第03 讲 三角函数的图象与性质
目录
考情探究.........................................................................................................................2
知识梳理.........................................................................................................................3
探究核心考点.................................................................................................................5
考点一 正弦函数的图象与性质 ................................................................................................5
考点二 余弦函数的图象与性质..................................................................................................7
考点三 正切函数的图象与性质..................................................................................................9
考点四 函数y = Asin(ωx +φ)的图象变换.................................................................................11
考点五 由图象确定三角函数的解析式....................................................................................13
考点六 三角函数的应用............................................................................................................15
考点七 三角函数的零点问题....................................................................................................17
考点八 三角函数的最值问题....................................................................................................18
考点九 求ω的取值范围.............................................................................................................19
考点十 三角函数新定义............................................................................................................21
三阶突破训练...............................................................................................................23
基础过关......................................................................................................................................23
能力提升......................................................................................................................................25
真题感知......................................................................................................................................26
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025 年新I 卷，第4 题,5 分
正切函数的性质
无
2025 年北京卷，第8 题,5 分
三角函数的图象与性质
辅助角公式
2025 年天津卷，第8 题,5 分
三角函数的图象与性质
无
2024 年新I 卷，第7 题,5 分
正弦函数的图象与性质
无
2024 年新Ⅱ卷，第6 题,5 分
三角函数的图象与性质
函数奇偶性
2024 年北京卷，第6 题,5 分
正弦型函数的性质
无
2024 年天津卷，第7 题,5 分
正弦型函数的性质
无
2024 年天津卷，第2 题,5 分
三角函数的性质
函数的奇偶性
2023 年上海卷，第15 题,5 分
正弦函数的性质
无
2023 年甲卷，第15 题,5 分
余弦型函数的图象与性质
三角函数的图象变换
2023 年乙卷，第6 题,5 分
正弦型函数的图象与性质
无
2023 年北京卷，第17 题,12 分
正弦型函数的图象与性质
辅助角公式
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低，分值为5 分
【备考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，能够判断元素与集合、集合与集合的关系
2.能掌握集合交集、并集、补集的运算和性质
3.具备数形结合的思想意识，会借助Venn 图、数轴等工具解决集合的计算问题
4.会解一元二次不等式、一元二次方程、简单的分式不等式、简单的根号不等式，简单的指
对不等式，简单的高次不等式和简单的单绝对值不等式
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给两个集合，要求通过解不等式求出一个集合，然后
通过集合的运算得出答案。
1 正弦函数，余弦函数的图像与性质
注 表中的k ∈Z
y = sinx
y =cosx
图像
定义域
值域
最值
当x = 时，ymax= ；
当x = 时，ymin= .
当x = 时，ymax= ；
当x = 时，ymin= .
周期性
对称中心
对称轴
单调性
在 上是增函数；
在 上是减函数.
在 上是增函数；
在 上是减函数.
2 正切函数的图像与性质
注 表中的k ∈Z
y =tanx
图像
定义域
值域
最值
周期性
对称中心
对称轴
单调性
在 上是增函数
3 A ,ω,φ对f ( x)= Asin(ωx +φ)( A >0,ω>0)的影响
A影响函数f ( x)的 ，ω影响函数f ( x) ，φ影响函数f ( x) .
4 函数的变换
(1) 平移变换
① y = f (x)⟶ y = f ( x ±a)(a>0)将y = f ( x)图像沿x轴向 平移 个单位(左加右减)；
② y = f (x)⟶y = f (x)± b (b>0)将y = f ( x)图像沿x轴向 平移 个单位(上加下减).
(2) 伸缩变换
① y = f (x)⟶ y = A f (x)( A >0)
将y = f ( x)图像 不变，纵坐标 到原来的 倍(A >1伸长，A <1缩短).
② y = f (x)⟶ y = f (ω x)(ω>0)
将y = f ( x)图像 不变，横坐标缩到原来的 倍( ω>1缩短，ω<1伸长).
考点一 正弦函数的图象与性质
典例1．（多选）（2025·湖北武汉·三模）已知函数f (x)=sin(2 x - π
6)，则（ ）
A．f (x)的最小正周期为π
B．f (x)在区间(0,π
6 )上单调递增
C．f (x)的一个对称中心为(
7 π
12 ,0)
D．f (x)图象上所有的点向左平移π
6 个单位长度后关于y轴对称
典例2．（2025·江西·模拟预测）定义：闭区间[a，b]的长度为b-a，已知函数f ( x)=2sin(ωx +φ)(ω>0)
同时满足以下3 个条件：①在任意一个区间长度为π
4 的闭区间内，都不存在x1, x2，使得
|f (x1)- f (x2)|= 4；②f(
π
6 )= f (π)；③(
49π
300 ,f(
49π
300 ))是函数f ( x)图象的一个对称中心，则实数ω
的最大值为 .
典例3．（2025·河南·模拟预测）如图，x1, x2, x3是函数f (x)=sin(ωx +φ)-b(ω>0,φ ,b∈R)的3 个相
邻的零点，且x1< x2< x3, x1+3 x3= 4 x2，则b=（ ）
A．1
2
B．
❑√2
2
C．-
❑√2
2
D．- 1
2
【总结】
1 理解熟记正弦函数的图象与性质；
2 解题的过程要注意整体思想和数形结合的使用；
3 求y = Asin(ωx +φ)+ B的最值或值域，令t =ωx +φ，由x的范围得到t的范围，再由正弦函数的性质求得
最后的最值或值域，注意t 的取值范围。
跟踪训练1．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数f ( x)=sin(2ωx -π
6 )+b(ω>0)的最小正周期为T，且
2π
3 <T < 3π
2 ，函数y = f ( x +π
12 )+1为奇函数，则f (π
4 )=（ ）
A．1
2
B．
❑√3
2 -1
C．
❑√3
2 +1
D．3
2
跟踪训练2．（多选）（2025·福建泉州·模拟预测）已知条件：①函数f (x)在(
π
12 , 7π
12 )单调递增；②函数
f (x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π
2 ；③函数f (x)的一个零点为π
3 .若函数f (x)=sin (ωx +φ)仅
满足上述①②③中的两个，则f (x)可以是（ ）
A．f (x)=sin(4 x -π
3 )
B．f (x)=sin(x -π
3 )
C．f (x)=sin(2 x +π
3 )
D．f (x)=sin(2 x - 2π
3 )
跟踪训练3．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数f ( x)=sin(2ωx -π
6 )+b(ω>0)的最小正周期为T，且
2π
3 <T < 3π
2 ，函数y = f ( x +π
12 )+1为奇函数，则f (π
4 )=（ ）
A．1
2
B．
❑√3
2 -1
C．
❑√3
2 +1
D．3
2
跟踪训练4．（2025·天津北辰·三模）记max {a,b}为a,b中的较大值，则关于函数
f (x)= max{sin x + ❑√3cos x ,sin x - ❑√3cos x}有如下四个命题：
①f (x)的最小正周期为2π；
②f (x)的图象关于直线x = 3π
2 对称；
③f (x)的值域为[-2,2]；
④f (x)在区间(
π
6 ,π
4 )上单调递增.
其中真命题的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
跟踪训练5．（2025·辽宁·三模）函数f ( x)=2cos(ωx +π
3 )，其ω>0，若对于∀x∈(π
3 , 2π
3 )，都有
|f ( x)|<2恒成立，则ω的取值不可能是（ ）
A．1
2
B．1
C．3
2
D．2
考点二 余弦函数的图象与性质
典例1．（多选）（2025·福建福州·模拟预测）已知函数f (x)=cos(2 x +φ)(0<φ<π)的图象关于点
(-π
3 , 0)中心对称，则（ ）
A．f (x)在区间(-π
3 , 0)上单调递增
B．f (x)在区间(-π
6 , π
6 )上的最大值为1
C．直线x = 2π
3 是曲线y = f (x)的对称轴
D．当x ≤0时，函数y =- 2
π x +1的图象恒在函数f (x)的图象上方
典例2．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知函数f (x)= 4cos(ωx - π
12)(ω>0),f (x)在区间[0, π
3]上的最小
值恰为-ω，则所有满足条件的ω的积属于区间（ ）
A．(1,4]
B．[4,7]
C．(7,13)
D．[13,+ ∞)
典例3．（多选）（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数f (x)=sin|x|+|cos x|（ ）
A．f (x)是偶函数
B．f (x)最大值为❑√2
C．f (x)最小值为-1
D．f (x)在(0,π)有两个零点
【总结】
1 理解熟记余弦函数的图象与性质；
2 解题的过程要注意整体思想和数形结合的使用；
3 求y = Acos(ωx +φ)+ B的最值或值域，令t =ωx +φ，由x的范围得到t的范围，再由余弦函数的性质求得
最后的最值或值域，注意t 的取值范围。
跟踪训练1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数f (x)=3cos(ωx +π
6 )(ω>0)的最小正周期为2π
3 ，则
f (x)在[-π
6 ,π
6 ]上的最大值为（ ）
A．1
B．3
2
C．2
D．3
跟踪训练2．（多选）（2025·山东枣庄·二模）已知函数f (x)=cos
4ωx +sin
4ωx (ω>0)的最小正周期为π，
则（ ）
A．ω= 1
2
B．∃x∈R ,f (x)=
❑√5
2
C．f (x)在区间[0,π
2 ]上单调递减
D．f (x)的图象关于点(- 3π
4 , 3
4)对称
跟踪训练3．（2025·山东·二模）对于非空集合M，定义函数φM (x)=¿ A =¿，B =¿，若存在x0∈R，使
得φ A(x0)+φB(x0)=2，则a的取值范围是（ ）
A．(0,π
6 )∪(
5π
6 ,π)
B．(0,π
6 )∪(
3π
4 ,+∞)
C．(0,π
3 )∪(
2π
3 ,2π)
D．(0,π
3 )∪(
13π
12 ,+∞)
跟踪训练4．（2025·山西·模拟预测）已知函数f (x)=3cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<2π)的部分图象如图所示，
A，B 分别是相邻的最高点与最低点，直线AB 的方程为y =-2 x +10，则f (x)=（ ）
A．3cos(
π x
4 +π
4 )
B．3cos(
π x
3 + 5π
6 )
C．-3cosπ x
2
D．3cos(
π x
3 + 7π
6 )
跟踪训练5．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数f ( x)=2cos(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的图象如图，
点A(π
4 ,❑√2)，B 在f ( x)的图象上，过A，B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C，D，若平行四边形
ACBD的面积为
❑√2
2 π，则f ( 7π
24 )=（ ）
A．- ❑√3
B．1
C．❑√2
D．❑√3
考点三 正切函数的图象与性质
典例1．（2023·河南·模拟预测）已知函数f ( x)= tan(2 x +π
3 )，则下列说法正确的是（ ）
A．f (x)为奇函数
B．f (x)在区间[
π
12 , 7π
12 ]上单调递增
C．f (x)图象的一个对称中心为(
π
12 ,0)
D．f (x)的最小正周期为π
典例2．（2025·四川成都·二模）已知函数f (x)=¿若方程f (x)= ❑√3在(0,m]上恰有4 个不同实根，则m的取
值范围是（ ）
A．[
4π
3
, 13π
6 )B．(
4π
3
, 13π
6 ]
C．[
13π
6
, 7π
3 )
D．(
13π
6
, 7π
3 ]
典例3．（多选）（24-25 高一下·山西·期中）已知函数f (x)=tan x
1-tan
2 x
，则下列说法正确的是（ ）
A．f (x)的定义域是¿
B．f (x)是奇函数
C．π是f (x)的一个周期
D．(
π
2 ,0)是曲线y = f (x)的一个对称中心
【总结】
1 理解熟记正切函数的图象与性质，注意正切函数没有对称轴，对称中心是( π
2 ,0)，不是(π ,0)；
2 解题的过程要注意整体思想和数形结合的使用；
跟踪训练1．（2025·广东揭阳·三模）函数f (x)=2025|tan x|的最小正周期是（ ）
A．2π
B．π
C．π
2
D．π
4
跟踪训练2．（2025·江苏盐城·模拟预测）若函数f (x)=tan(ωx +φ)(ω>0,φ>0)的图象与直线y =a的两个
相邻交点之间的距离为π
2 ，且f(x +π
12)为奇函数，则φ的最小值为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
跟踪训练3．（2023·陕西安康·一模）设函数f ( x)=2tan(ωx -π
6 )(ω>0)的图象的一个对称中心为
(
π
6 ,0)，则f (x)的一个最小正周期是（ ）
A．π
2
B．π
13
C．2π
13
D．2π
7
跟踪训练4．（多选）（2025·湖北·模拟预测）函数y = tan x与y =cos x，x∈[0,4π]有n个交点，坐标分
别为(x1, y1),⋅⋅⋅,(xn, yn)(x1< x2<⋅⋅⋅< xn)，下列说法正确的是（ ）
A．sin x1=
❑√5-1
2
B．n= 4
C．∑
i=1
n
xi=8π
D．∑
i=1
n
(xi+ yi)=6π
考点四 函数y = Asin(ωx +φ)的图象变换
典例1．（2025·云南红河·模拟预测）将函数f ( x)=sin( x -φ)的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的1
2，
然后再向左平移5π
6 个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则φ的值可以为（ ）
A．-π
6
B．π
6
C．π
3
D．π
2
典例2．（多选）（2025·河南新乡·模拟预测）将函数f (x)=2cos x的图象向左平移π
3 个单位长度，然后纵
坐标不变，横坐标变为原来的2 倍，得到g(x)的图象，在下列四个结论不正确的选项是（ ）
A．函数g(x)在区间[0, 2π
3 ]上单调递减
B．将g(x)图象向右平移2π
3 个单位后所得到函数图象必关于原点对称
C．点(
π
6 ,0)是函数g(x)图象的其中一个对称中心
D．若ϕ(x)= f (x)± g(x)，则ϕ(x)的最小正周期是2π且ϕ(
π
3)= ❑√3，
【总结】
1 平移变换
① y = f (x)⟶ y = f ( x ±a)(a>0)将y = f ( x)图像沿x轴向左(右)平移a个单位(左加右减)；
② y = f (x)⟶y = f (x)± b (b>0)将y = f ( x)图像沿x轴向上(下)平移b个单位(上加下减).
PS f ( x)=3sin(2 x + π
3 )向左平移π
4 个单位，得到的函数不是f ( x)=3sin(2 x + π
4 + π
3 )，
而是f ( x)=3sin[2( x + π
4 )+ π
3 ].
2 伸缩变换
① y = f (x)⟶ y = A f (x)( A >0)
将y = f ( x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍(A >1伸长，A <1缩短).
② y = f (x)⟶ y = f (ω x)(ω>0)
将y = f ( x)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的1
ω倍( ω>1缩短，ω<1伸长)；
问题 怎么理解呢？例：若将f (x)=3sin(x + π
3)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的1
2倍，那得到的函数
是f (x)=3sin(2 x + π
3)还是f (x)=3sin(
1
2 x + π
3)呢？
解析 我们把f (x)=3sin(x + π
3)的图象想象成一条弹簧，若纵坐标不变，横坐标缩到原来的1
2倍，那说明
弹簧被压缩了，则周期变小，ω会变大(T = 2π
ω ,T与ω成反比)，即变换后的函数应该是
f (x)=3sin(2 x + π
3).
跟踪训练1．（2025·河北石家庄·三模）将函数f (x)=sin(2 x +π
3 )+3的图象向右平移π
12个单位长度，得
到函数g(x)的图象，则函数g(x)图象的一个对称中心是（ ）
A．(-π
12 ,3)
B．(-π
12 ,0)
C．(
π
6 ,3)
D．(
π
6 ,0)
跟踪训练2．（2025·江西新余·模拟预测）已知x =π
6 是函数f (x)=sin (2 x + ϕ)(|ϕ|<π
2 )图象的一条对称轴，
则f (x)的图象可以由g(x)=cos2 x的图象向右平移（ ）个单位长度得到．
A．π
3
B．4π
3
C．5π
6
D．7π
6
跟踪训练3．（2025·全国·模拟预测）已知函数f (x)=sin(ωx +φ+ 13π
2 )¿在(-π
6 ,π
6 )上单调，
f(
7π
12 )=0,f(
π
6 )=- 1
2，若将曲线y = f (x)向右平移m个单位后恰好关于y轴对称，则正数m的最小值为
（ ）
A．2π
3
B．π
3
C．π
4
D．π
6
考点五 由图象确定三角函数的解析式
典例1．（2025•乌鲁木齐模拟）函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，
AC =2❑√3，∠ACB = π
6 ，则ω＝（ ）
A．1
2
B．1
C．π
2
D．π
典例2．（2025•红桥区一模）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜π
2 ）的部分图像如
图所示，则下列正确个数有（ ）
（1）f（x）关于点（π
6 ，3）对称
（2）f（x）关于直线x= π
3 对称
（3）f（x）在区间[π
2 ，5 π
6 ]上单调递减
（4）f（x）在区间（- 5 π
12 ，π
12）上的值域为（1，3）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【总结】
由函数y = Asin(ωx +φ)+ B(A >0,ω>0)的部分图象求解析式的方法
(1) 求A ,B：通过函数最值求解，由{
f max = A + B
f min=- A + B得A = f max - f min
2
， B = f max+ f min
2
；
(2) 求ω：根据图象求出周期T，再利用T = 2π
ω 求出ω；
(3) 求φ：求出A , ω后代入函数图象一最值点，求出φ.
跟踪训练1．（2025•玉林模拟）已知f（x）＝Acos（ωx+φ）[A＞0，ω＞0，|φ|＜π
2 ，x∈R]的部分图象如
图所示，则f（x）的表达式是（ ）
A．2cos( 3
2 x + π
4 ) B．2cos（x+ π
4 ）
C．2cos（2x- π
4 ）
D．2cos（3
2 x - π
4 ）
跟踪训练2．（2025•黑龙江模拟）函数y＝f（x）的部分图象如图所示，已知f (- π
3 )= f (π )=- 1
2，若其解
析式为f ( x)=sin(ωx +φ)(ω＞0，- π
2 ＜φ＜π
2 )，则f ( 5 π
4 )=（ ）
A．1
2
B．
❑√3
2
C．0
D．1
跟踪训练3．（2025•青秀区模拟）在物理学中简谐运动可以用函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞
0，|φ|＜π）来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）的图象关于点( π
6 ，0)成中心对称
B．函数f（x）的解析式可以为f ( x)=2cos(2 x - 2π
3 )
C．函数f（x）在[0，π]上的值域为[0，2]
D．若把f（x）图象上所有点向右平移π
12个单位，则所得函数是y =2sin(2 x + π
12 )
考点六 三角函数的应用
典例1．（2024·浙江·一模）古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类
改造自然的成果之一.如图是一个半径为r的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的
直线为x轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点A (2❑√3,-2)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋
转一周用时60 秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设P点的坐标为( x , y)，其纵坐标满足
y =r sin(ωt +φ)(t ≥0,ω>0,|φ|<π
2 )，当t = 45秒时，|PA|=（ ）
A．4 ❑√2
B．❑√10
C．4 ❑√2- ❑√3
D．4
典例2．（2025·上海金山·二模）如图，现对某景区一长AB =600 m，宽AD =360 m的矩形空地进行建设.
规划在边AB , AD上分别取点M , N修建人行步道（不考虑宽度），且满足点A关于步道MN的对称点E在
边DC上.在△AMN内种植花卉，在△EMN内搭建娱乐设施，其余区域规划为露营区，则人行步道MN的
最短距离为 m.（结果精确到1m）
【总结】
1 对于三角函数在生活或物理中的应用中，求三角函数解析式时根据题意求出最值和周期，再通过某个时
刻的取值求出最后解析式；
2 在几何的最值中，用代数法求解时引入某个角作为参数，要思考好到底哪个角适合。
跟踪训练1．（2025·陕西榆林·模拟预测）交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替
变化.电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I = A sin(ωt +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π
2 )的图象如图所
示，则当t = 1
200秒时，电流强度是（ ）
A．-5安
B．5 安
C．-5 ❑√3安
D．5 ❑√3安
跟踪训练2．（2023·陕西咸阳·二模）如图，正方形ABCD的边长为1，P、Q分别是边AB、DA边上的点，
那么当△APQ的周长为2 时，∠PCQ =（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．5π
12
跟踪训练3．（2025·上海松江·三模）如图，某水库有一个半径为1 百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径
MN平行坝面.坝面上点A满足AC ⊥MN，且AC长度为3 百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小
岛修建三段栈道AB、BD与BE，在半圆小岛上再修建栈道´
ME、´
DN以及MN，水面上的点B在线段AC
上，且BD、BE均与圆C相切，切点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.设
∠CBE =θ，则需要修建的栈道总长度的最小值为 百米.
考点七 三角函数的零点问题
典例1．（2025•华安县模拟）设函数f ( x)=2sin( 1
2 x +φ)-1，若f（x）在[0，5π]内恰有3 个零点，则φ
的取值不可以为（ ）
A．0
B．π
6
C．π
4
D．π
3
典例2．（2025•宝安区模拟）已知a∈R，函数f ( x)=cos( x - 2π
3 )-a在区间[- π
6 ，π ]上有且仅有两个零
点x1，x2，则cos（x1﹣x2）﹣3a 的最小值为（ ）
A．- 17
8
B．- 9
4
C．﹣2
D．3
4
【总结】
1 直接求某个具体函数的零点个数或方程的解个数，先把函数解析式或方程通过三角恒等变换的方法进行
化简；
2 零点存在性问题，需要数形结合，结合周期性单调性进行分析。
跟踪训练1．（2025•鞍山模拟）已知函数f（x）＝cos2x
cos
﹣
x，则函数f（x）在区间[0，2π]上的零点个数
为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
跟踪训练2．（2025•辽宁模拟）设ω＞0，已知函数f（x）＝sin（ωsinx）在区间（0，π）内恰有2025 个零
点，则ω＝（ ）
A．1010π
B．1011π
C．1012π
D．1013π
跟踪训练3．（2025•安徽模拟）下列函数中，同时具有性质：①最小正周期为2π
3 ；②在区间( π
12 ，π
6 )
单调递增；③在[0，π]有3 个零点的一个函数f（x）是（ ）
A．f（x）＝sin|3x|
B．f ( x)=- ❑√2cos3 x
C．f ( x)=|tan 3
2 x|
D．f ( x)= ❑√2sin3 x
考点八 三角函数的最值问题
典例1．（2025•西安模拟）已知函数f ( x)=2sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π
2 )，其最小正周期为2π
3 ，
将f（x）的图象向左平移π
9 个单位长度后得到g（x）的图象，g（x）的图象关于点( π
6 ，0)对称，则当
x∈[0，π
4 ]时，f（x）的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．❑√3
D．
❑√3
2
典例2．（2025•宁德三模）若函数f ( x)=2sin( π
2 x - π
4 )在区间[a，a+1]上的最小值为m，最大值为M，
则（ ）
A．-2≤m≤-
❑√2
2
B．-2≤m≤❑√2
C．❑√2≤M ≤2
D．-
❑√2
2 ≤M ≤2
【总结】
1 求函数的最值时，往往把函数解析式通过三角恒等变换转化为y = A sin (ωx +φ)的形式再求解，求解
过程中往往用到换元法，此时要注意新变量的取值范围；
2 最值存在性问题，需要数形结合分析，同时结合三角函数的周期和单调性进行分析。
跟踪训练1．（2025•苏州模拟）已知函数f（x）＝2cos2ωx+sin2ωx
1
﹣（ω＞0）的图象关于直线x = 5 π
12 对
称，且f（x）在(0，π
3 )上有最大值没有最小值，则ω 的值为（ ）
A．3
10
B．27
10
C．39
10
D．3
2
跟踪训练2．（2025•江西模拟）已知函数f ( x)=sin( x +2θ)+cos( x + 4θ)，θ∈(0，π
4 )是偶函数，则
g（x）＝sinx•sin（x+4θ）的最大值为（ ）
A．- 1
4
B．3
4
C．1
D．1
4
跟踪训练3 ．（2025• 河南模拟）已知A ＞0 ，ω ＞0 ，函数f （x ）＝Asinωx 的图象与函数
g( x)= Asin(ωx + π
3 )的图象相邻的三个交点分别为B，C，D，若△BCD 是边长为12 的等边三角形，
则函数F（x）＝f（x）+g（x）的最大值为（ ）
A．6
B．6 ❑√3
C．12
D．12❑√3
跟踪训练4．（2024•龙凤区校级模拟）设f ( x)=
1
cosx ，将f（x）的图像向右平移π
3 个单位，得到g（x）
的图像，设h（x）＝f（x）+g（x），x∈[ π
12 ，π
4 ]，则h（x）的最大值为（ ）
A．
❑√6
2
B．❑√6
C．2❑√6
D．3 ❑√6
考点九 求ω的取值范围
典例1．（2024•青羊区校级模拟）已知函数f ( x)=sin(ωx +φ)(ω＞0)，x∈[ π
2 ，π ]的值域是[a，b]，
则下列命题错误的是（ ）
A．若b-a=2，φ = π
6 ，则ω 不存在最大值
B．若b-a=2，φ = π
6 ，则ω 的最小值是7
3
C．若b-a= ❑√3，则ω 的最小值是4
3
D．若b-a= 3
2，则ω 的最小值是4
3
典例2．（2025•李沧区一模）已知函数f ( x)=sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|≤π
2 )，x =- π
4 为f（x）的零点，
x = π
4 为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在（π
18，5 π
36 ）单调，则ω 的最大值为（ ）
A．11
B．9
C．7
D．5
【总结】
1 函数y = Asin (ωx +φ)的最小正周期是T = 2π
|ω| ，所以ω= 2π
T ;
2 已知函数y = Asin (ωx +φ)( A >0,ω>0)在[ x1, x2]上单调递增（或递减），求ω的取值范围
第一步：根据题意可知区间[ x1, x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半；
第二步：以单调递增为例，利用[ω x1+φ,ω x2+φ]⊆[- π
2 +2kπ , π
2 +2kπ]，解得ω的范围，
第三步：结合第一步求出的ω的范围对k进行赋值，从而求出ω的取值范围。
3 题中含有k 个对称轴或对称中心，结合三角函数图象分析出取到k 个和k+1 个对称轴（或对称中心）时
的图象，从而得到关于ω的不等式。
4 结合零点个数求ω范围时，对于区间长度的定值的动区间，若区间上至少含有k 个零点，需要确定含有
k
个零点的区间长度，一般和周期相关，若在区间至多含有k 个零点，需要确定含有k+1 个零点的区间长度
的最小值。
跟踪训练1．（2025•青山湖区校级模拟）已知关于x 的方程❑√3(1- sinωx)=cosωx在（0，π）内恰有3 个
不相等的实数根，则ω 的取值范围是（ ）
A．[ 13
6 ，5
2 )
B．( 13
6 ，5
2 ]
C．[ 5
2 ，19
6 )
D．( 5
2 ，19
6 ]
跟踪训练2．（2025•长沙校级一模）将函数f ( x)=cos(ωx + π
6 )(ω＞0)的图象向右平移π
3 个单位长度后
得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间( π
3 ，π
2 )上单调递减，则ω 的最大值为（ ）
A．6
B．5
C．3
D．2
跟踪训练3．（2025•牡丹江校级模拟）已知函数f ( x)=sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|≤π
2 )，x =- π
8 为f
（x）的零点，x = π
8 为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在( π
18 ，π
9 )上单调，则ω 的最大值为
（ ）
A．10
B．12
C．14
D．18
跟踪训练4．（2025•青秀区模拟）已知函数f ( x)=sin(ωx - π
6 )(ω＞0)在区间( π
3 ，π
2 )上单调递增且存
在零点，则ω 的取值范围是（ ）
A．( 1
3 ，4
3 ]∪[5，6] B．( 1
3 ，1
2 )
C．( 1
3 ，1
2 )∪[5，16
3 ]
D．[5，6]
考点十 三角函数新定义
典例1．．（2025·陕西咸阳·模拟预测）音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它
的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某条葫芦曲线的方程为
|y|=(2- 1
2[
2 x
π ])|sinωx|(0≤x ≤2π)，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[-2.1]=-3,1<ω≤3且
ω∈Z，且经过点M(
5
4 π,1)，则该条葫芦曲线与直线x = 5
3 π交点的纵坐标为（ ）
A．±
❑√3
2
B．±
❑√2
2
C．±
❑√3
4
D．±
❑√2
4
典例2．（多选）（2025·河南许昌·三模）如图，点P(a,b)是以(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)为顶点的正
方形边上的动点，角θ以Ox 为始边，OP 为终边，定义S(θ)=
b
|a|+|b| ,C(θ)=
a
|a|+|b| ．则（ ）
A．S(
π
4 )= 1
2 ,C(π)=1
B．S(θ+π
2 )=C(θ)
C．函数y = S( x), x∈[0,π
2 ]的图象关于点(
π
4 , 1
2)对称
D．函数y = S( x), x∈[0,2π]的图象与x轴围成封闭图形的面积为π
跟踪训练1．（2025·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、
正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数cot θ =
1
tanθ ，正割函数
secθ =
1
cosθ ，余割函数cscθ =
1
sinθ ，正矢函数ver sinθ =1-cosθ，余矢函数ver cosθ =1-sinθ.如图角
θ始边为x轴的非负半轴，其终边与单位圆交点P，A、B分别是单位圆与x轴和y轴正半轴的交点，过点P
作PM垂直x轴，作PN垂直y轴，垂足分别为M、N，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线分别交θ
的终边于T、S，其中AM、PS、BS、NB为有向线段，下列表示正确的是（ ）
A．ver sinθ = AM
B．cscθ = PS
C．cot θ = BS
D．secθ = NB
跟踪训练2．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，∠α的终边OP与正方形
ABCD交于点P(x , y)，我们定义∠α的类余弦值Lcosα = x，类正弦值Lsinα = y.则下面叙述正确的是
（ ）
A．对任意的α ∈R ,( Lcosα )
2+( Lsinα )
2=1
B．对任意的α ∈R , Lcosα + Lsinα ≤❑√2
C．f ( x)= Lcos x在区间[π, 7π
4 ]上单调递增
D．对任意的α ∈R , Lcos(π
2 -α )= Lsinα
跟踪训练3．（2025·上海浦东新·三模）著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如y = A sin ωx的
正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是
基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．若对应于y =sin(
80
n
2 +n)x +sin(
80
n
2 -n)x的泛音是对应于
y =sin 2 x
5 的基本音的一个谐波，则正整数n的所有可能取值之和为
1（2025·山东青岛·三模）已知函数f ( x)=sin(ωx +π
3 )+b的图象关于点(
π
2 ,2)中心对称，则f (2π )=
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
2（2025·江苏扬州·三模）当x∈[0,2π]时，曲线y =sin2 x与y =2sin(2 x -π
4 )的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
3（2025·湖北武汉·模拟预测）将函数f (x)=2tan(ωx +π
6 )(ω>0)的图象向左平移π
3 个单位，得到函数
g(x)的图象，若g(x)为奇函数，则ω的最小值是（ ）
A．1
2
B．1
C．2
D．5
2
4（2025·甘肃定西·模拟预测）若函数f (x)=tan(ωx + 2π
3 )(ω>0)在区间(0,π)上单调递增，则ω的取值
范围是（ ）
A．(0, 1
3] B．(0, 1
2] C．(0, 5
6]
D．(0,3]
5（2025·广东广州·三模）已知函数f (x)=2sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|<π
2 )的部分图象如图所示，若A，B，C
是直线y =m(m>0)与函数f (x)图象的从左至右相邻的三个交点，且|AB|= 1
3|BC|，则m=（ ）
A．1
B．❑√2
C．❑√3
D．4
3
6（2025·上海闵行·二模）已知函数y =cos(
π
6 x +π
3 )在区间[a,a+9]上既有最大值1 又有最小值-1，则
关于实数a的取值，以下不可能的是（ ）．
A．2024
B．2025
C．2026
D．2027
7（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，将函数f (x)= 4 sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的图象向左平移得到
g(x)= 4 sin ωx的图象，其中点A 是g(x)图象上的最高点，N , M分别是f (x)，g(x)的图象与x 轴的相邻交
点（如图所示），若| MN |=| AM |，△AMN的面积为10，则f (x)=（ ）
A．4sin(
π
6 x - 5π
6 ) B．4sin(
π
6 x + 5π
6 ) C．4sin(
π
3 x -π
3 )
D．4sin(
π
6 x -π
3 )
8（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知A ,B分别是x , y轴正半轴上的两个动点，且AB = ❑√2，如图，以AB
为边构造正方形ABCD，分别过点C , D向x轴做垂线，垂足依次为E , F，当点A由(❑√2,0)向左运动到原
点的过程中，四边形CEFD面积的变化趋势可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
9（多选）（2025·河北廊坊·模拟预测）“早潮才落晚潮来，一月周流六十回”，潮汐现象是海水受日月的
引力而引起的周期性涨落现象，观察发现某港口的潮汐涨落规律为y = A cos(ωt +φ)+k（其中
A >0,ω>0,0<φ<π, y（单位:m）为港口水深，t（单位:h）为时间，0≤t ≤24）.若某轮船当水深大于
13 m时可以进出港口，根据表格中的观测数据，下列说法正确的是（ ）
时间t
1
4
7
10
13
16
19
22
水深y
11
12.5
14
12.5
11
12.5
14
12.5
A．A =2.5
B．φ= 5π
6
C．该轮船9 点可以进出港口
D．该轮船从0 点到12 点，在港口可停留的时间最长不超过4 小时
10（多选）（2025·安徽合肥·模拟预测）对于函数f (x)=|sin2 x|和g(x)=|cos2 x|，下列正确的有（ ）
A．f (x)与g(x)有相同零点
B．f (x)与g(x)有相同最大值
C．f (x)与g(x)有相同的最小正周期
D．f (x)与g(x)的图象有相同的对称轴
11（多选）（2025·江西·二模）在平面直角坐标系中，曲线C 由函数y =cos x(- 3π
4 ≤x ≤5π
4 ) 和
y =sin x(- 3π
4 ≤x ≤5π
4 )的图象构成，则（ ）
A．C 关于直线 x =π
4 对称 B．C 关于点 (
π
4 ,0)对称
C．直线x =a被C 截得的线段长的最大值为 ❑√2 D．C 围成的图形的面积大于2π
1（2025·福建宁德·三模）若函数f (x)=2sin(
π
2 x -π
4 )在区间[a,a+1]上的最小值为m，最大值为M，
则（ ）
A．-2≤m≤-
❑√2
2
B．-2≤m≤❑√2
C．❑√2≤M ≤2
D．-
❑√2
2 ≤M ≤2
2（2025·天津红桥·模拟预测）设a∈R，函数f ( x)=¿，若函数f ( x)在区间(0,+∞)内恰有6 个零点，则a
的取值范围是（ ）
A．(2, 9
4 ]∪( 5
2 , 11
4 ]
B．( 7
4 ,2]∪( 5
2 , 11
4 ] C．(2, 9
4 ]∪[ 11
4 ,3)
D．
( 7
4 ,2)∪[ 11
4 ,3)
3（多选）（2025·四川成都·模拟预测）函数f (x)= ❑√5sin x + ❑√5cos x的图象向右平移θ(0<θ< π
2)个单位
得到函数g(x)=3sin x +acos x(a<0)的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．a=-2
B．tanθ =2
C．当π
4 ≤x ≤3 π
4 时，g( x)min= ❑√2
D．若π
4 ≤x1< x2≤3 π
4 ，且g(x1)= g(x2)，则g(x1+ x2)=-1
4（多选）（2025·浙江·二模）已知函数f (x)=sin
4 x -cos
2 x，则下列正确的是（ ）
A．π是f (x)的一个周期
B．f (x)的图象关于点(
π
4 ,0)对称
C．f (x)的图象关于直线x =π
2 对称
D．f (x)在区间(
π
2 ,π)上单调递减
5（多选）（2025·河北·模拟预测）已知函数f (x)=sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)，且f (0)= f(
π
2 )=- f (-π)．
则（ ）
A．当ω= 2
3时，φ=π
3
B．当ω=2时，φ =0
C．当ω=3时，φ =π
6 或φ =-5π
6
D．当ω=1时，φ =π
4 或φ =-3π
4
6（多选）（2025·吉林·三模）已知函数f (x)=sin x|cos x|+cos x|sin x|，则下列说法正确的是（ ）
A．f (x)的周期为2π
B．f (x)的图象关于x =π
4 对称
C．f (x)在[0,π]上恰有3 个零点
D．若f (ωx)(ω>0)在[0,π
2 ]上单调递增，则ω的最大值为1
2
7（2025·北京海淀·一模）如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮A和转轮B组成，B的圆心
固定在转轮A上的点Q处，某个座椅固定在转轮B上的点M处．A的半径为10 米，B的半径为5 米，A的
圆心P距离地面竖直高度为20 米．游乐设施运行过程中，A与B分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，
A旋转一周用时π分钟，B旋转一周用时π
2 分钟．当Q在P正下方且M在Q正下方时，开始计时，设在第t分
钟M距离地面的竖直高度为h(t )米．给出下列四个结论：
①h(
π
4)=25；
②h(t )最大值是35；
③M在竖直方向上的速度大小低于40 米/分钟；
④存在t0∈(0,π )，使得t =t0时M到P的距离等于15 米．
其中所有正确结论的序号为 ．
8（2023·山东潍坊·模拟预测）如图，一个直角走廊的宽分别为a，b，一铁棒与廊壁成θ 角，该铁棒欲通过
该直角走廊，则铁棒的长度L= （用含θ 的表达式表示）；当a=b=2 m 时，能够通过这个直角走
的铁的长的最大值为 .
1（2025·全国一卷·高考真题）若点(a,0)(a>0)是函数y =2tan(x -π
3 )的图像的一个对称中心，则a 的
最小值为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．π
2
D．4π
3
2（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当x∈[0,2π ]时，曲线y =sin x与y =2sin(3 x - π
6)的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
3（2024·北京·高考真题）设函数f (x)=sin ωx (ω>0).已知f (x1)=-1，f (x2)=1，且|x1- x2|的最小值为π
2 ，
则ω=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4（2024·天津·高考真题）已知函数f (x)=3sin(ωx +π
3 )(ω>0)的最小正周期为π．则f (x)在区间
[-π
12 ,π
6 ]上的最小值是（ ）
A．- 3 ❑√3
2
B．- 3
2
C．0
D．3
2
5（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A．y = e
x - x
2
e
x+ x
2
B．y = cos x - x
2
x
2+1
C．y = e
x - x
e
x+ x
D．y = sin x - x
x
2+1
6（2025·北京·高考真题）设函数f ( x)=sin ωx +cosωx(ω>0)，若f ( x +π)= f ( x)恒成立，且f ( x)在
[0,π
4 ]上存在零点，则ω的最小值为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．3
7（2025·天津·高考真题）f ( x)=sin(ωx +φ)(ω>0,-π<φ<π)，在[-5π
12 ,π
12]上单调递增，且x =π
12
为它的一条对称轴，(
π
3
,0)是它的一个对称中心，当x∈[0,π
2 ]时，f ( x)的最小值为（ ）
A．-
❑√3
2
B．- 1
2
C．1
D．0
8（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数f ( x)=a( x +1)
2-1，g( x)=cos x +2ax，当x∈(-1,1)时，曲线
y = f ( x)与y = g( x)恰有一个交点，则a=（ ）
A．-1
B．1
2
C．1
D．2
9（2023·上海·高考真题）已知m>0，函数y =sin x在区间[m,2m]上最小值为S，在区间[2m,3m]上的最
小值为t ,m变化时，下列不可能的是（ ）
A．S>0且t >0
B．S<0且t <0
C．S<0且t >0
D．S>0且t <0
10（2023·全国甲卷·高考真题）函数y = f (x)的图象由函数y =cos(2 x +π
6 )的图象向左平移π
6 个单位长度
得到，则y = f (x)的图象与直线y = 1
2 x - 1
2的交点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
11（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数f ( x)=sin(ωx +φ),(ω>0)在区间(
π
6 , 2π
3 )单调递增，直线
x =π
6 和x = 2π
3 为函数y = f (x)的图像的两条相邻对称轴，则f(- 5π
12 )=（ ）
A．-
❑√3
2
B．- 1
2
C．1
2
D．
❑√3
2
12（2023·北京·高考真题）设函数f ( x)=sin ωx cosφ+cosωx sin φ(ω>0,|φ|<π
2 )．
(1)若f (0)=-
❑√3
2 ，求φ的值．
(2)已知f ( x)在区间[-π
3 , 2π
3 ]上单调递增，f(
2π
3 )=1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选
择一个作为已知，使函数f ( x)存在，求ω,φ的值．
条件①：f(
π
3 )= ❑√2；
条件②：f(-π
3 )=-1；
条件③：f ( x)在区间[-π
2 ,-π
3 ]上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
