高考真题欣赏(三) 与双曲线的渐进线平行的直线

与双曲线的渐进线平行的直线与双曲线是相交的位置关系，且有唯一交点。

（2025年上海卷）. 已知在上，则的面积（）

A. 有最大值，但没有最小值B. 没有最大值，但有最小值

C. 既有最大值，也有最小值D. 既没有最大值，也没有最小值

【答案】A

【详解】设曲线上一点为，则，则

方程为：，即

根据点到直线的距离公式，到的距离为：

设

由于，显然关于单调递减，，无最小值，

即中，边上的高有最大值，无最小值，

又一定，故面积有最大值，无最小值.

说明；一、此题也可以采用平移法，但由惯性思维很容易选B. 没有最大值，但有最小值。因为没有考虑到直线AB与双曲线的渐进线平行，与双曲线的范围只有第一象限。

二、若把双曲线的范围改为第一、四象限，结果又如何呢？