文档内容
2025 年普通高等学校招生全国统一考试
上海数学试卷
（考试时间120分钟，满分150分）
一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分。考生应在答
题纸的相应位置直接填写结果）
1．已知全集 ，集合 ，则 _________．
2．不等式 的解集为_________．
3．己知等差数列 的首项 ，公差 ，则该数列的前6项和为_________．
4．在二项式 的展开式中， 的系数为_________．
5．函数 在 上的值域为_________．
6．已知随机变量X的分布为 ，则期望 _________．
7．如图，在正四棱柱 中， ，则该正四棱柱的体积为_________．
8．设 ，则 的最小值为_________．
9．4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数
有_________种．
10．已知复数z满足 ，则 的最小值是_________．
11．小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水
平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中
一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底
学科网（北京）股份有限公司角 _________．（结果用角度制表示，精确到 ）
12 ． 已 知 ， 是 平 面 内 三 个 不 同 的 单 位 向 量 ． 若
，则 可的取值范围是_______．
二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分。每题有
且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。）
13．己知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为 ，事件B发生的概率为 ，则事件
发生的概率 为（ ）
A． B． C． D．0
14．设 ．下列各项中，能推出 的一项是（ ）
A． ，且 B． ，且
C． ，且 D． ，且
15．已知 ，C在 上，则 的面积（ ）
A．有最大值，但没有最小值 B．没有最大值，但有最小值
C．既有最大值，也有最小值 D．既没有最大值，也没有最小值
16．设 ，数列 ，数列 ．设 ．若对任意 ，长为 、
、 的线段均能构成三角形，则满足条件的n有（ ）
A．1个 B．3个 C．4个 D．无穷
学科网（北京）股份有限公司三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分。解答下列
各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。）
17．（第1小题满分6分，第2小题满分8分）2024年东京奥运会，中国获得了男子 米混合泳接力金
牌．以下是历届奥运会男子 米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列．
206.78 207.46 207.95 209.34 209.35
210.68 213.73 214.84 216.93 216.93
（1）求这组数据的极差与中位数；
（2）从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；
（3）若比赛成绩y关于年份x的回归方程为 ，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队
的成绩（精确到0.01秒）．
18．（第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且
．
（1）若直线PA与圆锥底面的所成角为 ，求圆锥的侧面积；
（2）已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为 ， ．设点M在线段OC
上，证明：直线 平面PBD．
19．（第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知 ．
（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）若函数 满足在 上存在极大值，求m的取值范围；
20．（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆 ，
学科网（北京）股份有限公司，A是 的右顶点．
（1）若 的焦点 ，求离心率e；
（2）若 ，且 上存在一点P，满足 ，求m；
（3）已知AM的中垂线l的斜率为2，l与 交于C、D两点， 为钝角，求a的取值范围．
21．（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数 的定义域为 ．对于
正实数a，定义集合 ．
（1）若 ，判断 是否是 中的元素，请说明理由；
（2）若 ，求a的取值范围；
（3）若 是偶函数，当 时， ，且对任意 ，均有 ．写出
， 解析式，并证明：对任意实数c，函数 在 上至多有9个零点．
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