文档文本内容
第03 讲 幂函数与二次函数
目录
01
考情解码・命题预警
2
02 体系构建·思维可视..........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚..........................................................................................................................4
知能解码.........................................................................................................................................4
知识点1 幂函数 ...................................................................................................................4
知识点2 一元二次方程.........................................................................................................6
知识点3 二次函数及其性质.................................................................................................6
知识点4 一元二次、分式、绝对值不等式 .......................................................................8
题型破译.........................................................................................................................................9
题型1 幂函数的图象...........................................................................................................9
题型2 幂函数的单调性与奇偶性
...............................................................................11
题型3 幂函数比较大小
...............................................................................................13
题型4 幂函数的综合应用.................................................................................................14
题型5 一元二次不等式
..............................................................................................16
题型6 分式、绝对值、高次不等式.................................................................................18
题型7 二次函数的解析式.................................................................................................20
题型8 二次函数的图象与性质.........................................................................................22
题型9 二次函数的实根分布.............................................................................................25
题型10 二次函数的单调性与最值
...............................................................................27
04 真题溯源·考向感知........................................................................................................................30
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................36
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
1.掌握指数对数幂函数的
图象与性质
2.会指数对数的相关运算
1. 3.会指对幂函数值的大
小比较
单选题
多选题
填空题
解答题
/
新课标I 卷，第1 题，5
分
新课标I 卷，第1
题，5 分
考情分析：1.解三次不等式
2.二次函数图象解不等式
3.二次函数单调区间求参数值或范围
本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握幂函数的基本性质，难度中等偏下
复习目标：
1.掌握幂函数的定义及一般形式，掌握
的图象和性质
2.理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)
3.理解并掌握幂函数
的单调性和奇偶性
知识点1 幂函数
（1）幂函数的定义及一般形式
形如
的函数称为幂函数，其中
是自变量，
为常数
（2）幂函数的图象和性质
①幂函数的单调性
②幂函数的奇偶性
自主检测给定一组函数解析式：
①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
；⑦
．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）
A．⑥③④②⑦①⑤
B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤
D．⑥④③②⑦⑤①
【答案】C
【分析】根据幂函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案.
【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故
满足；
图象（2）关于
轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故
满足；
图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故
满足；
图象（4）关于
轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故
满足；
图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故
满足；
图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随
增大递减，故
满足；
图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随
增大递增，故
满足；
故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤.
故选：C
知识点2 一元二次方程
①方程有两个实数根
②方程有同号两根
③方程有异号两根
④韦达定理及应用：
,
自主检测设常数
，已知关于
的一元二次方程
的两个实根分别为
、
，若
，则
．
【答案】
【分析】根据根的判别式求出
的范围，再由韦达定理计算可得.
【详解】因为关于
的一元二次方程
的两个实根分别为
、
，
则
，解得
，
所以
，
，
又
，即
，解得
或
（舍去）；
故答案为：
知识点3 二次函数及其性质
（1）二次函数
①一般式：
(
)，对称轴是
顶点是
；
②顶点式：
(
)，对称轴是
顶点是
；
③交点式：
(
)，其中（
），（
）是抛物线与x 轴的交点
（2）二次函数的性质
①函数
的图象关于直线
对称。
②
时，在对称轴 （
）左侧，
值随
值的增大而减少；在对称轴（
）右侧；
的值随
值的增大而增大。当
时，
取得最小值
③
时，在对称轴 （
）左侧，
值随
值的增大而增大；在对称轴（
）右侧；
的值随
值的增大而减少。当
时，
取得最大值
自主检测在同一平面直角坐标系中，函数
和函数
的图象不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】从函数
入手，当
时，易得结论，当
时，根据二次函数的开口方向和与
x 轴的交点情况，由a 的正负和判别式，分
，
，
讨论求解.
【详解】若
，则
，
，A 可能；
若
，则
的图象开口向下，过点
，对称轴为
，
的图象过点
和
，且
，B 可能；
若
，则
的图象开口向上，对称轴为
，与
轴有两个交点，过点
，
的图象过点
和
，且
，C 不可能；
若
，则
的图象开口向上，与
轴没有交点，过点
，对称轴为
，
的图象过点
和
，且
，D 可能．
故选：C.
知识点4 一元二次、分式、绝对值不等式
（1）解一元二次不等式
“三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系
判别式
一元二次方程
的根
有两个不等实根
，
（设
）
有两个相等实根
无实数根
二次函数
的图象
的解集
的解集
∅
∅
（2）解分式不等式
①
②
③
④
（3）解单绝对值不等式
或
，
自主检测不等式
的解集是（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】C
【分析】先因式分解，然后分
和
求解即可.
【详解】
，
当
时，不等式显然不成立；
当
时，
，所以原不等式
，
解得
.
综上，原不等式的解集为
.
故选：C
题型1 幂函数的图象
例1-1 若幂函数
与
在第一象限内的图象如图所示，则
与
的取值情况为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的图象性质，逐项分析判断即可求解.
【详解】当
时，幂函数
在
上单调递增，且
时，图象上凸，
．
当
时，幂函数
在
上单调递减．不妨令
，由图象得
，则
．
综上可知，
．
故选择：D.
例1-2 幂函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义域及奇偶性判断图象即可.
【详解】幂函数
的定义域为
，故D 选项错误；
因为
,所以
为偶函数，故A,C 选项错误；
故选：B.
方法技巧
(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即
所分区
域.根据
的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.
【变式训练1-1】已知幂函数
的图象关于y 轴对称，如图所示，则（ ）
A．p 为奇数，且
B．p 为奇数，且
C．p 为偶数，且
D．p 为偶数，且
【答案】D
【分析】根据图象的单调性和奇偶性判断.
【详解】因为函数
的图象关于y 轴对称，所以函数
为偶函数，即p 为偶数．
又函数
的定义域为
，且在
上单调递减，
则有
，所以
．
故选：D
【变式训练1-2】(多选)已知
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
的值域为R
B．当
时，
C．当
时，
是偶函数
D．当
时，
是奇函数
【答案】BC
【分析】根据幂指数
的取值，结合幂函数的性质一一判断各选项，即可得答案.
【详解】当
时，
，此时
的值域为
，故A 错误；
当
时，
在R 上单调递增，所以
，故B 正确；
当
时，
，
，定义域为
，关于原点对称，
，所以
是偶函数，故C 正确；
当
时，
，则
，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，D 错误．
故选：BC
题型2 幂函数的单调性与奇偶性
例2-1（多选）已知函数
为幂函数，则下列结论正确的为（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
为单调递增函数
D．
的值域为
【答案】ABD
【分析】由幂函数定义可得
，然后可得
奇偶性，单调性，值域.
【详解】对于A，因
为幂函数，则
，
故A 正确；
对于B，由A，
为偶函数，故B 正确；
对于C，
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
不为定义域上的单调递增函数，故C 错误；
对于D，注意到
，则
的值域为
，故D 正确.
故选：ABD
例2-2 如图所示是函数
（m、
且互质）的图象，则（ ）
A．m，n 是奇数且
B．m 是偶数，n 是奇数，且
C．m 是偶数，n 是奇数，且
D．m，n 是偶数，且
【答案】B
【分析】
根据图象得到函数的奇偶性及
上单调递增，结合m、
且互质，从而得到答案.
【详解】由图象可看出
为偶函数，且在
上单调递增，
故
且
为偶数，又m、
且互质，故n 是奇数.
故选：B
方法技巧
①所有的幂函数在
都有定义，并且图象都过点
②
时，幂函数的图象通过原点，并且在
上是增函数
特别地，当
时，幂函数变化快，图象下凹；当
时，幂函数变化慢，图象上凸
③
时，幂函数的图象在
上是减函数.在第一象限内，当
从右边趋向原点时，图象在
轴右方
无限地逼近
轴正半轴，当
趋于
时，图象在
轴上方无限地逼近
轴正半轴.
【变式训练2-1】（多选）下列关于幂函数
的性质，描述正确的有（ ）
A．当
时，函数在其定义域上为减函数
B．当
时，函数
不是幂函数
C．当
时，函数是偶函数
D．当
时，函数与
轴有且只有一个交点
【答案】CD
【详解】幂函数
在
和
上是减函数，但是在定义域上不单调，故A 错误；当
时，函
数
是幂函数，故B 错误；
是偶函数，故C 正确；当
时，函数为
，当
时，只有唯
一解
，故D 正确．
【变式训练2-2·变考法】已知幂函数
为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
或
D．
不存在
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义，结合偶函数特征求解即得.
【详解】由
是幂函数，得
，解得
或
，
当
时，
是偶函数，符合题意；
当
时，
是奇函数，不符合题意，
所以
.
故选：A
【变式训练2-3·变载体】（多选）已知函数
的图象经过点
，则（ ）
A．
的图象经过点
B．
在
内的值域为
C．
在定义域上单调递减
D．
的图象关于
轴对称
【答案】AB
【分析】代入已知点坐标求得函数解析式，然后根据幂函数的性质判断．
【详解】将点
的坐标代入
，可得
，则
，
对A，当
，
，所以
的图象经过点
，A 正确；
根据幂函数的图象与性质可知
为奇函数，图象关于原点对称，在定义域上不具有单调性，
函数
在
内的值域为
，故CD 错误，B 正确，
故选：AB．
题型3 幂函数比较大小
例3-1 已知
，
，
，则
三者的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小.
【详解】
，则
，
所以
三者的大小关系是
.
故选：A
例3-2 实数
从小到大排列为 ．
【答案】
【分析】运用指数函数幂函数单调性，结合指数幂性质可解.
【详解】因为
，则由
在
上单调递增，
在
上单调递增，知
，故
，
又由函数
为增函数，
得
，则
．
又
．
故答案为：
.
方法技巧
【变式训练3-1】（多选）已知实数x，y 满足
，则下列关系式中恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据指数函数的单调性，结合正弦函数的单调性、幂函数的单调性进行判断即可.
【详解】因为
，所以
.
A：
在
上是增函数，故
，故本关系恒成立；
B：当
时，显然符合
，但是
不成立，故本关系式不恒成立；
C: 因为
在
上是增函数，所以
，故本关系恒成立.
D：由于
为单调递增函数，
为单调递减函数，故
为
上的单调递增函数，由
可得
，故
，故本关系式恒成立；
故选：ACD
【变式训练3-2】若幂函数
是
上的偶函数，且在区间
上单调递减，若
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】运用幂函数知识，结合偶函数和单调性性质，转化比较大小即可.
【详解】
为偶函数，所以
，又因为幂函数
在
上单调递减，
所以
，即
．
故选：B.
题型4 幂函数的综合应用
例4-1 已知幂函数
是
上的偶函数，且函数
在区间
上单调递
减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据幂函数的性质得到
，则
，其对称轴方程为
，根据单调性得到不等
式，求出答案.
【详解】因为幂函数
是
上的偶函数，
则
，解得
或
，
当
时，
，该函数是奇函数，不合乎题意；
当
时，
，该函数是定义域为
的偶函数，合乎题意，所以
，
则
，其对称轴方程为
，
因为
在区间
上单调递减，则
.
故选：A.
例4-2 已知实数
，
满足
，则
.
【答案】4
【分析】通过对两个方程进行变形，构造出相同形式的函数，再利用函数的性质来求解x + y 的值.
【详解】对
进行变形，可化为
，
对
进行变形，可化为
，
设
，
随
增大而增大，
，
也是随
增大而增大，
则
是单调递增函数.则
可得
.
故答案为：4.
【变式训练4-1】已知函数
，若
，则下列错误的是（ ）
A．
B．若
，则
C．
D．
【答案】C
【分析】由函数的单调性得出
的关系，然后由不等式的性质判断AB，由对数函数性质判断C，由幂函
数性质判断D．
【详解】因为函数
在
上都单调递减，所以
在
上是减函数.
由
，得
，
即
，则
，A 正确.
因为
，所以
，
则
，所以
，B 正确.
因为
在
上是增函数，且
，
所以
，即
，C 错误.
因为
，所以
，因为幂函数
在
上单调递增，
所以
，D 正确.
故选：C.
【变式训练4-2·变载体】已知幂函数
在
上单调递增，若正数
、
满足
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】由幂函数的定义与单调性可得出关于实数
的等式或不等式，解出
，可得出
，将
代数式
与代数式
相乘，展开后利用基本不等式可求得
的最小值.
【详解】因为幂函数
在
上单调递增，
则
，解得
，
正数
、
满足
，则
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
因此，
的最小值为
.
故答案为：
.
题型5 一元二次不等式
例5-1（2025·重庆九龙坡·三模）已知集合
，若
，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】解不等式求得
，由已知可得
，进而可求实数
的取值范围.
【详解】由
，可得
，解得
，
所以
，由
，可得
，
又
，所以
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：A.
例5-2 命题“
”为假命题，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意可知已知命题的否定为真命题，进而根据二次函数的性质列出不等式，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，命题“
”的否定，
即命题“
”真命题，
根据二次函数的性质可得，应有
，
解得
.
故选：C.
【变式训练5-1】已知关于
的不等式
的解集为
，则
的最大值是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用韦达定理得到
，再代入利用基本不等式计算可得.
【详解】因为关于
的不等式
的解集为
，
所以
，
所以
，当且仅当
，即
时取等号.
故选：B
【变式训练5-2】已知
.
(1)解关于
的不等式
(2)若不等式
的解集为
，求实数
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出
，结合二次不等式的求解方法可得答案；
（2）利用不等式的解与方程的根的关系，结合韦达定理可求答案.
【详解】（1）由题意知
，即
，
解得
.
所以所求不等式的解集为
.
（2）不等式
的解集为
，所以方程
的两根为
，
所以
，解得
，
故
的值为
，
的值为
.
题型6 分式、绝对值、高次不等式
例6-1（2025·全国二卷·高考真题）不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可.
【详解】
即为
即
，故
，
故解集为
，
故选：C.
例6-2 关于
的不等式
的解集为 .
【答案】
【分析】利用不等式的等价变形可得
，再利用数轴标根法
可求得不等式的解集.
【详解】由
，
可得
，
所以
方程
的根为
，
由数轴标根法可得
.
故答案为：
.
【变式训练6-1】（多选）不等式
（其中
）的解集可以是（ ）
A．
且
B．
C．
D．
或
或
【答案】ABC
【分析】A 选项，
时满足要求；B 选项，
时满足要求；C 选项，
满足要求；D 选项，由于
解集中出现了
，故
，由穿针引线法可知，不等式解集为
，D 错误；
【详解】A 选项，若
，
，
由穿针引线法可知，不等式解集为
且
，A 正确；
B 选项，当
时，
，解得
，B 正确；
C 选项，当
时，
，解集为
，C 正确；
D 选项，由于解集中出现了
，故
，
此时
，
由穿针引线法可知，不等式解集为
，D 错误；
故选：ABC
【变式训练6-2】已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先求出集合
，然后求这两个集合的并集.
【详解】由
解得
.
所以集合
.
所以
.
故选：B
题型7 二次函数的解析式
例7-1 图象是以
为顶点且过原点的二次函数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由待定系数法求函数解析式问题，根据题意可以设二次函数的顶点式，然后根据函数过原点，将
代入即可.
【详解】设图象是以
为顶点的二次函数
（
）．
因为图象过原点，所以
，
，所以
．
故选：A
例7-2（2025·陕西·模拟预测）设函数
的定义域为
，且
，
当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】D
【分析】根据题意，通过赋值法求得
，即可联立方程解出
.
【详解】由题意可得
①；
②．
令
，由①得：
，
令
，由②得
，因为
，
所以
，即
.
令
，由①得
，
解得
，所以
．
故选：D．
方法技巧 求二次函数解析式的三个策略
(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式.
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式.
(3)已知图象与x 轴的两交点的坐标，宜选用零点式.
【变式训练7-1】已知二次函数
满足
，且
的最大值是8，则此二次函数
的解析式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据条件设二次函数为
，代入条件求解即可.
【详解】根据题意，由
得:
图象的对称轴为直线
，
设二次函数为
，
因
的最大值是8，所以
，当
时，
，
即二次函数
，
由
得:
，解得：
，
则二次函数
，
故选：A.
【变式训练7-2】二次函数
的图象经过点
，在x 轴上截得的线段长为2，且
，都有
，试确定
的解析式．
【答案】
．
【分析】根据
可得
为对称轴，即可根据对称得两根
和
，进而代入
即可求解.
【详解】因为
对任意的
恒成立，
所以
的对称轴为直线
．
又
的图象在x 轴上截得的线段长为2，
所以
的两根为
和
．
设
的解析式为
．
又
的图象过点
，所以
，所以
．
所以
，
即
．
题型8 二次函数的图象与性质
例8-1 已知二次函数
图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．
在区间
上单调递减
B．不等式
的解集为
C．
D．不等式
的解集为
【答案】C
【分析】A 选项，根据图象分析单调性即可；B 选项，根据三个“二次”的关系解不等式；C 选项，根据
图象判断函数值的大小；D 选项，根据三个“二次”的关系得到
是
的两个根和
，
然后解不等式.
【详解】由图可知，二次函数
图象的对称轴为
，又图象开口向上，
所以
在区间
上单调递减，A 对；
由图知：不等式
的解集为
，B 对；
由图知：
，C 错；
根据二次函数与一元二次方程的关系，
是
的两个根，
所以
，
，且
，
所以
，解集为
，D 对.
故选：C.
例8-2 已知函数
在
上的最大值、最小值分别为1，0，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的最值或值域求参数，令
，求出相应的
的值，即可画出
的图象，数
形结合求出
的最值，即可得解．
【详解】由
，即
，解得
或
，
∴
，
当
时，
，∴
，
当
时，令
，即
，解得
，
，
则
的图象如下所示：
∵函数
在
上的值域为
，
当
，
（或
，
）时
取得最小值，
即
；
当
，
时
取得最大值，
即
；
∴
的取值范围是
．
故选：D．
【变式训练8-1】（多选）设
，则函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】根据二次函数的开口方向以及对称轴，结合图象与
轴的交点即可结合选项逐一求解.
【详解】当
时，则
，此时二次函数的开口向上，
对于C，对称轴
，则
，故
，此时图象与
轴的交点
应该在
轴负半轴，故C 错误，
对于D，对称轴
，则
，故
，此时图象与
轴的交点
应该在
轴正半轴，故D 错误，
当
时，则
，此时二次函数的开口向下，
对于A，对称轴
，则
，故
，此时图象与
轴的交点
应该在
轴负半轴，故A 符合，
对于D，对称轴
，则
，故
，此时图象与
轴的交点
应该在
轴正半轴，故B 符合，
故选：AB
【变式训练8-2】若函数
在区间
上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先对a 是否为零讨论，再让
在对称轴的右边即可求得结果
【详解】当
时，
上单调递减，满足题意；
当
时，
的对称轴为直线
，由
在
上单调递减，
知
，解得
．
综上，实数
的取值范围为
．
故选：D.
【变式训练8-3】已知函数
在区间
上单调递增，求参数a 的取值范围
.
【答案】
【分析】根据函数的单调性及二次函数对称轴与区间的关系可得a 的取值范围.
【详解】当
时，
，对称轴为直线
，
∵函数
在区间
上单调递增，
∴
，解得
，
∴参数a 的取值范围为
.
故答案为：
.
题型9 二次函数的实根分布
例9-1 已知
,
是关于
的一元二次方程
的两个实数根，且
,
，则实数
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据一元二次函数的图象和零点存在定理求解
的取值范围.
【详解】由题意可得
，
为函数
的两个零点．
因为
，
，结合二次函数图象，利用零点存在定理可得：
，即
，所以
．
所以
，解得：
．
故选：C．
例9-2 已知关于
的方程
有两个正根，求
的取值范围．
【答案】
【分析】由题意可得
，解之即可.
【详解】根据关于
的方程
有两个正根，
可得
，解得
．
故实数
的取值范围为
．
方法技巧
解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面
建立关于系数的不等式(组)进行求解.
(1)判别式Δ 的符号.
(2)对称轴
与所给区间的位置关系.
(3)区间端点处函数值的符号.
【变式训练9-1】若函数
在
上有且仅有一个零点，则
的范围是 .
【答案】
【分析】由二次函数的区间根问题可得.
【详解】当
时，
，所以
，满足题意；
当
时，
，
，令
解得
，满足题意，
时，
，即
且
，解得
；
时，
，此时
在
上只有一个零点
时，
，此时
在
上只有一个零点
综上所述
的范围是
故答案为：
【变式训练9-2·变考法】关于
的方程
，求
为何值时？
(1)方程有唯一实根；
(2)方程一根大于1，一根小于1．
【答案】(1)
或
(2)
【分析】（1）令
，当
和
时分情况讨论即可求解；
（2）方程一根大于1，一根小于1，必须满足
或
解出即可.
【详解】（1）令
．
当
时，方程变为
，即
，符合题意；
当
时，
，
．
所以当
或
时，方程有唯一实根．
（2）因为方程有一根大于1，一根小于1．
大致图象如图⑤，⑥．
所以必须满足
或
解得
．
所以当
时，方程有一根大于1，一根小于1．
题型10 二次函数的单调性与最值
例10-1 已知函数
，求当
时，
的最大值
．
【答案】
【分析】对的取值范围进行分类讨论，由此求得
的最大值
的表达式.
【详解】二次函数
开口向上，
，
当
时，
，
；
当
时，
，
，
综上有
例10-2 已知函数
．
(1)已知
在
上单调递增，求
的取值范围；
(2)求
在
上的最小值．
【答案】(1)
．
(2)
【分析】（1）根据二次函数的图象特点，可得
；
（2）讨论二次函数的对称轴
和区间
的三种位置关系，再根据函数的单调性即可求得.
【详解】（1）由函数
，可得
的图象开口向上，且对称轴为
，
要使得
在
上单调递增，则满足
，所以
的取值范围为
．
（2）由函数
，可得
的图象开口向上，且对称轴为
，
当
时，函数
在
上单调递增，所以
的最小值为
；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
的最小值为
；
当
时，函数
在
上单调递减，所以
的最小值为
，
综上可得，
在
上的最小值为
方法技巧
①函数
的图象关于直线
对称。
②
时，在对称轴 （
）左侧，
值随
值的增大而减少；在对称轴（
）右侧；
的值随
值的增大而增大。当
时，
取得最小值
③
时，在对称轴 （
）左侧，
值随
值的增大而增大；在对称轴（
）右侧；
的值随
值的增大而减少。当
时，
取得最大值
【变式训练10-1】若函数
存在最小值，则
的最大值为 .
【答案】4
【分析】根据分段函数的性质，结合绝对值、二次函数的性质，讨论
范围及
存在最小值确定
的
范围，进而确定答案.
【详解】对于函数
，在
上单调递减，
上单调递增，在
上的最小值为0；
对于函数
，开口向上且对称轴为
，
所以函数在
上单调递减，
上单调递增，在
上的最小值为
；
综上，对于
：当
时，
在
上单调递减，
上单调递增，
此时
恒成立，所以
不存在最小值；
当
时，
在
上单调递减，
上单调递增，此时最小值为
；
当
时，
在
上单调递减，
,
上单调递增，且
，
又
，
若
时，
，此时最小值为
；
若
时，
，此时最小值为
；
若
时，
，此时最小值为
；
若
时，
，此时最小值为
；
若
时，
，此时
不存在最小值；
综上，
，故
的最大值为4.
故答案为：4
【变式训练10-2·变考法】已知函数
．
(1)已知
在
上单调递增，求
的取值范围；
(2)求
在
上的最大值．
【答案】(1)
(2)当
时，函数
的最大值为
；当
时，
的最大值为
【分析】（1）
可得对称轴为
，根据开口向上即可求解；
（2）由（1）有对称轴为
，开口向上，根据
的范围分类讨论即可求解.
【详解】（1）由题意有函数
，可得二次函数的图象开口向上，且对称
轴为
，
要使得
在
上单调递增，则满足
，所以
的取值范围为
．
（2）由函数
，可得
的图象开口向上，且对称轴为
，
当
时，函数
的最大值为
；
当
时，函数
的最大值为
；
综上，当
时，函数
的最大值为
；
当
时，
的最大值为
．
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
在R 上单调递增，则a 的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为
在
上单调递增，且
时，
单调递增，
则需满足
，解得
，
即a 的范围是
.
故选：B.
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数
在R 上单调递增，而函数
在区间
上单调递减，
则有函数
在区间
上单调递减，因此
，解得
，
所以
的取
值范围是
.
故选：D
3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
．记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令
，则
开口向下，对称轴为
，
因为
，而
，
所以
，即
由二次函数性质知
，
因为
，而
，
即
，所以
，
综上，
，
又
为增函数，故
，即
.
故选：A.
4．（2025·天津·高考真题）若
，对
，均有
恒成立，则
的
最小值为
【答案】
【分析】先设
，根据不等式的形式，为了消
可以取
，得到
，验证
时，
是
否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案.
【详解】设
，原题转化为求的最小值，
原不等式可化为对任意的
，
，
不妨代入
，得
，得
，
当
时，原不等式可化为
，
即
，
观察可知，当
时，
对
一定成立，当且仅当
取等号，
此时，
，说明
时，
均可取到，满足题意，
故
的最小值为
.
故答案为：
5．（2023·全国甲卷·高考真题）若
为偶函数，则
．
【答案】2
【分析】利用偶函数的性质得到
，从而求得
，再检验即可得解.
【详解】因为
为偶函数，定义域为
，
所以
，即
，
则
，故
，
此时
，
所以
，
又定义域为
，故
为偶函数，
所以
.
故答案为：2.
6．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线
与
在
上有两个不同的交点，则
的
取值范围为 ．
【答案】
【分析】将函数转化为方程，令
，分离参数
，构造新函数
结合
导数求得
单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.
【详解】令
，即
，令
则
，令
得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
，
因为曲线
与
在
上有两个不同的交点，
所以等价于
与
有两个交点，所以
.
故答案为：
7．（2024·天津·高考真题）设
，函数
.若
恰有一个零点，则
的取
值范围为 ．
【答案】
【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数
与
，则两函
数图象有唯一交点，分
、
与
进行讨论，当
时，计算函数定义域可得
或
，计
算可得
时，两函数在
轴左侧有一交点，则只需找到当
时，在
轴右侧无交点的情况即
可得；当
时，按同一方式讨论即可得.
【详解】令
，即
，
由题可得
，
当
时，
，有
，则
，不符合要求，舍去；
当
时，则
，
即函数
与函数
有唯一交点，
由
，可得
或
，
当
时，则
，则
，
即
，整理得
，
当
时，即
，即
，
当
，
或
（正值舍去），
当
时，
或
，有两解，舍去，
即当
时，
在
时有唯一解，
则当
时，
在
时需无解，
当
，且
时，
由函数
关于
对称，令
，可得
或
，
且函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
令
，即
，
故
时，
图象为双曲线
右支的
轴上方部分向右平移
所得，
由
的渐近线方程为
，
即
部分的渐近线方程为
，其斜率为
，
又
，即
在
时的斜率
，
令
，可得
或
（舍去），
且函数
在
上单调递增，
故有
，解得
，故
符合要求；
当
时，则
，
即函数
与函数
有唯一交点，
由
，可得
或
，
当
时，则
，则
，
即
，整理得
，
当
时，即
，即
，
当
，
（负值舍去）或
，
当
时，
或
，有两解，舍去，
即当
时，
在
时有唯一解，
则当
时，
在
时需无解，
当
，且
时，
由函数
关于
对称，令
，可得
或
，
且函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
同理可得：
时，
图象为双曲线
左支的
轴上方部分向左平移
所得，
部分的渐近线方程为
，其斜率为
，
又
，即
在
时的斜率
，
令
，可得
或
（舍去），
且函数
在
上单调递减，
故有
，解得
，故
符合要求；
综上所述，
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数
的零点问题转化为函数
与函数
的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.
1．求下列函数的最值：
(1)
，
；
(2)
，
．
【答案】(1)最大值为
，最小值为
(2)最小值为
，最大值为
【分析】（1）根据题意，求得
，得出函数的单调性，求得最小值和端点的函数值，
即可求解；
（2）化简得到
， 结合二次函数的图象与性质，即可求解.
【详解】（1）解：由函数
，可得
，
当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增，
所以当
时，函数取得最小值，最小值为
，
又由当
时，
；当
时，
，
所以函数的最大值为
，最小值为
.
（2）解：由函数
，
可得函数
的图象开口向上，对称轴
，
所以函数在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
当
时，函数取得最小值，最小值为
，
又当
时，可得
；当
时，可得
，
所以函数
的最小值为
，最大值为
.
2．求函数
在区间
上的最大值和最小值．
【答案】最大值为9；最小值为
.
【分析】令
，将函数转化为
，利用二次函数的性质求解.
【详解】解：令
，
则原函数转化为
，
当
，即
时，函数取得最小值为
；
当
，即
时，函数取得最大值为.
3．若关于
的函数
在区间
上递减，求实数
的取值范围．
【答案】
【分析】利用二次函数的单调区间即可解题.
【详解】因为二次函数
的图象的对称轴为直线
，
且开口向上，所以函数在区间
上递减．
又已知该函数在区间
上递减，
则需满足
，即
．
所以实数
的取值范围为
．
4．已知幂函数
在区间
上是减函数．
(1)求函数
的解析式；
(2)讨论函数
的奇偶性和单调性；
(3)求函数
的值域．
【答案】(1)
或
或
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）依题意可得
，求出
的取值范围，再根据
，即可得到
，再代入求出
函数解析式；
（2）根据（1）中的解析式及幂函数的性质得出结论；
（3）根据（1）中的解析式及幂函数的性质得出结论；
【详解】（1）解：依题意
，即
，解得
，因为
，所以
或
或
，所以
或
或
（2）解：若
定义域为
，则
为奇函数，且在
和
上单调递
减；
若
定义域为
，则
为偶函数，且在
上单调递增，在
上单
调递减；
若
定义域为
，则
为奇函数，且在
和
上单调递减；
（3）若
，则
为奇函数，当
时
，所以
时
，所以函数的
值域为
；
若
，则
为偶函数，当
时
，所以
时
，所以函数的值
域为
；
若
，则
为奇函数，当
时
，所以
时
，所以函数的值域
为
；
5．比较下列各组中两个数的大小：
(1)
，
；
(2)
，
；
(3)
，
；
(4)
，
．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）依据幂函数
在
的单调性即可进行大小比较；
（2）依据幂函数
在
的单调性即可进行大小比较；
（3）依据幂函数
在
的单调性即可进行大小比较；
（4）依据幂函数
在
的单调性即可进行大小比较.
【详解】（1）函数
在
单调递增，由
可知，
（2）函数
在
单调递增，由
可知，
（3）函数
在
单调递减，由
可知，
（4）函数
在
单调递减，由
可知，
