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8-2 用样本估计总体
1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数.
2.能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度．
8-2 用样本估计总体.............................................................................................................................1
一、主干知识.................................................................................................................................1
考点1：百分位数...................................................................................................................1
考点2：平均数、中位数和众数...........................................................................................2
考点3：方差和标准差...........................................................................................................2
考点4：总体(样本)方差和总体(样本)标准差......................................................................2
【常用结论总结】..................................................................................................................2
二、分类题型.................................................................................................................................4
题型一 样本的数字特征和百分位数的估计........................................................................4
题型二 总体集中趋势的估计................................................................................................5
题型三 总体离散程度的估计................................................................................................6
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................7一、主干知识
考点1：百分位数
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，
且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
考点2：平均数、中位数和众数
(1)平均数：x＝(x ＋x＋…＋x).这一公式在数学中常简记为x＝∑x，
1 2 n i
(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)
或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)．
(3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据)．
考点3：方差和标准差
(1)方差：s2＝∑(x－x)2＝∑x－x2.
i
(2)标准差：s＝.
考点4：总体(样本)方差和总体(样本)标准差
(1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为 Y ，Y ，…，Y ，总体平均数为 ，则总体方差S2＝∑(Y
1 2 N i
－)2.
(2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y ，Y ，…，Y，其中Y出现的
1 2 k i
频数为f(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝∑f(Y－ )2.
i i i
【常用结论总结】
巧用三个有关的结论
(1)若x，x，…，x 的平均数为1，那么mx＋a，mx＋a，…，mx＋a的平均数为m＋a；
1 2 n 1 2 n
(2)数据x ，x ，…，x 与数据x′＝x ＋a，x′＝x ＋a，…，x′＝x ＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差
1 2 n 1 1 2 2 n n
不变；
(3)若x，x，…，x 的方差为s2，那么ax＋b，ax＋b，…，ax＋b的方差为a2s2.
1 2 n 1 2 n二、分类题型题型一 样本的数字特征和百分位数的估计
【例题精析1】 在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为 ，
那么这组数据的第75百分位数为（ ）
A．38 B．39 C．40 D．41
【答案】B
【分析】根据第75百分位数的定义计算可得答案.
【解答】8场比赛的得分从小到大排列为：25，29，30，32，37，38，40，42，
因为 ，所以第75百分位数为 .故选：B.
【例题精析2】 某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年
100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分
成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．
则全市家庭月均用水量的25%分位数的估计值为 （精确到0.01）.
【答案】3.18
【分析】根据频率分布直方图，直接计算25%分位数的估计值.
【解答】频率分布直方图中，用水量低于2 t的频率为0.06×2＝0.12，用水量低于4 t的频率为0.06×2＋
0.11×2＝0.34，故全市家庭月均用水量的25%分位数的估计值为 .故答案为：3.18
计算一组n个数据第p百分位数的步骤【对点精练1】 某工厂在加大生产量的同时，狠抓质量管理，不定时抽查产品质量．该企业质检人员从
所生产的产品中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：
．得到如下频率分布直方图．
(1)求出直方图中m的值；
(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和60%分位数（同一组中的
数据用该组区间中点值作代表，60%分位数精确到0.01）．
【答案】(1) (2)平均数为 ，60%分位数为
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，建立方程，可得答案；
（2）根据频率分布直方图的平均数与百分位数的计算方法，可得答案.
【解答】（1）由 ，得 ．（2）平均数
，设60%分位数为n，则由
，可得n在 上，由，得 ．故可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数
为 ，60%分位数为 ．
【对点精练2】 甲同学最近几次的数学考试成绩情况如下：
，则甲得分的第75百分位数为 .
【答案】
【分析】将成绩数据重新排列求出第75百分位数所在位置即可得出结果.
【解答】将考试成绩从小到大重新排列如下：79、83、86、88、93、98、、98、99、101、103、114，共
11个数据，因为 ，所以甲得分的第75百分位数为重新排列的第9个数，即为101.故答案为：题型二 总体集中趋势的估计
【例题精析3】 （多选）一组样本数据11，19，15，16，19，则这组数据的（ ）
A．众数是19 B．平均数是16 C．中位数是15 D．方差是44
【答案】AB
【分析】根据众数、平均数、中位数、方差的知识求得正确答案.
【解答】这组数据从小到大排列为 ，所以众数是 ，A选项正确；
中位数是 ，C选项错误；平均数是 ，B选项正确.
方差是 ，D选项错误.故选：AB
【例题精析4】 （多选）学校组织“校园安全”知识测试，随机调查600名学生，将他们的测试成绩
（满分100分）按照 ， ， ，…， 分成六组，得到如图所示的频率分布
立方图，则下列说法正确的是（ ）
A．a的值为0.05
B．估计测试成绩低于70分的有240人
C．估计测试成绩的众数为75
D．估计测试成绩的平均数为71
【答案】BCD
【分析】利用频率分布直方图的相关知识求解即可.【解答】对于A，由图知 ，解得 ，故A错误；对于B，由图知测
试成绩低于70分的有 人，故B正确；对于C，由图知估计测试成绩的
众数为 ，故C正确；对于D，由图知估计测试成绩的平均数为
，故D正确.
故选：BCD.
【例题精析5】 由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济
损失，现将 地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示．估算月经济损失的平均数
为 ，中位数为 ，则 （ ）
A．50 B．75 C．90 D．100
【答案】C
【分析】根据频率分布直方图的性质，所有的矩形块面积之和等于1，可求得 的值，根据中位数的定义
可求得 ，再根据频率分布直方图估算平均数可求得 ，进而即得.
【解答】根据频率分布直方图的性质，所有的矩形块面积之和等于1，
，第一块小矩形的面积为 ，第二块小矩形
的面积为 ，所以中位数在第二组，故 ，又平均数
，故 .故选：C.
【例题精析6】 由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济
损失，现将 地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示．估算月经济损失的平均数为 ，中位数为 ，则 （ ）
A．50 B．75 C．90 D．100
【答案】C
【分析】根据频率分布直方图的性质，所有的矩形块面积之和等于1，可求得 的值，根据中位数的定义
可求得 ，再根据频率分布直方图估算平均数可求得 ，进而即得.
【解答】根据频率分布直方图的性质，所有的矩形块面积之和等于1，
，
第一块小矩形的面积为 ，第二块小矩形的面积为 ，所以中位数在第二组，
故 ，
又平均数 ，
故 .
故选：C.
频率分布直方图的数字特征
(1)众数：最高矩形的底边中点的横坐标．
(2)中位数：中位数左边和右边的矩形的面积和应该相等．
(3)平均数：平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和．
【对点精练1】 （多选）某产品售后服务中心选取了10个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服
务电话的数量（单位：次）：67 57 37 40 46 62 31 47 31 30则这组数据的（ ）A．众数是31 B．中位数是40
C．极差是37 D． 分位数是30.5
【答案】ACD
【分析】根据众数、中位数、极差、百分位数的概念求解即可.
【解答】这组数据中31出现了2次，出现次数最多，因此众数是31，A正确；
从小到大排列10个数据分别为30，31，31，37，40，46，47，57，62，67，
第5位和第6位为40和46，因此中位数是 ，B错误；
最大值为67，最小值为30，因此极差为 ，C正确；
是整数，则 分位数应取第1位与第2位的平均值，即30和31的平均值30.5，D正确.
故选：ACD.
【对点精练2】 （多选）从某城市抽取100户居民进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50到350
度之间，将数据按照 ， ，…， 分成6组，画出的频率分布直方图如下图所
示，则（ ）
A．直方图中的 的值为0.0040
B．这100户居民月用电的平均数约为186度
C．这100户居民月用电的中位数约为200度
D．这100户居民月用电的众数约为175度
【答案】BD
【分析】根据频率分布直方图中小矩形面积和为1即可求出 ，则可判断A，再利用平均数、中位数和众
数计算公式即可判断BCD.
【解答】对A，由图得 ，解得 ，故A错误，
对B，平均数为 ，故B正确；
对C， ， ， ，
因为 ，
则中位数位于 区间范围，则设中位数为 ，
有 ，解得 ，故C错误；
对D，根据表格可知月平均用电量的众数为 ，故D正确.
故选：BD.
【对点精练3】 某台机床加工的1000只产品中次品数的频率分布如下表：
次品
数
频率
则次品数的众数、平均数依次为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】读懂题意，根据众数和平均数的定义求解.
【解答】将频率看作概率，本题所给的表格的意义是：假如这种生产1000个产品这件事发生100次，
则没有次品的次数是 ，有1个次品的次数是 ，有2个次品的次数是 ，
有3个次品的次数是 ，有4个次品的次数是 ，
所以出现最多的是次品数 ，在100次生产中出现次品的平均数 ；
故选：A.
【对点精练4】 已知一组数据为 ，则该组数据的（ ）
A．众数是1 B．平均数是3
C．第50百分位数是2 D．方差是9
【答案】B
【分析】根据众数、平均数、百分位数、方差的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【解答】该组数据的众数是 ，A选项错误；
平均数是 ，B选项正确；该组数据从小到大排列为 ， ，
所以该组数据第50百分位数是 ，C选项错误；
方差是 ，D选项错误.
故选：B
题型三 总体离散程度的估计
【例题精析7】 （多选）下列统计量中，能度量样本 的离散程度的是（ ）
A．样本 的标准差 B．样本 的中位数
C．样本 的极差 D．样本 的平均数
【答案】AC
【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.
【解答】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；
由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；
由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；
由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；
故选：AC.
【例题精析8】 在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为 ，且 ，则下面四
种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.
【解答】对于A选项，该组数据的平均数为 ，
方差为 ；
对于B选项，该组数据的平均数为 ，
方差为 ；
对于C选项，该组数据的平均数为 ，
方差为 ；
对于D选项，该组数据的平均数为 ，
方差为 .
因此，B选项这一组的标准差最大.
故选：B.
【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
【例题精析9】 设一组样本数据x
1
，x
2
，…，xn的方差为0.01，则数据10x
1
，10x
2
，…，10xn的方差为
（ ）
A．0.01 B．0.1 C．1 D．10
【答案】C
【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.
【解答】因为数据 的方差是数据 的方差的 倍，
所以所求数据方差为
故选：C【点睛】本题考查方差，考查基本分析求解能力，属基础题.
【例题精析10】 一组数据由6个数组成，将其中一个数由4改为6，另一个数由12改为10，其余数不变，
得到新的一组数据，则新的一组数的方差减去原一组数的方差的差为（ ）
A．4 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】根据方差的计算公式求得两组数据的方差，进而求得正确答案.
【解答】设原来的数据为 ，
平均数为 ，
方差为
新的数据为 ，
平均数为 ，
方差为 ，
所以 .故选：C
总体离散程度的估计
标准差(方差)反映了数据的离散与集中、波动与稳定的程度．标准差(方差)越大，数据的离散
程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小．
【对点精练5】 已知样本数据 ， ， ， ， ， 的平均数为16，方差为
9，则另一组数据 ， ， ， ， ， ，12的方差为（ ）．
A． B． C． D．7【答案】C
【分析】由均值、方差性质求数据 ， ， ， ， ， 的平均数、方差，应用平均数、方差公式求
新数据方差.
【解答】设数据 ， ， ， ， ， 的平均数为 ，方差为 ，
由 ， ，得 ， ，
则 ， ， ， ， ， ，12的平均数为 ，
方差为
．
故选：C
【对点精练6】 某校高二年级有男生400人和女生600人，为分析期末物理调研测试成绩，按照男女比
例通过分层随机抽样的方法取到一个样本，样本中男生的平均成绩为80分，方差为10，女生的平均
成绩为60分，方差为20，由此可以估计该校高二年级期末物理调研测试成绩的方差为 .
【答案】
【分析】根据分层抽样的性质，利用平均数以及方差的计算，建立方程，可得答案.
【解答】由 ，不妨设样本由男生2人和女生3人组成.由题设：
， ，解得 ， ；
，
解得 ， ；
所以样本的平均分 ，样本的方差 .
故答案为： .
【对点精练7】 有一组按从小到大顺序排列的数据：3，5， ，8，9，10，若其极差与平均数相等，则
这组数据的中位数为 .【答案】 /
【分析】由极差和平均数求出 ，即可求出中位数.
【解答】依题意可得极差为 ，平均数为 ，
所以 ，解得 ，所以中位线为 .故答案为：
【对点精练8】 甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次命中环数如下：
甲 4 7 10 9 5 6 8 6 8 8
乙 7 8 6 8 6 7 8 7 5 9
试问10次射靶的情况较稳定的是 ．
【答案】乙
【分析】计算两组数据的平均数与方差，平均数相同，再比较方差大小即可.
【解答】 ；
.
， 乙较稳定．
故答案为：乙.
三、分层训练：课堂知识巩固1．（2020•新课标Ⅲ）设一组样本数据 ， ， ， 的方差为0.01，则数据 ， ， ， 的
方差为
A．0.01 B．0.1 C．1 D．10
【分析】根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，求出新数据的方差即可．
【解答】解： 样本数据 ， ， ， 的方差为0.01，
根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，
数据 ， ， ， 的方差为： ，
故选： ．
【点评】本题考查了方差的性质，掌握根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长是解题的关
键，本题属于基础题．
2．（2023•山东模拟）在一些比赛中，对评委打分的处理方法一般是去掉一个最高分，去掉一个最低分，
然后计算余下评分的均值作为参赛者的得分．在一次有9位评委参加的赛事中，评委对一名参赛者所打的
9个分数，去掉一个最高分，去掉一个最低分后，一定不变的数字特征为
A．平均值 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】根据中位数，平均数，众数和方差得定义进行判断，并举出反例．
【解答】解：一共9个数据，从小到大排列后分别为 ， ， ， ， ， ， ， ， ，则 为中
位数，
去掉最高分 和最低分 后，选取第4个数据，即仍然 为中位数，故中位数一定不变，
其余数据可能会改变，设9个分数为3，3，4，5，5，7，8，9，10，
则平均数为 ，众数为3和5，
所以方差为 ，
去掉最高分10和最低分3后，则平均数为 ，众数为5，所以方差为 ，
所以平均值，众数和方差均发生变化．
故选： ．
【点评】本题主要考查了数据的数字特征，考查了学生的计算能力，属于基础题．
3．（2023•马鞍山模拟）某校高三（1）班 人）和高三（2）班 人）进行比赛，按照分层抽样的方法
从两个班共抽取10名同学，相关统计情况如下：高三（1）班答对题目的平均数为1，方差为1；高三
（2）班答对题目的平均数为1.5，方差为0.35，则这10人答对题目的方差为
A．0.61 B．0.675 C．0.74 D．0.8
【分析】先根据分层抽样求各层的人数，再根据平均数、方差的公式运算求解．
【解答】解：根据题意，由分层抽样定义，可得高三（1）班抽取的人数为 ，
高三（2）班抽取的人数为 ，
设高三（1）班 人）答对题目数依次为 ， ， ， ，
高三（2）班 人）答对题目数依次为 ， ， ， ，
则 ，
可得 ，
则这10人答对题目的平均数 ，方差为 ．
故选： ．
【点评】本题考查分层抽样的概念，平均数的概念，方差的概念，属中档题．
4．（2023•市中区校级一模）在高三某次模拟考试中，甲、乙两个班级的数学成绩统计如表：
班级 人数 平均分数 方差
甲 40 70 5乙 60 80 8
则两个班所有学生的数学成绩的方差为
A．6.5 B．13 C．30.8 D．31.8
【分析】根据已知条件，结合平均数和方差公式，即可求解．
【解答】解：两个班级总的平均数为 ，
则两个班所有学生的数学成绩的方差为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查平均数和方差公式，属于基础题．
5．（2023•渭南模拟）酒后驾驶是严重危害交通安全的行为，某交通管理部门对辖区内四个地区（甲、乙、
丙、丁）的酒驾治理情况进行检查督导，若“连续8天，每天查获的酒驾人数不超过10”，则认为“该地
区酒驾治理达标”，根据连续8天检查所得数据的数字特征推断，酒驾治理一定达标的地区是
A．甲地，均值为4，中位数为5
B．乙地：众数为3，中位数为2
C．丙地：均值为7，方差为2
D．丁地：极差为3， 分位数为8
【分析】对于选项 ， ：首先假设不达标，通过均值，中位数和方差的公式运算，检验假设是否成立，
对于选项 ， ：根据众数，中位数，极差和百分位数定义即可判断．
【解答】解：不妨设8天中，每天查获的酒驾人数从小到大分别为 ， ， ， ，
且 ，其中 ，2， ，
选项 ：若不达标，则 ，因为中位数为5，所以 ，
又因为均值为4，故 ，从而 ，
且 ，则 ， ， ，
满足题意，从而甲地有可能不达标，故 错误，选项 ：由众数和中位数的定义易知，当 ， ， ，
时，乙地不达标，故 错误，
选项 ：若不达标，则 ，由均值为7可知，则其余7个数中至少有一个数不等于7，
由方差定义可知， ，这与方差为2矛盾，从而丙地一定达标，故 正确，
选项 ：由极差定义和百分位数定义可知，当 ，
时，丁地不达标，故 错误，
故选： ．
【点评】本题考查了众数，中位数，平均值以及方差，考查了学生的逻辑推理能力以及运算求解能力，属
于中档题．
6．（2023•庐阳区校级模拟）若一组样本数据 、 、 、 的平均数为10，另一组样本数据 、
、 、 的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为
A．17，54 B．17，48 C．15，54 D．15，48
【分析】计算出 、 的值，再利用平均数和方差公式可求得合并后的新数据的平均数和方差．
【解答】解：由题意可知，数据 、 、 、 的平均数为10，则 ，
所以数据 、 、 、 的平均数为 ，
方差为 ，
所以 ，将两组数据合并后，新数据 、 、 、 、 、 、 、 的平均数为：
，
方差为： ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了平均数和方差的计算，属于基础题．
7．（2023•玉树州模拟）已知样本数据 ， ， ， 的平均数和方差分别为 3 和 56，若
，2， ， ，则 ， ， ， 的平均数和方差分别是
A．12，115 B．12，224 C．9，115 D．9，224
【分析】根据样本数据的平均数和方差的性质，计算即可．
【解答】解：因为样本数据 ， ， ， 的平均数和方差分别为3和56，且 ，2，
， ，
所以数据 ， ， ， 的平均数为 ，方差为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了样本数据的平均数和方差的性质与应用问题，是基础题．
8．（2023•凉山州模拟）样本数据 ， ， ， 的平均数 ，方差 ，则样本数据 ，
， ， 的平均数，方差分别为
A．9，4 B．9，2 C．4，1 D．2，1
【分析】由平均值、方差的性质求新数据的平均数和方差．
【解答】解：由题设 ， ，
所以 ， ．故选： ．
【点评】本题主要考查平均数和方差的性质，属于基础题．
9．（2023•甘肃模拟）如图，一组数据 ， ， ， ， ， 的平均数为 ，方差为 ，去除 ，
这两个数据后，平均数为 ，方差为 ，则
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【分析】根据平均数的定义可得 ，根据 ， ，结合平均数定义求 ，再结合方
差的意义判断 的大小关系，由此判断正确选项．
【解答】解：由题意，得 ，则 ，
又 ， ，
故 ，
， 是波动幅度最大的两个点的值，
则去除 ， 这两个数据后，整体波动性减小，
故 ．
故选： ．【点评】本题考查平均数以及方差的定义，属于基础题．
10．（2023•铜川二模）现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为 3，方
差为5，乙组数据的平均数为5，方差为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
【分析】根据题意，由分层抽样中数据方差的计算公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，甲组数据的平均数为3，方差为5，乙组数据的平均数为5，方差为3，
则两组数据混合后，新数据的平均数 ，
则新数据的方差 ，
故选： ．
【点评】本题考查数据的方差的计算，注意方差的计算公式，属于基础题．
11．（2023•沈河区校级模拟）某校高三年级一共有1200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80
百分位数是103分，则数学成绩不小于103分的人数至少为
A．220 B．240 C．250 D．300
【分析】因为第80百分位数是103分，所以小于103分的学生占总数最多为 ，即成绩不小于103分的
人数至少为总数的 ．
【解答】解：由 人，所以小于103分学生最多有960人，
所以大于或等于103分的学生有 人．
故选： ．
【点评】本题主要考查了百分位数的求法，属于基础题．
12．（2023•济南二模）某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，
中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为
A．7.6 B．7.8 C．8 D．8.2
【分析】首先分析数据的情况，再根据平均数公式计算可得．
【解答】解：这组数据一共有5个数，中位数为8，则从小到大排列8的前面有2个数，后面也有2个
数，
又唯一的众数为9，则有两个9，其余数字均只出现一次，则最大数字为9，又极差为3，所以最小数字为6，
所以这组数据为6、7、8、9、9，
所以平均数为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查平均数公式，属于基础题．
13．（2023•云南模拟）已知按从小到大顺序排列的两组数据：
甲组：27，30，37， ，40，50；
乙组：24， ，33，44，48，52．
若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则 等于
A． B． C． D．
【分析】根据百分位数的定义，求出 ， 的值即可得答案．
【解答】解：因为甲乙两组都有6个数据， ， ，
所以第30百分位数为 ，
第50百分位数为 ，
所以 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
14．（2023•邢台模拟）下表是足球世界杯连续八届的进球总数：
年份 1994 1998 2002 2006 2010 2014 2018 2022
进球总 141 171 161 147 145 171 169 172
数
则进球总数的第40百分位数是
A．147 B．154 C．161 D．165
【分析】将数据从小到大排列，计算 ，根据第40百分位数的含义，即可确定答案．
【解答】解：将连续八届的进球总数从小到大排列为：141，145，147，161，169，171，171，172，
由于 ，故进球总数的第40百分位数是第4个数据161．
故选： ．【点评】本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
15．（2023•射洪市模拟）已知一组正数 ， ， 的方差 ，则数据 ，
， 的平均数为
A．1 B．3 C．5 D．7
【分析】利用方差的计算公式求出 ， ， ， 的平均数，然后再利用平均数的结论求解即可．
【解答】解：正数 ， ， 的方差 ，
由 方 差 的 计 算 公 式 可 得
，
所以 ，
故 ，
所以数据 ， ， 的平均数为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了平均数与方差的理解与应用，解题的关键是熟练掌握平均数与方差之间的关系，考查
了计算能力，属于基础题．
16．（2023•临沂一模）某工厂随机抽取20名工人，对他们某天生产的产品件数进行统计，数据如表，则
该组数据的第75百分位数是
件数 7 8 9 10 11
人数 3 7 5 4 1
A．8.5 B．9 C．9.5 D．10
【分析】根据百分位数的求法求解即可．
【解答】解；抽取的工人总数为20， ，
那么第75百分位数是所有数据从小到大排序的第15项与第16项数据的平均数，
第15项与第16项数据分别为9，10，
所以第75百分位数是 ．故选： ．
【点评】本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
17．（2023•浙江模拟）为调查中某校学生每天学习的时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取
高一学生400人，其每天学习时间均值为8小时，方差为0.5，抽取高二学生600人，其每天学习时间均值
为9小时，方差为0.8，抽取高三学生1000人，其每天学习时间均值为10小时，方差为1，则估计该校学
生每天学习时间的方差为
A．1.25 B．1.35 C．1.45 D．1.55
【分析】根据题意结合平均数、方差的计算公式运算求解．
【解答】解：由题意可得：抽取的总人数为 ，
则高一，高二，高三学生抽取的人数的频率分别为 ，
可得该校学生每天学习时间的平均数 ，
方差 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查平均数和方差的求解，考查转化能力，属于基础题．
18．（2023•定远县校级模拟）已知一组数据：1，2，3，5， ，则下列说法错误的是
A．若平均数为4，则 B．中位数可以是5
C．众数可以是1 D．总体方差最小时，
【分析】根据已知条件，结合平均数、中位数、众数，方差的定义，即可求解．
【解答】解：对于 ，若平均数为4，
则 ，解得 ，故 正确，
对于 ，由于小于等于5的数已经存在4个，不管 取何值，中位数不可能为5，故 错误，
对于 ，当 时，众数为1，故 正确，
对于 ，总体方差最小时， 应等于数据的平均值，即 ，解得 ，故 正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查平均数、中位数、众数，方差的定义，属于基础题．19．（多选）（2023•新高考Ⅰ）有一组样本数据 ， ， ， ，其中 是最小值， 是最大值，则
A． ， ， ， 的平均数等于 ， ， ， 的平均数
B． ， ， ， 的中位数等于 ， ， ， 的中位数
C． ， ， ， 的标准差不小于 ， ， ， 的标准差
D． ， ， ， 的极差不大于 ， ， ， 的极差
【分析】根据平均数，中位数，标准差，极差的概念逐一判定即可．
【解答】解： 选项， ， ， ， 的平均数不一定等于 ， ， ， 的平均数， 错误；
选项， ， ， ， 的中位数等于 ， ， ， ， 的中位数等于 ， 正确；
选项，设样本数据 ， ， ， 为0，1，2，8，9，10，可知 ， ， ， 的平均数是5， ，
， ， 的平均数是5，
， ， ， 的方差 ，
， ， ， 的方差 ，
， ， 错误．
选项， ， ， ， 正确．
故选： ．
【点评】本题考查平均数、中位数、标准差、极差的计算，是基础题．
20．（多选）（2021•新高考Ⅰ）有一组样本数据 ， ， ， ，由这组数据得到新样本数据 ， ，
， ，其中 ，2， ， ， 为非零常数，则
A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
【分析】利用平均数、中位数、标准差、极差的定义直接判断即可．
【解答】解：对于 ，两组数据的平均数的差为 ，故 错误；
对于 ，两组样本数据的样本中位数的差是 ，故 错误；
对于 ， 标准差 ，
两组样本数据的样本标准差相同，故 正确；
对于 ， ，2， ， ， 为非零常数，
的极差为 ， 的极差为 ，
两组样本数据的样本极差相同，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查平均数、中位数、标准差、极差的定义等基础知识，是基础题．
21．（多选）（2021•新高考Ⅱ）下列统计量中，能度量样本 ， ， ， 的离散程度的有
A．样本 ， ， ， 的标准差 B．样本 ， ， ， 的中位数
C．样本 ， ， ， 的极差 D．样本 ， ， ， 的平均数
【分析】利用中位数、标准差、极差、平均数的定义以及含义分析求解即可．
【解答】解：中位数是反应数据的变化，
方差是反应数据与均值之间的偏离程度，
极差是用来表示统计资料中的变异量数，反映的是最大值与最小值之间的差距，
平均数是反应数据的平均水平，
故能反应一组数据离散程度的是标准差，极差．
故选： ．
【点评】本题考查了中位数、标准差、极差、平均数的定义以及含义，属于基础题．
22．（2023•上海）现有某地一年四个季度的 （亿元），第一季度 为232（亿元），第四季度
为241（亿元），四个季度的 逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的 为
946 （亿元） ．【分析】设第二季度 为 亿元，第三季度 为 亿元，则 ，由题意可得
，可求出 的值，从而求出该地一年的 ．
【解答】解：设第二季度 为 亿元，第三季度 为 亿元，则 ，
中位数与平均数相同，
，
，
该地一年的 为 （亿元）．
故答案为：946（亿元）．
【点评】本题主要考查了中位数和平均数的定义，属于基础题．
23．（2020•江苏）已知一组数据4， ， ，5，6的平均数为4，则 的值是 2 ．
【分析】运用平均数的定义，解方程可得 的值．
【解答】解：一组数据4， ， ，5，6的平均数为4，
则 ，
解得 ．
故答案为：2．
【点评】本题考查平均数的定义的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
24．（2020•上海）已知有四个数1，2， ， ，这四个数的中位数是3，平均数是4，则 3 6 ．
【分析】分别由题意结合中位数，平均数计算方法得 ， ，解得 ， ，再算出答案即可．
【解答】解：因为四个数的平均数为4，所以 ，
因为中位数是3，所以 ，解得 ，代入上式得 ，
所以 ，
故答案为：36．
【点评】本题考查样本的数字特征，中位数，平均数，属于基础题．
25．（2019•江苏）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ．【分析】先求出一组数据6，7，8，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差．
【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：
，
该组数据的方差为：
．
故答案为： ．
【点评】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
26．（2016•上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，
则这组数据的中位数是 1.7 6 （米 ．
【分析】先把这组数据按从小到大排列，求出位于中间的两个数值的平均数，得到这组数据的中位数．
【解答】解： 位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，
从小到大排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80，
位于中间的两个数值为1.75，1.77，
这组数据的中位数是： （米 ．
故答案为：1.76．
【点评】本题考查中位数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中位数的定义的合理运用．
27．（2016•江苏）已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是 0. 1 ．
【分析】先求出数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数，由此能求出该组数据的方差．
【解答】解： 数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5的平均数为：
，
该组数据的方差：
．
故答案为：0.1．
【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．
