文档文本内容
第03 讲 幂函数与二次函数
目录
01
考情解码・命题预警
2
02 体系构建·思维可视..........................................................................................................................3
03 核心突破·靶向攻坚..........................................................................................................................4
知能解码.........................................................................................................................................4
知识点1 幂函数 ...................................................................................................................4
知识点2 一元二次方程.........................................................................................................5
知识点3 二次函数及其性质.................................................................................................6
知识点4 一元二次、分式、绝对值不等式 .......................................................................6
题型破译.........................................................................................................................................7
题型1 幂函数的图象...........................................................................................................7
题型2 幂函数的单调性与奇偶性
................................................................................8
题型3 幂函数比较大小
.................................................................................................9
题型4 幂函数的综合应用.................................................................................................10
题型5 一元二次不等式
..............................................................................................10
题型6 分式、绝对值、高次不等式.................................................................................11
题型7 二次函数的解析式.................................................................................................11
题型8 二次函数的图象与性质.........................................................................................12
题型9 二次函数的实根分布.............................................................................................13
题型10 二次函数的单调性与最值
...............................................................................13
04 真题溯源·考向感知........................................................................................................................14
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................15
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
1.掌握指数对数幂函数的
图象与性质
2.会指数对数的相关运算
3.会指对幂函数值的大小
比较
单选题
多选题
填空题
解答题
/
新课标I 卷，第1 题，5
分
新课标I 卷，第1
题，5 分
考情分析：1.解三次不等式
2.二次函数图象解不等式
3.二次函数单调区间求参数值或范围
本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握幂函数的基本性质，难度中等偏下
复习目标：
1.掌握幂函数的定义及一般形式，掌握
的图象和性质
2.理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)
3.理解并掌握幂函数
的单调性和奇偶性
知识点1 幂函数
（1）幂函数的定义及一般形式
形如 的函数称为幂函数，其中
是自变量，
为常数
（2）幂函数的图象和性质
①幂函数的单调性
②幂函数的奇偶性
自主检测给定一组函数解析式：
①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
；⑦
．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）
A．⑥③④②⑦①⑤
B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤
D．⑥④③②⑦⑤①
知识点2 一元二次方程
①方程有两个实数根
②方程有同号两根
③方程有异号两根
④韦达定理及应用：
,
自主检测设常数
，已知关于
的一元二次方程
的两个实根分别为
、
，若
，则
．
知识点3 二次函数及其性质
（1）二次函数
①一般式：
(
)，对称轴是
顶点是 ；
②顶点式：
(
)，对称轴是
顶点是 ；
③交点式：
(
)，其中（
），（
）是抛物线与x 轴的交点
（2）二次函数的性质
①函数
的图象关于直线 对称。
②
时，在对称轴 （
）左侧，
值随
值的增大而减少；在对称轴（
）右侧；
的值随
值的增大而增大。当
时，
取得最小值
③
时，在对称轴 （
）左侧，
值随
值的增大而增大；在对称轴（
）右侧；
的值随
值的增大而减少。当
时，
取得最大值
自主检测在同一平面直角坐标系中，函数
和函数
的图象不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点4 一元二次、分式、绝对值不等式
（1）解一元二次不等式
三个二次：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系
“
”
判别式
一元二次方程
的根
有两个不等实根
，
（设
）
有两个相等实根
无实数根
二次函数
的图象
的解集
的解集
∅
∅
（2）解分式不等式
①
②
③
④
（3）解单绝对值不等式
或
，
自主检测不等式
的解集是（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
题型1 幂函数的图象
例1-1 若幂函数
与
在第一象限内的图象如图所示，则
与
的取值情况为（ ）
A．
B．
C．
D．
例1-2 幂函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
方法技巧
(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即
所分区
域.根据
的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.
【变式训练1-1】已知幂函数
的图象关于y 轴对称，如图所示，则（ ）
A．p 为奇数，且
B．p 为奇数，且
C．p 为偶数，且
D．p 为偶数，且
【变式训练1-2】(多选)已知
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
的值域为R
B．当
时，
C．当
时，
是偶函数
D．当
时，
是奇函数
题型2 幂函数的单调性与奇偶性
例2-1（多选）已知函数
为幂函数，则下列结论正确的为（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
为单调递增函数
D．
的值域为
例2-2 如图所示是函数
（m、
且互质）的图象，则（ ）
A．m，n 是奇数且
B．m 是偶数，n 是奇数，且
C．m 是偶数，n 是奇数，且
D．m，n 是偶数，且
方法技巧
①所有的幂函数在
都有定义，并且图象都过点
②
时，幂函数的图象通过原点，并且在
上是增函数
特别地，当
时，幂函数变化快，图象下凹；当
时，幂函数变化慢，图象上凸
③
时，幂函数的图象在
上是减函数.在第一象限内，当
从右边趋向原点时，图象在
轴右方
无限地逼近
轴正半轴，当
趋于
时，图象在
轴上方无限地逼近
轴正半轴.
【变式训练2-1】（多选）下列关于幂函数
的性质，描述正确的有（ ）
A．当
时，函数在其定义域上为减函数
B．当
时，函数
不是幂函数
C．当
时，函数是偶函数
D．当
时，函数与
轴有且只有一个交点
【变式训练2-2·变考法】已知幂函数
为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
或
D．
不存在
【变式训练2-3·变载体】（多选）已知函数
的图象经过点
，则（ ）
A．
的图象经过点
B．
在
内的值域为
C．
在定义域上单调递减
D．
的图象关于
轴对称
题型3 幂函数比较大小
例3-1 已知
，
，
，则
三者的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
例3-2 实数
从小到大排列为 ．
方法技巧
【变式训练3-1】（多选）已知实数x，y 满足
，则下列关系式中恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-2】若幂函数
是
上的偶函数，且在区间
上单调递减，若
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型4 幂函数的综合应用
例4-1 已知幂函数
是
上的偶函数，且函数
在区间
上单调递
减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例4-2 已知实数
，
满足
，则
.
【变式训练4-1】已知函数
，若
，则下列错误的是（ ）
A．
B．若
，则
C．
D．
【变式训练4-2·变载体】已知幂函数
在
上单调递增，若正数
、
满足
，则
的最小值为 ．
题型5 一元二次不等式
例5-1（2025·重庆九龙坡·三模）已知集合
，若
，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例5-2 命题“
为假命题，则实数
”
a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-1】已知关于
的不等式
的解集为
，则
的最大值是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练5-2】已知
.
(1)解关于
的不等式
(2)若不等式
的解集为
，求实数
的值.
题型6 分式、绝对值、高次不等式
例6-1（2025·全国二卷·高考真题）不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
例6-2 关于
的不等式
的解集为 .
【变式训练6-1】（多选）不等式
（其中
）的解集可以是（ ）
A．
且
B．
C．
D．
或
或
【变式训练6-2】已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型7 二次函数的解析式
例7-1 图象是以
为顶点且过原点的二次函数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
例7-2（2025·陕西·模拟预测）设函数
的定义域为
，且
，
当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
方
法技巧
求二次函数解析式的三个策略
(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式.
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式.
(3)已知图象与x 轴的两交点的坐标，宜选用零点式.
【变式训练7-1】已知二次函数
满足
，且
的最大值是8，则此二次函数
的解析式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-2】二次函数
的图象经过点
，在x 轴上截得的线段长为2，且
，都有
，试确定
的解析式．
题型8 二次函数的图象与性质
例8-1 已知二次函数
图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．
在区间
上单调递减
B．不等式
的解集为
C．
D．不等式
的解集为
例8-2 已知函数
在
上的最大值、最小值分别为1，0，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练8-1】（多选）设
，则函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练8-2】若函数
在区间
上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练8-3】已知函数
在区间
上单调递增，求参数a 的取值范围
.
题型9 二次函数的实根分布
例9-1 已知
,
是关于
的一元二次方程
的两个实数根，且
,
，则实数
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
例9-2 已知关于
的方程
有两个正根，求
的取值范围．
方法技巧
解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面
建立关于系数的不等式(组)进行求解.
(1)判别式Δ 的符号.
(2)对称轴
与所给区间的位置关系.
(3)区间端点处函数值的符号.
【变式训练9-1】若函数
在
上有且仅有一个零点，则
的范围是 .
【变式训练9-2·变考法】关于
的方程
，求
为何值时？
(1)方程有唯一实根；
(2)方程一根大于1，一根小于1．
题型10 二次函数的单调性与最值
例10-1 已知函数
，求当
时，
的最大值
．
例10-2 已知函数
．
(1)已知
在
上单调递增，求
的取值范围；
(2)求
在
上的最小值．
方
法技巧
①函数
的图象关于直线
对称。
②
时，在对称轴 （
）左侧，
值随
值的增大而减少；在对称轴（
）右侧；
的值随
值的增大而增大。当
时，
取得最小值
③
时，在对称轴 （
）左侧，
值随
值的增大而增大；在对称轴（
）右侧；
的值随
值的增大而减少。当
时，
取得最大值
【变式训练10-1】若函数
存在最小值，则
的最大值为 .
【变式训练10-2·变考法】（2025 高三下·全国·专题练习）已知函数
．
(1)已知
在
上单调递增，求
的取值范围；
(2)求
在
上的最大值．
1．（2024·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）已知函数
在R 上单调递增，则a 的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
．记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·天津·高考真题）若
，对
，均有
恒成立，则
的
最小值为
5．（2023·全国甲卷·高考真题）若
为偶函数，则
．
6．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线
与
在
上有两个不同的交点，则
的
取值范围为 ．
7．（2024·天津·高考真题）设
，函数
.若
恰有一个零点，则
的取
值范围为 ．
1．求下列函数的最值：
(1)
，
；
(2)
，
．
2．求函数
在区间
上的最大值和最小值．
3．若关于
的函数
在区间
上递减，求实数
的取值范围．
4．已知幂函数
在区间
上是减函数．
(1)求函数
的解析式；
(2)讨论函数
的奇偶性和单调性；
(3)求函数
的值域．
5．比较下列各组中两个数的大小：
(1)
，
；
(2)
，
；
(3)
，
；
(4)
，
．
