文档文本内容
第03 讲 幂函数与二次函数
目录
考情探究.........................................................................................................................2
知识梳理.........................................................................................................................2
探究核心考点.................................................................................................................4
考点一 幂函数的图象..................................................................................................................4
考点二 幂函数的单调性与奇偶性..............................................................................................7
考点三 利用幂函数单调性进行大小比较..................................................................................8
考点四 幂函数的综合应用..........................................................................................................9
考点五 二次函数的综合应用......................................................................................................9
三阶突破训练...............................................................................................................10
基础过关......................................................................................................................................10
能力提升......................................................................................................................................11
真题感知......................................................................................................................................12
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024 年新I 卷，第1 题,5 分
解三次不等式
交集的概念及计算
2023 年新I 卷，第1 题,5 分
二次函数图象解不等式
集合间的基本运算
2023 年新I 卷，第4 题,5 分
二次函数单调区间求参数值
或范围
函数的单调性求参数值
判断指数型复合函数的单调性
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握幂函数的基本
性质，难度中等偏下
【备考策略】1.掌握幂函数的定义及一般形式，掌握
的图
象和性质
2.理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)
3.理解并掌握幂函数
的单调性和奇偶性
4.会解一元二次不等式、分式不等式、单绝对值不等式和高次不等式
【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考
知识点1 幂函数的定义及一般形式
一般地，函数 叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．
知识点2 幂函数的图象和性质
（1）常见的五种幂函数的图象
（2）幂函数的性质
①所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点(1,1)．
②如果α >0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数．
③如果α <0，则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数，且在第一象限内：当x 从右边趋向于原点时，图象在y
轴右方且无限地逼近y 轴；当x 无限增大时，图象在x 轴上方且无限地逼近x 轴．
（3）常见的五种幂函数的性质
解
析
式
y = x
y = x
2
y = x
3
y = 1
. x
y = x
1
2
图
象
定
义
域
值
域
奇
偶
性
单
调
性
定
(1,1)
点
知识点3 幂函数的奇偶性
知识点4 二次函数及其性质
一元二次函数y =a x
2+bx +c (a≠0)有如下性质：
（1）函数y =a x
2+bx +c的图象是一条 ，顶点坐标是 ，对称轴是直线 ．
（2）当a>0时，抛物线开口向上．在区间(−∞,−b
2a)上，函数值y 随自变量x 的增大而减小；在区间
[−b
2a ,+∞)上，函数值y 随自变量x 的增大而增大．函数在x =−b
2a处有最小值，即 ．
当a<0时，抛物线开口向下．在区间(−∞,−b
2a)上，函数值y 随自变量x 的增大而增大；在区间
[−b
2a ,+∞)上，函数值y 随自变量x 的增大而减小．函数在x =−b
2a处有最大值，即 ．
考点一 幂函数的图象
典例1．若幂函数
与
在第一象限内的图象如图所示，则
与
的取值情况为（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．（2025·江西·一模）若直线
与幂函数
，
，
的图象从左到右依次交于
不同的三点
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
典例3．若函数
的图象如图所示，则函数
的图象大致为
（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练1．幂函数
，
，
，
在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（ ）
A．
，
，
，
B．
，
，
，
C．
，
，
，
D．
，
，
，
跟踪训练2．在同一个坐标系中，函数
的部分图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练3．幂函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二 幂函数的单调性与奇偶性
典例1．已知幂函数
的图像经过点
，则（ ）
A．
的定义域为
B．
为奇函数
C．
为减函数
D．
的值域为
典例2．（2025·广东·三模）下列函数中，既是奇函数又在
单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例3．（2025·湖南·一模）已知幂函数
在
上单调递增，则m 的值为（ ）
A．1
B．-3
C．-4
D．1 或-3
典例4．已知幂函数
是
上的偶函数，且函数
在区间
上单调
递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练1．（2025·湖北·模拟预测）已知幂函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
为奇函数
B．
在其定义域上单调递减
C．
D．
跟踪训练2．幂函数
在区间
上单调递增，且
，则
的值
（ ）
A．恒大于0
B．恒小于0
C．等于0
D．无法判断
跟踪训练3．已知幂函数
（
且
互质）的图象关于y 轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q 均为奇数，且
B．q 为偶数，p 为奇数，且
C．q 为奇数，p 为偶数，且
D．q 为奇数，p 为偶数，且
考点三 利用幂函数单调性进行大小比较
典例1．“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
典例2．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
为幂函数，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练1．已知幂函数
的图象过点
．设
，
，
，则
，
，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．（多选）已知幂函数
的图象经过点
，
，
是函数图象
上的任意不同两点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点四 幂函数的综合应用
典例1．（2025·天津·二模）已知函数
，则此函数是（ ）
A．偶函数，且在区间
上单调递减B．偶函数，且在区间
上单调递增
C．奇函数，且在区间
上单调递减D．奇函数，且在区间
上单调递增
典例2．（2025·河南·模拟预测）已知函数
，若
，则
的最大值为
.
跟踪训练1．（2025·云南·模拟预测）已知幂函数
，写出一个使得不等式
成立的自然数
的值 .
跟踪训练2．已知幂函数
的图象关于
轴对称，且在
上单调递减，则满足
的实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点五 二次函数的综合应用
典例1．若函数
在
上不单调，则实数a 的取值范围为 .
典例2．（2025·天津红桥·模拟预测）已知二次函数
的值域为
，则
的
最小值为 .
典例3．（2025·云南大理·模拟预测）已知
，
是定义域为
的函数，且
是偶函数，
是
奇函数，满足
，若对任意的
，都有
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练1．已知函数
，若
，则实数
的取值范围是 ．
跟踪训练2．已知当
时，函数
的最大值为
，则
的值为
跟踪训练3．已知函数
，若当
时，
恒成立，则实数
的取值范围是
．
一、单选题
1．（2025·上海·模拟预测）幂函数
在
上是严格减函数，且经过
，则
的值可能是
（ ）．
A．
B．
C．
D．3
2．（2025·江苏盐城·三模）“
”是“
为幂函数”的（ ）条件．
A．充要
B．必要不充分
C．既不充分也不必要D．充分不必要
3．（2025·广东揭阳·三模）下列函数是奇函数且在
上单调递增的为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·云南昆明·一模）已知函数
（
），实数
，
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·青海西宁·二模）已知函数
在区间
上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·河南南阳·模拟预测）已知
是增函数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·湖北宜昌·二模）已知
，函数
的值域为
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
8．（2025·上海浦东新·三模）已知幂函数
在
上严格增，则实数
9．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知幂函数
的定义域为
，其图象关于原点对称，且在
上单调递增，则
的值可以是 .（写出一个即可）
10．（2025·全国·模拟预测）若函数
（
且
）的图象过定点A，且点A 在幂函
数
上，则
．
一、单选题
11．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知点
在幂函数
的图象上，设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知
，
，
，若
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2025·江苏南通·模拟预测）已知函数
若对于任意
，
，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2025·贵州黔南·三模）设函数
，当
时，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2024·安徽淮北·二模）当实数变化时，函数
最大值的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
二、填空题
17．（2025·河南·三模）已知函数
，若存在实数b，使函数
恰有三个零点，
则a 的取值范围为 ．
一、单选题
18．（2025·天津·高考真题）函数
的零点所在区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（2023·天津·高考真题）设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
