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利用导数研究恒 能 成立问题
7-5 ( )
7-5 利用导数研究恒(能)成立问题....................................................................................................................1
一、分类题型.....................................................................................................................................................1
题型一 分离参数求参数范围...............................................................................................................2
题型二 等价转化求参数范围...............................................................................................................2
题型三 双变量的恒(能)成立问题......................................................................................................3
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................4一、分类题型
题型一 分离参数求参数范围
【例题精析1】 （2022春·广东江门·高二台山市第一中学校考期中）已知函数 恒成立，则实
数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解答】当 时， 成立；当 时，由已知可得， ，
设 ，则 .当 时，有 .
当 时，有 ，所以 在 上单调递减；
当 时，有 ，所以 在 上单调递增.
所以， 在 处取得唯一极小值，也是最小值 ，所以， .
因为 在 时恒成立，所以 ；当 时，由已知可得， ，
则 恒成立，所以 在 上单调递减.
要使 在 时恒成立，则应有 .
因为 ，所以 .综上所述，要使 恒成立，
应有 .故选：A.【点睛】思路点睛：对 的范围讨论，分离常数，构造函数，转化为求解函数的最值问题.求解导函数，根
据导函数得出函数的单调区间以及最值，即可得出参数的取值范围.
【例题精析2】 （2023·河北·统考模拟预测）若 ，不等式 成立，则实数
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】因为 ，不等式 等价于 ，
即 ，即
构造函数 ，则 ， 在 上单调递增，
所以 ，于是 ，则 ，
即 ，设 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，解得 .故选：A.
【例题精析3】 （2023春·河北邯郸·高二统考期末）已知函数 .
(1)若 是增函数，求 的取值范围；
(2)若 在 上恒成立，求 的取值范围.
【解答】（1） 的定义域为 .
因为 是增函数，所以 在 上恒成立.
即 在 上恒成立.
令函数 ， .所以 在 上单调递增，则 .
所以 ，故 的取值范围为 .
（2）由题意可得 在 上恒成立.
令函数 ，则 .
当 时， ，
所以 ，此时 在 上单调递增，
故 ，符合题意.
当 时，令函数 ，则 .
所以 在 上单调递增. .
当 ，即 时， 在 上恒成立，
此时 在 上单调递增，故 ，符合题意.
当 ，即 时，存在 ，使得当 时， ，
即 在 上单调递减，此时 ，不符合题意.
综上， 的取值范围是 .
【点睛】不等式恒成立求参数的取值范围方法点睛：
常规套路无非是分类讨论和分离参数.分类讨论是一定可行的，但却未必简单，这需要严密的逻辑，甚至耗
费洪荒之力.分离参数的方法无需讨论，降低了难度，同时也会有一定的计算量.
分离参数法解决恒(能)成立问题的策略
(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x) ；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x) ；
max min
a≥f(x)能成立⇔a≥f(x) ；a≤f(x)能成立⇔a≤f(x) .
min max
【对点精练1】 （2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若对任意的 ， 恒
成立，求实数 的取值范围．
【解答】解法一，由 在 上恒成立，得 在 上恒成立，即
在 上恒成立
令 ，
则 ．
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以
因为 ， ，所以 ，
所以 ，即实数 的取值范围为 ．
解法二，由 在 上恒成立，得 在 上恒成立．
令 ， ，则 满足 即可
，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ．
因为 ， ，所以 ，所以 ，即实数 的取值范围为 ．
【对点精练2】 （2023春·湖北武汉·高二统考期末）已知函数 ， 时， ，则
实数 的范围是__________.
【解答】由题可得 对任意 恒成立，
等价于 对任意 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
在 单调递增，
， ，
存在唯一零点 ，且 ，使得 ，
在 单调递减，在 单调递增，
，
，即 ，
令 ，显然 在 单调递增，则 ，即 ，
则 ， .
故答案为：
【对点精练3】 （2023春·江西抚州·高二江西省临川第二中学校考阶段练习）函数 在 上存在
单调递增区间，则 的取值范围是______.【解答】函数 ，∴ ，
∵函数 在 上存在单调递增区间， ，即 有解，
令 , ,∴当 时， ， 即可．
故答案为:
【对点精练4】 （2023·全国·高三专题练习）若存在 ，使得不等式 成立，则m的取值
范围为______
【解答】存在 ，要使 成立，即 ， ，
令 ， ，即 ，
又 ，设 ， ，
则 ，则 在 内单调递增，
，则 ， 在 内单调递增，
，故m的取值范围为 ．
故答案为： .题型二 等价转化求参数范围
【例题精析4】 已知函数f(x)＝ex－1－ax＋ln x(a∈R)．
(1)若函数f(x)在x＝1处的切线与直线3x－y＝0平行，求a的值；
(2)若不等式f(x)≥ln x－a＋1对一切x∈[1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．
【解答】(1)f′(x)＝ex－1－a＋，∴f′(1)＝2－a＝3，∴a＝－1，经检验a＝－1满足题意，∴a＝－1，
(2)f(x)≥ln x－a＋1可化为ex－1－ax＋a－1≥0，x>0，
令φ(x)＝ex－1－ax＋a－1，则当x∈[1，＋∞)时，φ(x) ≥0，∵φ′(x)＝ex－1－a，
min
①当a≤时，φ′(x)>0，∴φ(x)在[1，＋∞)上单调递增，
∴φ(x) ＝φ(1)＝1－a＋a－1＝0≥0恒成立，∴a≤符合题意．
min
②当a>时，令φ′(x)＝0，得x＝ln a＋1.当x∈(0，ln a＋1)时，φ′(x)<0，
当x∈(ln a＋1，＋∞)时，φ′(x)>0，∴φ(x)在(0，ln a＋1)上单调递减，
在(ln a＋1，＋∞)上单调递增．当ln a＋1≤1，即<a≤1时，φ(x)在[1，＋∞)上单调递增，
φ(x) ＝φ(1)＝0≥0恒成立，∴<a≤1符合题意．当ln a＋1>1，即a>1时，φ(x)在[1，ln a＋1)上单调递减，
min
在(ln a＋1，＋∞)上单调递增，∴φ(x) ＝φ(ln a＋1)<φ(1)＝0与φ(x)≥0矛盾．故a>1不符合题意．
min
综上，实数a的取值范围为(－∞，1]．
根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数
单调性求解．
【对点精练5】 （2022秋·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知函数 ， ．
(1)研究函数 在区间 上的单调性；
(2)若对于 ，恒有 ，求 的取值范围．
【解答】（1）函数 的定义域为 ． ，当 时， ，而 ，所以 ，
当 时， ，而 ，
所以 ．
所以当 时， ，即 ．
综上， 在 上单调递增．
（2） 即 ，
设 ，
当 时，结合（1）知， 在 上是增函数，则 ，
所以当 时，不等式显然成立．
当 时， ，
令 ，则 ，
当 时， ， ，所以 ，
所以 为增函数， ．
当 时， ，从而有 ，此时不等式恒成立．
当 时，令 ，即 ，
由前面分析知，函数 在 上是增函数，
且 ，
．
故存在唯一的 ，使得 ．当 时， ， 为减函数且 ．
所以 与 恒成立矛盾．
综上所述， 的取值范围为 ．
【对点精练6】 （2023春·福建福州·高二校联考期中）已知函数 .
(1)令 ，讨论 的极值；
(2)若 时， 恒成立，求正实数a的取值范围.
【解答】（1） ，则 ，
若 ，则 ，此时 无极值；
若 ，由 得 ；由 得 ；
则 在 上为减函数，在 上为增函数，
故 在 处取极小值且极小值为 ，
综上，当 时， 无极值；
当 时， 有极小值为 ，无极大值.
（2） 时， 恒成立等价于 恒成立，
设 ，则 ，
若 ，则 ，则 为 上的增函数，
故 ，故 恒成立.
若 ，则当 时， ，
故 在 上为减函数，而 ，故当 时， 成立，
这与题设矛盾，
故 .
【对点精练7】 （2023春·重庆·高二校联考期末）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)设 ，其中 ，若 恒成立，求 的取值范围．
【解答】（1） 的定义域为 ， ，令 ，得 ，
时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
故 递减区间为 ，递增区间为 .
（2） ，定义域为 ，
令 ， ，所以 在 上单调递增，
而当 趋向于1时， 趋向负无穷； 趋向正无穷时， 趋向正无穷，故 ，
由 恒成立， ，得 ，
即 ， 恒成立，
令 ，则 ，令 ，得 ，
时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减，
所以 ，所以 ，解得 .
所以 的取值范围是 .【点睛】关键点睛：本题第（2）小题关键是由 恒成立，得 恒成立，换元令
可转化为 恒成立，构造函数 求出其最大值即可求解，可减少复杂的隐
零点运算.
题型三 双变量的恒(能)成立问题
【例题精析5】 （2023春·湖南怀化·高二统考期末）已知函数 ， .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，存在 满足 ，证明 .
【解答】（1）依题意得 ， ，所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 .（2） 时， ， ，
令 ，得 ，
时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减，
， ， ，
因为存在 满足 ，不妨设 ，
则其一个必要条件是 ，
由 得 ，即 ，
令 ， ，
则 ，两边取对数得 ，即 ，
要证 ，只要证 ，
，
故只要证 ，即 ，
设 ，则 ，
故只要证 ，即 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
即 成立，从而原不等式得证.
【点睛】方法点睛：本题第二问关键是合理转化，将问题变为熟悉的极值点偏移问题，进而转化为证明对数均值不等式即可.
【例题精析6】 （2023春·天津静海·高二静海一中校考阶段练习）已知函数 （
是自然对数的底数）
(1)求 在 处的切线方程.
(2)存在 成立，求a的取值范围.
(3)对任意的 ，存在 ，有 ，则 的取值范围.
【解答】（1）由题意可得： ，
则 ，
即切点坐标 ，切线斜率 ，
故 在 处的切线方程为 ，即 .
（2）∵ ，则 ，
∴原题意等价于存在 成立，
又∵ ，则 ，
∴ ，
故a的取值范围为 .
（3）因为对任意的 ，存在 ，有 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，故 ，
因为 开口向下，对称轴为 ，则有：①当 ，即 时， 在 上单调递减，则 ，
所以 ，则 ，
故 ；
②当 ，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，则
，
所以 ，故 ；
③当 ，即 时， 在 上单调递增，则 ，
所以 ，故 ；
综上所述： ，即 的取值范围 .
“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常
见的等价转换有
(1)∀x ，x ∈D，f(x )>g(x ) f(x) >g(x) .
1 2 1 2 min max
(2)∀x ∈D ，∃x ∈D ，f(x )>g(x ) f(x) >g(x) .
1 1 2 2 ⇔1 2 min min
(3)∃x ∈D ，∀x ∈D ，f(x )>g(x ) f(x) >g(x) .
1 1 2 2 1 2 ⇔ max max
⇔【对点精练8】 （2023·广西·校联考模拟预测）已知函数 ．
(1)若 ，求 在 处的切线方程；
(2)若 有两个不同零点 ， 证明： ．
【解答】（1）当 时， ，
故 ， ，
故在 处的切线方程为 ，即 .
（2）证明：不妨设 ，设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递减， 在 单调递增，
可知 ， 也是 的两个零点，且 ， ，于是 ，
设 ，
因为 ．
设 ，
当 时， ，
故 在 单调递增，所以 ，从而 ，
因此 在 单调递增．
又 ，故 ，故 ，于是 ．
又 在 单调递减，故
即 ，故
【点睛】关键点点睛：第一个关键点是从结论分析，由 得 ，
故构造函数 ；第二个关键点是能利用 函数的最值得到 ，进
而证明 .
【对点精练9】 （2023·宁夏银川·银川一中校考三模）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 有两个极值点 ，且 ，求 的取值范围．
【解答】（1） ，
曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2） ，则函数 的定义域为 ，
若函数 有两个极值点 ，且 ．
则方程 的判别式 ，且 ，
．
．
设 ，
则 在 上恒成立．
故 在 单调递减，从而 ．
因此， 的取值范围是 ．
【对点精练10】 （2023春·重庆南岸·高二重庆市广益中学校校考阶段练习）已知函数 ．
(1)若 在 单调递增，求实数 的取值范围；(2)若函数 有两个极值点 ， ，且 ，求证： ．
【解答】（1）函数 的定义域为 ，则 ，
若 单调递增，则 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
又 在 上单调递减，于是 ，
所以 ，
故实数a的取值范围为 .
（2）证明： （ ），
则 ，
依题意可得 ， 是方程 的两个不同的根，
于是 ， ， ，即 ，
又 ，则 ， .
要证 ，
只需证 ，
即证 ， ，
因为 ，所以 ，
从而 ，令 ， ，
则 ，
设 ，则 ，
令 ，解得： （舍去 ），
由 ，得 ，由 ，得 ，
于是 在 上单调递增，在 上单调递减，
即 在 上单调递增，在 上单调递减，
而 ， ，于是在 上， ，
因此 在 上单调递增，从而 ，
综上所述， ，
所以原命题 得证．
【点睛】方法点睛：破解含双参不等式证明题的3个关键点
（1）转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式.
本题中得到 ， 是方程 的两个不同的根，根据韦达定理得到 及
，从而将原不等式转化为只 的不等式；
（2）巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值.本题中构造函数
， ；
（3）再次利用导数研究函数的最值，即可证得结果.三、分层训练：课堂知识巩固
1．（浙江高考）设 ，若 时，均有 ，则 ．
【解答】解：（1） 时，代入题中不等式明显不成立．
（2） ，构造函数 ， ，它们都过定点 ．
考查函数 ：令 ，得 ， ，
；
考查函数 ， 时均有 ，
过点 ， ，代入得： ，
解之得： ，或 （舍去）．
故答案为： ．
【点评】本题考查不等式恒成立问题，解题的关键是构造函数，利用函数的性质求解．
2．（2023•天津）已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 在 处的切线斜率；（Ⅱ）当 时，求证： ；
（Ⅲ）证明： ．
【解答】解：（Ⅰ）对函数 求导，可得 ，
则曲线 在 处的切线斜率为 （2） ；
（Ⅱ）证明：当 时， ，即 ，即 ，
而 在 上单调递增，
因此 ，原不等式得证；
（Ⅲ）证明：设数列 的前 项和 ，
则 ；
当 时， ，
由（2）， ，
故 ，不等式右边得证；
要证 ，只需证：对任意的 ， ，
令 ，则 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
则 ，即 ，则 ，
因此当 时， ，
当 时，累加得
，
又 ， ，
故 ，即得证．
【点评】本题考查导数的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题．
3．（2016•新课标Ⅲ）已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）设函数 ，当 时， ，求 的取值范围．
【解答】解：（1）当 时， ，
， ，
， ，
，
解得 ，
不等式 的解集为 ．
（2） ，
，
，，
当 时，成立，
当 时， ，
，
解得 ，
的取值范围是 ， ．
【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，
注意不等式性质的合理运用．
4．（2022•浙江模拟）已知函数 的振幅为2，初相为 ，函数 的
图象关于 轴对称．
（Ⅰ）求函数 的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）函数 ，若 恒成立，求 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知 ．
令 ．
的图象关于 轴对称，
，
，
，
， ，
，函数 的最小正周期 ，
令 ，
解得 ，
函数 的单调递增区间为 ．
（Ⅱ） ，
令 ，
， ，
恒成立等价于 在 上恒成立，
易知 ，
由函数 在 上单调递增可得： ，
，
，
即 的取值范围为 ．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，不等式的恒成立问题，属于中档题．
5．（2022•毕节市模拟）已知 ．
（Ⅰ）若 ，解不等式 ；
（Ⅱ）若 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ） 化为 ，
当 时， ，当 时， ， ，
综上可得，解集为 ；
（Ⅱ）由题意得： 恒成立，
恒成立，
上式化为 恒成立，
即
由于 ， ，
令 ，则 ，
上式化为： ，
在 ， 上为减函数， （3） ，
同理 在 ， 上为增函数， ，
，
所以实数 的取值范围是 ， ．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，属于中档题．
6．（2022•上饶一模）已知函数 ， ．
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若 在 ， 时有解，求实数 的取值范围．【解答】解：（1） 时，函数 ，
所以不等式 等价于 或 或 ，
解得 或 或 ，
所以不等式 的解集为 ， ；
（ 2 ） 因 为 ， 时 ， 所 以 函 数
，
又因为 ，
所以 在 ， 上的值域是 ， ，
若 在 ， 时有解，则 ，
当 时， ，所以 ，解得 ；
当 时， ，所以 ，解得 ，
综上知， ，
所以实数 的取值范围是 ， ．
【点评】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了使不等式有解的应用问题，是中档题．
7．（2022•赤峰模拟）已知函数 ．（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若对任意的 ， ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【解答】解：（1） 时，函数 ，
不等式 等价于 或 ，
解得 ，
所以不等式 的解集为 ；
（2）对任意的 ， ，不等式 恒成立，等价于 ，
即 ，所以 或 ，
所以 或 ，
又因为 ， ，所以 或 ，
所以实数 的取值范围是 ， ， ．
【点评】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论与转化思想，是中档题．
8．（2022•临夏州一模）已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围．
【解答】解：（1） 时，函数 ，
①当 时，不等式 可化为 ，解得 ，此时无解；
②当 时，不等式 可化为 ，解得 ，即 ；
③当 时，不等式 可化为 ，解得 ，即 ；综上，不等式 的解集为 ， ．
（2）因为 ，
①当 时， ，
②当 时， ，
③当 时， ，
因为 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
所以 ，
又因为 恒成立，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，也考查了分类讨论思想和转化思想，是中
档题．
9．（2022•长丰县校级模拟）已知 ．
（1）解不等式 ；
（2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【解答】（1）解： ，
①当 时， 可化为 ，解得 ，无解；
②当 时， 可化为 ，解得 ，故 ；③当 时， 可化为 ，解得 ，故 ；
综上所述，不等式 的解集为 ， ；
（2）关于 的不等式 在 上恒成立，即 ，
，当且仅当 ，即 时等号成立，
，
，解得 ，
故实数 的取值范围为 ， ．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，属于中档题．
10．（2022•安康三模）已知函数 ．
（1）求不等式 的解集；
（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
【解答】解：（1）函数 ，
所以不等式 等价于 或 或 ，
解得 或 或 ，
所以不等式 的解集为 ， ；
（2）当 时， 恒成立，等价于 或 恒成立；由 ，得 ，解得 ，
由 ，得 ，解得 ，
综上知，实数 的取值范围是 ， ．
【点评】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了绝对值不等式的解法与不等式恒成立问题，是中档题．
11．（2022•河南模拟）已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 恒成立，求 的取值范围．
【解答】解：（1）当 时， ，
所以 ，即 或 或 ，
解得 ，
即不等式 的解集是 ， ；
（2）因为 ，
所以 恒成立等价于 恒成立，
当 时， 恒成立，所以 符合题意；
当 时， 等价于 ，
即 ，解得 或 ，
综上， 的取值范围是 ， ， ．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，属于中档题．
12．（2022•上海） ．
（1）若将函数 图像向下移 后，图像经过 ， ，求实数 ， 的值．
（2）若 且 ，求解不等式 ．
【解答】解：（1）因为函数 ，
将函数 图像向下移 后，得 的图像，
由函数图像经过点 和 ，
所以 ，
解得 ， ．
（2） 且 时，不等式 可化为 ，
等价于 ，
解得 ，
当 时， ， ，解不等式得 ，
当 时， ， ，解不等式得 ；
综上知， 时，不等式 的解集是 ， ，
时，不等式 的解集是 ， ．【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，是中档题．
13．（2022•通辽模拟）已知函数 ．
（1）若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围；
（2）若对任意的实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【解答】解：（1） 有解，
，
当 时， ，
，
当 时，
，
，
当 时，
，
，
当 时，
，
，
综上， 或 ，
即 的取值范围是 ， ， ；
（2） 恒成立，
由（1）知，当 时， ，
，
，
或 ，
即 的取值范围为 ， ， ．
【点评】本题考查了函数的有解和恒成立问题，属于中档题．
14．（2022•大兴区校级三模）设函数 ， ．
（1）当 时，求 在点 ， 处的切线方程；
（2）当 时， 恒成立，求 的取值范围；
（3）求证：当 时， ．
【解答】解：（1） ， ，即切点 ．
， ，则切线方程为： ．
（2） ， 恒成立等价于 恒成立．
设 ，
， ， 为增函数，
， ， 为减函数，
所以 ，即 ．
（3）证明： 等价于
设 ，设 ，
所以 在 为增函数，即 ，
所以 ，
即 在 为增函数，即 ，
即证： ．
【点评】本题考查利用导数研究函数的切线方程及函数的恒成立问题，考查学生的运算能力，属于中档题
15．（2022•海拉尔区校级四模）已知函数 ．
（1）当 ， 时，求不等式 的解集；
（2）当 时， 的最大值为 ，求 的最小值．
【解答】解：（1）由于 ， ，
则 ，
，
，
或 或 ，解得 ，
故不等式的解集为 ， ．
（2） ，
则在 区间上函数 为增函数，在 区间上函数 为减函数，
故 ，即 ，
，当且仅当 等号成立，
故 的最小值为 ．
【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，考查分类讨论的思想，属于中档题．
16．（2022•呼和浩特模拟）已知函数
（Ⅰ）当 时，解不等式： ；
（Ⅱ）若不等式 对任意实数 恒成立，求实数 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ） 时， ，
由 ，得 或 或 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 ．
（Ⅱ）不等式 对任意实数 恒成立，
对任意实数 恒成立，
，
当且仅当 时等号成立，
所以 ，所以 ，
所以 ，解得 或 ，即 ， ， ．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，属于中档题．
17．（2022•爱民区校级三模）已知函数 ．
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若 ，求 的最小值．
【解答】解：（1）函数 ，
当 时， ，
时，不等式 化为 ，解得 ；
时，不等式 化为 ，解得 ，此时无解；
时，不等式 化为 ，解得 ；
综上，不等式 的解集为 或 ；
（2）由 ， ，
，
由 ，
设 ，
，
，当且仅当 或 时等号成立）；
的最小值为 ．
【点评】本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题．18．（2022•叙州区校级模拟）已知函数 ．
（Ⅰ）解不等式 ；
（Ⅱ）若关于 的不等式 在 ， 上恒成立，求实数 的取值范围．
【解答】解： 由 得 或 或
解得 或 或 ， 不等式的解集为 ．
（Ⅱ）由题意知，当 ， 时， 恒成立．
若 ，则 ，即 恒成立，
此时， ，故 ；
若 ，则 ，即 恒成立，
此时， 在 ， 上的最小值为 ，
故 ．综上所述， 的取值范围是 ， ．
【点评】本题考查函数的恒成立问题，考查学生的运算能力，属于中档题．
19．（2022•河南模拟）已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 对任意的 恒成立，求 的取值范围．
【解答】解：（1）当 时， 化为 ，
当 时，不等式化为 ，解得 ，
当 时，不等式化为 ，解得 ，
当 时，不等式化为 ，解得 ，综上所述，当 时，不等式 的解集为 ；
（2）由 ，得 ，即 ，
因为
（当且仅当 时，等号成立），
又因为 对任意的 恒成立，所以 ，
当 ，即 时，有 ，即 ，此不等式无解；
当 ，即 时，有 ，即 ，解得 ，
综上所述， 的取值范围为 ，即 ， ．
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，属于中档题．
20．（2022•陕西模拟）已知函数 ．
（Ⅰ）解不等式 ；
（Ⅱ）若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ） 即为 ，
当 时，不等式等价于 ，解得 ；
当 时，不等式等价于 ，即 ，无解；
当 时，不等式等价于 ，解得 ；
综上，不等式的解集为 ， ， ；
（Ⅱ） ，易知 ，
要使不等式 有解，则 ，即 或 ，解得 或 ，实数 的取值范围为 ， ， ．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．
