2026 年高考数学真题:一道投篮题,把 ＂无记忆性＂ 考明白了

2026新高考Ⅰ卷第17题三问拆解：第一问送分，第二问送概念——第三问那条“k+m≤N-1”，才是命题组真正想说的话。

2026高考已过快3个月，大家应该都经过了开学考，有些学校月考也考了，正在一轮复习的你，多半已经刷到过这道题：2026年新高考Ⅰ卷的概率大题，把考场变成了篮球场。题干看着长，规则其实只有两句话——“至多投 N 次、投中即停、N 次都不中才停”。

但这道题真正的考点不在读题，而在第二问那个看似轻巧的等式：P(X>k+m | X>k) = P(X>m)。它有一个数学名字：几何分布的无记忆性。

这篇文章把三问拆开讲：第一问怎么不丢分，第二问两个小问分别考什么，以及命题组为什么偏偏在这里埋了一个“上限”条件——看懂这一层，下次遇到带条件的概率题，你就知道该往哪里看。

01 先把题目还原清楚

设整数 N≥2。某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 N 次，当且仅当投中 1 次时或 N 次均未投中时，停止练习。设该同学每次投中的概率为 p（0<p<1），各次投中与否相互独立。记 X 为停止练习时该同学的投篮次数。

先记住三个细节：X 是“停止时的投篮次数”，不是命中次数；“至多 N 次”意味着第 N 次之后不再有下一次；而 (2)(ii) 特意给出的条件 k+m≤N-1不是摆设——它是这道题的命门，后文专门讲。

02 第(1)问：分布列，送分题里的一个坑

X 的可能取值为 1、2、3、4，逐项写清楚“为什么”这样算：

验算：1/3 + 2/9 + 4/27 + 8/27 = 27/27 = 1✓

最容易错的就是 X=4。有人会再乘上“第四次投中的概率”，算出 8/81。但规则是“N 次均未投中时停止”，X 数的是投了几次，不是进了几个球。前三次都不中，第四次无论中不中都照投、照停——所以概率只看前三次，即 (2/3)³。

这一问不考技巧，考的是读懂停止规则。

03 第(2)问(i)：P(X>k) = (1-p)^k，两种走法

先把事件翻译成人话：{X>k} 表示前 k 次均未投中。

走法一（事件语言，快）：前 k 次每次都不中，概率直接相乘，得

走法二（求和验证，稳）：把“第 k+1 次中、第 k+2 次中……直到第 N 次都不中”的各项概率用等比数列求和，整理后同样得到 (1-p)^k。两种走法殊途同归，说明事件语言没有骗你。

注意条件 k≤N-1：一旦 k 超过上限，“投超过 k 次”根本不可能发生，P(X>k) 直接为 0，公式不再适用。

04 第(2)问(ii)：无记忆性，严格证明一次

要证的是 P(X>k+m | X>k) = P(X>m)，分三步：

1. 看事件关系：
   {X>k+m} 一旦发生，{X>k} 一定发生，即前者包含于后者。
2. 用条件概率公式：P(X>k+m | X>k) = P(X>k+m) / P(X>k)
   。
3. 代入 (i) 的结论：
   由 k+m≤N-1，两项都在“没顶到上限”的区域，得 (1-p)^k+m/ (1-p)^k= (1-p)^m= P(X>m)。证毕。

为什么非要有 k+m≤N-1？

这就是这道题最“考思维”的地方。无记忆性说的是“前面投了几次，不影响未来”。但“至多 N 次”是硬上限：如果 k+m 已经顶到 N，那么“再投 m 次都不中”意味着要投超过 N 次——根本不可能，概率是 0；而 P(X>m) 还是正的。

05 命题意图：这道题真正想考你什么

拆开看，三个层次：

• 基本功：
  分布列、条件概率公式、等比数列求和，一个都不少，全是课本内容。
• 事件语言：
  把 {X>k} 翻译成“前 k 次没中”，是整道题的钥匙；不会翻译，第二问就无从下手。
• 抽象能力：
  从具体数字（N=4，p=1/3）到一般字母（N，p，k，m），字母一多就露馅——这正是高考想拉开差距的地方。

对 2027 届的启示：概率大题越来越喜欢“真实情境＋一般参数＋关键条件”。复习时别只刷数字题，要习惯把答案写成带字母的式子，并且每次都要问自己一句：这个等式在什么条件下才成立？

一道投篮题，前两问在“送分”，最后一问在“送概念”。无记忆性不是课本上的名词，而是“过去不影响未来”这句话的数学形态。读懂它，就读懂了命题组在这道题里真正想说的话。

这篇就讲到到这了，我在公众号「学路微光」持续更新，下一篇见