文档内容
强化练习-数学运算 1
（讲义+笔记）
主讲教师：钱敏
授课时间：2021.01.29
粉笔公考·官方微信强化练习-数学运算 1（讲义）
数学运算一
1.办公室小张新买了一辆汽车，车牌号除了汉字和字母外有四位不含零的号
码，号码的千位数比个位数大 2，百位数比十位数大。如果把号码从右向左读出
的数值加上原来的号码数，正好等于 16456。问此号码的千、百位数各是多少？
（ ）
A.9、3 B.8、4
C.7、5 D.6、6
2.某企业有甲和乙两个研发部门，其中甲部门有 35%的员工有海外留学经历，
乙部门有 32%的员工有海外留学经历。已知甲部门员工比乙部门多 20 人，则两
个研发部门最少可能有（ ）人没有海外留学经历。
A.132 B.146
C.160 D.174
3.小花与妈妈同属一个生肖，2008年，小花的年龄是妈妈年龄的三分之一，
则2018 年小花的年龄可能为（ ）岁，小花妈妈的年龄可能为（ ）岁。
A.22，46 B.12，36
C.20，40 D.26，58
4.一会展中心有大中小三个会议室。小会议室可容纳 303人，中会议室容纳
的人数是会展中心可容纳人数的五分之一，大会议室容纳的人数是会展中心可容
纳人数的七分之若干。问该会展中心三个会议室可同时接纳多少人？（）
A.4115 B.3825
C.3535 D.2585
5.养殖场有鸡、鸭、鹅三种家禽 3200 只，如果卖掉鸡的 1/3、鸭的1/4、鹅
的 1/5，则剩下家禽 2400 只；如果卖掉鸡的 1/5、鸭的 1/4、鹅的 1/3，则剩下
1家禽2320 只。那么，养殖场原有鸭多少只？（ ）
A.600 B.736
C.800 D.900
6.现将 119 个橘子装进两种包装盒，大包装盒每盒装 12 个橘子，小包装盒
每盒装 5 个橘子，共用了不到 20 个盒子刚好装完，问两种包装盒共有多少个？
（ ）
A.13 B.14
C.15 D.17
7.某次田径运动会中，选手参加各单项比赛计入所在团体总分的规则为：一
等奖得9分，二等奖得 5分，三等奖得2 分。甲队共有10位选手参赛，均获奖。
现知甲队最后总分为 61分，问该队最多有几位选手获得一等奖？（ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
8.某班级去超市采购体育用品时发现买 4个篮球和2个排球共需 560元，而
买2个排球和4个足球共需 500元。问如果篮球、排球和足球各买 1个，共需多
少元？（ ）
A.250 B.255
C.260 D.265
9.有 A和B两个公司想承包某项工程。A公司需要300天才能完工，费用为
1.5 万元/天，B 公司需要 200 天就能完工，费用为 3 万元/天。综合考虑时间和
费用等问题，在 A 公司开工 50 天后，B 公司才加入工程，按以上方案，该项工
程的费用为多少？（ ）
A.475 万元 B.500万元
C.525 万元 D.615万元
210.有一水池，如果打开甲水龙头注水，需要 5 个小时装满水，如果打开乙
水龙头注水，需要 8个小时装满水，如果打开丙水龙头放水，需要 6小时放空水
池。现打开甲水龙头一小时，然后打开乙水龙头，过一小时后再打开丙水龙头，
问再过多少小时可以注满水池？（ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
11.有一项工程，一队先做 6小时，二队接着做 12小时可以完成。一队先做
8小时，二队接着做 6小时也可以完成。如果一队先做若干小时后，二队接着做
21小时才完成。那么一队先做了多少小时？（ ）
A.3 B.5
C.6 D.7
12.某人在一条笔直的铁道边，听到远处传来火车的汽笛声后，又经过了 57
秒，火车经过他面前，已知火车鸣笛时离他 1360 米，声音传播速度为 340 米/
秒。那么，火车的速度约为多少？（ ）
A.22 米/秒 B.23米/秒
C.24 米/秒 D.25米/秒
13.有客、货、轿三车在同一道路上同向匀速行进，在某时刻，货车在中，
客车在前，轿车在后，且三车间距相等。一分钟后，轿车追上了货车；又过去了
1/2分钟，轿车追上了客车。问再过多少分钟，货车可以追上客车？（ ）
A.1/2 B.1
C.3/2 D.3
14.在同一环形跑道上小陈比小王跑得慢，两人同一方向跑步时，每隔 12
分钟相遇一次；若两人速度不变，相反方向跑步，则每隔 4分钟相遇一次。问两
人各跑完一圈花费的时间小陈比小王多多少分钟？（ ）
A.5 B.6
3C.7 D.8
15.甲、乙两车同时从 A、B 两地相对开出，甲、乙的速度比为 5：4。相遇
后，甲车减速 20%，乙车增速 20%，两车继续前进。当甲车到达 B 地时，乙车离
A地还有10千米。则 A、B两地相距（ ）千米。
A.400 B.450
C.500 D.600
16.甲、乙两人在一条长 100米的直路上来回跑步，甲的速度是 3m/s，乙的
速度是2m/s，如果他们同时分别从路的两端出发，当他们跑了 10分钟后，共相
遇多少次？（ ）
A.14 B.15
C.16 D.17
17.工厂组织职工参加周末公益活动，有 80%的职工报名参加，报名参加周
六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为 2：1，两天的活动都报名参加的
为只报名参加周日活动的人数的 50%，未报名参加活动的人数是只报名参加周六
活动的人数的（ ）。
A.20% B.30%
C.40% D.50%
18.某单位员工中有45人订阅了A刊，有 49人订阅了B刊，有 58人订阅了
C刊，有16人订阅了 A刊和B刊，有23 人订阅了B刊和C刊，有 21人订阅了A
刊和 C 刊。有 10 人同时订阅了这三种刊物。该单位至少订阅一种刊物的人数是
（ ）。
A.88 B.95
C.102 D.109
19.某班级共有 40 名学生，有 14 人会打羽毛球，10 人会打乒乓球，8 人会
4打排球，那么最多有（ ）人会打两种球。
A.15 B.16
C.17 D.18
20.有一片矩形空地，已知一条边长为 20米，另一条边长为整数米。该矩形
空地周长小于100 米，面积大于550平方米。现需在矩形空地边界上种树，要求
两棵树苗沿边界线间距大于等于 5米（两棵树如在拐角两边，间距为分别到顶点
的距离相加），则最多需要准备多少棵树苗？（ ）
A.16 B.17
C.18 D.19
21.甲钟每小时比标准时间快 3 分钟，乙钟每小时比标准时间慢 3 分钟，如
某天零点将两个钟同时调到标准时间，问在甲钟第一次显示 7点整时，乙钟显示
的时间是多少？（ ）
A.6 点15分 B.6点20分
C.6 点30分 D.6点40分
22.2019 年建军节是星期四，那么 2019 年的国庆节是星期几？（ ）
A.星期二 B.星期四
C.星期五 D.星期六
23.老王家的鱼塘养有甲鱼、鲤鱼和鲢鱼，其中甲鱼需每隔 11天喂一次，鲤
鱼需每隔8天喂一次，鲢鱼需每隔5天喂一次。星期二那天老王同时喂了三种鱼，
下次老王再同时喂三种鱼是星期几？（ ）
A.星期日 B.星期二
C.星期三 D.星期四
5强化练习-数学运算 1（笔记）
【说在课前】
1.课程目标：通过题目，回顾与强化理论课知识点，温故知新，并增加一些
理论课没有涉及的、考查频率不高的小题型。
2.课程设置：本节课约 2.5～3 小时，内容包括代入排除法、数字特性、方
程法、工程、行程、容斥和 3道补充的小题型，共 23道题。
3.课堂要求：
（1）课前预习：下载电子讲义，提前预习。
（2）积极互动：课程中有问题及时反应。
4.课后答疑：课前 10分钟+课间+课后答疑。
5.数学运算的目标和资料分析不同，有的同学会把数学运算的 5 道题都做，
甚至达到 100%的正确率，但相对的其他模块的题目可能做得没有那么多。我们
争取在5道题中达到60%的正确率，挑一些常做的套路题，保证3道题的正确率，
剩下2道题猜测没出现的选项。
【知识点】代入排除法：数学运算中性价比最高，用得最多、最快的方法。
1.适用范围：
（1）特定题型：
①年龄：题干中涉及到与岁数相关的信息，比如妈妈是多少岁，我是多少岁，
利用年龄之间的关系求年龄。
②余数：主要题型为平均分组，比如单位一共x人，平均分到 y辆车，刚好
剩了1个人没有上车，此时存在余 1的情况，说明人数-1=车的倍数。
③多位数：题干中存在很多位数，比如出现千位、百位、十位的描述。
④不定方程：属于高频考点，但难度系数不高，比如 4x+3y=39，可以根据
选项中给出的数据代入列式中，一般来说，数学运算题都是在正整数中求解，所
以可以使用代入排除法。
⑤和差倍比：出现选项数据A是B的 x倍，或存在比例、差值关系。
（2）选项信息充分：
6①选项为一组数，比如 A.50、40，B.30、60，这种成对出现的数据，代入
题干中寻找矛盾。
②选项可转化为一组数，即题干中看似只给了一个数，但可以根据部分的限
定条件推出选项本质为一组数。比如班级总人数为 100，A.男生人数 40，B.男生
人数 50，其本质是：A.男生人数 40，女生人数 60，B.男生人数 50，女生人数
50。
（3）其他：
①条件多，题意乱，无法合理界定题型。
②与其他题型相结合，能很容易排除 2项，则代入剩余选项中的一个。
2.方法技巧：
（1）先排除，看题干中与数字相关的信息，比如尾数、奇偶、倍数的限定
条件。比如选项尾数应为8或3的倍数，可以根据明显的数字关系先做排除。
（2）再代入：
①看题干限定要求，即问题有没有要求最大/最小的限定条件，如果有，问
最大从最大值开始代，问最小从最小值开始代。
②好算：整十、整百的数字。
数学运算一
1.办公室小张新买了一辆汽车，车牌号除了汉字和字母外有四位不含零的号
码，号码的千位数比个位数大 2，百位数比十位数大。如果把号码从右向左读出
的数值加上原来的号码数，正好等于 16456。问此号码的千、百位数各是多少？
（ ）
A.9、3 B.8、4
C.7、5 D.6、6
【解析】1.第一步先确定题型，题干中出现“千位、百位、十位、个位”，
判定题型为多位数问题，使用代入排除法。本题没有特定条件，按照顺序代入即
可，A项：93xx，因为千位数比个位数大 2，故个位数=9-2=7，列式 93x7+7x39=
尾数6，且9000+7000=16000，也符合16 开头，保留，在考试时直接选择 A项即
可；B项：由题意，8-2=6，即84x6+6x48=尾数4，不符合，排除；C项：7-5=5，
775x5+5x57=尾数 2，不符合，排除；D 项：6-2=4，66x4+4x66=尾数 0，不符合，
排除，对应A项。【选 A】
2.某企业有甲和乙两个研发部门，其中甲部门有 35%的员工有海外留学经历，
乙部门有 32%的员工有海外留学经历。已知甲部门员工比乙部门多 20 人，则两
个研发部门最少可能有（ ）人没有海外留学经历。
A.132 B.146
C.160 D.174
【解析】2.确认题型，题目中出现“多 20人”，为差值关系，且出现百分数，
判定题型为和差倍比问题，考虑代入排除法。先将百分数转化为分数，35%=7/20，
即 7/20*甲=有海外留学经历*甲，32%=8/25，即 8/25*乙=有海外留学经历*乙，
因为人数为正整数，所以甲乙两部门人数有倍数要求，即甲部门人数为 20 的倍
数，乙部门人数为 25 的倍数。根据部门人数的倍数要求假设数据，题目问“最
少”，即甲、乙部门总人数越少，没有海外留学经历的人数越少，因为乙＞甲，
所以假设乙的人数，当乙=25 时，甲=45，不是 20 的倍数，排除；当乙=50，甲
=70，不是20的倍数，排除；当乙=75，甲=95，不是20的倍数，排除；当乙=100，
甲=120，满足，因此没有海外留学经历的人数=120*13/20+100*17/25=13*6+17*4=
尾数8+尾数8=尾数 6，对应B项。【选B】
【注意】
1.有同学使用列式做这道题，也是可以的，不过代入排除法相对更加简单和
好接受一些。
2.对数据理解较深的同学会发现，因为乙+20=甲，所以乙=25 和乙=75 是不
需要去考虑的，因为尾数5+尾数0=尾数 5，不可能是20的倍数。
83.因为乙部门有海外留学经历的人数占比为 32%，转化成分数为 8/25，所以
乙部门没有海外留学经历的人数占比为 1-8/25=17/25。
4.因为题目中给出“甲部门员工比乙部门多 20人”，所以只要确定乙部门人
数，就能推出甲部门人数。乙的总人数一定为 25 的倍数，所以把乙=25 作为第
一个假设的数据。
3.小花与妈妈同属一个生肖，2008年，小花的年龄是妈妈年龄的三分之一，
则2018 年小花的年龄可能为（ ）岁，小花妈妈的年龄可能为（ ）岁。
A.22，46 B.12，36
C.20，40 D.26，58
【解析】3.题目中出现“年龄”，判定题型为年龄问题，且选项为一组数，
考虑代入排除法。“同属一个生肖”意为年龄差是 12 的倍数，通过“2008 年，
小花的年龄是妈妈年龄的三分之一”可知，2008 年，妈妈的年龄是 3 的倍数。
观察选项，A 项：46-22=24，符合 12 的倍数，保留；B 项：36-12=24，符合 12
的倍数，保留；C 项：40-20=20，不符合 12的倍数，排除；D项：58-26=32，不
符合12 的倍数，排除；剩余 A项和B项，剩二代一，妈妈年龄-10=3的倍数，A
项：46-10=36，满足 3 的倍数；B 项：36-10=26，不是 3 的倍数，排除，对应 A
项。【选A】
【注意】B项其实是个坑，坑在有些同学没有分清 2008年和 2018年，所以
可能会因为没看清时间而选择错误。选项中 A、B项存在10年的联系，其实是出
题人特意设置的，所以在做题时如果有选项和题干的部分差值要求是满足的，可
以反向思维直接猜。
【知识点】数字特性法：难度系数和代入排除法相持平。
1.整除型：题干中满足存在的整除关系。
（1）若 A=B*C，则 A 能被 B 或 C 整除，比如全班人数可以平均分为 4 组，
说明全班人数=4*每组人数，即全班人数为 4的倍数。
（2）前提：B/C均为整数。
92.余数型：平均分组时出现“剩”、“再需要”。
（1）若答案=ax+b，则答案-b能被 a整除。
（2）若答案=ax-b，则答案+b能被 a整除。
（3）前提：a、x均为整数。
3.比例型：分数、比例、百分数。
（1）若A/B=m/n，则：
①A 是m的倍数，B是n的倍数。
②A±B是m±n的倍数。
（2）前提：A、B均为整数，m/n是最简整数比。
（3）比如7/20*甲=有海外留学经历，可以推出有海外经历：甲=7：20，即
甲部门的人数是 20 的倍数，有海外经历的是 7 的倍数，可以进一步推出，甲部
门中没有海外经历的人数是 13的倍数。
4.判定：
（1）口诀：2和5看末1位，4和25看末两位，8和125看末 3位，3和9
看各位数字之和。比如问4255是否为25的倍数，只需要看55是否为25的倍数。
（2）因式分解：针对合数。
①比如：12=3*4≠2*6，即同时满足是 3和4的倍数的数字，一定是 12的倍
数，但同时满足2 和6的倍数的数字，不一定是 12的倍数，因为 2和6不互质。
②分解时必须互质。
（3）拆分：拆成两个数的和或差，比如判定 3555是否为7 的倍数，可以拆
分，建议拆为 1 个数是 7 的倍数，即 3555=3500+55，3500 是 7 的倍数，但 55
不是7的倍数，所以 3555不是7的倍数。
4.一会展中心有大中小三个会议室。小会议室可容纳 303人，中会议室容纳
的人数是会展中心可容纳人数的五分之一，大会议室容纳的人数是会展中心可容
纳人数的七分之若干。问该会展中心三个会议室可同时接纳多少人？（）
A.4115 B.3825
C.3535 D.2585
【解析】4.题目出现“五分之一”、“七分之若干”，出现分数，即比例，考
10虑数字特性。由题意知，会展中心人数是 5的倍数，大会议室人数是 7 的倍数。
方法一：观察选项，C 项 3535 很突出，且既是 5 的倍数，又是 7 的倍数，
符合题意，对应C 项。
方法二：如果一眼看不出的同学可以按顺序看，A、B、C、D 项尾数都是 5，
即都是5的倍数，只需要看是否为 7的倍数即可。A项：4115=4200-85，85不是
7 的倍数，不符合，排除；B 项：3825=3500+325，325 不是 7 的倍数，排除；D
项：2585=2100+485，485不是7的倍数，不符合，排除，对应 C项。【选C】
【注意】
1.由“五分之一”可知，总人数为 5 的倍数，由“七分之若干”可知，总人
数为7的倍数，两者同时满足，即总人数是 35的倍数。
2.题目中 303 是“烟雾弹”，不需要考虑。
5.养殖场有鸡、鸭、鹅三种家禽 3200 只，如果卖掉鸡的 1/3、鸭的1/4、鹅
的 1/5，则剩下家禽 2400 只；如果卖掉鸡的 1/5、鸭的 1/4、鹅的 1/3，则剩下
家禽2320 只。那么，养殖场原有鸭多少只？（ ）
A.600 B.736
C.800 D.900
【解析】5.题目中出现分数，为比例型类型，考虑倍数特性法。由题目前半
句知，鸡是 3 的倍数，鸭是 4 的倍数，鹅是 5 的倍数，同理，由题目后半句知，
鸡是 5 的倍数，鸭是 4 的倍数，鹅是 3 的倍数，两者同时满足，即鸡是 15 的倍
数，鸭是 4 的倍数，鹅是 10 的倍数，设鸡=15x，鸭=4y，鹅=15z，列式：
15x+4y+15z=3200，可转化为15x+15z=3200-鸭，鸭的数量为选项，即 3200-选项
是15的倍数，即需要满足是 3和5的倍数。A项：3200-600=2600，不满足 3的
倍数，排除；B项：3200-736=尾数4，不满足5的倍数，排除；C项：3200-800=2400，
既是 3 的倍数又是 5 的倍数，保留；D 项：3200-900=2300，不满足 3 的倍数，
排除，对应C项。【选 C】
【注意】
111.可以用方程法，但是耗时太长，做题时要考虑数据之间的联系。
2.分数——倍数特性。
3.技巧：鸡与鹅的数量为 15的倍数，二者之和也为 15的倍数，即总家禽数
为3200-鸭数为15的倍数，只有C项符合。
4.列方程：设鸡为 15x，鸭为 4y，鹅为 15z，可列方程：15x+4y+15z=3200
①，5x+y+3z=3200-2400②，3x+y+5z=3200-2320③，解得x=60，y=200，z=100，
即4y=800。
【知识点】方程法：可以解决绝大部分数学运算。
1.普通方程（组）：设 x：
（1）求谁设谁（避免陷阱），比如甲和乙两个人，求甲就设甲为 x。
（2）设中间量（方便列式）。
（3）设小不设大（避免分数），比如上题“鸡的 1/3”，设1 份是x，则鸡为
3x。
（4）按比例倍数设，比如甲：乙=2：3，则设甲为2x，乙为 3x。
2.不定方程：核心考点，主要运用代入排除法。
（1）奇偶特性：系数一奇一偶。
（2）倍数特性：系数与常数有公因子，比如 4x+5y=24，4 和 24 有公因子，
都为4的倍数，所以 5y应为4的倍数，即 y为4的倍数。
（3）尾数特性：系数尾数为 5 或 0，比如 4x+5y=24，已知 5y 的尾数为 0
或5，可知 4x的尾数为 4或9。
（4）直接代入选项。
3.不定方程组：
（1）未知数一定是整数：消元。
（2）未知数不一定是整数：比如涉及金钱时，不一定是整数，一般考虑特
值法（一般赋0）
6.现将 119 个橘子装进两种包装盒，大包装盒每盒装 12 个橘子，小包装盒
每盒装 5 个橘子，共用了不到 20 个盒子刚好装完，问两种包装盒共有多少个？
12（ ）
A.13 B.14
C.15 D.17
【解析】6.由题意设大包装盒的数量为 x，小包装盒的数量为 y，则总量可
列式 12x+5y=119。两个未知数，一个方程，属于不定方程，本题选项为总数，
不方便代入排除，考虑其他方法。有同学想用奇偶性，但奇偶性的优先度不如尾
数法高，出现系数为 5时，建议优先使用尾数法，5y的尾数一定是 0或5，如果
5y的尾数为 0，12x的尾数为9，如果5y 的尾数为5，12x的尾数为 4。12x的尾
数≠9，因为偶数*任何数=偶数，即12x 的尾数为4，x=2或7，当 x=2时，代入
上式，解得 y=19，当 x=7 时，解得 y=7，因为总共不到 20 个盒子，说明 x+y＜
20，所以后者满足，x=7，y=7，总数=7+7=14，对应B项。【选 B】
【注意】做题时，优先考虑尾数法，其次倍数特性，最后考虑奇偶性。
7.某次田径运动会中，选手参加各单项比赛计入所在团体总分的规则为：一
等奖得9分，二等奖得 5分，三等奖得2 分。甲队共有10位选手参赛，均获奖。
现知甲队最后总分为 61分，问该队最多有几位选手获得一等奖？（ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
【解析】7.由题意设三个奖项获奖人数分别为 x、y、z，则可列式：x+y+z=10
①，9x+5y+2z=61②，三个未知数，两个方程，为不定方程组。x、y、z为人数，
所以一定是正整数，考虑消元，先将①*2→2x+2y+2z=20，再②-①*2=9x+5y+2z-
（2x+2y+2z）=61-20→7x+3y=41，代入选项，根据最值代入原则，题目问最多，
从D项开始代，D 项：x=6时，y=-1/3，不满足要求，排除；C项：x=5时，y=2，
满足，对应 C项。【选 C】
【注意】有同学的想法是，当一等奖最多时，其他奖项应尽可能少，又因为
“均获奖”，所以二等奖和三等奖的人数为 1 人。但实际上，题目中有总分的限
制，这三个奖项其实是互相牵制的关系，顶多只能假设其中一个奖项尽可能小，
13但其他不能这么假设。
8.某班级去超市采购体育用品时发现买 4个篮球和2个排球共需 560元，而
买2个排球和 4个足球共需 500元。问如果篮球、排球和足球各买 1个，共需多
少元？（ ）
A.250 B.255
C.260 D.265
【解析】8.由题意设篮球、排球和足球的单价分别为 x、y、z，可列式：
4x+2y=560①，2y+4z=500②，求x+y+z。
方法一：找列式间的联系，①+②=4x+4y+4z=1060，即 x+y+z=1060/4=265，
对应D项。
方法二：属于不定方程组中与钱相关的类型，考虑赋值，谁不好算赋谁为 0，
本题赋 y=0，代入上式，4x+2*0=560，解得 x=560/4=140；2*0+4z=500，解得
z=500/4=125，故 x+y+z=140+0+125=265，对应 D项。【选D】
【注意】方法二梳理：
1.不定方程组：未知数（价格）不一定为整数——赋零法。
2.设篮球、排球和足球每个分别为 x、y、z元，则根据题意可得到两个方程：
4x+2y=560①，2y+4z=500②。
3.由于未知数 x、y、z是价格，不一定是整数，故可用赋零法，因为y出现
在①式和②式中，所以赋y=0，解得x=140，z=125，所以篮球、排球和足球各买
1个，共需140+0+125=265元。
【知识点】工程问题：套路题，一定要去做。
1.给完工时间型：指题干中只知道时间，比如甲完成某工作需要 x天，乙完
成某工作需要y天，问甲、乙合作完成某工作所需要的时间。
（1）先赋总量，将工作总量赋为公倍数，最好为最小公倍数。
（2）再算效率=总量/时间。
（3）根据工作过程列方程。
142.给效率比例型：
（1）先赋效率，满足比例即可，比如甲与乙的效率比为 2：3，则设甲的效
率为2，乙的效率为 3。
（2）再算总量=效率*时间。
（3）根据工作过程列方程。
3.给具体带单位数值型：设未知数，找等量关系列方程，比如甲一天可以完
成的工作量为500 页ppt，此时给出具体单位，可以列方程。
9.有 A和B两个公司想承包某项工程。A公司需要300天才能完工，费用为
1.5 万元/天，B 公司需要 200 天就能完工，费用为 3 万元/天。综合考虑时间和
费用等问题，在 A 公司开工 50 天后，B 公司才加入工程，按以上方案，该项工
程的费用为多少？（ ）
A.475 万元 B.500万元
C.525 万元 D.615万元
【解析】9.由题意知，要想求费用，需要知道A和B各自做了多少天，题目
中给出时间，判定题型为给完工时间型工程问题。设总量为 200 和300的最小公
倍数 600，则 A 的效率 P=600/300=2，B 的效率 P=600/200=3，设 A 和 B 一起完
A B
成t天，根据题意列式，2*50+（2+3）*t=600，化简得5t=500，t=100。代入题
干，A共工作50+100=150天，B工作100天，费用=150*1.5+100*3=225+300=525，
对应C项。【选 C】
10.有一水池，如果打开甲水龙头注水，需要 5 个小时装满水，如果打开乙
水龙头注水，需要 8个小时装满水，如果打开丙水龙头放水，需要 6小时放空水
池。现打开甲水龙头一小时，然后打开乙水龙头，过一小时后再打开丙水龙头，
问再过多少小时可以注满水池？（ ）
A.3 B.4
C.5 D.6
【解析】10.由题意时间知，本题为给完工时间型工程问题，设水池水量=5、
6、8的最小公倍数 120，则甲的效率=120/5=24，乙的效率为120/8=15，丙的效
15率（放水）=120/6=20。本题特殊在出现负效率，也可以理解为有人在“拉后腿”。
设再过 t 小时可以注满水池，根据题意列式，24*1+（24+15）*1+（24+15-20）
*t=120，化简得24+39+19t=120，利用尾数法，尾数 3+19t=尾数 0，即 19t的尾
数为7，观察选项，只有 A项符合要求，对应 A项。【选A】
【注意】本题需要注意丙龙头是放水，即负效率的工作状态，所以工作效率
需要-20。
11.有一项工程，一队先做 6小时，二队接着做 12小时可以完成。一队先做
8小时，二队接着做 6小时也可以完成。如果一队先做若干小时后，二队接着做
21小时才完成。那么一队先做了多少小时？（ ）
A.3 B.5
C.6 D.7
【解析】11.由题意知，本题为给效率比例型工程问题，看似给的都是时间，
但没有一个人是完整做完的，需要找出题目中两句话之间的联系。设一队的效率
为 P，二队的效率为 P，根据题意列式，6P+12P=8P+6P，化简得 6P=2P，即
1 2 1 2 1 2 2 1
P：P=3：1，赋效率，设 P=3，P=1，总工程量=6*3+12*1=30，设一队先做了 t
1 2 1 2
小时，可列式，3t+21*1=30，解得t=3，对应 A项。【选A】
【注意】如何区分工作是一个人做还是两个人做：一个人做的话不会分先后，
如果区分了先后，比如“甲先做了 x 小时，乙又做了 y 小时”，则明显为两个人
一起做的关系。
【知识点】普通行程（基本公式 S=v*t）：
1.题型一：等距离平均速度。
（1）关键词：等距离；上下坡往返。比如给出两个路程相等，求平均速度，
或者设计坡道的往返，去和回的往返路程是相同的，这种情况可以用公式。比如
上坡速度为v、下坡速度为 v，可以套用公式v̅=2vv/（v+v）。
1 2 1 2 1 2
16（2）公式：v̅=2vv/（v+v）。
1 2 1 2
2.题型二：火车过桥。
（1）关键词：火车/车队过桥/隧道。
（2）考查类型：
①火车过桥：从车头进入，到车尾离开，可以以一个人为基准观察，走了一
个桥长和一个车身长，故路程=桥长+火车长。
②火车完全在桥上：以一个人为基准观察，从车头进入到车尾离开，路程=
桥长-火车长。
12.某人在一条笔直的铁道边，听到远处传来火车的汽笛声后，又经过了 57
秒，火车经过他面前，已知火车鸣笛时离他 1360 米，声音传播速度为 340 米/
秒。那么，火车的速度约为多少？（ ）
A.22 米/秒 B.23米/秒
C.24 米/秒 D.25米/秒
【解析】12.通过画图分析，声音传播需要时间，声音从发出到被人听到的
时间设为t，t=1360/340=4s，这个过程中火车也在走，因此 t 的时间火车走了
1 1 1
S =4*v 。听到声音之后过 57 秒到小人面前，S =57*v ，可以列式：
BC 火车 AC 火车
S =1360=57*v +4*v =61v →v =1360/61≈22.3，接近A 项。【选A】
AB 火车 火车 火车 火车
17【注意】
1.“听到远处传来火车的汽笛声后，又经过了 57 秒”，出现“又”，题目描
述很严谨，57+4是火车运动的总时间。
2.计算的时候建议大家算到下一位，计算 22 之后看后面余数是多少，四舍
五入选A项。
【知识点】相对行程：
1.题型一：基础相遇追及问题。核心公式：
（1）相遇问题，路程和=（V +V ）*相遇时间，S =V *T。
甲 乙 和 和
（2）追及问题，路程差=（V -V ）*追及时间，S =V *T。
甲 乙 差 差
2.题型二：多次运动问题（路程关系）。
（1）线形两端出发第 n 次相遇：路程和 S =（2n-1）S=V *T。n 为相遇的
和 和
次数，S 为路程的长度，比如第三次相遇，S =（2*3-1）*S=5S。
和
（2）环形第 n次相遇：路程和S =n 圈=V *T。可以理解为，相遇几次，路
和 和
程和就是几倍的周长。
（3）环形第 n次追及：路程差S =n 圈=V *T。追上几次，路程差就是几倍
差 差
的周长。
3.题型三：流水行船问题（速度关系）。
（1）顺水速度快，顺水速度=船速+水速。
（2）逆水速度慢，逆水速度=船速-水速。
184.比例行程：
（1）三量关系：路程=速度*时间。
（2）结论：
①路程一定（相同），速度与时间成反比。已知V：V=1：2，则两人时间之
1 2
比t：t =2：1。
1 2
②速度一定（相同），路程与时间成正比。已知t：t=1：2，则 S：S=1：2。
1 2 1 2
③时间一定（相同），路程与速度成正比。已知V：V=1：2，时间都是 1小
1 2
时，则S：S=1：2。
1 2
13.有客、货、轿三车在同一道路上同向匀速行进，在某时刻，货车在中，
客车在前，轿车在后，且三车间距相等。一分钟后，轿车追上了货车；又过去了
1/2分钟，轿车追上了客车。问再过多少分钟，货车可以追上客车？（ ）
A.1/2 B.1
C.3/2 D.3
【解析】13.“轿车追上了货车”出现“追”，是追及问题，核心公式：S
差
=v t。“一分钟后，轿车追上了货车”，路程差用 S表示，则 S=（v -v ）*1；
差 轿车 货车
根据“又过去了1/2 分钟，轿车追上了客车”，2S=（v -v ）*3/2，根据问题
轿车 客车
列式：S=（v -v ）*t，三个列式都有 S出现，计算的时候可以约掉，为了简
货车 客车
化计算，令 S=1。解得：v -v =1①；v -v =4/3②，②-①得：v -v
轿车 货车 轿车 客车 货车 客车
=1/3，代入S=（v -v ）*t，得：1=1/3*t→t=3min。问的是“再过”多少分
货车 客车
钟，3-1.5=1.5min，对应C项。【选C】
【注意】追及问题：假设甲在前面，乙在后面追，S =S -S =v t-v t，
差 乙 甲 乙 甲
时间相同，则 S =（v -v ）t，路程差是两人出发时，起点的距离差。因此追
差 乙 甲
及问题不需要考虑得太复杂，只看起点之间的距离即可。
1914.在同一环形跑道上小陈比小王跑得慢，两人同一方向跑步时，每隔 12
分钟相遇一次；若两人速度不变，相反方向跑步，则每隔 4分钟相遇一次。问两
人各跑完一圈花费的时间小陈比小王多多少分钟？（ ）
A.5 B.6
C.7 D.8
【解析】14.“同一方向”是追及关系，“相反方向跑步”是相遇的过程。环
形跑道，追及的路程差是跑道的周长，用 S 表示。根据题意列式：S=（v -v ）
王 陈
*12=（v +v ）*4，根据两者量相等，求速度比例关系，12v -12v =4v +4v
王 陈 王 陈 王 陈
→8v =16v →v ：v =2：1。知道了速度，可以列方程，也可以设特殊值，为
王 陈 王 陈
了简便，选择设特殊值，赋值 v =2、v =1，则 S=（2-1）*12=12，t =12/2=6
王 陈 王
分钟，t =12/1=12 分钟，差值=12*6=6分钟。【选B】
陈
【注意】掌握好本题，环形问题就不会有太大的问题。
15.甲、乙两车同时从 A、B 两地相对开出，甲、乙的速度比为 5：4。相遇
后，甲车减速 20%，乙车增速 20%，两车继续前进。当甲车到达 B 地时，乙车离
A地还有10千米。则 A、B两地相距（ ）千米。
A.400 B.450
C.500 D.600
【解析】15.难的行程问题，不好直接理解题干，需要画图理解。假设相遇
点为 C，两人从出发到相遇，时间相同，路程和速度成正比，假设 AC 段路程为
205S，则 BC 段路程为 4S，之后两人改变速度，甲车变为 v ’=5*（1-20%）=4；
甲
乙车变为 v ’=4*（1+20%）=4.8。甲走 CB 段的时候，假设乙从 C 点走到 D 点，
乙
时间相同，甲走 4S，根据比例关系，乙走 4.8S，列式：AD=5S-4.8S=10km→
0.2S=10km→S=50km，AB=9S=450km。【选 B】
【注意】
1.本题可以赋值，为了防止大家担心，老师用的设未知数的方法。
2.相同时间，速度比=路程比。
3.相遇前：5：4=AC：BC；相遇后：4：4.8=BC：（AC-10）。
4.猜题方法：通过速度比为 5：4，知道路程之比为 5：4，可以猜测路程是
5+4=9的倍数。
16.甲、乙两人在一条长 100米的直路上来回跑步，甲的速度是 3m/s，乙的
速度是2m/s，如果他们同时分别从路的两端出发，当他们跑了 10分钟后，共相
遇多少次？（ ）
A.14 B.15
C.16 D.17
【解析】16.涉及“共相遇多少次”，说明是考多次相遇问题。多次相遇的本
质是一个模型，基本公式：S =（2n-1）S，S 为直线长度，n 为相遇次数。S 为
和
直路总长100，因速度单位是 m/s，统一单位，10min=600s，列式：v t=（2n-1）
和
*100，代入数据：（3+2）*600=（2n-1）*100→30=2n-1→n=31/2=15.5，没有到
16次，只能向下取整，见了 15次面。【选 B】
【注意】
211.线形两端出发多次相遇问题：S =（2n-1）S=v *t。
和 和
2.相遇了几次（已经发生的相遇）——向下取整。
3.行程问题，稍有难度，考试建议大家往后放，不要在此类题目上耗费太多
时间。
【知识点】容斥原理问题：
1.公式法：
（1）两集合：A+B-A∩B=总数-都不。A集合和B集合的中间加了两次，需要
减掉，为A+B-A∩B=总数-都不。
（2）三集合：可以理解为三个集合相加，黄色部分是两层，中间部分是三
层，减去多的部分。
①标准型：A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C=总数-都不。
22②非标准型：A+B+C-满足两项-满足三项*2=总数-都不。黄色是满足两项的
部分，需要减去一次；绿色是满足三项的部分，需要减去两次。
2.画图：
（1）“只A或只B或只C”、复杂且绕（公式用不上）。只A、只B是图中阴影部
分，公式不好做，用画图法计算。
（2）画圆圈，标数据。
17.工厂组织职工参加周末公益活动，有 80%的职工报名参加，报名参加周
六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为 2：1，两天的活动都报名参加的
23为只报名参加周日活动的人数的 50%，未报名参加活动的人数是只报名参加周六
活动的人数的（ ）。
A.20% B.30%
C.40% D.50%
【解析】17.出现“只”，考虑画图法。先画外框表示总人数，中间分为周六
和周日两种情况。题干没有实际值，可以设未知数，根据“两天的活动都报名参
加的为只报名参加周日活动的人数的 50%”，设两天的活动都报名参加的人数为a，
则只参加周日的人数为 2a。参加周日总人数=a+2a=3a，“报名参加周六活动的人
数与报名参加周日活动的人数比为 2：1”，则参加周六的人数为 3a*2=6a，只参
加周六的人数=6a-a=5a。参加的人数=5a+a+2a=8a，总人数=8a/80%=10a，未参加
的人数=10a-8a=2a，所求=2a/（5a）=40%。【选C】
【注意】“有 80%的职工报名参加”，说明有 20%的人没有参加。
18.某单位员工中有 45人订阅了A刊，有 49人订阅了B刊，有 58人订阅了
C刊，有16人订阅了 A刊和B刊，有23 人订阅了B刊和C刊，有 21人订阅了A
刊和 C 刊。有 10 人同时订阅了这三种刊物。该单位至少订阅一种刊物的人数是
（ ）。
A.88 B.95
C.102 D.109
【解析】18.“有 16 人订阅了 A 刊和 B 刊，有 23 人订阅了 B 刊和 C 刊，有
21人订阅了 A刊和 C刊”分别对应A∩B、B∩C、C∩A三部分。至少订阅一种刊
物的人数=总人数-未订阅，即求的是“总数-都不”，对应三集合容斥标准型公式：
24总数-都不=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=45+49+58-16-23-21+10，复杂列式，
最终是加减法计算，通常可以用尾数法解题，尾数 2-尾数0=尾数 2，对应 C项。
【选C】
【注意】
1.三集合容斥问题——标准公式。
2.至少订阅一种即为求“总数-都不满足”。
3.至少订阅一种，画图理解为图中的蓝色阴影部分。故至少订阅一种就是总
量-订阅数量为 0 的部分。
19.某班级共有 40 名学生，有 14 人会打羽毛球，10 人会打乒乓球，8 人会
打排球，那么最多有（ ）人会打两种球。
A.15 B.16
C.17 D.18
【解析】19.会打球分为会打一种、会打两种、会打三种，可以分别设为 a、
b、c。“有 14 人会打羽毛球，10 人会打乒乓球，8 人会打排球”，14+10+8=32，
32代表的是 32次，可能人员有重复，按名次数记，会打 1种球的有 a人，则名
次数是 a；会打 2 种球的是 b，名次出现次数是 2b；会打 3 种球的是 c，名次出
现次数为 3c，则 a+2b+3c=32，要求的是 b 的最大值，要 b 尽量大，则 a 和 c 尽
量小，最小取0，此时 b的最大值=32/2=16。【选B】
【注意】补充结论：三集合容斥问题，求只满足两项的最大值——公式：
（A+B+C）/2。
25【知识点】小题型补充：
1.植树问题：
（1）线形植树（两端都种）：在直线上种树，树之间的距离称为间隔，如果
两端都种树，则棵数=总长/间隔+1。比如总长分为 3段，则棵数会多 1棵。
（2）环形植树（闭合线）：棵数=总长/间隔。比如 25m 的环形，间隔 5m 种
1棵，则可以种25/5=5 棵。
（3）楼间植树（两端都不种）：棵数=总长/间隔-1。
2.坏钟问题。
3.日期问题。
20.有一片矩形空地，已知一条边长为 20米，另一条边长为整数米。该矩形
空地周长小于100 米，面积大于550平方米。现需在矩形空地边界上种树，要求
两棵树苗沿边界线间距大于等于 5米（两棵树如在拐角两边，间距为分别到顶点
的距离相加），则最多需要准备多少棵树苗？（ ）
A.16 B.17
C.18 D.19
【解析】20.矩形的周长未知，假设另一边为 a，根据题意得到关系：2*（20+a）
26＜100→a＜30；20a＞550→a＞27.5，因“另一条边长为整数米”，则 a=28 或者
29。要种的树苗尽量多，则总长要尽量多、间距尽量小。a 取 29，故是长 29、
宽 20 的矩形。间距为 5m，环形植树，棵数=总长/间隔=2*（29+20）
/5=2*49/5=98/5=19.6 棵，向下取整为D 项。【选D】
【注意】本题选项即使有 20也不能选，否则会有间距小于 5的地方。
21.甲钟每小时比标准时间快 3 分钟，乙钟每小时比标准时间慢 3 分钟，如
某天零点将两个钟同时调到标准时间，问在甲钟第一次显示 7点整时，乙钟显示
的时间是多少？（ ）
A.6 点15分 B.6点20分
C.6 点30分 D.6点40分
【解析】21.根据题意，标准时间过 1 小时的情况，甲钟过 63min，乙钟过
57min。“某天零点将两个钟同时调到标准时间”说明起点相同，标准钟：甲钟：
乙钟=60：63：57，无论过多久，比例关系不变。甲钟从零点到 7 点是过了
7*60=420min，设乙钟过了 xmin，根据快钟与慢钟的时长比值不变列式：
63/57=21/19=420/x→x=420*19/21=380min=6 小时20min，对应 B项。【选B】
【注意】
1.坏钟问题核心关键：快钟与慢钟的时长比值不变。
2.标准时间的一个小时内，甲钟走过的时长为 60+3=63分钟；乙钟走过的时
长为60-3=57 分钟。故甲钟与乙钟在相同时间内所走过的时长为 63/57=21/19。
3.甲钟走过的时长为 7h 时，设乙钟走过的时长为 th，则 21/19=7/t，解得
1
t=6 。
3
【知识点】星期日期推断问题：
1.过一年星期+1，有闰日（2.29）星期再+1。比如2019年1 月1日是周一，
求2020 年的1月 1日是周二，直接用星期数+1。
（1）原理：星期的周期是 7天，365/7=52……1，过完整的一周星期数不变，
27故星期数+1。
（2）如果是闰年，经过 2 月 29 日，则要星期数+2。比如 2016 年的 1 月 1
日是周一，2016年是闰年，有 2月29日，星期数需要推 2，则 2017 年的1月1
日是周三。
（3）平年（365天，没有经过2.29）；闰年（366天，经过了 2.29）。
2.平、闰年区分：年份差能被 4整除——闰年（整百年份：年份差能被 400
整除——闰年）。注意：（非整百年份）每 4年一个闰日。
22.2019 年建军节是星期四，那么 2019 年的国庆节是星期几？（ ）
A.星期二 B.星期四
C.星期五 D.星期六
【解析】22.根据常识，建军节是 8 月 1 日，到国庆节，没有跨年，需要挨
个推算。8 月 2 日～8 月 31 日是 30 天、9 月 1 日～9 月 30 日是 30 天，10 月 1
日是 1 天，30+30+1=61 天，求星期数，61/7=8……5，周四往后数 5 天是周二。
【选A】
23.老王家的鱼塘养有甲鱼、鲤鱼和鲢鱼，其中甲鱼需每隔 11天喂一次，鲤
鱼需每隔8天喂一次，鲢鱼需每隔5天喂一次。星期二那天老王同时喂了三种鱼，
下次老王再同时喂三种鱼是星期几？（ ）
A.星期日 B.星期二
C.星期三 D.星期四
【解析】23.“其中甲鱼需每隔 11 天喂一次”，则是每 12 天喂一次；“鲤鱼
需每隔 8 天喂一次”，则每 9 天喂一次；“鲢鱼需每隔 5 天喂一次”，则每 6 天喂
一次，要同时喂，需要是 12、9、6的公倍数，即最小公倍数 36，36/7=5……1，
周二往后推1天，为周三，对应 C项。【选 C】
【注意】周期相遇问题（三步走）：
281.找各自周期：每隔 n天=每n+1天。甲：12、乙：9、丙：6。
2.找最小公倍数：36。
3.找余数，求星期：36/7=5……1。余几加几：周二基础上+1，则下次见面
时间为周三。
4.如果改为“鲢鱼需每隔 6 天喂一次”，则是每 7 天喂一次，那么最后计算
的时候不需要加，喂养天数找 12、9、7 的最小公倍数，说明结果除以 7 之后没
有余数，那么题干是周二，就可以直接选周二。
【答案汇总】1-5：ABACC；6-10：BCDCA；11-15：AACBB；16-20：BCCBD；
21-23：BAC
29遇见不一样的自己
Be your better self
30
