文档内容
2012年第四届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛试
卷（小高组一试）
一.填空题（每题10分）
1．（10分）计算：2 +[（4.32﹣1.68﹣1 ）× ﹣ ]÷1 ＝ ．
2．（10分）今天是13日，如果将若干自然数按下表排列，那么这个表中所有自然数的总和是
．
1 2 3 4 … 12 13
2 3 4 5 … 13 14
3 4 5 6 … 14 15
… … … … … … …
13 14 15 16 … … 25
3．（10分）一只油桶，装的油占全桶装油量的 ，卖出18千克后，还剩原有油的60%．那么这
只油桶能装 千克油．
4．（10分）在△ABC中，D 、D 、D 为AB边的内分点，E 、E 、E 为AC边的内分点，那么图中
1 2 3 1 2 3
有 个三角形．
5．（10分）两个带小数相乘，将得到的积四舍五入可得27.6．现已知这两个小数都是一位小
数，且它们个位上都是5，那么这两个小数相乘所得的准确积是 ．
6．（10分）A、B两地共有学生81人，其中A地的第一个学生与B地的10个学生联系过，第二
个学生与B地的11个学生联系过，第三个学生与B地的12个学生联系过，…，第n个学
生与B地的所有学生都联系过．那么A、B两地各有学生 ．
7．（10分）有一种八边形，它的每条边的长度都是一个整厘米数．若从该八边形中取出任意
第1页（共9页）三条边的都不能构成三角形．则符合这些条件的八边形周长最短是 cm．
8．（10分）在小于2012的所有正整数n中，使得2n﹣n2 能被7整除的n共有 个．
9．（10分）三角形ABC中，BE＝1，EF＝6，FC＝2，BD＝2AD，三角形AHG的面积是4.86，三
角形GFC的面积是2，则四边形BEHD的面积是 ．
10．（10分）由单位正方形组成的m×n的矩形棋盘（其中m，n为不超过10的正整数），在棋盘
的左下角单位正方形里放有一枚棋子，甲乙两人轮流行棋．规则是：或者向上走任意多格，
或者向右走任意多格，但是不能走出棋盘或者不走．若规定不能再走者为负（即最先将棋
子移至右上角者获胜）．那么能使先行棋的甲有必胜策略的正整数对（m，n）共有
个．
11．（10分）将自然数2、3、4…、n分成两组，满足 同一组任意两个数的乘积不在这个组；
任意一个数与它的平方不在同一组．则n最大①是 ．
12．②（10分）一个棱长为4的正方形盒子放一个半径为1的球，球在盒子里随意移动，盒子也
可以随意翻动．则球接触不到的正方体内表面的面积是 ．
第2页（共9页）2012 年第四届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀
请赛试卷（小高组一试）
参考答案与试题解析
一.填空题（每题10分）
1．（10分）计算：2 +[（4.32﹣1.68﹣1 ）× ﹣ ]÷1 ＝ 2 ．
【分析】先把小括号里面的算式，根据减法的性质简算；然后再根据四则混合运算的运算
顺序计算即可．
【解答】解：2 +[（4.32﹣1.68﹣1 ）× ﹣ ]÷1
＝2 +{[4.32﹣（1.68﹣1 ）]× ﹣ }÷1
＝2 +{[4.32﹣3]× ﹣ }÷1
＝2 +{1.32× ﹣ }÷1
＝2 +{0.6﹣ }÷1
＝2 + ÷
＝2 +
＝2 ；
故答案为：2 ．
2．（10分）今天是13日，如果将若干自然数按下表排列，那么这个表中所有自然数的总和是
2197 ．
1 2 3 4 … 12 13
2 3 4 5 … 13 14
3 4 5 6 … 14 15
第3页（共9页）… … … … … … …
13 14 15 16 … … 25
【分析】根据高斯求和公式可知，第一列的数和是（1+13）×13÷2＝7×13，第二行的数和是
（14+2）×13÷2＝8×13，第三行的数和是（3+15）×13÷2＝9×13，由于可发现，n行的数和是
（7+n﹣1）×13，所以13行所有数的和是7×13+8×12+…+（7+13﹣1）×13＝[7+8+9+…
+（7+13﹣1）]×13＝[（7+13﹣1）+7）×13÷2×13．据此完成
【解答】解：（1+13）×13÷2+（14+2）×13÷2+（3+15）×13÷2+…+（13+25）×13÷2
＝14×13÷2+16×13÷2+18×12÷2+…+38×13÷2
＝7×13+8×13+9×13+…+19×13
＝（7+8+9+…+19）×13
＝（7+19）×13÷2×13
＝26×13÷2×13
＝13×13×13
＝2197
答：那么这个表中所有自然数的总和是2197．
故答案为：2197．
3．（10分）一只油桶，装的油占全桶装油量的 ，卖出18千克后，还剩原有油的60%．那么这
只油桶能装 7 5 千克油．
【分析】先把原来油的质量看成单位“1”，卖出18千克后，还剩原有油的60%，那么卖出
的质量就是原来油质量的（1﹣60%），它对应的数量是18千克，根据分数除法的意义，用
18千克除以（1﹣60%）即可求出原来油的质量，这又是全桶装油量的 ，再把全桶装油量
看成单位“1”，再根据分数除法的意义，用原来油的质量除以 即可求出这个油桶能装
多少千克油．
【解答】解：18÷（1﹣60%）
＝18÷40%
＝45（千克）
45÷ ＝75（千克）
第4页（共9页）答：这只油桶能装 75千克油．
故答案为：75．
4．（10分）在△ABC中，D 、D 、D 为AB边的内分点，E 、E 、E 为AC边的内分点，那么图中
1 2 3 1 2 3
有 6 4 个三角形．
【分析】在三角形BCD 中有4+3+2+1＝10个三角形；如果不看CD ，在BCD 中也有10个
1 3 2
三角形；如果不看CD 、CD ，在BCD 中同样有10个三角形；如果不看CD 、CD 、CD 在
3 2 1 3 2 1
BCA有10个三角形；在D D C中有4个三角形；在D D C中有4个三角形；在D CA中4
2 3 2 1 1
个三角形；在D D C中除了前面数出的还有4个三角形；在D AC中除了前面数出的还有
1 3 2
4个三角形；在D AC除了前面数出的还有4个三角形．
3
【解答】解：
4×10+4×6＝64（个）
故填64
5．（10分）两个带小数相乘，将得到的积四舍五入可得27.6．现已知这两个小数都是一位小
数，且它们个位上都是5，那么这两个小数相乘所得的准确积是 27.5 5 ．
【分析】首先根据个位数字是5，那么两个5乘积的结果个位也一定是5，再根据四舍五入
的规律即可求解．
【解答】解：依题意可知：
首先根据两个小数的结果是2位小数，个位数字都是5，那么原来结果的尾数一定是5；
根据四舍五入的结果是27.6，那么只能是27.55满足条件．
故答案为：27.55
6．（10分）A、B两地共有学生81人，其中A地的第一个学生与B地的10个学生联系过，第二
个学生与B地的11个学生联系过，第三个学生与B地的12个学生联系过，…，第n个学
生与B地的所有学生都联系过．那么A、B两地各有学生 3 6 人、 4 5 人 ．
【分析】按题意，显然A地的第一个学生与B地的10个学生联系过，第二个学生与B地的
第5页（共9页）11个学生联系过，第三个学生与B地的12个学生联系过，…，第n个学生与B地的所有学
生都联系过，A地的学生比B地的学生要少9人，而总数是81人，可以用总数减去9，就是
A地学生人数的两倍，不难求得A地和B地的学生人数．
【解答】解：根据分析，A地的学生比B地的学生要少9人，而总数是81人，
可以用总数减去9，就是A地学生人数的两倍，故A地有：
（81﹣9）÷2＝36（人）；B地有：81﹣36＝45（人），
故答案是：36人、45人．
7．（10分）有一种八边形，它的每条边的长度都是一个整厘米数．若从该八边形中取出任意
三条边的都不能构成三角形．则符合这些条件的八边形周长最短是 5 4 cm．
【分析】斐波那契数列，这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和，任意取3个数
为三条边的都不能构成三角形，即可得出结论．
【解答】解：由题意，八边形的边长满足斐波那契数列，符合这些条件的八边形周长最短时，
边长为1，1，2，3，5，8，13，21，周长为54cm．
故答案为54．
8．（10分）在小于2012的所有正整数n中，使得2n﹣n2 能被7整除的n共有 57 6 个．
【分析】2n﹣n2 被7除的余数随着n变化的最小周期是3，这个你可以直接计算试一试知道．
n从1开始，2n﹣n2 被7除的余数是2，4，1，2，4，1，…
2n﹣n2 被7除的余数随着n变化的最小周期显然是7．n从1开始，2n﹣n2 被7除的余数是
1，4，2，2，4，1，0，．
总的来说，因为3和7互质，所以2n﹣n2 2被7除的余数以3×7＝21为周期．在一个周期
中，3除n余1的，7除n可以余3和4，分别对应数10和4；3除n余2的（此时2n﹣n2 被7
除余4），7除n可以余2和5，分别对应数2和5；3除n余0的（此时2n﹣n2 被7除余1），
7除n可以余1和6，分别对应数15和6．
由上面的讨论，所有使得2n﹣n2 能被7整除的正整数n为2，4，5，6，10，15以及它们加上
整数倍的21．
有了这个结果后不难得出在小于2012的所有正整数中，因为2012＝21×95+17这样的n
有
95×6+6＝576个，据此解答．
【解答】解：因为2n﹣n2 被7除的余数随着n变化的最小周期是3，
n从1开始，2n﹣n2 被7除的余数是2，4，1，2，4，1
第6页（共9页）因为3和7互质，所以2n﹣n2 被7除的余数以3×7＝21为周期．
7除n可以余2和5，分别对应数2和5；
3除n余0的（此时2n﹣n2 被7除余1），
7除n可以余1和6，分别对应数15和6
综上所述：
所有使得2n﹣n2 能被7整除的正整数n为2，4，5，6，10，15以及它们加上整数倍的21．
有了这个结果后不难得出在小于2012的所有正整数中，因为2012＝21×95+17这样的n
有
95×6+6＝576个，
故答案为：576．
9．（10分）三角形ABC中，BE＝1，EF＝6，FC＝2，BD＝2AD，三角形AHG的面积是4.86，三
角形GFC的面积是2，则四边形BEHD的面积是 2.8 6 ．
【分析】连接BH，FH，分析各个三角形之间的面积关系，求出各个面积大小．
【解答】解：
连接BH，FH，由题意△BEH、△EFH、△CFH之间的面积比是2：6：1
由BD＝2AD，可得△CBD的面积是△CAD的2倍，△DBH的面积是△DAH的2倍，由这
两个条件可得△BHC的面积是△AHC的面积的2倍．
第7页（共9页）把△BHC的面积看成9份，那△AHC的面积就是9÷2＝4.5份
如果把△AHC看成底边是AG的两个三角形面积和，把△CHF看成底边是FG的两个三
角形之和，那么△AHC与△CHF的面积比就等于AG：FG，也就是4.5：2＝9：4
根据AG：FG＝9：4和△AHG的面积是4.86，可以求出△HGF的面积是4.86÷9×4＝2.16
因为△CFG的面积是2.16+2＝4.16，所以△BEH的面积是4.16÷2＝2.08
AH：HE＝4.5：8＝9：16
所以三角形ABD的面积就是2.08÷16×9＝1.17
根据AD：BD＝1：2得到BDH的面积＝1.17÷3×2＝0.78
所以四边形BEHD的面积是0.78+2.08＝2.86
10．（10分）由单位正方形组成的m×n的矩形棋盘（其中m，n为不超过10的正整数），在棋盘
的左下角单位正方形里放有一枚棋子，甲乙两人轮流行棋．规则是：或者向上走任意多格，
或者向右走任意多格，但是不能走出棋盘或者不走．若规定不能再走者为负（即最先将棋
子移至右上角者获胜）．那么能使先行棋的甲有必胜策略的正整数对（m，n）共有 9 0 个．
【分析】当M＝N时，先走的甲必须会败；当M不等于N，甲可以通过独到的策略回到棋盘
一，导致乙先，乙会败．有10种甲会败，有100﹣10＝90种甲会胜利．
【解答】解：假设甲先走，乙后走，
首先容易知道M＝N＝1时，甲必败，下面我们归纳证明当M＝N时，甲必败，
首先M＝N＝1的情形是显然的．
假设M＝N≤K时，甲必败，则当M＝N＝K+1时，假设甲第一步往任意一个方向走X步，
则乙便往另外一个方向走X步．
若X＝K+1，易知此时已经走到右上角，所以甲已经败了，否则X＜K+1，这样就就变成了
重新在一个（K+1﹣X，K+1﹣X）的棋盘上行棋．
这里1≤K+1﹣X≤K，而此时刚好也轮到甲行棋，由归纳假设知此时甲必败，
所以结果仍然是甲必败．这样就完成了证明．
下面看当M不等于N时的情形，假设M＞N （M＜N同理），
甲可以第一步直接将棋子沿长为M的方向走M﹣N步 这样就变成了重新在一个（N，N）
棋盘上行棋，且此时轮乙行棋，由上面的结论知 此时乙必败，即甲必胜．
综上知要使先走的甲必胜，那么只需要M不等于N即可．
即满足这样的正整数对有10×10﹣10＝90对．
故答案为90．
11．（10分）将自然数2、3、4…、n分成两组，满足 同一组任意两个数的乘积不在这个组；
第8页（共9页①）任意一个数与它的平方不在同一组．则n最大是 3 1 ．
【②分析】若2在第一组，则4在第二组，16在第一组，8只能在第二组，此时32既不能在第
一组，也不能在第二组，故n的最大值不超过31，即可得出结论．
【解答】解：若2在第一组，则4在第二组，16在第一组，8只能在第二组，此时32既不能在
第一组，也不能在第二组，故n的最大值不超过31．
当n＝31时构造如下：（2，3，5，7，11，13，16，17，19，23，24，29，31）和（4，6，8，9，10，12，
14，15，18，20，21，22，25，26，27，28，30），
所以n最大为31．
故答案为31．
12．（10分）一个棱长为4的正方形盒子放一个半径为1的球，球在盒子里随意移动，盒子也
可以随意翻动．则球接触不到的正方体内表面的面积是 7 2 ．
【分析】先单独看一个面，因为球半径1，所以这个面最外1单位长度宽的一圈，球是接触
不到的，球只能接触到中间的2单位长度的正方部分，接触到的面积4平方分米，接触不
到的部分是16﹣4＝12，由此即可解决问题．
【解答】解：先单独看一个面，因为球半径1，所以这个面最外1单位长度宽的一圈，球是接
触不到的，球只能接触到中间的2单位长度的正方部分，接触到的面积4平方单位，接触
不到的部分是16﹣4＝12，六个面一共12×6＝72平方单位，
故答案为：72．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/7 10:44:13；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第9页（共9页）
