新疆喀什·高二校考期中）现有 个人（ 男 女）站成一排．
(1)其中甲必须站在排头有多少种不同排法？
(2)女生必须排在一起，共有多少种不同的排法？
(3)女生两旁必须有男生，有多少种不同排法？
【答案】(1)
(2)
(3)【详解】（1）解： 个人（ 男 女）站成一排，甲必须站在排头，其余 人随便排，
此时，不同的排法种数为 种.
（2）解： 个人（ 男 女）站成一排，女生必须排在一起，将 名女生进行捆绑，形成一个大元素，
此时，不同的排法种数为 种.
（3）解： 个人（ 男 女）站成一排，女生两旁必须有男生，
只需将 名女生插入 名男生在中间形成的 个空中，
此时，不同的排法种数为 种.
14．（2023春·广东佛山·高二统考期中）有2名男生和3名女生排成一排进行拍照，根据下列不同的要
求，求不同的排队方法总数.
(1)其中甲一定要站在最左边；
(2)其中甲不在最左边，乙不在最右边；
(3)其中2名男生要相邻，女生甲、乙不相邻；
【答案】(1)24
(2)78
(3)24
【详解】（1）甲在最左边，则剩下的4个人全排列即可，共有 种方法，
（2）其中甲在最左边时，有 种排法，乙在最右边有 ，
5个人全排列有 ，甲在最左边且乙在最右边时有
所以甲不在最左边，乙不在最右边的排队方法一共有 ；
（3）将两名男生捆绑成一个整体和第三个女生全排列 ，此时形成3个空，
将女生甲乙安排在这3个空中，有 ，两个男生解绑，有 ，
所以总的排法为
B能力提升
1．（2023秋·江苏镇江·高三统考开学考试）某市为了实施教育振兴计划，依托本市一些优质教育资源，每
年都对本市所有在高校就读的定向师范生实施教育教学技能培训，以提高定向师范生的毕业质量.现有5名
即将毕业的定向师范生拟分配到3所学校进行跟岗培训，每名师范生只能跟岗1所学校，每所学校至少分
配1名师范生，则不同的跟岗分配方案共有（ ）
A．150种 B．300种 C．360种 D．540种
【答案】A
【详解】若3所学校分配1名师范生的人数为 时，先取3人看成一个整体，再进行排列，
所以不同的跟岗分配方案有 种；
若3所学校分配1名师范生的人数为 时，注意到有2个学校均分配2名师范生，所以不同的跟岗分配方案有 种；
综上所述：不同的跟岗分配方案共有 种.
故选：A.
2．（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）雅礼女篮一直是雅礼中学的一张靓丽的名片，在刚刚结束的2022
到2023赛季中国高中篮球联赛女子组总决赛中，雅礼中学女篮队员们敢打敢拼，最终获得了冠军．在颁
奖仪式上，女篮队员12人（其中1人为队长），教练组3人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练
组三人要求相邻并站在边上，总共有多少种站法（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】选择左右两边其中一边将教练组3人捆绑看作一个整体安排共有 种排法，
将剩余的11名队员全排列共有 ，
由分步乘法计数原理可得总的站法有 ，
故选:B.
3．（2023春·广东佛山·高二统考期末）如图，某单位计划在办公楼前的一个花坛的A、B、C、D四个区域
重新种花.现有红、蓝、黄、白四种颜色的花可选择，一个区域只种一种颜色的花，且相邻的两个区域不能
种同一种颜色的花，则共有（ ）种不同的种植方案.
A．36 B．48 C．72 D．84
【答案】D
【详解】若选用两种颜色的花，则有 种选择，选择的两种颜色的花种在对角位置，有两种选择，故
共有 种选择，
若选用三种颜色的花，则有 种选择，必有一个对角位置使用同种颜色的花，先选择一个对角，再从
三种颜色的花中选择一种，有 种选择，
另外的对角位置选择不同位置的花，有 种选择，共有 种选择，
若选用四种颜色的花，则有 种选择，
综上：共有 种选择.
故选：D
4．（2023春·广东潮州·高二统考期末）某市安排A，B，C，D，E，F六名党员志愿者到三个基层社区开展党的二十大精神宣讲活动，每个社区至少安排一人，至多安排三人，且A，B两人安排在同一个社区，
C，D两人不安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为 ．
【答案】84
【详解】第一种分配方式为每个社区各两人，则CE一组，DF一组，或CF一组，DE一组，有2种分组方
式，三组人分配到三个社区进行排列，则分配方式共有 种；
第二种分配方式为一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人，
当AB两人一组去一个社区，则剩下的4人，1人为一组，3人为一组，则必有C或D为一组，有 种分
配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有 种分配方法；
当AB加上另一人三人去一个社区，若选择的是C或D，则有 种选择，再将剩余3人分为两组，有
种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有 种分配方法；
若选择的不是C或D，即从E或F中选择1人和AB一起，有 种分配方法，再将CD和剩余的1人共3
人分为两组，有2种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有 种分配方法，
综上共有12＋12＋36＋24＝84种不同的分配方式．
故答案为：84.
5．（2023春·吉林·高二校联考期末）（1）某校选派4名干部到两个街道服务，每人只能去一个街道，每
个街道至少1人，有多少种方法?（结果用数字表示）
（2）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.到了晩上，水果店老
板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不同取法种数?
（结果用数字表示）
【答案】（1）14种；（2）60种.
【详解】（1）依题意，把4名干部按 分成两组，有 种分组方法，按 分成两组，有 种分组
方法，
所以4名干部按要求分到两个街道的不同方法数是 （种）.
（2）依题意，6串香蕉任意收取有 种方法，其中中间一列按从下往上有1种，占 ，最右一列按从下往上只有1种，占 ，
所以不同取法数是 （种）.
6．（2023春·湖南长沙·高二统考期末）从A，B，C等8人中选出5人排成一排.
(1)A必须在内，有多少种排法？
(2)A，B，C三人不全在内，有多少种排法？
(3)A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，都多少种排法？
(4)A不允许站排头和排尾，B不允许站在中间（第三位），有多少种排法？
【答案】(1)4200
(2)5520
(3)240
(4)4440
【详解】（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有 种不同结果，再将这4人与A进行全排列有 种
不同的排法，
故由乘法原理可知共有 种不同排法；
（2）从8人中任选5人排列共有 种不同排法，A，B，C三人全在内有 种不同排法，
由间接法可得A，B，C三人不全在内共有 种不同排法；
（3）因A，B，C都在内，所以只需从余下5人中选2人有 种不同结果，A，B必须相邻，有 种不同
排法，由于C与A，B都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有 种不同排法，再将A、B这个整体与
C插入到选出的2人所产生的3个空位中有 种不同排法，由乘法原理可得共有 种不同排
法；
（4）分四类：第一类：所选的5人无A、B，共有 种排法；
第二类：所选的5人有A、无B，共有 种排法；
第三类：所选的5人无A、有B，共有 种排法；
第四类：所选的5人有A、B，若A排中间时，有 种排法，
若A不排中间时，有 种排法，共有 种排法；
综上，共有4440种不同排法.
