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高考重点考点解读与针对性训练
第十二章 磁场
考点92 带电粒子在磁场中运动临界极值和多解问题
【考点解读】
考点1 带电粒子在匀强磁场中的临界和极值问题
1.解题关键点
（1）关注题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等关键词语，作为解题的切入点.
（2）关注涉及临界和极值条件的六个结论
结论一
粒子刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切
结论二
当速度v 一定时，弧长越长，带电粒子在有界磁场中运动的时间越长
结论三
当速度v 变化时，圆心角越大，弦切角也越大，对应的运动时间也越长
结论四
在圆形匀强磁场区域中，当带电粒子运动轨迹半径大于圆形磁场区域半径，入
射点和出射点为磁场区域直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大（所有的
弦中直径最长），运动时间最长
结论五
最短时间：弧长最短（弦长最短），入射点确定，入射点和出
射点连线与边界垂直.如图，P 为入射点，M 为出射点，此时带
电粒子在磁场中运动时间最短
结论六
磁场区域面积极值：磁场区域边界为圆形时，从入射点到出射点连接起来的线
段就是圆形磁场区域的一条弦，以该弦为直径的圆就是最小圆，对应的圆形磁
场区域有最小面积
2.一般思维流程
考点2 带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
多解分类
多解原因
示意图
带电粒子
电性不确定
带电粒子可能带正电，也可能带负电，粒子
在磁场中的运动轨迹不同
磁场方向
不确定
题目只说明了磁感应强度的大小，而未具体
指出磁感应强度的方向，必须考虑磁感应强
度方向有两种情况
临界状态
（速度大小）
不确定
带电粒子在飞越有界磁场时，可能直接穿过
去了，也可能从入射界面反向飞出
运动的
往复性
带电粒子在空间运动时，其运动轨迹可能具
有往复性
【高考真题】
【典例1】．（2025 高考安徽卷）如图，在竖直平面内的
直角坐标系中，x 轴上方存在
垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x 轴
放置足够长的探测薄板MN，MN 到x 轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点
O 的粒子源，沿
平面向x 轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带
电荷量为q、质量为m、速度大小均为
。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互
作用，则（ ）
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为
B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为
C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d
D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为
【典例2】.[2022 湖北/多选]在如图所示的平面内，分界线SP 将宽度为L
的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另
一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP
与磁场左右边界垂直.离子源从S 处射入速度大小不同的正离子，离子入
射方向与磁场方向垂直且与SP 成30°角.已知离子比荷为k，不计重力.若离子从Р 点射出，
设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ 角的可能组合为（ ）
A.1
3kBL，0°
B.1
2kBL，0°
C.kBL，60°
D.2kBL，60°
解析若离子的入射速度v＝1
3kBL，则轨迹半径r＝mv
qB ＝L
3 ，则轨迹如图甲所示，由几何关
系可以得出θ＝60°，选项A 错误；若v＝1
2kBL，则轨迹半径r＝mv
qB ＝L
2 ，则轨迹如图乙所
示，由几何关系可以得出θ＝0°，选项B 正确；若v＝kBL，则轨迹半径r＝mv
qB ＝L，则轨
迹如图丙所示，由几何关系可以得出θ＝60°，选项C 正确；若v＝2kBL，则轨迹半径r＝
mv
qB ＝2L，则轨迹如图丁所示，从图中可以看出离子不从P 点射出，选项D 错误.
【典例3】.[2023 全国甲/多选]光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P 点
开有一个小孔，过P 的横截面是以O 为圆心的圆，如图所示.。一带电粒子从P 点沿PO 射
入，然后与筒壁发生碰撞.假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向
的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变.不计重力.下列说法
正确的是（ ）
A.粒子的运动轨迹可能通过圆心O
B.最少经2 次碰撞，粒子就可能从小孔射出
C.射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短
D.每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O 的连线
【针对性训练】
1 （2025·广西南宁期末）如图所示，在边长为L 的正方形PQMN 区域内存在垂直纸面向
外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，在MN 边界放一刚性挡板，粒子碰到挡板则能够以
原速率弹回。一质量为m、带电荷量为q 的粒子以某一速度垂直于磁场方向从P 点射入磁
场，恰好从Q 点射出。下列说法正确的是（ ）
A.带电粒子一定带负电荷
B.带电粒子的速度最小值为qBL
4 m
C.若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量大小为5qBL
2
D.带电粒子在磁场中运动时间可能为π m
3qB
2. （2025 年5 月东北三省精准质检）如图所示，
为直角坐标系，第一象限的三角形
范围内有垂直坐标平面向外的匀强磁场，
。第二象限内有沿
轴正方
向的匀强电场，一个质量为
、电荷量为
的粒子从
轴上的P（
，
）点以大小为
的速度沿
轴正方向射入匀强电场，经电场偏转后从
轴上的Q(
，
)点进入匀强磁场，
刚好不从
边射出磁场，不计粒子的重力，求：
（1）粒子射出匀强电场时，速度与
轴的夹角；
（2）匀强电场的电场强度大小；
（3）匀强磁场的磁感应强度大小。
3 （2025·贵州铜仁期末）如图所示，A 点的离子源沿纸面垂直OQ 方向向上射出一束负离
子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP 之下的区域，可加垂直纸面的匀强
磁场。已知O、A 两点间的距离为s，负离子的比荷为q
m，速率为v，OP 与OQ 间的夹角为
30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B 的大小和方向可能是（ ）
A.B＞mv
3qs ，垂直纸面向里
B.B＞mv
qs ，垂直纸面向里
C.B＞mv
qs ，垂直纸面向外
D.B＞3mv
qs ，垂直纸面向外
4 （2025·湖南郴州期末）在如图所示的平面内，分界线SP 将宽度为L 的矩形区域分成两
部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的
匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP 与磁场左右边界垂直。离子源从S 处射入速度大小
不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP 成30°角。已知离子比荷为k，不计
重力。若离子从Р 点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ
角的可能组合为（ ）
A.1
3kBL，0°
B.1
2kBL，0°
C.kBL，60°
D.2kBL，60°
5. 如图所示，半径为R 的圆形区域内有垂直于圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为
B，AC 是圆的一条直径，D 为圆上一点，∠COD＝60°。在A 点有一个粒子源，沿与AC 成
30°角斜向上垂直磁场的方向射出速率均为v 的各种带正电粒子，所有粒子均从圆弧CD 射
出磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，则从A 点射出的粒子的比荷q
m可能是（
）
A. v
BR B. 3 v
2BR
C.
❑√3 v
BR D.
❑√3 v
3 BR
6 . 如图所示，在直角三角形ABC 区域内有垂直纸面向外的匀强磁场.速率不同的大量相同
带电粒子从A 点沿与AC 边夹角为60°的方向进入磁场，从AC 和BC 边的不同位置离开磁
场.已知AB 的长度为l，∠ACB＝30°，不计粒子的重力和粒子间相互作用力，则（ ）
A.所有从AC 边离开的粒子在磁场中运动的时间相同
B.从BC 边离开的粒子在磁场中运动的时间一定比从AC 边离开的粒子在磁场中运动的时间
短
C.粒子在磁场中运动的弧长越长，运动时间一定越长
D.从BC 边离开的粒子离C 点的最近距离为3－❑√3
2
l
7 .如图所示，左、右边界分别为PP'、QQ'的匀强磁场的宽度为d，磁感
应强度大小为B，方向垂直纸面向里.一个质量为m、电荷量绝对值为q
的粒子，沿图示方向以速度v0 垂直射入磁场.欲使粒子不能从边界
QQ'射出，粒子入射速度v0的最大值可能是（ ）
A.（2+ ❑√2）Bq d
m
B.Bqd
m
C.（2－❑√2）Bq d
m
D.
❑√2Bq d
2m
8 .如图所示，在x 轴上方有方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，在x 轴
下方也有垂直纸面的匀强磁场（图中未画出）.一个质量为m、电荷量为q 的带负电粒子，
在纸面内以大小为v 的速度从O 点与x 轴负方向成θ＝60°角射入x 轴上方磁场，粒子第1
次经过x 轴时的位置为P（图中未画出），第2 次经过x 轴时的位置为Q（图中未画出），
且粒子从O 点到P 点的运动时间等于粒子从P 点到Q 点的运动时间，不计粒子受到的重力.
求：
（1）从P 点到O 点的距离；
（2）x 轴下方匀强磁场的磁感应强度大小和方向.
9.（2022 辽宁）粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化
模型如图所示.内圆区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器.两
个粒子先后从P 点沿径向射入磁场，粒子1 沿直线通过磁场区域后打在
探测器上的M 点，粒子2 经磁场偏转后打在探测器上的N 点.装置内部
为真空状态，忽略粒子重力及粒子间的相互作用力.下列说法正确的是（ ）
A.粒子1 可能为中子
B.粒子2 可能为电子
C.若增大磁感应强度，粒子1 可能打在探测器上的Q 点
10.[2021 海南/多选]如图，在平面直角坐标系xOy 的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强
磁场，磁感应强度大小为B.大量质量为m、电荷量为q 的相同粒子从y 轴上的P（0，❑√3
L）点以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y 轴正方向的夹
角为α（0°≤α≤180°）.当α＝150°时，粒子垂直x 轴离开磁场.不计
粒子的重力.则（ ）
A.粒子一定带正电
B.当α＝45°时，粒子也垂直x 轴离开磁场
C.粒子入射速率为2❑√3qBL
m
D.粒子离开磁场的位置到O 点的最大距离为3❑√5L
11.[2023 湖北]如图所示，空间存在磁感应强度大小为B、垂直于xOy 平面向里的匀强磁场.t
＝0 时刻，一带正电粒子甲从点P（2a，0）沿y 轴正方向射入，第一次到达点O 时与运动
到该点的带正电粒子乙发生正碰.碰撞后，粒子甲的速度方向反
向、大小变为碰前的3 倍，粒子甲运动一个圆周时，粒子乙刚好
运动了两个圆周.已知粒子甲的质量为m，两粒子所带电荷量均
为q.假设所有碰撞均为弹性正碰，碰撞时间忽略不计，碰撞过程
中不发生电荷转移，不考虑重力和两粒子间库仑力的影响.求：
（1）第一次碰撞前粒子甲的速度大小；
（2）粒子乙的质量和第一次碰撞后粒子乙的速度大小；
（3）t＝18 π m
qB
时刻粒子甲、乙的位置坐标及从第一次碰撞到t＝18 π m
qB
的过程中粒子乙
运动的路程.（本小问不要求写出计算过程，只写出答案即可）
12. 如图，在0≤x≤h，－∞＜y＜＋∞区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强
度B 的大小可调，方向不变.一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子以速度v0从磁场区域
左侧沿x 轴进入磁场，不计重力.
（1）若粒子经磁场偏转后穿过y 轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情
况下磁感应强度的最小值Bm；
（2）如果磁感应强度大小为Bm
2 ，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场.求粒子在该
点的运动方向与x 轴正方向的夹角及该点到x 轴的距离.
