文档内容
强化提升-数资 1
（笔记）
主讲教师：杨亚辉
授课时间：2024.06.03
粉笔公考·官方微信强化提升-数资 1（笔记）
课程设置
1.授课内容：
2.授课目的：回顾理论课知识点，加强练习，查漏补缺（回头补理论课）
3.授课时间：每次 2.5～3小时（不一定），中间休息一次（8～10分钟）
【注意】课程设置：
1.授课内容：三大方法、工程问题、经济利润问题：P73。
2.第一节课相对会简单，考场上是可以做的；第二节课会比较难，但是也有
简单题，在考场上也是可以拿下来，要学会识别简单题、难题；数量关系会比较
难，不要求全部拿下来，但要有舍有得，简单题要拿下来。资料分析每节课有 4
篇，遇到重点的知识点会先回顾。
3.授课目的：强化提升课属于承上启下的课程，对之前所学的内容进行进一
步巩固，回顾理论课知识点，加强练习，查漏补缺（回头补理论课）。
4.授课时间：每次 2.5～3小时（不一定），中间休息一次（8～10分钟）。
【注意】代入排除法：
11.范围：
（1）典型题：多位数（题干出现有关于位数的描述、变化，如一个三位数，
百位比十位多多少，十位比个位少多少，百位和个位对调之后……）、年龄、不
定方程（ax+by=m）、余数（关键字：剩、余、缺）。
（2）看选项（选项信息充分）：选项为一组数。看问法，……各为/分别为
多少。例：问：问：甲、乙分别为多少？
A.1、2 B.2、3
C.3、4 D.4、5
答：选项是一组数，问的是“甲、乙分别为多少”，属于选项信息充分，优
先考虑代入排除。
（3）剩两项：排除两项只剩两项时，代入一项即得答案。
2.方法：
（1）优先排除（数字特性）：尾数、奇偶、倍数特性。如果可以排除三个，
剩下一个；如果只能排除两个，还剩两个选项。
（2）直接代入：最值原则、好算原则。
①问：甲最大/小为多少？
A.11 B.12
C.13 D.14
答：问最大，从大往小代，先代 14，如果满足，直接当选；若问最小，从
小往大代，先代 11。
②问：甲为多少？
A.10 B.22
C.43 D.67
答：优先代入比较整的 10，比较好算。
1.（2021 事业单位）今年小华一家四口的年龄之和为 110 岁，其中哥哥比
小华大2岁，爸爸比妈妈大 2岁，14年前全家的年龄之和为 55 岁，则哥哥今年
多少岁？
A.15 B.16
2C.17 D.18
【解析】1.方法一：年龄问题，优先考虑代入排除，代入排除中，最多代 3
次。一共有 4 个主体（爸爸、妈妈、哥哥、小华），今年小华一家四口的年龄之
和为 110 岁，14 年前全家的年龄之和为 55 岁。代入 A 项，今年：哥哥 15 岁，
“哥哥比小华大 2岁”，小华13岁，两人加起来是 15+13=28岁，则爸爸和妈妈
的年龄之和=110-28=82岁，根据“爸爸比妈妈大 2岁”，则爸爸 42岁，妈妈40
岁；14年前：哥哥 1岁，小华还没有出生，爸爸28岁，妈妈26 岁，28+26+1=55
岁，符合题干所有条件，选择 A项。
方法二：假设 14 年前，这一家四口人都出生了，则每个人都应该增加 14
岁，年龄之和应该增加 14*4=56岁，实际增长了 110-55=55岁，少增长1岁，一
定是年龄最小的那个少了一岁，即小华少增长了 1 岁，只增长了 13 岁，即弟弟
今年13 岁，则哥哥今年 13+2=15岁，选择 A项。【选A】
2.（2021联考）饲养兔子需要场地，小林准备用一段长为 28米的篱笆围成
一个三角形形状的场地，已知第一条边长为 m米，由于条件限制第二条边长只能
是第一条边长度的 1/2多4米，若第一条边是唯一最短边，则 m 的取值可以为：
A.6 B.7
C.8 D.9
【解析】2.切入点：只剩两项→考虑代入排除。“用一段长为 28 米的篱笆
围成一个三角形形状的场地”→三条边一共 28 米，“第二条边长只能是第一条
边长度的1/2多 4米”，第一条边长为 m米，则第二条边为（1/2*m+4）米，“第
一条边是唯一最短边”，m＜1/2*m+4→1/2*m＜4→m＜8，排除C、D项。剩二代一，
代入A项：m=6，第二条边为 1/2*m+4=7，则第三条边=28-13=15，注意三角形两
条边之和大于第三条边，而 6+7＜15，无法构成三角形，排除 A 项；选择 B 项。
【选B】
3【注意】叨叨杨的小总结——三角形性质：任意两边之和＞第三边，任意两
边之差＜第三边。
3.（2022 事业单位）一些篮球爱好者包下了一个篮球场地，包场费用按第
一个小时 420 元，不足一小时按一小时计，之后每 10 分钟增加 70 元，不足 10
分钟的按10分钟计。比赛结束后，恰好人均付费 63元，那么最少有多少人参加
比赛？
A.20 B.15
C.10 D.5
【解析】3.切入点：不定方程→优先考虑代入排除。“不足一小时按一小时
计”，即包场费用最少为 420；“不足 10 分钟的按 10 分钟计”。假设过了 n 个 10
分钟，有 x 人参加比赛，420+70n=63x，两个未知数、一个方程，未知数个数＞
方程个数，为不定方程，优先考虑代入排除，观察发现，420、70n、63x均是10
的倍数，420、70 是 10 的倍数，63 不是 10 的倍数，故 x 一定是 10 的倍数，排
除B、D项；剩二代一，代入C项验证，420+70n=630→70n=210→n=3，满足题干
所有要求，选择 C项。【选C】
【注意】倍数特性法：
1.基础知识：整除判定法则。
4（1）当B、C为整数时，如果A=B*C，则A能被B、C整除。
（2）口诀：3、9看各位数字之和，如 123，1+2+3=6，6能被 3整除，则123
能被3整除，6不能被 9整除，则123不能被 9整除；4看末两位，8看末三位，
如1024，末两位 24能被4整除，则1024 能被4整除，末三位024 能被8整除，
则1024 能被8整除；2、5看末位。
（3）因数分解：12=3*4≠2*6，只要这个数既能被 3 整除、又能被 4 整除，
这个数就能被12 整除，分解时必须互质（两个数除了 1之外，再无其他公约数），
如 18 能被 2 整除，18 能被 6 整除，但 18 不能被 12 整除。如 24=3*8（3、8 互
质）。
（4）拆分：拆成两个数的和或差。如问一个数能否被 7、11、13 整除，课
堂中没有讲过口诀，也不够复杂，不能因式分解；如问 784 能否被 7 整除，
784=770+14，770 是 7 的倍数，14 是 7 的倍数，则 784 一定是 7 的倍数；如问
784能否被 11整除，784=770+14，770是 11的倍数，14不是11 的倍数，则784
不是11 的倍数。
2.余数型：平均分配、有剩余/缺少。
（1）若y=ax+b，则y-b能被a整除；若 y=ax-b，则y+b 能被a整除。
（2）前提：a、x均为整数。
（3）例：
①一堆苹果分给一些人，平均每人分 10 个，还剩 3 个……，问这堆苹果有
多少个？
A.117 B.123
答：y=10x+3→y-3=10x，只有B项减 3能被10整除，选择 B项。
②一堆苹果分给一些人，平均每人分 10 个，还缺 3 个……，问这堆苹果有
多少个？
A.117 B.123
答：y=10x-3→y+3=10x，只有A项加 3能被10整除，选择 A项。
3.比例型：题目出现百化分、分数、比例、倍数。
（1）若 A/B=m/n，则 A 是 m 的倍数，B 是 n 的倍数；A±B 是 m±n 的倍数。
如男生/女生=60%=3/5，男生人数是3的倍数，女生人数是 5的倍数，男生+女生
5是3+5=8 的倍数，女生-男生是5-3=2的倍数。
（2）前提：A、B均为整数，m/n是最简整数比。
4.（2023北京）某单位 3个部门共有员工 50人，拥有中级工程师职称的人
员比重为 40%。其中甲、乙两个部门拥有中级工程师职称的人员比重分别为 45%
和32%，则丙部门拥有中级工程师职称的人员比重为：
A.60% B.52%
C.44% D.36%
【解析】4.出现百分数，优先考虑比例型倍数特性。“某单位 3 个部门共有
员工 50 人，拥有中级工程师职称的人员比重为 40%”→中级工程师一共有
50*40%=20人；“其中甲、乙两个部门拥有中级工程师职称的人员比重分别为 45%
和32%”→甲部门中级工程师人数/甲部门总人数=45%=9/20，则甲部门总人数是
20 的倍数；同理，乙部门中级工程师人数/乙部门总人数=32%=8/25，乙部门总
人数是25的倍数。一共50人，甲部门总人数是 20的倍数，乙部门总人数是 25
的倍数，说明只能是 1倍，即甲部门20 人，乙部门25人，则丙部门 50-20-25=5
人；甲部门中级工程师人数是9人，乙部门中级工程师人数是 8人，则丙部门中
级工程师人数=20-9-8=3人，所求=3/5=60%，对应A项。【选A】
5.（2024浙江网友回忆版）某公司招聘员工，来应聘的男、女人数比是 18：
17，最后被录取的有 280 人，其中男、女人数比是 3：4，未被录取的男、女人
数比是6：5。则来应聘的共有多少人？
A.630 B.720
C.1050 D.1400
【解析】5.出现比例→优先考虑比例型倍数特性。“来应聘的男、女人数比
是18：17”→男生/女生=18/17，男生人数是 18的倍数，女生人数是 17的倍数，
总应聘人数是18+17=35的倍数，可以把35因式分解成5*7，选项都是5的倍数，
看7，只有B项（720）不能被 7整除，说明 720不是35的倍数，排除 B项。“最
后被录取的有 280 人，……未被录取的男、女人数比是 6：5”→则未录取人数
是 6+5=11 的倍数，总应聘人数-280=未录取人数→11 的倍数，剩下三个选项代
6入，A项：630-280=350，350不能被11 整除，排除；C项：1050-280=770，770
能被11 整除，保留；D项：1400-280=1120，1120=1100+20，1100 能被11整除，
20不能被 11整除，则 1120不能被11整除，排除；选择 C项。【选 C】
【注意】方程法——普通方程：设未知数 x。
1.设小不设大（避免分数）。例如甲=2乙，设乙为x、甲为 2x；如果设甲为
x，乙为0.5x，会增加计算量。
2.设中间量（方便列式）。例如甲+乙=10，甲+丙=20，甲+丁=30，设中间量
甲为x，则乙为 10-x、丙为20-x、丁为 30-x。
3.求谁设谁（避免陷阱）。问甲就设甲为 x、问乙就设乙为 x。
4.出现比例：设份数。例如甲：乙=2：3，设甲为2x、乙为 3x。
6.（2023事业单位）某旅行团有游客 58人，将他们按照年龄划分为甲、乙、
丙、丁四档，其中乙档人数比甲档人数的 3倍少2人，丙档人数是甲档人数的 2
倍，甲档人数是丁档人数的 1.5倍，则这个旅行团中年龄属于乙档的人数为多少
人？
A.25 B.26
C.27 D.28
【解析】6.方法一：出现倍数，考虑比例型倍数特性。问乙档的人数，已知
“乙档人数比甲档人数的 3 倍少 2 人”，乙=3 甲-2→乙+2 是 3 的倍数，A 项：
25+2=27；B 项：26+2=28；C 项：27+2=29；D 项：28+2=30，只有 A、D 项符合，
7排除 B、C 项；剩二代一，代入 D 项，乙=28 人，3 甲=28+2=30→甲=10，甲档人
数是丁档人数的 1.5倍，丁=10/1.5，不是整数，人数必须为整数，不满足题意，
排除D项，对应 A项。
方法二：切入点：等量关系明显→列方程。已知“乙档人数比甲档人数的 3
倍少 2 人，丙档人数是甲档人数的 2 倍，甲档人数是丁档人数的 1.5 倍”，如果
设甲为 x，会出现小数，设小不设大，设丁档人数为 2x，则甲为 3x、丙为 6x、
乙为9x-2，列式：20x-2=58→20x=60→x=3，求乙档的人数，所求=9x-2=27-2=25，
对应A项。【选 A】
【注意】方程法——不定方程：形式为 ax+by=m，优先考虑代入排除，先通
过数字特性分析排除，再代入。
1.奇偶特性：系数一奇一偶。谁的系数为偶数就从谁切入。例如 2x+3y=7，
形式为不定方程，考虑数字特性，系数 2和3一奇一偶，谁的系数为偶数就从谁
切入，x 的系数为 2，2 为偶数，从 x 切入，x、y 均为正整数，2x 一定为偶数，
等式右边7为奇数，要使等式成立，偶数+奇数=奇数，则3y为奇数，3为奇数，
则 y 为奇数，取值范围为 1、3、5、7、9、……，结合等式，y=1，2x+3*1=7→
2x+3=7→2x=4→x=2。
2.倍数特性：系数与常数有公因子（公约数，如系数与常数有公因子 2、3、
5，则为 2、3、5 的倍数）。例如 3x+5y=18，形式为不定方程，3x 和 18 都是 3
的倍数，要使等式成立，则 5y是3的倍数，5不是3的倍数，则 y是3的倍数，
取值范围为3、6、9、12、……，结合等式，y=3，3x+5*3=18→3x+15=18→3x=3
8→x=1。
3.尾数特性：系数尾数为 0（0*任何数=尾数均为0）或5（奇数尾数为 1、3、
5、7、9，5*奇数=尾数为5，偶数尾数为 0、2、4、6、8，5*偶数=尾数为0）。
4.直接代入选项。
7.（2022 事业单位）某单位举办员工运动会，包括跑步、跳高、跳绳、拔
河、掷铅球 5 个比赛项目，共 42 人参加了项目，每人只参加一项，已知有 12
人参加跑步项目，参加跳高和跳绳项目人数相同，参加拔河项目人数最多，参加
掷铅球项目人数最少仅有 5人。参加拔河项目的人数为多少人？
A.13 B.14
C.15 D.16
【解析】7.切入点：等量关系明显→列方程（不定方程）→数字特性→代入
排除。设跳高、跳绳的人数均为 x，拔河的人数为 y，列式：12+2x+y+5=42→2x+y=25，
形式为不定方程，系数 1和2一奇一偶，用奇偶特性求解，谁的系数为偶数就从
谁切入，x的系数为 2，2为偶数，2x一定为偶数，25为奇数，偶数+奇数=奇数，
则 y 为奇数，结合选项，排除 B、D 项；剩二代一，代入 C 项：y=15，10+15=25
→2x=10→x=5，虽然 x、y 都是人数且都为正整数，但是不满足“参加掷铅球项
目人数最少仅有 5人”，排除C项，对应 A项。【选A】
【注意】不定方程组：方法精讲课没有讲解过，但是平时学习时可能会涉及
到。ax+b y+cz=m、ax+b y+cz=n，形式为两个方程、三个未知数（未知数个数
1 l 1 2 2 2
9＞方程个数），不定方程的形式为 ax+by=m，不定方程组比不定方程多未知数个
数和方程个数。
1.未知数一定是整数（如未知数为人数、书本数、车辆数，一定是整数）：
消元（先消掉不定方程组的一个未知数将其变为不定方程，再按照不定方程的方
法解题）。
2.未知数不一定是整数（如未知数为钱、速度、时间，不一定是整数）：特
值法（找一个特殊值，一般找特殊值 0，称为赋零法，将其中一个未知数赋值为
0，如赋值x=0，不定方程组中 x没有了，剩余二元一次方程，解出 y和z；原理：
不定方程组中先看前提条件，如果未知数一定是整数，在该限制条件下，解为有
限组解，如果未知数不一定是整数，未知数可以是整数、非整数、小数、分数，
没有限制条件，解为无穷多组解，行测题都是单选题，有无穷多组解说明无论哪
组解，都指向同一个答案，随意找一组解即可，通常找最简单最容易计算的一组
其中一个未知数为 0的解，听不懂原理也可以做对题）、配系数。
8.（2021 黑龙江公检法司）幼儿园需采购春联、窗花、小狗玩偶三种新年
用品。已知大班采购春联 7 副、窗花 12 对、小狗玩偶 5 个，共花费 200 元；中
班采购春联 9 副、窗花 19 对、小狗玩偶 5 个，共花费 224 元。则小班采购春联
10副、窗花 10对、小狗玩偶 10个需花费多少元？
A.170 B.176
C.340 D.352
【解析】8.切入点：等量关系明显→列方程（不定方程组）→未知数不一定
为整数→特值法。给出两个等量关系，需要知道春联、窗花、小狗的单价。设春
联、窗花、小狗的单价分别为 a、b、c，列式：7a+12b+5c=200、9a+19b+5c=224，
形式为不定方程组，看未知数是否为整数。
方法一：a、b、c都是单价，钱数不一定为整数，考虑特值法，一般考虑赋
0，将其中一个未知数赋值为 0，剩余二元一次方程，解出另外两个未知数，b
的系数较大，令 b=0，12b=19b=0，则变为 7a+5c=200、9a+5c=224，两式相减约
掉5c得：2a=24→a=12，将a=12代入7a+5c=200，84+5c=200→5c=200-84=116，
116 不能被 5 整除，c 不是整数，无需将 c 的具体值计算出来，题目问小班采购
10春联10 副、窗花 10对、小狗玩偶 10个需花费多少元，即问 10a+10b+10c，2a=24
→10a=24*5=120，10b=0，5c=116→10c=232，所求=10a+10b+10c=120+0+232=352，
对应D项。
方法二：配系数。问 10a+10b+10c=10*（a+b+c），只要能够配出 a+b+c、
2a+2b+2c、5a+5b+5c 即可，7a+12b+5c=200①、9a+19b+5c=224②，②式与①式
作差，②-①得：2a+7b=24③，③式与①式作差，①-③得：5a+5b+5c=176，所求
=10a+10b+10c=2*（5a+5b+5c）=176*2=352，对应D项。【选D】
【注意】一眼能够配系数使用配系数，一眼不能够配系数使用赋零法。
【拓展】（2021 福建事业单位）小程共扔了 10 次飞镖，全部命中，并分别
落在了10分、8 分和5分的区域上，最后小程的总成绩为 75分，那么飞镖正好
落在10 分区域上的次数为：
A.1 次 B.2次
C.3 次 D.4次
【解析】拓展.切入点：等量关系明显→列方程（不定方程组）→未知数一
定为整数→消元。给出等量关系，需要知道 10 分、8 分和 5 分各有几次。假设
落在10 分、8分和 5分区域上的次数分别为 a、b、c，a+b+c=10①、10a+8b+5c=75
②，形式为不定方程组，a、b、c都是次数，次数一定为整数，考虑消元，消掉
不定方程组的一个未知数将其变为不定方程，问a不能消a，谁的系数简单消谁，
不同的是赋零法是谁的系数麻烦消谁，消 c，①*5：5a+5b+5c=50③，②-③得：
5a+3b=25，形式为不定方程，考虑倍数特性，5a 是 5 的倍数，25 是 5 的倍数，
则3b一定是 5的倍数，3不是5的倍数，则 b是5的倍数，若 b为10，3*10=30
＞25，不满足题意，b只能是5，代回原式，5a+15=25→5a=10→a=2，对应B项。
【选B】
11【注意】
1.第 1题选 A项：年龄问题——优先考虑代入排除。
2.第 2题选 B项：只剩两项——优先考虑代入排除。
3.第 3题选 C项：不定方程——优先考虑代入排除。
4.第 4题选 A项：出现百分数——优先考虑比例型倍数特性。
5.第 5题选 C项：出现比例——优先考虑比例型倍数特性。
6.第 6题选 A项：等量关系明显——列方程。
7.第 7题选 A项：等量关系明显——列方程（不定方程）——数字特性——
代入排除。
8.第 8题选 D项：等量关系明显——列方程（不定方程组）——未知数不一
定是整数—特值法。
12【注意】工程问题：没有想象中的那么难。方法精讲课讲解过给完工时间型
的工程问题、给效率比例型的工程问题，给完工时间型的工程问题。
1.题目只给出多个完工时间（核心公式为总量=效率*时间，只给时间，没有
给出总量和效率；多个时间即时间≥2个，时间指完工时间，完工时间即完成一
项工作的时间，如甲完成这项工程需要 3天，乙完成这项工程需要 5天，3天和
5 天都是完工时间，甲做了 3 天，乙做了 5 天，不清楚是否完成这项工程，3 天
和5天不一定是完工时间）。
2.做题步骤：
（1）先赋总量（公倍数：不一定是最小公倍数；但最小公倍数最好算→赋
值总量越小，计算量越小）。
（2）再算效率=总量/时间。
（3）根据工作过程列方程。
9.（2022 事业单位）一批试卷分配给甲、乙两人评阅。如果甲单独评阅，
需30小时才能完成任务。乙单独评阅，需 40小时才能完成任务。现在他们两人
一起同时开始评阅，经过 25 小时评卷结束。评卷期间甲休息了 7 小时，则乙在
评卷期间休息了多少小时？
A.6 B.7
C.8 D.9
【解析】9.切入点：只给出两个完工时间→给完工时间型。效率有高有低，
单独评阅时间有长有短，给出两个完工时间且只给出两个完工时间，属于给完工
时间型的工程问题。（1）赋总量：赋值总量为完工时间 30、40的公倍数 120。（2）
求效率：甲效率=120/30=4、乙效率=120/40=3。（3）列式求解：假设乙在评卷期
间休息了t小时，列式：120=4*（25-7）+3*（25-t）→3*（25-t）=48→25-t=16
→t=9，对应 D项。【选D】
13.（2021 重庆选调）一项工程，甲单独完成需要 15 天，乙单独完成需要
30天，丙单独完成需要 60天，如果按照甲、乙、丙的顺序交替进行，每人做一
天，那么需要多少天能完成？
13A.25 B.26
C.27 D.28
【解析】13.切入点：只给出三个完工时间→给完工时间型。一项工程说明
是工程问题；“甲单独完成需要 15天，乙单独完成需要 30天，丙单独完成需要
60 天”，给出 3 个完工时间且只给出 3 个完工时间，属于给完工时间型的工程
问题。（1）赋总量：赋值总量为 60。（2）求效率：甲效率=60/15=4、乙效率=60/30=2、
丙效率=60/60=1。（3）列式求解：“按照甲、乙、丙的顺序交替进行，每人做一
天”，3 天为一个周期，一个周期完成的工作量=4+2+1=7，60/7=8 个周期……4
个工作量，4个工作量由甲1天可以完成，所求=8*3+1=25天，对应 A项。【选A】
【注意】给效率比例型：
1.分为直接给出效率比例关系、间接给出效率比例关系、特殊给出效率比例
关系。
2.方法：
（1）先赋效率（满足比例即可）。
（2）再算总量=效率*时间。
（3）根据工作过程列方程。
给效率比例的几种不同形式
1.直接型：
①甲：乙=5：6
14②甲的效率是乙的 2倍
2.间接型：
①同样的时间内，甲做了 50%，乙做了 25%
②甲 3天的工作量是乙 2天工作量
3.特殊型：
①某农场有 36台收割机
②有 50人去修路
工程问题中，给出具体的人数或机器的台数，赋值每个主体最小时间的单位
效率为1
【注意】给效率比例的几种不同形式：
1.直接型：直接给出直接赋值。
（1）甲：乙=5：6。赋值甲的效率为 5、乙的效率为6。
（2）甲的效率是乙的 2 倍（甲的效率和乙的效率是 2：1 的关系）。赋值甲
的效率为2，乙的效率为 1。
2.间接型：没有直接给出。
（1）同样的时间内，甲做了 50%，乙做了 25%。核心公式为总量=效率*时间，
这句话没有提到效率，同样的时间内说明时间一定，总量和效率成正比，总量之
比=效率之比=50%：25%=2：1，则赋值甲的效率为 2，乙的效率为 1。
（2）甲3天的工作量是乙 2天工作量。工作总量一定，效率和时间成反比，
甲的时间：乙的时间=3：2，则甲的效率：乙的效率=2：3，赋值甲的效率为 2，
乙的效率为3。
3.特殊型：工程问题中，给出具体的人数或机器的台数，赋值每个主体最小
时间的单位效率为 1。
（1）某农场有 36台收割机。给出具体机器的台数，假设最小时间单位为“天”，
赋值每台收割机每天的效率为 1。
（2）有 50 人去修路。给出具体的人数，假设最小的时间单位是“小时”，
赋值每人每小时的效率为 1。
10.（2021北京）农场使用甲、乙两款收割机各 1台收割一片麦田。已知甲
15的效率比乙高 25%，如安排甲先工作 3 小时后乙加入，则再工作 18 小时就可以
完成收割任务。如果增加 1 台效率比甲高 40%的丙，3 台收割机同时开始工作，
完成收割任务的用时在以下哪个范围内？
A.8 小时以内 B.8～10小时之间
C.10～12小时之间 D.12小时以上
【解析】10.切入点：直接给出效率比例关系→给效率比例型。本题难度不
高。“已知甲的效率比乙高 25%”，我比你高 25%说明我是你的 1+25%=1.25 倍，
甲的效率：乙的效率=5：4；直接给出效率比例，属于给出效率比例型的工程问
题。（1）赋效率：赋值甲的效率为 5，乙的效率为 4。（2）求总量：“甲先工作 3
小时后乙加入，则再合作工作 18 小时就可以完成收割任务”，总量=5*3+（5+4）
*18=15+162=177。（3）列式求解：“增加 1台效率比甲高 40%的丙”，我比你高
40%说明我是你的 1+40%=1.4 倍，丙的效率=5*1.4=7，所求=总量/效率和=177/
（5+4+7）=177/16=11+，对应C项。【选 C】
11.（2023事业单位）某工厂有甲、乙、丙三人，如将 m个零件的生产任务
交给甲、乙合作，需要 12 天完成；如将 2m 个零件的生产任务交给乙、丙合作，
需要30 天完成。已知甲的生产效率是丙的 2倍，则乙独自生产 3m个零件需要多
少天？
A.45 B.54
C.60 D.72
【解析】11.切入点：直接给出效率比例关系→给效率比例型。本题通过给
完工时间型的工程问题也可以解题。“甲的生产效率是丙的 2倍”，给出效率比
例关系，属于给效率比例型的工程问题。（1）赋效率：“已知甲的生产效率是丙
的 2 倍”，赋值甲的效率为 2，丙的效率为 1，假设乙的效率为 x。（2）求总量：
找等量关系，“将 m 个零件的生产任务交给甲、乙合作，需要 12 天完成”，m=
（2+x）*12=24+12x；“将 2m 个零件的生产任务交给乙、丙合作，需要 30 天完
成”，2m=（x+1）*30→m=（1+x）*15，二元一次方程，解方程解得 x，再代回
解得 m， 联立 两式 ， 24+12x=15+15x →3x=9 →x=3 。（3 ）列 式求 解：
m=15+15x=15+15*3=60，所求=3*60/3=60 天，对应C项。【选C】
1612.（2024江苏）甲、乙、丙三人合作完成一项任务。乙先做 9天，再和甲
合作 6 天，完成了任务的 60%，剩下的任务，若由丙做，恰好 10 天完成。甲、
乙、丙三人的工作效率之比是：
A.5：4：6 B.6：4：5
C.10：15：12 D.12：15：10
【解析】12.切入点：间接给出效率比例关系→给效率比例型。本题可以直
接分析比例关系。没有直接给出效率比例关系，间接给出等量关系，前面做了总
量的60%，后面做了总量的 40%，6*甲+15*乙=总量*60%，10*丙=总量*40%，等式
右边上下是 1.5 倍关系，40*1.5=60，要使两个式子相等，将下式乘以 1.5，两
式联立，6*甲+15*乙=15*丙，相当于暗藏效率比例关系。6/15*甲+乙=丙，丙的
效率＞乙的效率，第三个数＞第二个数，排除 C、D 项（C 项 12＜15，D 项 10＜
15）。剩二代一，代入 A 项，6*5+15*4=15*6→30+60=90，满足题意，对应 A 项。
【选A】
【注意】给具体单位型（给出总量或效率的具体值，本质是解方程）：设未
知数，找等量关系列方程（披着工程问题外衣的解方程）。
牛吃草
识别：有增长有消耗，出现排比句
变形：抽水机抽水、挖沙机挖沙、窗口售票
17公式：Y=（N-X）*T
Y：原有草量——消耗量
N：牛吃草的效率——消耗
X：草生长的效率——生长
T：牛吃草的时间——消耗时间
注意：牛吃草的效率一般用牛头数来表示，即赋值每头牛效率为 1
方法：
①利用排比解出 X、Y；
②结合具体问题求解
【注意】牛吃草类型：最开始的牛吃草问题是几头牛吃草（牛在吃草，牛在
消耗；草本身在生长）。
1.识别：有增长有消耗，出现排比句。
2.变形：抽水机抽水（一艘轮船漏水，第一时间拿抽水机往外抽水，抽水机
抽水相当于消耗，破洞处补不上源源不断在进水相当于增长，有增长有消耗，出
现排比句，5台抽水机需要多少时间，10 台抽水机需要多少时间，2台抽水机需
要多少时间，此为牛吃草问题，类似行程问题的追及问题，小学奥数的一个水管
加水一个水管进水），挖沙机挖沙、窗口售票。
3.公式：Y=（N-X）*T→NT=Y+XT→Y=NT-XT。
（1）Y：原有草量——消耗量；N：牛吃草的效率——消耗；X：草生长的效
率——生长；T：牛吃草的时间——消耗时间。
（2）注意：牛吃草的效率一般用牛头数来表示，即赋值每头牛效率为 1（工
程问题中，有具体的机器台数，赋值每个主体的效率为 1；没有给出牛的具体效
率，赋值每头牛效率为 1）。
4.方法：利用排比解出 X、Y，结合具体问题求解。
5.引例：牧场上有一片青草，牛每天吃草，草每天以均匀的速度生长。这片
青草可供10头牛吃 20天，供15头牛吃 10天。问供25头牛，可以吃几天？
A.5 B.6
C.4 D.3
答：牛吃草问题，牛在消耗，草在生长。两步走，公式：Y=（N-X）*T。Y
18未知，N是牛头数，10头牛即N=10，Y=（10-X）*20=（15-X）*10→20-2X=15-X，
解得X=5，代回Y=（10-X）*20，解得Y=100。再代一遍公式Y=（N-X）*T，问“供
25头牛可以吃几天”，100=（25-5）*T，解得 T=5天，对应A项。
14.（2020广东）某政务服务大厅开始办理业务前，已经有部分人在排队等
候领取证书，且每分钟新增的人数一样多。从开始办理业务到排队等候的人全部
领到证书，若同时开 5个发证窗口就需要 1个小时，若同时开6 个发证窗口就需
要40分钟。按照每个窗口给每个人发证书需要 1分钟计算，如果想要在 20分钟
内将排队等候的人的证书全部发完，则需同时开多少个发证窗口？
A.7 B.8
C.9 D.10
【解析】14.切入点：有增长、有消耗，排比句→牛吃草型。窗口在消耗排
队的人，同时每分钟都有新增的人，有增长有消耗，且有排比句，属于牛吃草问
题。公式：Y=（N-X）*T，“按照每个窗口给每个人发证书需要 1 分钟计算”，有
几个窗口每分钟的效率即为几，单位统一为分钟，1小时=60分钟，“若同时开 5
个发证窗口就需要 1个小时，若同时开 6个发证窗口就需要40 分钟”，列式：Y=
（5-X）*60=（6-X）*40→15-3X=12-2X，解得 X=3，代入 Y=（5-X）*60，解得
Y=120；再代一遍公式 Y=（N-X）*T，问“想要在 20分钟内将排队等候的人的证
书全部发完，则需同时开多少个发证窗口”，120=（N-3）*20→N-3=6→N=9，对
应C项。【选C】
15.（2022江苏）某疫苗接种点市民正在有序排队等候接种。假设之后每小
时新增前来接种疫苗的市民人数相同，且每个接种台的效率相同，经测算：若开
8个接种台，6小时后不再有人排队；若开 12个接种台，3小时后不再有人排队。
如果每小时新增的市民人数比假设的多25%，那么为保证2小时后不再有人排队，
需开接种台的数量至少为：
A.14 个 B.15个
C.16 个 D.17个
【解析】15.切入点：有增长、有消耗，排比句→牛吃草型。接种台在消耗
19市民，同时每小时有新增的排队市民，且存在排比句，属于牛吃草问题；公式：
Y=（N-X）*T。“若开 8个接种台，6小时后不再有人排队；若开 12个接种台，3
小时后不再有人排队”，列式：Y=（8-X）*6=（12-X）*3→16-2X=12-X，解得X=4，
代入Y=（8-X）*6，解得Y=24；“如果每小时新增的市民人数比假设的多 25%”，
实际新增人数为 4*1.25=5，再代一遍公式 Y=（N-X）*T，问“为保证 2小时后不
再有人排队，需开接种台的数量至少为多少个”，24=（N-5）*2→N-5=12→N=17，
对应D项。【选D】
【注意】经济利润：
1.基础经济：
（1）常见公式：
①利润=售价-进价（成本）。
②数量关系中：利润率=利润/进价（成本）；资料分析中：利润率=利润/收
入。
③折扣=折后价/折前价。折前价为 100，折后价为 80，折扣=80/100=80%，
即打八折。
④总价=单价*个数，总利润=单利*数量，总成本=单成本*数量。
（2）解题方法：方程法（给具体数值，求具体数值，设未知数，通过等量
关系和公式列方程求解）、赋值法（给比例、求比例，可以通过方程法解题，也
可以赋值法解题，一般赋值成本）。
2.分段计费：存在明确的分段点，且每段的标准不同，和生活实际息息相关。
（1）常见题型：水电费、出租车费（现在打车通常使用平台支付，查看账
单，发现有起步价，某个公里数是一个单价，超过某个公里数是另一个单价）、
20税费等。
（2）解题方法：分段计费、汇总求和。
16.（2020四川下）甲、乙、丙 3种商品的库存分别为 300 件、300件和400
件，单价分别为 300 元、500 元、400 元。销售出总库存量一半的商品后，剩余
商品打5折销售。则总销售额最高为多少万元？
A.28.5 B.30
C.31.5 D.33
【解析】16.切入点：基础经济→给具体值求具体值。总共有
300+300+400=1000 件商品，先原价卖出 500件，剩余500件打五折销售，总价=
单价*数量，问总销售额最高，要使总销售额最高，先卖单价贵的商品，再卖单
价便宜的商品，先卖 300 件乙商品，单价为 500 元，500*300=150000，再卖 200
件丙商品，单价为 400 元，400*200=80000，丙商品总共有 400 件，前面卖 200
件，后面也卖 200 件，单价为 400 元打 5 折，400*50%*200=200*200=40000，最
后卖最便宜的300件甲商品，单价为300元打5折，300*0.5*300=150*300=45000，
所求=150000+80000+40000+45000=31.5 万，对应C项。【选C】
17.（2021北京）一种设备打九折出售，销售 12件与原价出售销售 10件时
获利相同。已知这种设备的进价为 50元/件，其他成本为10元/件。问如打八折
出售，1 万元最多可以买多少件？
A.80 B.83
C.86 D.90
【解析】17.切入点：基础经济→给具体值求具体值→方程法。等量关系明
显，获利相同指九折销售 12件与原价销售 10件的总利润相同，属于经济利润问
题，总利润=单个利润*数量=（单个售价-单个进价）*数量，“已知这种设备的进
价为50 元/件，其他成本为 10元/件”，单个进价为 50+10=60元，单个售价未知，
给具体值，求具体值，考虑设未知数，设单个售价为 10x，单个利润=10x-60，
数量为 10，利润=（10x-60）*10=100x-600；九折出售：单个售价=9x，单个利
润=9x-60，数量为 12，利润=（9x-60）*12=108x-720，列式：100x-600=108x-720
21→8x=120，问如打八折出售，1 万元最多可以买多少件，原价为 10x，打八折为
8x，做题时要有意识地往后看，如果问六折或七折需要先算出 x的具体值，所求
=10000/8x=10000/120，已知常见百化分 1/12≈8.3%，则结果为 83开头，对应B
项。【选 B】
【注意】10000/140，已知常见百化分 1/14≈7.1%，则结果为 71开头。
18.（2023 湖北选调）一家超市按 20%的利润率定价出售一批酸奶，还剩下
10 箱时，因临近保质期按定价的五折卖出，最终实际获利只有预计获利的 88%。
则这批酸奶共有多少箱？
A.200 B.240
C.250 D.270
【解析】18.切入点：基础经济→给具体值求具体值→方程法。第 18题和第
17题类似。等量关系为“最终实际获利只有预计获利的 88%”，需要表示出实际
获利和预计获利，售价-进价=单件利润，单件利润*数量=总利润。原价卖出一部
分，五折卖出另一部分，两者加和为总利润，“按 20%的利润率定价出售一批酸
奶”，利润率=利润/进价=20%=1/5。原价出售：假设进价为5x，利润为 5x*（1/5）
=x，售价=5x+x=6x，数量未知，设原价出售的数量为 n，利润=x*n；五折出售：
售价为3x，进价为 5x，利润=3x-5x=-2x，数量为10，利润=-2x*10=-20x。实际
总利润=x*n-20x=（n-20）*x；“最终实际获利只有预计获利的 88%”，列式：（n-20）
*x=（n+10）*x*88%，最终 x 可以约掉，剩余一元两次方程，n-20=0.88n+8.8→
0.12n=28.8→n=240，所求=n+10=240+10=250，对应C项。【选 C】
【注意】猜题：总数=n+10，部分学员计算出 n 后着急选答案，坑的选项和
正确的选项相差 10，B、C项之间相差10，问“总箱数”，可以猜测 C项为正确
22答案。也可能虽然 B、C项之间相差10，但是正确答案是 D项，此时就是出题老
师预判了学员的预判。
19.（2020浙江选调）某停车场的收费标准如下：7：00～21：00，每小时 6
元，不足一小时按一小时计算；21：00～次日7：00，每两小时 1元，不足两小
时按两小时计算；每日零时为新的计费周期，重新开始计时。小刘某天上午 10
时将车驶入停车场，待其驶出时缴费 70 元，则小刘停车时长t 的范围是：
A.14 小时＜t≤16小时 B.15小时＜t≤17小时
C.16 小时＜t≤18小时 D.17小时＜t≤19小时
【解析】19.切入点：分段计费→分开计算，汇总求和。不足一小时按一小
时计算，不足两小时按两小时计算，小刘停车时长 t为范围，上限一定是确定的，
四个选项上限不同，先计算上限，属于分段计费问题，有几个不同的分段点，先
分开计算，再汇总求和。上午 10时将车驶入停车场，10：00→21：00总共11h，
每小时收费 6 元，共花费 11*6=66 元，“每日零时为新的计费周期”，21：00
→24：00 总共 3h，前两小时收费 1 元，不足两小时按两小时计算也收费 1 元，
则收费1+1=2元，此时还剩余 70-66-2=2 元，则最多再停4小时（1元能停2小
时，2元能停4小时），上限=11+3+4=18h，对应C项。【选C】
函数最值
题型特征：单价（利润）和销量此消彼长，问何时总售价/总利润最高？
计算方法（两点式）：
①设提升或下降次数为 x，列出总售价/总利润的表达式；
②令总售价/总利润为0，解得x、x；
1 2
③当 x=（x+x ）/2时，总售价/总利润可以取得最值。
1 2
【注意】函数最值：
1.题型特征：单价（利润）和销量此消彼长（一个上升，一个下降），问何
时总售价/总利润最高。
2.计算方法（两点式）：
（1）设提升或下降次数为 x，列出总售价/总利润的表达式。
23（2）令总售价/总利润（y）为0，解得 x、x。
1 2
（3）当x=（x+x）/2时，总售价/总利润可以取得最值。
1 2
20.（2023事业单位）某电脑制造厂商生产销售一批电脑。每台电脑成本价
格为 4499 元，销售价格为 5699 元。某单位以销售原价购买 20 台电脑，在此基
础上，若销售价格每降低 100元，就多购买 2台。则该电脑制造厂商在该笔交易
中可获得的最大利润为多少元？
A.24200 B.24000
C.36000 D.31200
【解析】20.切入点：利润与销量此消彼长，总利润要最高→函数最值。“每
台电脑成本价格为 4499 元，销售价格为 5699 元”，每台电脑利润
=5699-4499=1200 元，“若销售价格每降低 100元，就多购买2 台”，第一个特
征为单价降低，数量增多，第二个特征为问“最大利润”，属于函数最值问题。
设降价的次数为 x，总利润=单件利润*数量，下降 1次售价降低 100元，售价降
低100元，成本不变，利润降低 100元，降低 1次利润降低100 元，降低x次利
润降低100x元，降低 1次多买2台，降低 x次多买2x台，列式：y=（1200-100x）
*（20+2x），令两个括号分别为 0，解得x =12、x =-10，当x=（x+x ）/2=（12-10）
1 2 1 2
/2=1时取得最值，所求=（1200-100*1）*（20+2*1）=1100*22，结果为 00结尾，
排除B、C项，22*11=220+22=242，所求=24200，对应A项。【选 A】
24【注意】
1.第 9题选 D项：只给出多个完工时间——给完工时间型，赋总量、求效率、
列式求解。
2.第 10 题选 C 项：直接给出效率比例关系——给效率比例型，赋效率、求
总量、列式求解。
3.第 11 题选 C 项：直接给出效率比例关系——给效率比例型，赋效率、求
总量、列式求解。
4.第 12 题选 C 项：间接给出效率比例关系——给效率比例型，赋效率、求
总量、列式求解。
5.第 13 题选 A 项：只给出多个完工时间——给完工时间型，赋总量、求效
率、列式求解。
6.第 14 题选 C 项：有增长、有消耗，排比句——牛吃草型，利用公式：Y=
（N-X）T计算。
7.第 15 题选 D 项：有增长、有消耗，排比句——牛吃草型，利用公式：Y=
（N-X）T计算。
8.第 16题选 B项：基础经济——给具体值求具体值——方程法。
9.第 17题选 B项：基础经济——给具体值求具体值——方程法。
10.第18题选 C项：基础经济——给比例求比例——赋值法。
11.第19题选 C项：分段计费——分开计算，汇总求和。
2512.第20题选 A项：单价和销量此消彼长，总利润要最高——函数最值——
三步走。
数量关系猜题技巧（猜题有风险，下手需谨慎）
一、结合选项猜题（读问题，找条件，排除选项）
1.根据倍数关系猜题
2.根据和差关系猜题
【注意】数量关系猜题技巧（猜题有风险，下手需谨慎；考场上没有时间做
题，考虑猜题）：结合选项猜题（读问题，找条件，排除选项；如问甲为多少，
找倍数或和差的条件，甲=2*乙，A项为 10，B项为5，刚好为 2倍关系，猜测甲
为A项，乙为 B项）。
1.根据倍数关系猜题。
2.根据和差关系猜题。
【例 1】（2018 上海）大小两个玻璃瓶装着芝麻，如果将小瓶子里的芝麻全
部倒入大瓶子，大瓶子还可以装 45 克；如果将大瓶子里的芝麻倒入小瓶子，大
瓶子里还剩下455 克。已知大瓶子的容积是小瓶子的 2倍，则大瓶子最多可装芝
麻多少克？
A.1000 B.850
C.750 D.500
【解析】1.问“大瓶子最多可装芝麻多少克”，已知“大瓶子的容积是小瓶
子的 2 倍”，V =2*V ，结合选项，A、D 项之间存在 2 倍关系，猜测 A 项为大
大 小
瓶子，D 项为小瓶子。【选A】
【例 2】（2019 国考）甲车上午8点从 A地出发匀速开往B 地，出发30分钟
后乙车从 A 地出发以甲车 2 倍的速度前往 B 地，并在距离 B 地 10 千米时追上甲
车。如乙车9点 10分到达B地，问甲车的速度为多少千米/小时？
A.30 B.36
C.45 D.60
26【解析】2.没有时间做题，直接看问题，问“甲车的速度为多少千米/小时”，
已知“乙车从 A 地出发以甲车 2 倍的速度前往 B 地”，V =2*V ，结合选项，A、
乙 甲
D项之间存在2倍关系，速度大的对应乙车，速度小的对应甲车，猜测 A项为甲
车速度，D项为乙车速度。【选A】
【例 1】（2019 江苏）某民营企业新建一个四边形的厂区，按对角线将整个
厂区分为四个功能区，如图所示。已知生产、仓储和营销三个功能区的面积分别
为26亩、18亩和 13亩，若保留休闲区的 12亩天然小湖泊，则休闲区可利用的
陆地面积是：
A.36 亩 B.26亩
C.24 亩 D.23亩
【解析】1.问“休闲区可利用的陆地面积是多少”，休闲区的面积为 AOB，
休闲区存在 12 亩天然的小湖泊，正常解题是先计算出△AOB 的面积，再减去小
湖泊的面积 12，即为剩余可利用的陆地面积，休闲区面积-12=休闲区可利用的
陆地面积，发现 A、C项相差12，猜A项为休闲区面积（△AOB 的面积），C项为
休闲区可利用的陆地面积。【选 C】
27【例 2】（2020 福建）春节期间，省图书馆邀请多位书法老师免费为读者书
写春联。现场书写的春联中有 188副不是刘老师书写的，有 219 副不是陈老师书
写的，刘、陈两位老师今年一共书写了 311副春联。问陈老师今年一共书写了多
少副春联？
A.208 B.171
C.140 D.126
【解析】2.问陈老师今年一共书写了多少副春联，“刘、陈两位老师今年一
共书写了 311 副春联”→刘+陈=311，存在和的关系，结合选项，B 项+C 项
=171+140=311，排除 A、D 项。“现场书写的春联中有 188 副不是刘老师书写的，
有219副不是陈老师书写的”→刘+不刘=总数、陈+不陈=总数，总数一定，不刘
越小，刘越大，不陈越大，陈越小，刘是大数对应 B项，陈是小数对应 C项，猜
测C项。【选 C】
数量关系猜题技巧（猜题有风险，下手需谨慎）
一、结合选项猜题（读问题，找条件，排除选项）
1.根据倍数关系猜题
2.根据和差关系猜题
二、生活常识猜题
【注意】生活常识猜题。
28【例 1】（2019 上海）汪先生乘飞机需托运 69 千克行李，应付行李超重费
735元，后在候机室内巧遇 2位没有托运行李的好友，他们也乘同一个航班，于
是汪先生就将行李作为三人共有，因而只需付 135元行李超重费，那么每位乘客
可免费托运行李（ ）千克。
A.20 B.18
C.16 D.15
【解析】1.问“每位乘客可免费托运行李多少千克”，根据生活常识可知，
基本各大航空的经济舱每位乘客都可免费托运行李 20 千克，没有坐过飞机没有
这样的生活常识，也可以优先排除 B、C 项，廉价航空不免费托运行李，托运行
李需要加钱，但是此处不能“犟”，对应 A项。【选A】
【例 2】（2021 联考）某果品公司急需将一批不易存放的水果从 A 市运到 B
市销售。现有四家运输公司可供选择，这四家运输公司提供的信息如下：
如果 A、B两市的距离为 s千米（s＜550），且这批水果在包装与装卸以及运
输过程中的损耗为 300 元/小时，那么要使果品公司支付的总费用（包装与装卸
费用、运输费用及损耗三项之和）最小，应选择哪家运输公司？
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
【解析】2.正常做题讲解需要 15 分钟，猜题只需要 10 秒钟。“某果品公司
急需将一批不易存放的水果从 A 市运到 B 市销售”，急需说明着急，水果不易存
放，应该运输的越快越好，运输速度丙最快，如果选了一个最慢的但是费用最小
得运输方式，运到水果都坏了，一分钱都没挣上，没有意义，按照生活实际而言，
一定是运输最快的费用最便宜，否则脱离了生活实际，猜 C项。【选 C】
29【答案汇总】1-5：ABCAC；6-10：AADDC；11-15：CAACD；16-20：CBCCA
30遇见不一样的自己
Be your better self
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