文档文本内容
高考重点考点解读与针对性训练
第十二章 磁场
考点97 带电粒子在空间电磁场中的运动
【考点解读】
1.解题关键点
（1）带电粒子的等间距螺旋线运动与加速旋进的螺旋线运动
①空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电
粒子在磁场中就做等间距螺旋线运动.这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和
垂直于磁场平面的匀速圆周运动.
②空间中的匀强磁场和匀强电场（或重力场）平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做
加速旋进的螺旋线运动，这种运动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁
场平面的匀速圆周运动.
（2）带电粒子在立体空间中的偏转
分析带电粒子在立体空间中的运动时，要充分发挥空间想象力，由受力确定粒子的运动状
态，进而确定粒子在空间中的运动轨迹.将带电粒子通过不同空间的运动过程分为不同的阶
段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界处粒子的运动状态和关联条
件即可求解问题.
2.常见带电粒子在立体空间中的运动类型
常见类型
立体视图
三视图
等间距螺
旋线运动
磁场进磁场
yOx 平面 yOz 平面
电场进磁场
yOx 平面 yOz 平面
磁场进电场
【高考真题】
【典例1】. （2024 高考江西卷）石墨烯是一种由碳原子组成的单层二维蜂窝状晶格结构
新材料，具有丰富的电学性能．现设计一电路测量某二维石墨烯样品的载流子（电子）浓
度。如图（a）所示，在长为a，宽为b 的石墨烯表面加一垂直向里的匀强磁场，磁感应强
度为B，电极1、3 间通以恒定电流I，电极2、4 间将产生电压U。当
时，
测得
关系图线如图（b）所示，元电荷
，则此样品每平方米载流子
数最接近（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
设样品每平方米载流子(电子)数为n，电子定向移动的速率为v，则时间t 内通过样品的电
荷量
q=nevtb
根据电流的定义式得
当电子稳定通过样品时，其所受电场力与洛伦兹力平衡，则有
联立解得
结合图像可得
解得
故选D。
【典例2】. （2024 高考湖南卷）如图，有一内半径为2r、长为L 的圆筒，左右端面圆心
O′、O 处各开有一小孔。以O 为坐标原点，取O′O 方向为x 轴正方向建立xyz 坐标系。在筒
内x ≤ 0 区域有一匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向沿x 轴正方向；筒外x ≥ 0 区域有
一匀强电场，场强大小为E，方向沿y 轴正方向。一电子枪在O′处向圆筒内多个方向发射
电子，电子初速度方向均在xOy 平面内，且在x 轴正方向的分速度大小均为v0。已知电子
的质量为m、电量为e，设电子始终未与筒壁碰撞，不计电子之间的相互作用及电子的重
力。
（1）若所有电子均能经过O 进入电场，求磁感应强度B 的最小值；
（2）取（1）问中最小的磁感应强度B，若进入磁场中电子的速度方向与x 轴正方向最大
夹角为θ，求tanθ 的绝对值；
（3）取（1）问中最小的磁感应强度B，求电子在电场中运动时y 轴正方向的最大位移。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】
（1）电子在匀强磁场中运动时，将其分解为沿x 轴的匀速直线运动和在yOz 平面内的匀速
圆周运动，设电子入射时沿y 轴的分速度大小为
，由电子在x 轴方向做匀速直线运动得
在yOz 平面内，设电子做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，由牛顿第二定律知
可得
且
由题意可知所有电子均能经过O 进入电场，则有
联立得
当
时，B 有最小值，可得
（2）将电子的速度分解，如图所示
有
当
有最大值时，
最大，R 最大，此时
，又
，
联立可得
，
（3）当
最大时，电子在电场中运动时沿y 轴正方向有最大位移
，根据匀变速直线运
动规律有
由牛顿第二定律知
又
联立得
【典例3】. （2022 年高考山东物理）中国“人造太阳”在核聚变实验方而取得新突破，
该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系
中，
空间内充满匀强磁场I，磁感应强度大小为B，方向沿x 轴正方向；
，
的空间内充满匀强磁场II，磁感应强度大小为
，方向平行于
平面，与x 轴正方向夹角为
；
，
的空间内充满沿y 轴负方向的匀强电场。
质量为m、带电量为
的离子甲，从
平面第三象限内距
轴为
的点
以一定速度
出射，速度方向与
轴正方向夹角为
，在在
平面内运动一段时间后，经坐标原点
沿
轴正方向进入磁场I。不计离子重力。
（1）当离子甲从
点出射速度为
时，求电场强度的大小
；
（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度
；
（3）离子甲以
的速度从
点沿
轴正方向第一次穿过
面进入磁场I，求第四次
穿过
平面的位置坐标（用
表示）；
（4）当离子甲以
的速度从
点进入磁场I 时，质量为
、带电量为
的离子乙，
也从
点沿
轴正方向以相同的动能同时进入磁场I，求两离子进入磁场后，到达它们运动
轨迹第一个交点的时间差
（忽略离子间相互作用）。
【参考答案】（1）
；（2）
；（3）（d，d，0）；
（4）
【命题意图】本题考查带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动和在匀强电场中的类平抛运
动。
【名师解析】
（1）如图所示
离子甲受到的电场力沿
轴负方向，离子甲的运动可以分解为y 方向的匀减速运动和沿z 方
向的匀速运动从A 到O 的过程，有
L= v0cosβ·t
v0sinβ=at，
qE=ma，
联立解得：E=
（2）离子甲在磁场I 中运动的最大轨迹半径为r1=d，
离子从坐标原点O 沿z 轴正方向进入磁场I 中，由洛伦兹力提供向心力
qvB=m
解得：
v=
离子经过磁场I 偏转后从
轴进入磁场II 中，由洛伦兹力提供向心力可得
可得
为了使离子在磁场中运动，需满足
，
联立可得
即要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，进入磁场时的最大速度为
；
（3）离子甲以
的速度从
点沿z 轴正方向第一次穿过
面进入磁场I，离子在磁
场I 中的轨迹半径为
离子在磁场II 中的轨迹半径为
离子从
点第一次穿过到第四次穿过
平面的运动情景，如图所示
离子第四次穿过
平面的
坐标为
离子第四次穿过
平面的
坐标为
故离子第四次穿过
平面的位置坐标为（
，
，
）
（4）设离子乙的速度为
，根据离子甲、乙动能相同，可得
可得
离子甲在磁场I 中的轨迹半径为
离子甲在磁场II 中的轨迹半径为
离子乙在磁场I 中的轨迹半径为
离子乙在磁场II 中的轨迹半径为
根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点如图所示
从
点进入磁场到第一个交点
过程，有
可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为
【典例4】. （12 分）（2024 高考北京卷）我国“天宫”空间站采用霍尔推进器控制姿态
和修正轨道．图为某种霍尔推进器的放电室（两个半径接近的同轴圆筒间的区域）的示意
图．放电室的左、右两端分别为阳极和阴极，间距为d．阴极发射电子，一部分电子进入
放电室，另一部分未进入．
稳定运行时，可视为放电室内有方向沿轴向向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度和磁感
应强度大小分别为E 和
；还有方向沿半径向外的径向磁场，大小处处相等．放电室内的
大量电子可视为处于阳极附近，在垂直于轴线的平面绕轴线做半径为R 的匀速圆周运动
（如截面图所示），可与左端注入的氙原子碰撞并使其电离．每个氙离子的质量为M、电
荷量为
，初速度近似为零．氙离子经过电场加速，最终从放电室右端喷出，与阴极发射
的未进入放电室的电子刚好完全中和．
已知电子的质量为m、电荷量为
；对于氙离子，仅考虑电场的作用．
（1）求氙离子在放电室内运动的加速度大小a；
（2）求径向磁场的磁感应强度大小
；
（3）设被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比为常数k，单位时间内阴极发射的电
子总数为n，求此霍尔推进器获得的推力大小F．
【名师解析】
（1）氙离子在放电室时只受电场力作用，由牛顿第二定律
解得
（2）电子由阴极发射运动到阳极过程中，由动能定理有
电子在阳极附近做匀速圆周运动，轴线方向上所受电场力与洛兹力平衡，即
解得
（3）单位时间内阴极发射的电子总数为n，被电离的氙原子数和进入放电室的电子数之比
为常数k，则单位时间内被电离的氢离子数
氙离子经电场加速，有
时间
内氙离子所受到的作用力为F，由动量定理有
解得
由牛顿第三定律可知，霍尔推进器获得的推力大小
则
【典例5】.[2022 广东]如图所示，一个立方体空间被对角平面MNPQ 划分成两个区域，两
区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z 轴平行的匀强磁场.一质子以某一速度从
立方体左侧垂直Oyz 平面进入磁场，并穿过两个磁场区域.下列关于质子运动轨迹在不同坐
标平面的投影中，可能正确的是（ A ）
答案 A
解析 根据题述情境，质子垂直Oyz 平面进入磁场，由左手定则可知，质子先向y 轴正方
向偏转穿过MNPQ 平面，再向x 轴正方向偏转，所以A 可能正确，B 错误；该轨迹在Oxz
平面上的投影为一条平行于x 轴的直线，CD 错误.
一题多解 本题可采用降维法处理.作出俯视图如图所示，由左手定则判断质子射入磁场和
到磁场边界的洛伦兹力方向，进而判断质子的轨迹.
【典例6】.[2022 重庆] 2021 年中国全超导托卡马克核聚变实验装置创造了新的纪录。为粗
略了解等离子体在托卡马克环形真空室内的运动状况，某同学将一小段真空室内的电场和
磁场理想化为方向均水平向右的匀强电场和匀强磁场（如图），电场强度大小为E，磁感
应强度大小为B。若某电荷量为q 的正离子在此电场和磁场中运动，其速度平行于磁场方
向的分量大小为
，垂直于磁场方向的分量大小为
，不计离子重力，则（ ）
A．电场力的瞬时功率为
B．该离子受到的洛伦兹力大小为
C．
与
的比值不断变大 D．该离子的加速度大小不变
【参考答案】D
【名师解析】根据功率公式，P=Fvcosθ，电场力的瞬时功率为P=qEv1,，选项A 错误；由
于v1与磁场磁感应强度方向平行，该离子受到的洛伦兹力大小为f=
，选项B 错误；
根据运动分解与合成，可知离子在垂直于磁场方向做匀速圆周运动，在平行磁场、电场方
向做加速运动，即v2不变，v1增大，
与
的比值不断变小，选项C 错误；离子受到的洛
伦兹力大小不变，电场力不变，由牛顿第二定律可知，该离子的加速度大小不变，选项D
正确。
【针对性训练】
1. （2025 年5 月成都三诊）如图所示，空间直角坐标系Oxyz 中，Oz 方向竖直向上，M 点
坐标为
，N 点坐标为
，H 点坐标为
。已知质量为m、电荷
量为q 的带正电小球以初速度
从N 点沿y 轴正方向分别射入三种不同情况的复
合场（均未画出）。小球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度大小为g。
（1）情况Ⅰ：在原点O 固定一电荷量未知的负点电荷，小球能运动到M 点，求小球到达
M 点的动能
；
（2）情况Ⅱ：空间同时存在沿z 轴正方向、场强大小
的匀强电场和沿x 轴正方向
的匀强磁场，小球能运动到H 点，求小球从N 到H 的运动时间t；
（3）情况Ⅲ：空间同时存在沿z 轴正方向、场强大小
的匀强电场和从N 指向M 方
向的匀强磁场，小球能运动到M 点，求磁感应强度的最小值
。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）N、M 两点电势相等，从N 到M 电场力做功为零，对小球由动能定理得
解得
（2）小球所受电场力等于重力
如图所示，小球在yOz 平面内从N 运动到H 做匀速圆周运动，O′为轨迹圆圆心，设小球运
动的半径为r，由几何关系可得：
解得：
、
小球从N 到H 的运动时间为：
解得
（3）小球将做等距螺旋运动，将小球速度分解到垂直于磁场和平行于磁场的方向
平行磁场方向有：
运动时间：
小球在垂直磁场方向做匀速圆周运动，设周期为T，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定
律及周期公式，得
粒子运动的周期为
解得
当小球垂直于磁场方向完成一次圆周运动到M 点时，磁感应强度有最小值，即
解得
2. (四川雅安市高2025 年4 月第二次诊断)如图所示，水平面上方有垂直纸面向里的匀强磁
场，磁感应强度大小为
；水平面下方有竖直放置的半径为R 的圆筒，圆筒上下表面圆心
、
处各开有一个小孔，其内部有竖直向上的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为
E，磁感应强度B 未知。处于水平面内的粒子源O 沿与水平方向成30°角发出的带电粒子，
从
处进入圆筒，恰好与筒壁不碰撞，最后从
处射出。已知粒子质量为m，电荷量为q
（q<0），粒子源O 到圆心
的水平距离为L。忽略粒子重力，不考虑边界效应。求
（1）粒子从粒子源射出时的速度大小
；
（2）粒子在圆筒内旋转
周期T；
（3）圆筒高度H 满足的条件。
【答案】（1）
（2）
（3）
（n=1，2，3……）
【解析】(1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，半径为r，则
由洛伦兹力提供向心力有
解得
(2)粒子从
处进入圆筒，速度方向与水平方向成30°角，水平方向做匀速圆周运动，竖
直方向做匀加速直线运动，有
，
粒子恰好与筒壁不发生碰撞，则粒子做圆周运动的半径为
由洛伦兹力提供向心力有
粒子做圆周运动的周期
解得
(3)粒子在竖直方向做匀加速直线运动，有
运动时间满足
（n=1，2，3……）
根据
解得
（n=1，2，3……）
3 （2025 年5 月河南名校联考）如图所示，长方体区域被分成了三个边长均为L 的正方体
区域，最左边的正方体区域内分布着垂直平面CDHG 向里、电场强度大小为
的匀强电场，
中间的正方体区域内分布着垂直平面EHLI 向上的匀强磁场，最右边的正方体区域内分布着
垂直平面JKON 向上、电场强度大小为
的匀强电场。现有电荷量为q、质量为m 的带正
电粒子以大小为
的初速度从A 点沿AE 方向进入电场区域，经EH 的中点进入磁场区域，
最后从NJ 上的某处离开电场。已知匀强磁场的磁感应强度大小
，不计粒子重力。
求：
（1）电场强度
的大小；
（2）带电粒子在磁场中运动的时间t；
（3）电场强度
的大小。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）由题意可知，粒子在左侧的电场中运动时沿AD 方向的位移为
，沿AE 方
向的位移为L，设运动时间为
，加速度为
，有
，
又根据牛顿第二定律
解得
（2）设粒子经过EH 的中点时的速度为v，此时沿EH 方向的分速度为
，有
又因为
解得
设粒子进入磁场后的运动轨迹半径为R，有
解得
由几何关系可知，粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角为
，故粒子在磁场中运动的
时间
（3）设IL 的中点为Q，IM 的中点为T，则粒子离开磁场时速度方向沿QT，设粒子在右边
的电场中运动的时间为
，加速度为
，有
，
又
解得
4 . (湖北省2025 届八校三统联考) 如图所示，三维坐标系
中，在
的区域Ⅰ、Ⅱ
中，存在匀强磁场和沿y 轴正方向的匀强电场，其中区域
中磁场的磁感应
强度大小为
、方向沿x 轴正方向，区域
中磁场的磁感应强度大小为
、
方向沿y 轴正方向；在
的区域Ⅲ、Ⅳ中，存在沿y 轴正方向的匀强磁场，磁感应强度
大小为
。区域Ⅰ中坐标为
的A 点有一粒子源，发出沿
方向、质量
为m、带电量为
的粒子，粒子的初速度大小为
，在区域Ⅰ中恰好沿直线运动并经过
原点O，粒子的重力不计。．求：
（1）匀强电场的电场强度大小；
（2）粒子从发出到第3 次经过x 轴需要的时间；
（3）粒子第6 次通过
平面时的y 轴坐标值。
【答案】（1）
； （2）
；（3）
【解析】（1）由洛伦兹力与电场力平衡
解得
（2）设在I 区运动时间为t1，粒子经原点进入Ⅲ区域后，其运动的轨迹俯视图（沿y 轴负
方向俯视）
设粒子第2 次通过z 轴坐标为z1，则
解得
（3）画出第6 次通过yoz 平面的轨迹俯视图如图所示：
粒子第2 次到第3 次经过yoz 平面的时间内，在区域II 中沿y 轴方向做匀加速运动，设运动
时间为t4，则
设粒子第4 次到第5 次经过yoz 平面的时间内，在区域II 中运动的时间为t5，则
第3 次至第4 次经过yoz 平面的时间内，在区域I 运动时间为t6，第5 次至第6 次经过yoz
平面的时间内，在区域I 中运动的时间为t7，沿y 轴运动的速度为
，则
5 . (湖北省2025 届八校三统联考)如图所示，在xoz 平面的第二象限内有沿x 轴负方向的匀
强电场，电场强度的大小
，空间某区域存在轴线平行于z 轴的圆柱形磁场区域，
磁场方向沿z 轴正方向。一比荷为
的带正电粒子从x 轴上的P 点以速度
射
入电场，方向与x 轴的夹角
。该粒子经电场偏转后，由z 轴上的Q 点以垂直于z 轴
的方向立即进入磁场区域，经磁场偏转射出后，通过坐标为（0，0.15m，0.2m）的M 点
（图中未画出），且速度方向与x 轴负方向的夹角
，其中
，不计粒子
重力。求：
（1）粒子速度
的大小；
（2）圆柱形磁场区域的最小横截面积Smin（结果保留两位有效数字）；
（3）粒子从P 点运动到M 点经历的时间t（结果保留三位有效数字）。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）粒子在电场中沿x 轴正方向的分运动是匀速直线运动，沿z 轴正方向的分运
动是匀变速直线运动，沿z 轴方向根据匀变速直线运动的规律可得
1
根据牛顿第二定律可得
沿x 轴正方向
联立可得
（2）由几何关系得
圆柱形磁场区域的最小横截面积
（3）洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律得
解得
，
粒子在磁场和电场中运动的时间围为
解得
6 某实验装置的基本原理如图1 所示，平行正对放置半径均为R、间距为d 的
圆形金属板，M、N 的圆心分别为O1、O2，位于O1处的粒子源能向两板间各个
方向发射质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子，不计粒子重力及相互间作用，
忽略边缘效应。
图1
(1)仅在两板间加电压U，两板间产生方向沿O1O2方向的匀强电场。求粒子源发
射出的粒子速度大小v0满足什么条件时能全部击中N 板？
(2)仅在两板间加方向沿O1O2方向的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，求粒
子源发射出的方向与O1O2连线成θ(0<θ<90°)角的粒子速度大小v 满足什么条件
时能全部击中N 板？
(3)若两板间同时存在方向都沿O1O2方向的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度大
小为B，粒子源发射出速度大小均为v，方向垂直于O1O2连线的粒子，全部落
在半径为的圆周上(<R)，求电场强度的大小。
答案 (1)v0≤ (2)v≤ (3)
解析 (1)速度方向与电场强度方向垂直的粒子击中N 板，则全部粒子击中N 板。
当速度方向与电场强度方向垂直的粒子击中N 板边缘时，有
R＝v0t，d＝at2
其中a＝＝
解得v0＝
所以，速度大小应满足v0≤。
(2)粒子源发射出的方向与O1O2连线成θ(0<θ<90°)角的粒子，做螺旋线运动，垂
直磁感应强度方向的分速度大小为vy＝vsin θ
根据洛伦兹力提供向心力qvyB＝
若粒子全部击中N 板，则r≤
解得v≤。
(3)设粒子在两板间运动时间为t，在磁场中周期为T，则应该满足
t＝T(n＝0，1，2，3，…)
根据d＝at2
其中a＝
由qvB＝m、T＝得粒子做圆周运动的周期
T＝
联立解得E＝。
7 某离子加速偏转实验装置部分的示意图如图2 所示，z 轴正方向垂直于xOy
平面向外。α 粒子在加速器内经电压U 加速后，在S(0，L，0)点沿x 轴正方向进
入Ⅰ区域，该区域沿x 轴方向的宽度为L，区域内存在沿y 轴正方向的匀强电场，
电场强度大小E＝。α 粒子经偏转后进入Ⅱ区域，该区域沿x 轴方向的宽度为
3L，内部某圆形区域存在沿z 轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝。α
粒子经过Ⅱ区域的磁场后速度方向偏转90°，再进入Ⅲ区域，该区域存在沿x 轴
正方向的匀强磁场，磁感应强度大小为2B，α 粒子离开Ⅲ区域时速度方向平行
于xOz 平面，且与z 轴负方向成45°角。已知α 粒子的电荷量为2e、质量为m，
不计粒子重力。求：
图2
(1)α 粒子在Ⅰ区域内沿y 轴方向的侧移量y1；
(2)Ⅱ区域内圆形磁场区域的最小面积Smin；
(3)Ⅲ区域沿x 轴方向的可能宽度d。
答案 (1) (2)πL2 (3)πL(n＝0，1，2，…)
解析 (1)α 粒子经过加速器过程，根据动能定理可得2eU＝mv
解得v0＝
α 粒子在Ⅰ区域内做类平抛运动，则有
L＝v0t，y1＝at2，a＝
联立解得y1＝＝。
(2)α 粒子离开Ⅰ区域时速度大小为v，与x 轴正方向的夹角为θ，则有v＝，tan
θ＝，vy＝at
联立解得vy＝v0，v＝v0＝，θ＝45°
α 粒子进入Ⅱ区域中圆形区域的匀强磁场中，由洛伦兹力提供向心力得2evB＝
m
解得r＝＝L
α 粒子经过Ⅱ区域的磁场后速度方向偏转90°，如图所示
当α 粒子轨迹对应弦长等于圆形磁场直径时，圆形磁场的面积最小，则有
R＝r＝L
Ⅱ区域内圆形磁场区域的最小面积为Smin＝πR2＝πL2。
(3)α 粒子进入Ⅲ区域时速度方向与y 轴负方向成45°角，将α 粒子进入Ⅲ区域时
的速度分解到＋x 轴方向和－y 方向，则有
vx＝v0＝
vy′＝v0＝
由于磁场方向沿x 轴正方向，则α 粒子沿x 轴正方向以v0做匀速直线运动，同
时α 粒子在yOz 平面内做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力可得2evy′·2B＝
m
解得r2＝L
根据题意有α 粒子离开Ⅲ区域时速度方向平行于xOz 平面，且与z 轴负方向成
45°角，由于vx＝v0＝vy′
则α 粒子在yOz 平面内做匀速圆周运动离开时速度方向刚好沿z 轴负方向，α 粒
子在Ⅲ区域中的运动时间为
t＝(n＋)T＝(n＋)·＝(n＝0，1，2，…)
则Ⅲ场区沿x 轴方向的宽度为
d＝vxt＝v0t＝πL(n＝0，1，2，…)。
8. (2024·湖北武汉模拟)如图3 所示，在空间直角坐标系中，yOz 平面左侧存在
沿z 轴正方向的匀强磁场，右侧存在沿y 轴正方向的匀强磁场，左、右两侧磁
场的磁感应强度大小相等；yOz 平面右侧还有沿y 轴负方向的匀强电场。现从空
间中坐标为的M 点发射一质量为m，电荷量为＋q 的粒子，粒子的初速度大小
为v0、方向沿xOy 平面，与x 轴正方向的夹角为60°；经一段时间后粒子恰好垂
直于y 轴进入yOz 平面右侧，轨迹上离yOz 平面最远的点恰好落在xOz 平面上，
不计粒子的重力。求：
图3
(1)在yOz 平面左侧匀强磁场的磁感应强度B；
(2)在yOz 平面右侧匀强电场的电场强度E；
(3)粒子第2 次经过yOz 平面时的位置坐标。
答案 (1) (2) (3)(0，－3d，4d)
解析 (1)粒子在yOz 平面做圆周运动的半径r1＝＝2d
根据qv0B＝m
可得左侧匀强磁场的磁感应强度B＝。
(2)粒子第一次经过y 轴后在y 轴负方向上做匀加速运动，同时在洛伦兹力作用
下做圆周运动，因轨迹上离yOz 平面最远的点恰好落在xOz 平面上，可知粒子
到达xOz 平面上时恰好做个圆周运动，则所用时间
t＝＝
竖直方向r1＝·t2
解得E＝。
(3)粒子第2 次经过yOz 平面时做半个圆周运动，则所用时间为t′＝2t＝
沿y 轴负方向做匀加速运动，因在xOz 平面上方和下方用时相等，可知位置坐
标y＝－3d
沿z 轴坐标z＝2r2＝2r1＝4d
即粒子第2 次经过yOz 平面时的位置坐标为(0，－3d，4d)。
9 .(2024·山东潍坊高三联考)某离子束实验装置的基本原理如图2 甲所示，在
半径为R 的圆柱形底面建立空间直角坐标系，坐标原点与圆柱底面圆心重合。
圆柱形区域内存在沿z 轴负方向、电场强度为E 的匀强电场，圆柱形区域正上
方存在沿x 轴负方向、磁感应强度为B0的匀强磁场。如图乙所示，从离子源不
断飘出电荷量为q、质量为m 的正离子，经电场加速后从圆柱形边界正上方沿y
轴负方向进入磁场，恰好在圆柱顶面圆心处与y 轴正方向成θ 角斜向下射出磁
场，进入圆柱形区域内的电场中，最后落在圆柱底面上坐标为(0，R，0)的D 点
(图中未画出)，不计离子重力。
图2
(1)求加速装置的电压U；
(2)求圆柱形区域的高度h；
(3)在离子进入圆柱形区域时，在圆柱形区域内加一个磁感应强度大小为B0、方
向沿z 轴周期性变化的磁场，以z 轴正方向为正方向，离子进入圆柱形区域的时
刻为计时起点，磁场的变化如图丙所示。已知磁场方向变化的周期为，tan θ＝
2，求该离子打在圆柱形底面的位置坐标。
答案 (1) (2)Rtan θ＋ (3)
解析 (1)设离子进入磁场的速度为v，根据动能定理，有qU＝mv2
离子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB0＝m
根据几何关系，有sin θ＝
解得v＝，U＝。
(2)离子在圆柱形区域内的电场中沿y 轴正方向做匀速直线运动，沿z 轴负方向
做匀加速直线运动，则
沿y 轴正方向有R＝vyt＝vtcos θ
沿z 轴负方向有h＝vzt＋at2
其中a＝，vz＝vsin θ
解得h＝Rtan θ＋。
(3)在圆柱形区域内加磁场后，离子沿z 轴负方向做与第(2)问相同的匀加速直线
运动，由(2)可知离子在圆柱形区域内运动的时间t＝tan θ＝
由磁场方向变化的周期为可知，离子在圆柱形区域内运动时，磁场方向一直沿z
轴负方向
在垂直电场方向，即离子的运动在圆柱底面的投影运动为匀速圆周运动，该匀
速圆周运动的线速度大小vy＝vcos θ，设该匀速圆周运动的轨迹半径为r′，周期
为T，则qvyB0＝m，T＝
解得r′＝＝，T＝
设离子做圆周运动转过的圆心角为α，如图所示，则t＝T
解得α＝2 rad
设该离子打在圆柱形底面的位置坐标为(x，y，0)，根据几何关系可知
x＝－r′－r′cos (π－α)＝－(1－cos 2)
y＝r′sin (π－α)＝sin 2
则坐标为。
