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考研数学二真题解析:2010考研数学真题解析(知识点标注版)
1 一、选择题
1.
函数 的无穷间断点的个数为（ ）
（A）0. （B）1. （C）2. （D）3.
答案： （B）
知识点：
- 函数间断点的分类
- 单侧极限与无穷间断点
- 含绝对值的根式化简
解析：
原函数可能的间断点为 。当 时，
当 与 时，分别有
故 是跳跃间断点。
当 时，
故 是可去间断点。
当 时，分母 ，而分子趋于非零常数，函数无界，因此 是无穷间断点。无穷间断点只有 个，选（B）。
2.
设 是一阶线性非齐次微分方程 的两个特解，若常数 使 是该方程的解， 是该方程对应的齐次方程的解，则（ ）
（A）. （B）. （C）. （D）.
答案： （A）
知识点：
- 一阶线性非齐次微分方程
- 线性微分算子的线性性质
- 非齐次方程的解与对应齐次方程的解
解析：
记线性微分算子
因为 均为非齐次方程的特解，所以
由 是对应齐次方程的解，得
原方程为非齐次方程，故 不恒为零，从而
又因为 是原非齐次方程的解，所以
于是
解得
故选（A）。
3.
曲线 与曲线 相切，则 （ ）
（A）. （B）. （C）. （D）.
答案： （C）
知识点：
- 曲线相切的条件
- 导数的几何意义
- 对数方程
解析：
设切点的横坐标为 。由于 的定义域要求 ，相切条件为函数值相等且导数相等：
由第二式得
代入第一式，得
因为 ，所以
因此
选（C）。
4.
设 是正整数，则反常积分 的收敛性（ ）
（A）仅与 的取值有关. （B）仅与 的取值有关. （C）与 取值都有关. （D）与 取值都无关.
答案： （D）
知识点：
- 反常积分的敛散性
- 等价无穷小与比较判别法
- 幂函数型与对数型反常积分
解析：
被积函数可写为
当 时，，故
对任意正整数 ，都有
所以积分在 附近收敛。
当 时，令 ，只需考察
对数函数的增长慢于任意负幂函数，上述积分对任意正整数 均收敛。因此原反常积分对所有正整数 都收敛，选（D）。
5.
设函数 ，由方程 确定，其中 为可微函数，且 ，则 （ ）
（A）. （B）. （C）. （D）.
答案： （B）
知识点：
- 隐函数的偏导数
- 多元复合函数的链式法则
- 齐次函数的 Euler 关系
解析：
记
对方程 关于 求偏导，得
所以
再关于 求偏导，得
即
因此
故选（B）。
6.
（ ）
（A）. （B）. （C）. （D）.
答案： （D）
知识点：
- 二重和式的分离
- 定积分的定义与黎曼和
- 二重积分的累次积分表示
解析：
由于被加数可分离为关于 与 的乘积，原式为
当 时，两部分分别趋于
因此原极限为
故选（D）。
7.
设向量组 I： 可由向量组 II： 线性表示，下列命题正确的是（ ）
（A）若向量组 I 线性无关，则 . （B）若向量组 I 线性相关，则 . （C）若向量组 II 线性无关，则 . （D）若向量组 II 线性相关，则 .
答案： （A）
知识点：
- 向量组的线性表示
- 向量组的秩
- 线性无关向量组所含向量个数与秩的关系
解析：
因为向量组 I 可由向量组 II 线性表示，所以
若向量组 I 线性无关，则
于是
故（A）正确。其余选项所给条件均不能推出相应的向量个数关系。
8.
设 为 4 阶实对称矩阵，且 ，若 的秩为 3，则 相似于（ ）
（A）. （B）. （C）. （D）.
答案： （D）
知识点：
- 矩阵多项式与特征值
- 实对称矩阵的正交对角化
- 矩阵的秩与非零特征值的个数
解析：
设 是 的任一特征值。由
可知
所以
为实对称矩阵，故可正交对角化。又 ，所以恰有 个非零特征值，即三个特征值为 ，另一个特征值为 。因此 相似于
故选（D）。
2 二、填空题
9.
3 阶常系数线性齐次微分方程 的通解为 .
答案：
知识点：
- 高阶常系数线性齐次微分方程
- 特征方程与特征根
- 共轭复根对应的实值通解
解析：
对应的特征方程为
因式分解得
故特征根为
因此通解为
10.
曲线 的渐近线方程为 .
答案：
知识点：
- 斜渐近线的判定
- 有理函数的多项式除法
- 函数在无穷远处的极限
解析：
将函数作多项式除法，得
当 时，
所以
故曲线的斜渐近线为
11.
函数 在 处的 阶导数 .
答案：
知识点：
- 复合函数的高阶导数
- 对数函数的求导
- 数学归纳法在高阶导数中的应用
解析：
连续求导可得
令 ，得
12.
当 时，对数螺线 的弧长为 .
答案：
知识点：
- 极坐标曲线的弧长公式
- 指数函数的导数与积分
解析：
极坐标曲线的弧长公式为
由 ，有
因此
13.
已知一个长方形的长 以 的速率增加，宽 以 的速率增加，则当 时，它的对角线增加的速率为 .
答案：
知识点：
- 相关变化率
- 隐函数求导
- 勾股定理
解析：
设长方形的对角线长度为 ，则
两边对时间求导，得
当 时，，故
14.
设 为 3 阶矩阵，且 ，则 .
答案：
知识点：
- 可逆矩阵及其逆矩阵
- 矩阵乘积的行列式
- 逆矩阵的行列式
解析：
由 、 可知 均可逆。注意到
因此
3 三、解答题
15.
求函数 的单调区间与极值.
知识点：
- 含参变量积分的求导
- 变上限积分
- 导数符号与函数单调性
- 函数极值的判定
解析：
由 Leibniz 求导公式，
当 时，；当 时，该积分小于 。因此 的符号如下：
故函数的单调递减区间为
单调递增区间为
在 处，导数由负变正，故取得极小值
在 处，导数由正变负，故取得极大值
因此极小值为 ，极大值为
16.
（I）比较 与 ， 的大小，说明理由；
（II）记 ，，求极限 .
知识点：
基本函数不等式 - 定积分的保序性
- 分部积分法
- 夹逼准则
解析：
（I）当 时，由 ，有
又 ，所以
两边在 上积分，得
（II）由于 时 ，分部积分可得
由（I），
因为右端趋于 ，由夹逼准则得
17.
设函数 由参数方程 所确定，其中 具有 2 阶导数，且 。已知 ，求函数 .
知识点：
- 参数方程所确定函数的二阶导数
- 一阶线性微分方程
- 初始条件与特解
解析：
由
有
再次求导，得
结合已知条件，得
令 ，则
注意到
故
即
由 ，得 ，所以
积分得
再由 ，得 。因此
18.
一个高为 的柱体形贮油罐，底面是长轴为 、短轴为 的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为 时，计算油的质量。（长度单位为 ，质量单位为 ，油的密度为常数 ）
知识点：
- 椭圆的标准方程
- 定积分计算平面图形面积
- 三角换元法
- 柱体体积与质量
解析：
取贮油罐的横截面为椭圆
并令椭圆最低点的纵坐标为 。油面高度为 时，油面对应 。
在高度 处，椭圆内水平线段的长度为
故油的横截面积为
令 ，则积分上下限分别为 与 ，从而
油的体积为 ，所以油的质量为
19.
设函数 具有二阶连续偏导数，且满足等式 ，确定 的值，使等式在变换 下化简为 .
知识点：
- 二阶偏微分方程的变量代换
- 多元复合函数的二阶偏导数
- 二次方程求根
- 线性变换的可逆性
解析：
由
可得微分算子关系
因此
代入原方程后， 与 的系数分别为
要使这两项消失，需
方程
的两根为
为使变量变换可逆，必须有 ，故
此时 的系数为
故原方程确实化为
20.
计算二重积分 ，其中 .
知识点：
- 极坐标与直角坐标的变换
- 二重积分的换元法与 Jacobian
- 二重积分化为累次积分
- 三角换元与三角函数积分
解析：
令
由 及 ，可知区域在直角坐标下为
又
且
由于 ，原积分化为
先对 积分，得
令 ，则
因此
21.
设函数 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，且 ，证明：存在 ，使得 .
知识点：
- 拉格朗日中值定理
- 辅助函数法
- 分区间应用中值定理
解析：
构造辅助函数
由已知条件，
在区间 上应用拉格朗日中值定理，存在
使得
在区间 上应用拉格朗日中值定理，存在
使得
两式相加，并利用 ，得
又
所以
命题得证。
22.
设 ，已知线性方程组 存在两个不同的解。
（I）求 ；
（II）求方程组 的通解.
知识点：
- 非齐次线性方程组解的判定
- 系数矩阵与增广矩阵的秩
- 行列式与可逆性
- 非齐次线性方程组的通解
解析：
线性方程组若存在两个不同的解，则必有无穷多解，因此
特别地，。计算得
故
当 时，系数矩阵的第二行全为 ，而常数项的第二个分量为 ，出现矛盾方程 ，故方程组无解。
当 时，方程组为
由第二式得 。将第一式与第三式相加，得
所以
因此
此时增广矩阵可化为
令自由变量 ，则
故通解为
23.
设 ，正交矩阵 使得 为对角矩阵，若 的第 1 列为 ，求 .
知识点：
实对称矩阵的正交对角化 - 特征值与特征向量
- 特征向量的正交归一化
解析：
由于 正交且 为对角矩阵， 的各列是 的单位特征向量。因此
是 的特征向量。设其对应的特征值为 ，则
比较各分量，得
此时
其三个特征值为
对应的单位正交特征向量可分别取为
因此可取
这时
由于特征向量可同时改变符号，满足条件的 不唯一；上式给出其中一个。
