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专题04 幂函数与二次函数（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
幂函数与二次函数近几年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2021 年全国乙（文科），第20 题,12 分
含参二次函数判断正负
导函数
2021 年全国乙（理科），第11 题,5 分
二次函数求最值
椭圆
2022 年全国乙（文科），第20 题,12 分
含参二次函数判断正负
导函数
2022 年全国甲（理科），第17 题,5 分
二次函数求最值
数列
2023 年全国甲（文科），第11 题,5 分
二次函数的单调性
指数函数、不等式比较大小
2023 年全国甲（理科），第13 题,5 分
二次函数的奇偶性
三角函数的奇偶性
2023 年全国乙（文科），第8 题,5 分
含参二次函数判断正负
导函数
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.本小节是高考必考点，考查二次函数求最值以及含参二次函数判断正负；
2.幂函数考查性质；
【备考策略】1.了解幂函数的概念，结合函数的图象，了解它们的变化情况；
2.会用二次函数的思想求最值；
3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质；
4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题；
5.会讨论含参二次函数的正负，从而判断函数的单调性；
【命题预测】1.利用二次函数的思想求最值；
2.讨论含参二次函数的正负，从而判断函数的单调性；
3.会利用幂函数的性质比较大小；
1
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知识讲解
一、幂函数
1.幂函数的定义
形如
的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α 为常数.
2.常见的5 种幂函数的图象
2
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3.常见的5 种幂函数的性质
函数
y=x
y=x2
y=x3
y=x
1
2
y=x-1
定义域
R
R
R
[0,
+∞
)
{x|x∈R,且
x≠0}
值域
R
[0,+∞)
R
[0,+∞)
{ y|y
∈
R,
且
y ≠ 0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非
偶函数
奇函数
4.幂函数的性质
①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第
一、二象限(图象关于
轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶
函数时，图象只分布在第一象限．
②过定点：所有的幂函数在
都有定义，并且图象都通过点
．
③单调性：如果
，则幂函数的图象过原点，并且在
上为增函数．如果
，则幂函数的图
象在
上为减函数，在第一象限内，图象无限接近
轴与
轴．
④奇偶性：当
为奇数时，幂函数为 ，当
为偶数时，幂函数为 ．当
（其中
互质，
和
），若
为奇数
为奇数时，则
是 ，若
为奇数
为偶数时，则
是 ，若
为偶数
为奇数时，则
是 ．
⑤图象特征：幂函数
，当
时，若
，其图象在直线
下方，若
，
其图象在直线
上方，当
时，若
，其图象在直线
上方，若
，其图象在直线
下方．
二、对勾函数
1.定义:形如f(x)=ax+b
x (ab>0)的函数.
2.图象:当a,b 同号时,对勾函数f(x)=ax+b
x 的图象形状类似双勾,故称“对勾函数”,如图所示:
3
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当a,b 异号时,函数f(x)=ax+b
x 的图象形状发生了变化,如图所示:
3. 性质:以一般式y=ax+b
x (x≠0)(a>0,b>0)为例.
(1)定义域:
.
(2)值域:(-∞,-2√ab]∪[2√ab,+∞).当且仅当ax=b
x ,即x=±√
b
a
时取到端点值.
(3)奇偶性:在其定义域上是
.
(4)单调性:在-√
b
a,0 和0,√
b
a
上严格单调递减,在-∞,-√
b
a
和√
b
a,+∞上严格单调递增.
判断函数为幂函数的方法
(1)自变量x 前的系数为1.
(2)底数为自变量x.
(3)指数为常数.幂函数的特征:(1)幂函数的形式是y=xα(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确
定其解析式.(2)判断幂函数y=xα(α∈R)的奇偶性时,当α 是分数时,一般先将其化为根式,再判断.(3)若幂函数
y=xα在(0,+∞)上单调递增,则α>0,若在(0,+∞)上单调递减,则α<0.
要注意对勾函数的定义域,一般地,对勾函数在整个定义域内没有最值,但在局部有最值;要结合图象,理解与记
忆对勾函数的单调性、对称性、奇偶性等.
三、二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
①一般式：
②顶点式：
③两根式：
4
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（2）求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时，宜用一般式．
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．
③若已知抛物线与
轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求
更方便．
（3）二次函数图象的性质
①二次函数
的图象是一条抛物线，对称轴方程为
顶点坐标是
．
②当
时，抛物线开口向上，函数在
上递减，在
上递增，当
时，
；
当
时，抛物线开口向下，函数在
上递增，在
上递减，当
时，
．
③二次函数
当
时，图象与
轴有两个交点
．
④与y 轴的交点坐标为：(0,c)
（4）一元二次方程
根的分布
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统
和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二
次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．
设一元二次方程
的两实根为
，且
．令
，
从以下四个方面来分析此类问题：
①开口方向：
②对称轴位置：
③判别式Δ=b2−4ac ④端点函数值符号．
①k＜x1≤x2
af (k)>0
②x1≤x2＜k
af (k)>0
5
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③x1＜k＜x2
af (k)<0
④k1＜x1≤x2＜k2
f (k1)⋅f (k2)>0
⑤k1＜x1＜k2 ＜x2
f (k1)⋅f (k2)<0
（5）二次函数
在闭区间
上的最值
设
在区间
上的最大值为
，最小值为
，令
．
（Ⅰ）当
时（开口向上）
①若
，则
②若
，则
③若
，则
6
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①若
，则
②
，则
(Ⅱ)当
时(开口向下)
①若
，则
②若
，则
③若
，则
①若
，则
②
，则
．
(
)
2
b
f
a
(
)
2
b
f
a
(
)
2
b
f
a
(
)
2
b
f
a
0x
(
)
2
b
f
a
0x
(
)
2
b
f
a
(
)
2
b
f
a
(
)
2
b
f
a
(
)
2
b
f
a
0x
(
)
2
b
f
a
0x
7
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考点一、幂函数
1．（2023 年辽宁省名校联盟联考）幂函数
在第一象限内是减函数，则
（
）
A．2 B．
C．
D．
2．（2014 年全国普高招生统考北京卷（理科））下列函数中,在区间
上为增函数的是( ).
A．
B．
C．
D．
3．设a＝
，b＝
，c＝
，则a，b，c 的大小关系是( )
A．a>c>b
B．a>b>c
C．c>a>b
D．b>c>a
1．幂函数
在
上为减函数，则
的值为______.
2．下列函数中，在区间
上是减函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二、对勾函数的图象与性质
1．(2023·河北模拟)已知函数f(x)= x
2+ 4
x
,则该函数在(1,3]上的值域是( ).
A．[4,5)
B．(4,5)
C．
[13
3 ,5)
D．[
13
3 ,5]
2．已知函数
f ( x)=ax + b
x ,其中a,b 为常数,且f (1)=5,f (2)=4 .
8
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(1)求a,b 的值;
(2)求函数f ( x)在区间[1,3]上的最大值和最小值.
1．已知函数
y=x+ a2
x (a>0)
在(−∞，−a)和（a,+∞）内均为单调递增函数,在(−a，0)和（0,a）内均为单
调递减函数.若函数
f ( x)=x+ t
x (t>0)
在集合N*内为单调递增函数,则实数t 的取值范围为 .
2．关于函数
f ( x)=x+ 2
x ( x≥2)
,以下命题正确的是( ).
A．f ( x)的图象关于y 轴对称 B．f ( x)的图象关于原点对称
C．f ( x)无最大值 D．f ( x)的最小值为2√2
考点三、二次函数
1．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．函数
的最小值为（ ）
A．2 B．0
C．
D．6
3．设
，二次函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
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1．（2021 年北京市部分名校模拟）函数
是单调函数的充要条件是（
）
A．
B．
C．
D．
2．函数
的最大值是：（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数y=f ( x)的图象与函数y=ax(a>0
a
且≠1)的图象关于直线y=x 对称，记
g( x)=f ( x)[f ( x)+f (2)−1]．若y=g( x)在区间
上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【基础过关】
1．已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若函数
，当
时函数值
，则
的取值范围是（ ）
A．
；
B．
；
C．
；
D．
．
3．已知幂函数f (x)=(a2+3a−3)xa+3在（0，+∞）上单调递减,若f (x)−f (3−2x)<0,
x
则的取值范围
是( ).
A．（1,3） B．（−∞，0）
C．（−∞，1）∪（3，+∞）
D．（−∞，0）∪（1，3
2
）
10
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4．已知幂函数
的图象在
上单调递减，则
的取值为__ ____.
5．函数
在
上是减函数，则
的取值范围是__________．
6．（2011 年全国普高招生统一考试文科陕西卷）函数
的图象是
A．
B．
C．
D．
7．（2011 年上海市普高招生考试(文科)）下列函数中，既是偶函数，又是在区间
上单调递减的函数
为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．(2023·郑州模拟)若幂函数f ( x)=(m2−3m+3)xm 的图象关于y 轴对称,则实数m= .
9．函数
的最大值为___________．
10．若函数
在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则
的值( ).
A．与a 有关，且与b 有关
B．与a 有关，但与b 无关
C．与a 无关，且与b 无关
D．与a 无关，但与b 有关
12．若函数
，
的图象关于直线
对称，则
____ __.
13．已知a ，b ，c∈R ，函数f ( x)=ax 2+bx +c .若f (0)=f （4）>f (1)，则（ ）
A．a>0 ，4 a+b=0 B．a<0 ，4 a+b=0
C．a>0 ，2a+b=0
D．a<0 ，2a+b=0
【能力提升】
1．（2023 年广东省部分名校联考）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若f ( x)=x
2
3−x
1
2 ，则满足f ( x)<0 的x 取值范围是_____.
3．若函数
在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数
在
上是增函数，则a＝______.
4．已知幂函数
（
且p 与q 互质）的图像如图所示，则（ ）
11
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A．p、q 均为奇数且
B．p 为奇数，q 为偶数且
C．p 为奇数，q 为偶数且
D．p 为偶数，q 为奇数且
5．已知
，
，
，则a、b、c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2012 年全国普高招生统一考试文科（重庆卷））设函数
集合
则
为( ).
A．
B．（0，1）
C．（-1，1）
D．
7．已知函数f ( x)=2 x+bx ，则“b<0 ”是“f (f ( x))的最小值与f ( x)的最小值相等”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（2014 年全国普高招生统一理科（上海卷））f ( x)={
( x−a)2, x≤0,
x+ 1
x +a, x>0, 若
f (0)
是
f ( x)
的最小值，则
a 的取值范围为（ ）
A．[-1,2]
B．[-1，0]
C．[1，2]
D．
9．（2021 陕西省部分名校模拟）函数
和
的递增区间依次是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2015 年全国普高招生统一考试理科（四川卷））如果函数
在区间
上单调递减，则mn 的最大值为（ ）
A．16
B．18
C．25
D．
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11．（2014 年全国普高招生统一考试理科（天津卷））已知函数
，
．若方程
恰有4 个互异的实数根，则实数
的取值范围为__________．
【真题感知】
1．（2023 年新高考天津数学高考真题）若
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2022 年高考天津卷真题）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2021 年山东省春季高考数学真题）关于函数
，以下表达错误的选项是（ ）
A．函数的最大值是1
B．函数图象的对称轴是直线
C．函数的单调递减区间是
D．函数图象过点
4．（2019 年全国统一高考（理科卷）（新课标Ⅱ））若a>b ，则（ ）
A．1n(a−b)>0
B．3a<3b
C．a3−b3>0
D．|a|>|b|
5．（2007 年全国普高招生统一考试理科卷）函数
的一个单调增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
13
