文档文本内容
第02 讲 等差数列及其前n 项和
目录
考情探究.........................................................................................................................2
知识梳理.........................................................................................................................3
探究核心考点.................................................................................................................5
考点一 等差数列前n 项和基本量的计算..................................................................................5
考点二 等差数列片段和的性质..................................................................................................5
考点三 两个等差数列前n 项和的比值......................................................................................6
考点四 等差数列前n 项和最值..................................................................................................6
考点五 等差数列前n 项和的其他性质......................................................................................7
考点六 等差数列求和的实际应用..............................................................................................7
三阶突破训练.................................................................................................................8
基础过关........................................................................................................................................8
能力提升........................................................................................................................................9
真题感知......................................................................................................................................11
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025 年全国一卷，第7 题，5
分
等差数列及其求和
无
2024 年新I 卷，第19 题,17 分
等差数列通项公式的基本量计算
数列新定义
2024 年新Ⅱ卷，第12 题,5 分
等差数列通项公式的基本量计算
求等差数列前n 项和
无
2024 年全国甲卷，第4 题,5
分
等差数列通项公式的基本量计算
利用等差数列的性质计算
等差数列前n 项和的基本量计算
无
2023 年新I 卷，第7 题,5 分
由递推关系证明数列是等差数列
等差数列前n 项和的性质
充分条件与必要条件的判定
2023 年新I 卷，第20 题,12 分
等差数列通项公式的基本量计算利用等差
数列的性质计算
等差数列前n 项和的基本量计算
无
2023 年新Ⅱ卷，第18 题,12
分
利用定义求等差数列通项公式
等差数列通项公式的基本量计算求等差数
列前n 项和
分组 (并项)-奇偶项求和
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等，小题分值为5-6 分，大题13-17 分
【备考策略】1.理解等差数列的概念
2 掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系并能用等差数列的有关知识解决相应的问题
4.理解等差数列与一次函数的关系及等差数列通项公式与前n 项和的关系
5.熟练掌握等差数列通项公式与前n 项和的性质
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等差数列，或通过构造为等差数列，求通
项公式及前n 项和。需综合复习
一、等差数列
1．等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等
差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．即
，
为常数．
2．等差中项
如果a，A，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且
．
3．等差数列的通项公式及其变形
以
为首项，d 为公差的等差数列
的通项公式为
．
公式的变形：
，
．
4．等差数列与一次函数的关系
由等差数列的通项公式
，可得
．
令
，
，则
，其中
，
为常数．
（1）当
时，
在一次函数
的图象上，数列
的图象是直线
上均匀
分布的一群孤立的点，且当
时数列
为递增数列，当
时数列
为递减数列．
（2）当
时，
，等差数列为常数列，数列
的图象是平行于x 轴的直线（或x 轴）上均
匀分布的一群孤立的点．
二、等差数列的前n 项和
1．等差数列的前n 项和
首项为
，末项为
，项数为n 的等差数列
的前n 项和公式：
．
令
，
，可得
，则
当
，即
时，
是关于n 的二次函数，点
是
的图象上一系列孤立的点；
当
，即
时，
是关于n 的一次函数
，即
或常函数
，即
，
点
是直线
上一系列孤立的点．
我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前n 项和的相关问题．
2．用前n 项和公式法判定等差数列
等差数列的前n 项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列
的前n
项和
，那么当且仅当
时，数列
是以
为首项，
为公差的等差数列；
当
时，数列
不是等差数列．
三、等差数列的性质
1．等差数列的常用性质
由等差数列的定义可得公差为
的等差数列
具有如下性质：
（1）通项公式的推广：
，
．
（2）若
，则am+an=ap+aq
．
特别地，①若
，则
；
②若
，则
．
③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即
（3）下标成等差数列的项
组成以md 为公差的等差数列．
（4）数列
是常数是公差为td 的等差数列．
（5）若数列
为等差数列，则数列
是常数仍为等差数列．
（6）若
，则
．
2．与等差数列各项的和有关的性质
利用等差数列的通项公式及前n 项和公式易得等差数列的前n 项和具有如下性质：
设等差数列
（公差为d）和
的前n 项和分别为
，
（1）数列
是等差数列，首项为
，公差为
．
（2）
构成公差为
的等差数列．
（3）若数列
共有
项，则
，
．
（4）若数列
共有
项，则
，
．
（5）
，
．
考点一 等差数列前n 项和基本量的计算
典例1．在数列
中，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．已知数列
满足：
，
.若
，
(1)求证：
为等差数列.
(2)求数列
的通项公式
跟踪训练1．已知等差数列
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．数列
满足
，
．
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)求数列
的通项公式．
考点二 等差数列片段和的性质
典例1．已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
.
典例2．已知等差数列
的前n 项和为
，若
，
，则
.
跟踪训练1．设等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
跟踪训练2．设
是等差数列{
}的前n 项的和，若
则
.
考点三 两个等差数列前n 项和的比值
典例1．已知等差数列
，
的前
项和分别为
，
，且
，则
．
典例2．两个等差数列
，
的前
项和分别为
和
，已知
，则
的值是 .
跟踪训练1．两个等差数列
和
，其前
项和分别为
，且
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．已知等差数列
的前
项和分别为
，若
，则满足
的正整数
有
（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
跟踪训练3．已知
，
分别为等差数列
，
的前
项和，
，设点
是直线
外一点，
点
是直线
上一点，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点四 等差数列前n 项和最值
典例1．已知等差数列
的前
项和为
，若
，则下列结论正确的是（ ）
A．数列
是递增数列
B．
C．当
取得最大值时，
D．
典例2．在等差数列
中，
，且
是其前
项和，则（ ）
A．
都小于
都大于0
B．
都小于
都大于0
C．
都小于
都大于0
D．
都小于
都大于0
跟踪训练1．设
为等差数列
的前
项和，
.若
，则（ ）
A．
的最大值是
B．
的最小值是
C．
的最大值是
D．
的最小值是
跟踪训练2．（多选）已知数列
是等差数列，公差为
，前
项和为
，且
，则
（ ）
A．当
时，
取最大值
B．使得
的
的最大值为4048
C．使得
的
的最小值为4050
D．
考点五 等差数列前n 项和的其他性质
典例1．等差数列
共有2n+1 项，其中
，
，则n 的值为
A．3
B．5
C．7
D．9
典例2．（多选）等差数列
的前n 项和为
，已知
，
，则下列选项中正确的是
（ ）
A．
，
B．等差数列
的公差
C．使
成立的n 最小为10
D．当
时，
取得最小值
跟踪训练1．设
为等差数列
的前n 项和，且
，
，则
A．
B．
C．2018
D．2016
跟踪训练2．一个等差数列共有2n+1 项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项的值为（
）
A．30
B．31
C．32
D．33
跟踪训练3．在等差数列
中，已知
，
，求
.
考点六 等差数列求和的实际应用
典例1．（2025·山东青岛·三模）《九章算术》是中国古代的数学名著，书中有“分钱问题”：现有5 个人
分5 钱，5 人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少
的一人钱数为（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4
节的容积共3 升，下面3 节的容积共4 升，则第5 节的容积为 升．
跟踪训练1．（2025·江苏宿迁·模拟预测）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大
寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数
列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36 尺，前八个节气日影长之和为92 尺，则谷雨日影长为（ ）
A．15
B．16
C．17
D．18
跟踪训练2．（多选）佛山第一蜂位于高明区皂幕山，其海拔最高达到
米．要登上皂幕山的最高峰，
一共需要走
级阶梯．小明和小吉同时从第级阶梯出发登峰，假设他们在前
分钟中，每分钟走
级阶递，由于体力有限，小明每隔
分钟，其每分钟走的阶梯数减少级，而小吉每隔
分钟，其速度降
低
，直到登上最高峰，则（ ）（参考数据：
，
，
，
）
A．小吉到达最高峰的时间比小明早
B．小明到达最高峰的时间比小吉早
C．小吉登上最高峰所需时间多于
分钟
D．两人到达最高峰的时间差距超过
分钟
1.已知数列
的前
项和
，则
（ ）
A．6
B．11
C．12
D．2
2.已知数列
的前
项和为
.若
，则
（ ）
A．80
B．85
C．90
D．95
3.已知数列
的前n 项和为
，满足
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4.已知等差数列
的公差不为0，设
为其前
项和，若
，则集合
中元
素的个数为（ ）
A．2025
B．2023
C．2021
D．2013
5.已知数列
是等差数列，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6.等差数列
满足
，若
为前
项和，则
最大时，
的值为（ ）
A．9 或10
B．8
C．9
D．10 或11
7．（多选）某植物基因型为Aa 的亲本个体自交，第1 代中杂合子Aa 出现的概率为
，纯合子AA 和aa
出现的概率分别为
，之后每一代个体都自交，记第n 代中杂合子Aa 出现的概率为
，纯合子AA 出现的
概率为
，则（ ）
A．数列
是等比数列
B．第5 代中杂合子Aa 出现的概率为
C．数列
是等差数列
D．第5 代中纯合子AA 出现的概率为
8．（多选）已知等差数列
的前
项和为
，若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
的最小值是4
9．已知等差数列
，现在其每相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列
，
则数列
的第13 项为 ．
10．（多选）如果一个列从第二项起，每一项与它的前一项的差都为定值，那么这个列叫作等差数列，这
个差叫作等差列的公差.已知向量列
是以
为首项，
为公差的等差向量列，若向量
与
非零向量
垂直，则
.
11．（多选）已知等差数列
的前
项和
满足
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求
的前
项和
.
1.已知各项均不为零的等差数列
的前n 项和为
，满足
，
，则
的公差d 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.已知数列
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3.已知数列
的前
项和为
，前
项积为
，若
，则使
取得最大值时
的值为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
4.已知等差数列
中，
，则数列
的前2026 项的和为（ ）
A．1013
B．1014
C．2026
D．2028
5.设数列
的前n 项和为
，若
为常数，则称数列
为吉祥数列.已知等差数列
的首项为3，
且公差不为0，若数列
为吉祥数列，则数列
的通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
6.设等差数列
满足
，且其前
项和
有最大值，则当数列
的前
项和
取得最大值时，正
整数
的值为（ ）
A．12
B．11
C．23
D．22
7.随机数表是人们根据需要编制出来的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这10 个数字组成，表中每一
个数都是用随机方法产生的，如图，现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体的各面写上0~9 这10
个数字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产生0~9 的随机数的骰子.依次投掷这个骰子，并
逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个
数，三个数恰好构成等差数列的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
8.记
为数列
的前n 项和，已知
，
，
，若
，则
的最
小值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
9.（多选）在等差数列
中，
，
，记数列
的前
项和为
，下列选项正确的
是（ ）
A．
B．
取最小值时，
C．数列
是递增数列
D．数列
的前10 项和为50
10．（多选）已知点
在焦点为
的抛物线
上，其中
是各项均不
为零的数列且
．若
，则（ ）
A．
B．数列
为等差数列
C．
D．
11.（多选）已知数列1，3，6，10，它的前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4 为等差数列，
则数列1，3，6，10 被称为二阶等差数列．现有二阶等差数列
，其前6 项依次为4，8，10，10，8，
4，则下列结论中正确的是（ ）
A．数列
的公差为2
B．
C．数列
的前7 项和最大
D．
12.把数列
与
的所有公共项去掉，剩余的项从小到大排序得到数列
，则数列
的
前202 项和为 .
13.1852 年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上，“物不知其数”问
题的解法被称为“中国剩余定理”．现有一个剩余问题：在［1，2025］的整数中，把被4 除余数为1，被
5 除余数也为1 的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列
，则
的项数
为 ，
的前
项
和为 ．
1．（2025·全国二卷·高考真题）记
为等差数列
的前n 项和，若
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·北京·高考真题）已知
是公差不为零的等差数列，
，若
成等比数列，则
（ ）
A．
B．
C．16
D．18
3．（2025·天津·高考真题）
，则数列
的前
项和为（ ）
A．112
B．48
C．80
D．64
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
5．（2024·北京·高考真题）设
与
是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合
，给出下列4 个结论：
①若
与
均为等差数列，则M 中最多有1 个元素；
②若
与
均为等比数列，则M 中最多有2 个元素；
③若
为等差数列，
为等比数列，则M 中最多有3 个元素；
④若
为递增数列，
为递减数列，则M 中最多有1 个元素.
其中正确结论的序号是 .
5．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列
中，
，
.
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)给定正整数m，设函数
，求
．
6．（2024·上海·高考真题）若
．
(1)
过
，求
的解集；
(2)存在
使得
成等差数列，求
的取值范围．
