第01 讲 随机抽样、统计图表、用样本估计总体
目录
01 考情解码・命题预警........................................................................................................................................2
02 体系构建·思维可视............................................................................................................................................ 3
03 核心突破·靶向攻坚............................................................................................................................................ 4
知能解码......................................................................................................................................................4
知识点1 简单随机抽样......................................................................................................................4
知识点2 分层抽样............................................................................................................................... 4
知识点3 用样本估计总体..................................................................................................................4
知识点4 样本的数字特征..................................................................................................................5
知识点5 平均数、方差的线性关系...............................................................................................7
题型破译......................................................................................................................................................7
题型1 随机抽样、分层抽样.............................................................................................................7
题型2 统计图表....................................................................................................................................8
题型3 频率分布直方图
............................................................................................................10
题型4 百分位数
.......................................................................................................................... 14
【方法技巧】计算一组
个数据的第
百分位数的步骤
题型5 样本的数字特征
.............................................................................................................. 14
题型6 总体集中趋势的估计
...................................................................................................15
题型7 总体离散程度的估计
.....................................................................................................18
题型8 分层抽样的方差问题
.....................................................................................................18
【方法技巧】分层抽样的样本均值和样本方差
04 真题溯源·考向感知.........................................................................................................................................22
05 课本典例·高考素材.........................................................................................................................................23
考点要求
考察形式
2025 年
2024 年
2023 年
（1）抽样方法
（2）统计图表
（3）频率分布直方图
（4）样本的数字特征
的估计，总体集中趋势
的估计，总体离散程度
的估计
单选题
多选题
填空题
解答题
2025 年上海卷第
17 题（3），4 分
2025 年全国二卷
第1 题，5 分
2024 年II 卷第4 题，5
分
2024 年上海卷第19 题
（1），（2）8 分
2023 年上海卷第9 题，5
分
2023 年I 卷第9 题，5 分
2023 年甲卷（文）第19
题（1），4 分
2023 年乙卷（理）第17
题，12 分
考情分析：
统计学是“大数据”技术的关键，在互联网时代具有强大的社会价值和经济价值，在高考中受重视程度越来
越大，未来在考试中的出题角度会更加与实际生活紧密联系，背景新颢、形式多样
复习目标：
（1）会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本，了解分层随机抽样．
（2）理解统计图表的含义．
（3）会用统计图表对总体进行估计，会求
个数据的第
百分位数．
（4）能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度．
知识点1 简单随机抽样
(1)简单随机抽样
分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样.除非特殊声明，本章简单随机抽样指不放回简单随机抽样.
(2)简单随机样本
通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.
(3)简单随机抽样的常用方法
实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法.
自主检测用抽签法从学号为1 到50 的50 名学生（其中含学生李华）中不放回抽取5 名学生进行问卷调
查，每次抽取一个号码，共抽取5 次，设李华第一次被抽到的概率为
，第五次被抽到的概率为
，则
（ ）
A．a =
，
B．a =
，
C．a =
，
D．a =
，
知识点2 分层抽样
(1)分层随机抽样的概念
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总
体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为
分层随机抽样，每一个子总体称为层.
（2）分层随机抽样的平均数计算
在分层随机抽样中，以层数是2 为例，如果第1 层和第2 层包含的个体数分别为
和
，抽取的样本量
分别为
和
，第1 层和第2 层的样本平均数分别为
，
，样本平均数位
，则
.我们可以采用样本平均数
估计总体平均数
自主检测某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为
，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级
的学生中抽取容量为300 的样本，则从高二年级抽取的学生人数为（ ）
A．60
B．90
C．120
D．150
知识点3 用样本估计总体
1、频率分布直方图
（1）频率、频数、样本容量的计算方法
①×组距＝频率．
②＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于．
2、频率分布直方图中数字特征的计算
（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．
（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等
于
，即可求出．
（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底
边中点的横坐标之和，即有
，其中
为每个小长方形底边的中点，
为每个小长
方形的面积．
3.总体百分位数的估计
（1）第
百分位数的定义
一般地,一组数据的第p 百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有
的数据小于或等于这个值,
且至少有
的数据大于或等于这个值.
（2）计算一组
个数据的第
百分位数的步骤：
第1 步,按从小到大排列原始数据.
第2 步,计算
.
第3 步,若不是整数,而大于的比邻整数为
,则第
百分位数为第
项数据;若是整数,则第
百分位
数为第项与第
项数据的平均数.
自主检测一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，x，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的
倍，则该
组数据的第60 百分位数是 .
知识点4 样本的数字特征
（1）众数
一组数据中出现次数最多的数据(即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数.
（2）中位数
一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排成一列,处于最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中
间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)称为这组数据的中位数.
（3）平均数
一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数.数据
，
，
，
的平均数为
（4）标准差与方差
如果有
个数据
，
，
，
那么平均数
，标准差为：
，方差：
知识点三：在频率分布直方图中，众数，中位数，平均数的估计值
(1)最高的小矩形底边中点的横坐标即是众数;
(2)中位数左边和右边的所有小矩形的面积和是相等的;
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横
坐标之和.
自主检测为弘扬传统文化，某校举办了传统文化知识竞赛.现将竞赛得分在
分（满分：
分）的
学生成绩进行统计与分组，得到如下图所示的频率分布直方图.
(1)求
的值，并估计统计数据的上四分位数；
(2)据统计，本次竞赛在
内得分的平均数为
，方差为
；在
内得分的平均数为
，方差
为，求在
内得分的平均数与方差.
知识点5 平均数、方差的线性关系
如果数据
的平均数为，方差为
，那么
①一组新数据
的平均数为
，方差是
．
②一组新数据
的平均数为
，方差是
．
③一组新数据
的平均数为
，方差是
．
自主检测已知数据
，
，
，
，
的方差是4，则
，
，
，
，
的方差为
．
题型1 随机抽样、分层抽样
例1-1 某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400 名学生进行抽样，先将400 名学生进行编号，
001，002，
，
……
399，400．从中抽取40 个样本，如图提供随机数表的第4 行到第6 行，若从表中第5 行
第6 列开始向右读取数据，则得到的第4 个样本编号是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77
A．328
B．253
C．007
D．860
例1-2 某校高一年级有男生160 人，女生120 人，现需抽调
人参与学校“5.4”文艺汇演志愿者工作.若按
性别分层，采用比例分配的分层随机抽样.已知男生抽取16 人，则
（ ）
A．27
B．28
C．29
D．30
【变式训练1-1】某班级有
名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这
名学生中抽取人进
行家访，则同学
被抽到的可能性为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-2】某县有高中生2000 人，初中生3000 人，小学生4000 人，幼儿园学生1500 人，为了解该
县学生的健康情况，采用比例分配的分层随机抽样方法从中抽取样本，若抽出的初中生为30 人，则抽出
的幼儿园学生人数为（ ）
A．15
B．20
C．30
D．40
【变式训练1-3】某林区有针叶林、阔叶林、混交林三类树种区域，面积占比为
，每个区域树种种植
密度均相同．现采用分层随机抽样调查各类树种生长情况，若从针叶林区域抽取了120 株样树，则在该林
区总共抽取的树种数量为 ．
题型2 统计图表
例2-1 年度全省地区生产总值为本年度第一、二、三产业增加值之和．观察下列两个图表，则下列说法错
误的是（ ）
A．2020 至2024 年第一产业增加值逐年下降
B．2020 至2024 年第二产业增加值逐年升高
C．2020 至2024 年第三产业增加值占地区生产总值比重逐年升高
D．2020 至2024 年全省地区生产总值逐年增长
例2-2（多选）某校秋季运动会中A，B 两班的各个单项得分（满分5 分）的雷达图如图所示，则下列说法
正确的是（ ）
A．在200 米项目中，A 班的得分比B 班的得分高
B．对于这六个项目成绩，A 班的第80 百分位数比B 班的第80 百分位数高
C．对于这六个项目成绩，A 班与B 班的众数相同
D．B 班的总分比A 班的总分高
【变式训练2-1】（多选）某快递公司2020－2024 年快递业务量及其增长率如图所示，则（ ）
A．该公司2020－2024 年快逆业务量逐年上升
B．该公司2020－2024 年快递业务量的极差为68.5
C．该公司2020－2024 年快递业务量的增长率的平均数为
D．该公司2020－2024 年快递业务量的增长率的中位数为
【变式训练2-2】（多选）某学校对高一学生预选科进行调查统计，发现学生选科仅有物化生､政史地､物
化地､物化政､生史地五种组合，其中选择物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条
形图，则（ ）
A．该校高一学生总人数为800
B．该校高一学生中选择物化政组合的人数为90
C．该校高一学生中选择物理的人数比选择历史的人数多
D．按选科组合用分层随机抽样的方法从该校高一学生抽取40 人，则生史地组合应抽取8 人
【变式训练2-3】（多选）为了解某企业员工的学习情况，对该企业员工进行问卷调查，已知他们的得分
都处在A，B，C，D 四个区间内，根据调查结果得到下面的统计图.已知该企业男员工占
则下列结论正
确的是（ ）
A．男、女员工得分在A 区间的占比相同
B．在各得分区间男员工的人数都多于女员工的人数
C．得分在C 区间的员工最多
D．得分在D 区间的员工占总人数的19%
题型3 频率分布直方图
例3-1 某高校举行了一次环保知识竞赛，共有900 名学生参加，为了解本次竞赛成绩的情况，从中抽取了
部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100 分)进行统计.请你根据尚未完成的频率分布表和频率分布直方
图，解答下列问题：
分组
频数
频率
[50，60)
4
0.08
[60，70)
0.16
[70，80)
10
[80，90)
16
0.32
[90，100]
合计
50
AI
(1)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内);
(2)补全频率分布直方图;
(3)若成绩在[80，100]内的学生获得环保纪念勋章，请估计该校获得环保纪念勋章的学生有多少人.
例3-2 某所学校为了解高三年级学生数学第二次模拟考试情况，随机抽取了50 名学生的成绩，（满分150
分），将所有数据整理后绘制成如下频率分布直方图：
(1)求
的值；
(2)求这50 名学生的数学成绩的第80 百分位数；
(3)根据频率分布直方图，估计这所学校高三学生第二次模拟考试的数学成绩的平均分.
【变式训练3-1】某机构对
年某地销售的新能源汽车的销售价格与销售数量进行统计，销售价格都不
小于5 万元，且小于30 万元，销售价格分为五组：
，
，
，
，
（单位：
万元）.统计后制成如图所示的频率分布直方图，则销售价格的80%分位数为（ ）
A．26
B．23
C．21
D．19
【变式训练3-2】某市举行青年歌手大赛，为了解本次比赛成绩的情况，从中随机抽取了部分人的成绩
（满分为100 分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图解答问题：
组号
分组
频数
频率
1
4
0.08
2
8
0.16
3
16
0.32
4
14
0.28
5
合计
(1)求
的值；
(2)补全频率分布直方图；
(3)估计这次比赛的平均成绩．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
【变式训练3-3】某部门针对某社区建设满意度进行评分，第一轮由8 名评委进行评分，评分如下：71，
73，76，79，81，83，86，91；第二轮由100 名社区居民进行评分，将居民的评分分成
，
，
，
，
五组，并画出其频率分布直方图（如图）．
(1)求
的值并估计这100 名居民评分的中位数；
(2)若第一轮评分的平均分为
，第二轮评分的平均分为
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代
表）．记
，根据
的取值将社区建设满意度分为三个等级：
的取值
满意度等级
不满意
满意
非常满意
试估计该社区建设满意度等级．
题型4 百分位数
例4-12024 年巴黎奥运会奖牌榜前8 名的金牌数依次为40，40，20，18，16，15，14，13，则这组数据的
上四分位数为（ ）
A．40
B．30
C．15
D．14.5
例4-2
已知一组数据39，41，44，46，49，50，x，55 的第65 百分位数是50，那么实数
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
方
法技巧
计算一组
个数据的第
百分位数的步骤
第1 步,按从小到大排列原始数据.
第2 步,计算
.
第3 步,若不是整数,而大于的比邻整数为
,则第
百分位数为第
项数据;若是整数,则第
百分位
数为第项与第
项数据的平均数.
【变式训练4-1】某同学记录了以下数据，分别为12，10，13，11，6，8，16，14，则该组数据的第80 百
分位数为（ ）
A．10
B．13
C．13.5
D．14
【变式训练4-2】已知一组数据
，则这组数据的
分位数是 .
【变式训练4-3】已知一组数据：3，5，7，1，4，6，9，2，则这组数据的第75 百分位数是 .
题型5 样本的数字特征
例5-1
甲、乙、丙、丁对某组数据（该组数据由5 个整数组成）进行分析，得到以下数字特征，
则不能判断这组数据一定都小于12 的是（ ）
A．甲：中位数为9，众数为11
B．乙：中位数为9，极差为3
C．丙：平均数为8，极差为4
D．丁：平均数为8，方差为3
例5-2
（多选）根据气象学上的标准，从冬季进入春季的标志为连续天的日平均温度均超过
.现将连续天的日平均气温的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，则下列样本中一定符
合入春指标的有（ ）
A．平均数为
，极差为
B．中位数为
，众数为
C．众数为
，极差为
D．平均数为
，方差为
【变式训练5-1】一组样本数据为3，6，5，7，2，4，8，则（ ）
A．极差为5
B．中位数是7
C．平均数是5
D．众数是8
【变式训练5-2】（多选）2025 年上半年，电影《哪吒2》在全国各地的影院热映，某影院连续8 天的观影
人数（单位：百人）按升序排列依次为90，120，120，130，160，160，160，180，则这组数据的（ ）
A．众数为160
B．中位数为145
C．平均数为145
D．第30 百分位数为120
【变式训练5-3】甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5 次（骰子每次出现的点数可能为1，2，3，4，5，6），
并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述：①中位数为3，众
数为5；②中位数为3，极差为3；③中位数为1，平均数为2；
平均数为
④
3，方差为2；可以判断一定没
有出现6 点的描述共有 人.
题型6 总体集中趋势的估计
例6-1 某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120 天苹果的日销售量（单位：
），并绘制频率分布直方图如下：
(1)请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数，平均数，中位数；（同一组中的数据以这组
数据所在区间中点的值作代表）
(2)一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新
鲜，又能80%地满足顾客的需求（在10 天中，大约有8 天可以满足顾客的需求）.请问每天应该进多少千
克苹果？（精确到整数位）
例6-2 某校高一年级学生期中考试共有450 名学生参加.数学考试成绩的频率分布直方图如图所示.
(1)求a 的值；
(2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数和平均数（结果保留两位小数）；
(3)估计该校高一学生这次期中考试数学成绩的第70 百分位数（结果保留两位小数）.
【变式训练6-1】第十九届亚运会将于2023 年9 月23 日至10 月8 在中国杭州举办，为了了解我市居民对
杭州亚运会相关信息和知识的掌握情况，某学校组织学生开展社会实践活动，采用问卷的形式随机对我市
100 名居民进行了调查.为了方便统计分析，调查问卷满分20 分，得分情况制成如下频率分布直方图.
(1)求
的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这100 名居民调查问卷中得分的
（i）第70 百分位数（结果用分数表示）；
（ii）平均值（各组区间的数据以该组区间的中间值作代表）.
【变式训练6-2】2025 年“五一”假期，全国国内出游3.14 亿人次，同比增长6.4%，这一数据反映了民众
出行意愿高涨，折射出我国内需市场的活力．某景点为提升服务水平，对部分游客发起满意度调查，满意
度采用百分制，统计结果绘制成如下频率分布直方图．
(1)求图中
的值，并估计满意度得分在75 分及以上所占的百分比；
(2)估计满意度得分的中位数和平均数（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）．
【变式训练6-3】树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部
门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数（认可系数
）不低于0.90，
则“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此后勤部门随机调查了该校600 名学生，根据
这600 名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成
]五组，
得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中t 的值和第70 百分位数（结果保留两位小数）；
(2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，后勤部门从评分低于80 分的学生中，按照调查评分
的分组，分为3 层，通过按比例分配分层随机抽样抽取45 人进行座谈，求应选取评分在
的学生人
数；
(3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由．
题型7 总体离散程度的估计
例7-1 某学校为了获得该校全体高中学生的体育锻炼情况， 按男、女学生的比例分别抽样调查了 48 名男
生和 27 名女生的每周锻炼时间. 通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为 7.6 小时， 方差为 7.3，
女生每周锻炼时间的平均数为 6.4 小时， 方差为 8， 则所有样本数据的方差是 .
例7-2 已知样本的各个体的值由小到大依次为
、、、
、
、
、
、
、
、
，且样本的中
位数为
若要使该样本的方差最小，求
、
的值．
【变式训练7-1】已知一组正数
，
，
，
的方差为
，则数据
，
，
，
的平均数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【变式训练7-2】已知1，
这5 个数的平均数为3，方差为2，则
这4 个数的方差为
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【变式训练7-3】某班级有30 名男生和20 名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男
生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末
在家学习时长的方差
的值是 .
题型8 分层抽样的方差问题
例8-1 某高校体检随机抽取100 名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间[160，165]，[165，
170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．
(1)求
和频率分布直方图中身高在175cm 及以下的学生人数；
(2)估计该校100 名学生身高的下四分位数（结果保留到个位数）．
(3)已知落在区间[170，175）的样本平均数是173，方差是8，落在区间[175，180）的样本平均数是178，
方差是6，求两组样本成绩合并后的平均数
和方差
．
参考公式：若总体划分为2 层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：
记总的样本平均数为
，样本方差为
，则
．
例8-2 某企业拟招聘部分技术人员，有200 人参与竞聘，其中研究生50 人，本科生150 人，现采用分层抽
样的方式，对他们的竞聘成绩（满分10 分）进行调查，其中研究生竞聘成绩的抽样数据如下：7，7，8，
9，9．
(1)请根据上述数据计算研究生竞聘成绩样本的平均数和方差；
(2)若本科生竞聘成绩样本的平均数为6，方差为1，求整体样本数据的平均数
和方差
．
参考公式：若总体划分为2 层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：
m，
，
；n，
，
．记总的样本平均数为
，样本方差为
，则
，
．
方
法技巧 分层抽样的样本均值和样本方差
1．分层随机抽样的平均数
(1)定义:一般地,将样本
和样本
合并成一个新样本,则这个新样本的平均数
.若已知上述两层的新样本中每层的平均
数分别为
和
,则这个新样本的平均数为
.
记w1
,w2
,则这个新样本的平均数为
,其中w1,w2称为权重.
(2)一般地,设样本中不同层的平均数和相应权重分别为
和w1,w2,…,wn,则这个样本的平均数为
记作
.
2．分层随机抽样的方差
设样本中不同层的平均数分别为
方差分别为
，
,…,
,相应的权重分别为w1,w2,…,wn,则这
个样本的方差为s2=
,其中
为这个样本的平均数．
【变式训练8-1】2025 年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻
的思想使票房一路攀升，于2025 年2 月6 日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至2025 年5 月5
日，总票房（含港澳台和海外票房）已超158.24 亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房
榜的亚洲电影.某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了100 名观众作为样本，得到如图所
示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a 的值与样本中年龄的第85 百分位数.
(2)从样本中年龄为
，
，
的三组观众中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10 人，
则年龄在
中的观众应抽取多少人？
(3)若样本中年龄在
的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在
的观众年龄的平均数是57，
方差是5，求这两组样本总的平均数
和方差
.
【变式训练8-2】某校从高一年级学生中随机抽取200 人参加人工智能科技知识测试，得分在
之
间，分为
五组，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中
的值；
(2)估计这200 名学生得分的上四分位数和平均值（同组中数据用该组区间中点值作代表）；
(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取40 人.若第四组选手成绩的平均数和方差分别为80 和14，
第五组选手成绩的平均数和方差分别为90 和9，请据此估计第四组和第五组所有选手成绩的平均值和方差.
（附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：
记两组数据总体的样本平
均数为
，总体样本方差为
，则总体样本平均数
总体样本方差
）
【变式训练8-3】某校为了解学生的身高情况，从高一、高二、高三三个年级中采用分层抽样的方法抽取
了100 名学生进行调查，其中高一、高二、高三的学生人数之比为4：3：3．
(1)求从高一、高二、高三各年级抽取的学生人数；
(2)从抽取的100 名学生中随机选取2 人协助工作人员调查，求这2 人来自不同年级的概率(用最简分数表
示)；
(3)经过调查，抽取的高二学生身高的平均数为
，方差为60，其中被抽中的小李身高是
．试求除去小李后其余被抽中的高二学生身高的平均数与方差(结果精确到0.1)
1．（2025·全国二卷·高考真题）样本数据2，8，14，16，20 的平均数为（ ）
A．8
B．9
C．12
D．18
2．（2024·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）某农业研究部门在面积相等的100 块稻田上种植一种新型水稻，得到各
块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表
亩产
量
[900，
950）
[950，
1000）
[1000，
1050）
[1050，
1100）
[1100，
1150）
[1150，
1200）
频数
6
12
18
30
24
10
根据表中数据，下列结论中正确的是（ ）
A．100 块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B．100 块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%
C．100 块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间
D．100 块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间
3．（2023·上海·高考真题）国内生产总值（GDP）是衡量地区经济状况的最佳指标，根据统计数据显示，
某市在2020 年间经济高质量增长，GDP 稳步增长，第一季度和第四季度的GDP 分别为231 和242，且四
个季度GDP 的中位数与平均数相等，则2020 年GDP 总额为 ；
4．（2023·全国乙卷·高考真题）某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10 次配对
试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处
理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为
，
．试验结果如下：
试验序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率
545
533
551
522
575
544
54
1
568
596
548
伸缩率
536
527
543
530
560
533
52
2
550
576
536
记
，记
的样本平均数为
，样本方差为
．
(1)求
，
；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果
，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否
则不认为有显著提高）
1．高二年级有男生490 人，女生510 人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男
生、女生的平均身高分别为170.2cm 和160.8cm.
（1）如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100，那么在男生、女生中分别抽取了多少名？在这
种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身高.
（2）如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30 和70，那么在这种情况下，如何估计高二年级全体
学生的平均身高更合理？
2．下列情况中哪些适合用全面调查，哪些适合用抽样调查？说明理由
（1）了解某城市居民的食品消费结构；
（2）调查一个县各村的粮食播种面积；
（3）了解某地区小学生中患沙眼的人数；
（4）了解一批玉米种子的发芽率；
（5）调查一条河流的水质；
（6）某企业想了解其产品在市场的占有率.
3．一支田径队有男运动员56 人，女运动员42 人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员
中抽出一个容量为28 的样本.如果样本按比例分配，那么男、女运动员应各抽取多少名？
4．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10 天中，两台机床每天生产的次品数分别为:
甲：0 1 0 2 2 0 3 1 2 4
乙：2 3 1 1 0 2 1 1 0 1
分别计算这两组数据的平均数和标准差，并说明哪台机床的性能更好？
5．有20 种不同的零食，每100g 可食部分包含的能量（单位：kJ）如下：
110 120 123 165 432 190 174 235 428 318
249 280 162 146 210 120 123 120 150 140
（1）以上述20 个数据组成总体，求总体平均数与总体标准差
（2）设计恰当的随机抽样方法，从总体中抽取一个容量为7 的样本.
（3）利用上面的抽样方法，再抽取容量为7 的样本，这个样本的平均数和标准差与（2）中的结果一样
吗？为什么？
（4）利用（2）中的随机抽样方法，分别从总体中抽取一个容量为10,13,16,19 的样本，分析样本容量与样
本的平均数和标准差对总体的估计效果之间有什么关系.
6．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标，在一批棉花中随机抽测了60 根棉花的纤维长度（单位：
mm），按从小到大排序结果如下：
25 28 33 50 52 58 59 60 61 62
82 86 113 115 140 143 146 170 175 195
202 206 233 236 238 255 260 263 264 265
293 293 294 296 301 302 303 305 305 306
321 323 325 326 328 340 343 346 348 350
352 355 357 357 358 360 370 380 383 385
（1）请你选择合适的组距，作出这个样本的频率分布直方图，分析这批棉花纤维长度分布的特征；
（2）请你估计这批棉花的第5，95 百分位数.
7．在去年的足球联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5.全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比
赛平均失球数是2.1.全年失球个数的标准差是0.4.你认为下列说法中哪一种是正确的，为什么？
（1）平均说来一队比二队防守技术好；
（2）二队比一队技术水平更稳定；
（3）一队有时表现很差，有时表现又非常好；
（4）二队很少不失球.
