第9讲 二次函数与幂函数
一、知识梳理
1.幂函数
(1)幂函数的定义:一般地,函数y=xα叫作幂函数,其中x是自变量,α是常数.
幂函数的特征:①自变量x处在幂底数的位置,幂指数α为常数;②xα的系数为
1;③只有一项.
（2）幂函数的图象与性质
在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近 x 轴(简记为“指大图
低”)，在区间(1,+ )上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.
（3）比较幂值的大小
在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单
调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：(x)=ax2+bx+c(a≠0);
顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0);
零点式：f(x)=a(x-x )(x-x )(a≠0).
1 2
(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0)
图象
定义域 R R
[4ac-b2
) (
4ac-b2]
值域 ,+∞ -∞,
4a 4a
( b ] ( b ]
单调递减区间是 -∞,- ; 单调递增区间是 -∞,- ;
2a 2a
单调性
[ b ) [ b )
单调递增区间是 - ,+∞ 单调递减区间是 - ,+∞
2a 2a
b
对称性 函数的图象关于直线x=- 对称
2a
二、幂函数三大核心原则
（一）定义判定原则
1
学科网（北京）股份有限公司标准形式：必须符合 （ 为常数）形式，系数为1且为单项式
定义域特性：幂函数定义域随指数 变化，需特别注意 为分数时的定义
域限制
图象过定点：所有幂函数必过(1,1)点
（二）图象性质原则
第一象限规律： >0时图象过(0,0)和(1,1)； <0时图象以坐标轴为渐近线
奇偶特性： 为奇数时是奇函数； 为偶数时是偶函数
单调规律： >0时在(0,+∞)单调增； <0时在(0,+∞)单调减
（三）比较大小原则
图象法：利用函数图象直观比较
中间值法：选取适当中间值（如0,1）比较
幂指转化法：转化为指数函数比较
三、二次函数三大核心原则
（一）解析式选择原则
一般式：已知三点坐标时使用
顶点式：已知顶点或最值时使用
零点式：已知与x轴交点时使用
（二）图象分析原则
三点一线一开口分析：（1）三点：顶点+两个对称点（2）一线：对称轴
（3）一开口： 的符号决定
参数影响：（1） 决定开口大小和方向（2） 与 共同决定对称轴（3）
决定 轴截距
（三）最值应用原则
区间定轴动：分类讨论对称轴与区间位置关系
轴定区间动：根据对称轴分析区间变化影响
分离参数法：将参数与变量分离求解
四、题型分类与解题策略
（一）幂函数典型题型
1、定义判定题
2
学科网（北京）股份有限公司解题步骤：（1）验证系数为1（2）确认单项形式（3）确定幂指数
【例1】下列函数中，属于幂函数的是（ ）
1
A．y=(2x) 2 B．y=❑√x C．y=− D．y=2x
x
【详解】形如y=xα（α为常数且α∈R）为幂函数，要求底数为变量且系数为
1，
对比选项仅有B： 1符合要求.故选：B.
y=❑√x=x2
2、图象识别题
解题要点：（1）根据第一象限特征判断α>0或α<0（2）根据奇偶性判断对
称性
【例2】如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（ ）
1 1 2
A．y=
x3
B．y=❑√|x) C．y=
x2
D．
y=x3
1 1
【详解】对于A，y= ，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，当x<0时，y= <0，不
x3 x3
符合题意；
对于B，当 时， ，不符合题意；
x=0 y=❑√|x)=0
1
对于C，y= ，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，函数为偶函数，
x2
1
且y= 在(0,+∞)上单调递减，在(−∞,0)上单调递增，符合题意；
x2
对于D， 2，当
x=0
时，
y=0
，不符合题意，
y=x3
故选：C.
3、性质综合题
解题策略：（1）先确定幂指数α（2）分析定义域和奇偶性（3）结合单调
3
学科网（北京）股份有限公司性解题
【例3】已知点( ❑√3)在幂函数 的图象上，则 是（ ）
❑√3, f (x) f (x)
3
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．在x∈(−∞,0)∪(0,+∞)上单调递减
【详解】∵点( ❑√3)在幂函数 的图象上，设 ，
❑√3, f (x) f (x)=xα
3
❑√3 1
∴ =(❑√3) α ，解得α=−1，∴函数f (x)=x−1= ，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
3 x
1
关于原点对称，∴f (−x)= =−f (x)，∴函数f (x)是奇函数，
−x
根据反比例图象f (x)在(−∞,0),(0,+∞)上单调递减．故选：A．
（二）二次函数典型题型
1、解析式求解题
解题模板：（1）根据条件选择适当形式（2）建立方程组（3）解方程组求
参数
【例4】已知函数f(x)=-2x2+bx+c在x=1处取得最大值1.
①求b·c的值;
1 1
②设0<m<n,若当m≤x≤n时,f(x)的最小值为 ,最大值为 ,求m,n的值.
n m
【详解】①因为f(x)=-2x2+bx+c在x=1处取得最大值1,所以
{ b
=1, 解得{b=4, 所以b·c=-4.
4
c=-1,
f (1)=-2+b+c=1,
1
②由①得f(x)=-2x2+4x-1=-2(x-1)2+1,则f(x)≤1,由题意得0< ≤1,则m≥1,所以当
m
1 1
m≤x≤n时,f(x)单调递减,所以f(m)=-2(m-1)2+1= ,且f(n)=-2·(n-1)2+1= ,所以m,n
m n
4
学科网（北京）股份有限公司1 1+❑√3
是关于x的方程-2(x-1)2+1= 的两个解,即(x-1)(2x2-2x-1)=0,解得x =1,x =
x 1 2 2
1-❑√3 1+❑√3
,x = ,又1≤m<n,所以m=1,n= .
3
2 2
2、最值应用题
解题关键：（1）确定对称轴位置（2）分析区间与对称轴关系（3）分类讨
论
【例5】已知函数f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2.
(1)若a=2,求函数f(x)在区间(-1,2)上的取值范围;
(2)若函数f(x)在区间[0,2]上有最小值3,求a的值.
【详解】(1)若a=2,则f(x)=4x2-8x+2=4(x-1)2-2,
则函数f(x)在区间(-1,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增,
所以当x∈(-1,2)时,f(x)≥f(1)=-2,f(x)<f(-1)=14,
所以f(x)在区间(-1,2)上的取值范围为[-2,14).
(2)f(x)=4( a) 2-2a+2.
x-
2
a
①当 ≤0,即a≤0时,函数f(x)在[0,2]上单调递增,
2
所以当x∈[0,2]时,f(x) =f(0)=a2-2a+2,由a2-2a+2=3,得a=1±❑√2,
min
因为a≤0,所以a=1-❑√2.
②当0<a<2,即0<a<4时,当x∈[0,2]时,f(x)
min
=f(a)=-2a+2,
2 2
1
由-2a+2=3,得a=- (0,4),舍去.
2
∉
a
③当 ≥2,即a≥4时,函数f(x)在[0,2]上单调递减,当x∈[0,2]时,f(x) =f(2)=a2-
2 min
10a+18,
由a2-10a+18=3,得a=5±❑√10,因为a≥4,所以a=5+❑√10.
综上所述,a=1-❑√2或a=5+❑√10.
3、恒成立问题
解题方法：（1）分离参数法（2）图象分析法（3）最值转化法
5
学科网（北京）股份有限公司【例6】对任意x∈[−1, 1)，不等式2x2−2x+1−2m≥0恒成立，则实数m的取
值范围是（ ）
A． ( 1) B． ( 1) C． ( 5) D．[1 )
−∞, −∞, −∞, , +∞
4 2 2 2
【详解】因为对任意x∈[−1,1)，不等式2x2−2x+1−2m≥0恒成立.
所以(
x2−x+
1)
≥m
，其中
x∈[−1,1)
，
2
min
设 y=x2−x+ 1， x∈[−1,1) ，因为 y=x2−x+ 1 = ( x− 1) 2 + 1，
2 2 2 4
1 1 1
所以当x= 时，函数y=x2−x+ ，x∈[−1,1)取最小值，最小值为 ，
2 2 4
1
所以m≤ ，故选：A.
4
五、典例欣赏
【例7】已知函数f(x)=tx2+x-3t+1(t∈R).
(1)若f(x)在(-∞,2)上单调递增,求t的取值范围;
(2)若t>0,设函数f(x)在区间[-2,-1]上的最大值为g(t),求g(t)的解析式,并求出g(t)的
最小值.
【详解】(1)当t=0时,f(x)=x+1,则f(x)在(-∞,2)上单调递增,满足条件;
1
当t≠0时,f(x)=tx2+x-3t+1的图象的对称轴为直线x=- ,要使f(x)在(-∞,2)上单调
2t
递增,
{
t<0,
则 解得-1≤t<0.
1
- ≥2, 4
2t
综上,若f(x)在(-∞,2)上单调递增,则t的取值范围为[ 1 ].
- ,0
4
6
学科网（北京）股份有限公司(2)当t>0时,f(x)=tx2+x-3t+1的图象的对称轴为直线x=- 1 ,所以f(x)在 ( 1 )
-∞,-
2t 2t
上单调递减,在 ( 1 ) 上单调递增.
- ,+∞
2t
1 1
当-1≤- ,即t≥ 时,f(x) =g(t)=f(-2)=t-1.
max
2t 2
1 1
当- ≤-2,即0<t≤ 时,f(x) =g(t)=f(-1)=-2t.
max
2t 4
1 1 1
当-2<- <-1,即 <t< 时,f(-2)=t-1,f(-1)=-2t.
2t 4 2
1 2
当t-1=-2t,即t= 时,f(x) =g(t)=f(-1)=f(-2)=- ;
max
3 3
1 1
当t-1>-2t,即 <t< 时,f(x) =g(t)=f(-2)=t-1;
max
3 2
1 1
当t-1<-2t,即 <t< 时,f(x) =g(t)=f(-1)=-2t.
max
4 3
1
{-2t,0<t< ,
综上,g(t)= 3
1
t-1,t≥ ,
3
所以g(t)
min
=g(1)=-2.
3 3
7
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