文档内容
计算-公式类计算-平方和公式-1 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
平方和公式 B 1.熟悉平方和公式 少考
2.运用公式进行复杂的计算。
知识提要
平方和公式
平方和公式
n(n+1)(2n+1)
12+22+32+⋯+n2=
6
精选例题
平方和公式
1. 计算：202+212+222+⋯+1002 = ．
【答案】 335880
【分析】
原式 =12+22+32+⋯+1002-(12+22+32+⋯+192)
¿ =338350-2470
¿ ¿
2. 计算：22+42+62+⋯+502 = ．
【答案】 22100
【分析】
原式 =22×(12+22+32+⋯+252 )
¿ =22100.3. 计算：12+22+32+⋯+992= ．
【答案】 328350
【分析】
原式 =12+22+32+⋯+992
¿ =328350.
4. 计算：36+49+64+81+⋯+400 = ．
【答案】 2815
【分析】
原式 =62+72+82+⋯+202
¿ =20×21×41÷6-5×6×11÷6
¿ =2815.
5. 计算：92+102+112+⋯+202 = ．
【答案】 2666
【分析】
原式 =(12+22+⋯+202 )-(12+22+⋯+82)
¿ =2666.
6. 337×▫2=12+22+32+⋯+3372，则 ▫= ．
【答案】 195
1
【分析】 12+22+⋯+n2= n(n+1)(2n+1)
6
1
因为 12+22+⋯+3372= ×337×338×675
6
1
所以
▫2= ×338×675=1952
6
故 ▫=195．
7. 计算：12+22+32+⋯+102 = ．
【答案】 385【分析】
原式 =12+22+32+⋯+102
¿ =385.
8. 计算：52+62+72+⋯+302= ．
【答案】 9425
【分析】
原式 =(12+22+32+⋯+292+302 )-(12+22+32+42 )
¿ =9455-30
¿ ¿
9. 计算：102+112+122+⋯+2002= ．
【答案】 2686415
【分析】 原式缺少前几项，可以先补上前几项，再减去前几项，再利用公式进行求解．
原式= (12+22+⋯+92+102+112+122+⋯+2002 )-200×(200+1)×(400+1) 9×10×19
- ¿=¿2686700-285¿=¿2686415.¿
¿ ¿ 6 6
10. 计算：102+122+142+⋯+502 = ．
【答案】 21980
【分析】
原式 =(22+42+62+⋯+502 )-(22+42+62+82)
¿ =4×51×25×26÷6-4×30
¿ ¿
11. 围棋棋盘是由 19 条横线和 19 条竖线组成的正方形方阵，其中有多少个正方形呢？
【答案】 2109 个
【分析】 简答：按正方形的大小分类，共有 182+172+⋯+12=2109个．
12. 我们知道：9=3×3，16=4×4，这里，9、16 叫做“完全平方数”，在前 300 个自然
数中，去掉所存的“完全平方数”，剩下的自然数的和是多少？．【答案】 43365
【分析】 不超过 300 的完全平方数，有 1、4、9、16、25、36、49、64、81、
100、121、144、169、196、225、256、289，它们的和是
17×18×35
12+22+32+⋯+172= =1785．前 300 个自然数的和是：
6
1+2+3+⋯+300=45150，于是剩下的自然数的和 45150-1785=43365．
13. 试求 1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+⋯+99×100．
【答案】 333300
【分析】 方法一：整数裂项
原式= (1×2×3+2×3×3+3×4×3+4×5×3+5×6×3+
[1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+4×5×(6-3)¿+5×6×(7-4)+⋯+99×100×(101-98)]÷÷3¿=¿(1×2×3+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+4×5×6¿-3×4×5+5×6×7-4×5×6+⋯+99×100×101-¿98×99×100)÷3¿=¿99×100×101÷3¿=¿33×101×100¿=¿3333×100¿=¿333300.¿
¿ ¿
方法二：利用平方和公式
n×(n+1)×(2n+1)
12+22+32+42+⋯+n2=n2= .
6
原式 =12+1+22+2+32+3+42+4+52+5+⋯+992+99
99×100×199 99×100
¿ = +
6 2
¿ =333300.
14. 12+22+32+⋯+20012+20022 除以 7 的余数是多少？
【答案】 0
【分析】 由于
12+22+32+⋯+20012+200222002×2003×4005
¿=¿1001×2003×1335¿
¿ 6
而 1001 是 7 的倍数，所以这个乘积也是 7 的倍数，故 12+22+32+⋯+20012+20022 除
以 7 的余数是 0；
