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C H A O G E J I A O Y U
2026数量拿分稳稳班
第2节课（第二章 方程问题）
主讲老师： 高 照第二章 方程问题
1.普通方程：一个未知数（x）
2.普通方程：多个未知数（设x、y、z）
3.不定方程
4.不定方程组
免费学习 公众号 樱有尽有普通方程：一个未知数（x）1、普通方程：一个未知数（x）
设未知数技巧
做题步骤：
1、设小不设大： 甲是乙的两倍
（1）设未知数
2、出现比例设份数： 甲：乙=3:5
3、设中间量： 甲：乙=3:1，乙：丙=2:3
（2）找等量关系
（3）约分【例1】（2025广东）某服务大厅设有若干个服务窗口，其中1个是快捷服务窗口，某日服务窗口的
平均业务量为29单，其中快捷服务窗口的业务量为41单，其余窗口的平均业务量为28单，则服务大
厅共有（ ）个窗口。
A.13
B.14
C.15
D.16【例2】（2025天津）某连锁餐厅甲、乙、丙三个店面2024年销售额总计为1000万元，利润总计为120
2
万元。其中，甲店面的销售额是利润的10倍，是丙店面销售额的 ，乙店面的利润比甲店面多10万元且
3
比丙店面少10万元。问乙店面的销售额是利润的多少倍？
A.6
B.6.25
C.7
D.7.2【例3】（2025联考）物流公司有两种载重分别为1.5吨和2吨的货车，甲乙两名调度员均调动10辆车满载
运货。若甲乙调动的两种车的数量比相反，全部货物运完后，乙运的货物比甲运的货物多1吨，则乙运的
货物重量为：
A.16吨
B.17吨
C.18吨
D.19吨【例4】（2025联考）某产品甲、乙两个经销商第一季度销售总额为200万元。第二季度，甲、乙的
销售额比第一季度分别高20%、25%，且甲的销售额比乙高44万元。问上半年甲的销售额比乙高多
少万元？
A.72
B.76
C.80
D.842、普通方程组：多个未知数（设x、y、z）
（1）存在多个未知数，设xyz
（2）抓住问题消元求解（没有必要把xyz都求出来）【例5】（2024山东）某科技创新项目有6人投资，共筹资110万元。投资额度有10万元、20万元和
30万元三种。已知投资10万元的比投资20万元的多2人，问投资30万元的有多少人？
A.2
B.3
C.4
D.5【例6】（2023联考）浮雕银杯是我国古代常见的一种盛酒容器，有大银杯和小银杯之分。已知5个
大银杯加1个小银杯，可以盛酒3斛（斛，是古代的一种容量单位），5个小银杯加1个大银杯，可以
盛酒2斛，则1斛酒至多可以倒满小银杯的数量为：
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个不定方程不定方程
（1）普通不定方程（ ax + by = M）奇偶、 倍数、尾数、代入
不定方程
（2）多个未知数的不定方程（ax+by+cz=M）倍数特性、代入奇偶特性
【引例1】3x+4y=25，x=?（x、y均为正整数）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5倍数特性
ax + by = M，当a或b与M有公因子时，考虑倍数特性
【引例2】7x+3y=60，y最大为多少? （x、y均为正整数且不为0 ）
A. 12
B. 13
C. 16
D. 18尾数
ax + by = M，当a或b尾数是0时，考虑尾数
【引例3】37x+20y=271，x=? （x、y均为正整数）
A. 1
B. 3
C. 2
D. 4【例7】（2025联考）甲乙两部门组织户外团建，共设A、B、C三项活动。甲部门每人三项活动均参加1次，
乙部门每人任选2项不同活动各参加1次。已知A、B、C三项活动分别有18人、16人、15人参加，问甲部
门成员至多有多少人?
A.11
B.12
C.13
D.14【例8】（2025联考）甲和乙两个科研单位共有99名工作人员。其中甲单位研究人员占本单位工作人员总
数的75%，乙单位研究人员占本单位工作人员总数的88%。问甲单位的非研究人员比乙单位的非研究人员：
A.少不到5人
B.少5人以上
C.多不到5人
D.多5人以上不定方程
（1）普通不定方程（ ax + by = M）奇偶、 倍数、尾数、代入
不定方程
（2）多个未知数的不定方程（ax+by+cz=M）倍数特性、代入【例9】（2020四川）某人花400元购买了若干盒樱桃。已知甲、乙、丙三个品种的樱桃单价分别为
28元/盒、32元/盒和33元/盒，问他最多购买了多少盒丙品种的樱桃？
A.3
B.4
C.5
D.6【例10】（2025浙江）篮球比赛中，三分线内，投中一次得2分，三分线外，投中一次得3分；若被
犯规，则获得罚球机会，投中一次得1分。某场比赛，小张2分球命中率为62.5%，3分球命中率为
44.4%，最终得分25分。已知小张罚球次数为7次，那么他的罚球命中率在以下哪个范围？
A.30%-40%
B.40%-50%
C.50%-60%
D.60%-70%不定方程组
𝑎 𝑥＋𝑏 y＋𝑐 z＝M
1 1 1
𝑎 𝑥＋𝑏 y＋𝑐 z＝N
2 2 2
➢ 第一类：（整数型）未知数一定是整数（主流）
方法：先消元转化为不定方程，再按不定方程求解。
备注：只有整数型才可以用，不定方程特性（奇偶、 倍数、尾数、代入）解题。【例11】（2024联考）商店销售甲、乙、丙、丁四种商品，每件分别盈利15元、9元、4元和1元。
某日销售这四种商品共40件，共盈利201元。四种商品每种至少销售1件，且甲、丁商品销量相同。
问当天丙商品的销量为多少件？
A.21
B.27
C.29
D.31【例12】（2025天津）某旅行团有游客15人，租用6辆车外出旅行，每辆车乘坐游客最多4人。已知
每辆车至少乘坐1名游客，问乘坐2名游客的车辆至多有几辆？
A.1
B.2
C.3
D.4不定方程组
𝑎 𝑥＋𝑏 y＋𝑐 z＝M
1 1 1
𝑎 𝑥＋𝑏 y＋𝑐 z＝N
2 2 2
➢ 第一类：（整数型）未知数一定是整数（主流）
方法：先消元转化为不定方程，再按不定方程求解。
备注：只有整数型才可以用，不定方程特性（奇偶、 倍数、尾数、代入）解题。
➢ 第二类：未知数可以是小数（单价和时间）
（1）凑系数（高中考法，不好想）
（2）赋零法：赋其中1个未知数为零，进而快速计算出其他未知数
赋谁为零：大的数，不好算的数。【例13】（2025四川）某企业采购甲、乙和丙三种不同配置的电脑，已知甲、乙、丙各1台共2.3万元，
2台甲加1台乙的总价比1台丙的单价高2.2万元。该企业最终决定采购1台甲、3台乙和7台丙，问采购
总费用为多少万元？
A.6.6
B.7.1
C.7.6
D.8.1【例14】（2023湖北事业单位）顾客安女士在水果店里购买了1箱苹果、3盒草莓和5盒蓝莓，共花费
260元。顾客何先生在同一水果店以同样的单价购买了1箱苹果、4盒草莓和7盒蓝莓，共花费320元。
那么购买1箱苹果、1盒草莓和1盒蓝莓需花费（ ）元。
A.140
B.150
C.160
D.170【例15】（2021黑龙江边境）幼儿园需采购春联、窗花、小狗玩偶三种新年用品，已知大班采购春
联7幅，窗花12对、小狗玩偶5个，共花费200元，中班采购春联9幅、窗花19对、小狗玩偶5个，共
花费224元。问小班采购春联10幅，窗花10对，小狗玩偶10个需花费多少元？
A.170
B.176
C.340
D.352专项拔高练习二【练习1】（2025浙江）农学院学生采集了甲、乙两个品种的水稻样本各若干份，其中36份为有效
样本。已知乙品种采集样本30份，那么甲品种的有效样本比乙品种的无效样本：
A.多6份
B.多12份
C.少6份
D.少12份【练习2】（2023北京）张、王、李三人总共有120本书，张、王的书分别是李的2倍和5倍，则王有
多少本书？
A.65
B.70
C.75
D.80【练习3】（2023广东）甲、乙两个仓库共存有340吨粮食。如果甲仓库存放的粮食是乙仓库的2倍
多10吨，则甲仓库存有粮食（ ）吨。
A.110
B.120
C.230
D.240【练习4】（2020江苏B）某社区组织了一次助学捐款活动，在场的老王、老李和老张均积极捐款。
1 1 1
若老王捐款的 是老李捐款的 、老张捐款的 ，且老张比老王多捐192元，则他们的捐款总额是：
3 5 11
A.418元
B.456元
C.494元
D.532元【练习5】（2025联考）某单位优化办事流程，每个窗口总服务时间不变，但个人服务和企业服务的
单次用时分别下降了50%和20%。原来每个窗口每天可以服务80名个人和30家企业，现在每个窗口
可以服务54名个人和42家企业。问现在每次企业服务的用时是个人服务的多少倍（服务衔接时间忽
略不计）？
A.不到11倍
B.11~13倍之间
C.13~15倍之间
D.超过15倍【练习6】（2024联考）某包装车间包装甲、乙两种规格的袋装杂粮，甲、乙两袋杂粮的重量之比为
5：2，如果从甲袋中称出2公斤放入乙袋后，甲、乙两袋杂粮的重量之比变为4：3。问甲袋杂粮原来
重量为：
A.8公斤
B.10公斤
C.12公斤
D.15公斤【练习7】（2024广东）某企业在展销会上销售甲、乙两种产品。已知甲产品的库存比乙产品多100
件，展销会结束后，甲产品全部售完，乙产品售出库存的60%，两种产品共售出1260件，则甲、乙
两种产品原有总库存（ ）件。
A.1450
B.1500
C.1550
D.1600【练习8】（2020广东）某部门正在准备会议材料，共有153份相同的文件，需要装到大小两种文件
袋里送至会场，大的每个能装24份文件，小的每个能装15份文件。如果要使每个文件袋都正好装满，
则需要大文件袋（ ）个。
A.2
B.3
C.5
D.7【练习9】（2022江苏）某企业年终评选了30名优秀员工，分三个等级，分别按每人10万元、5万元、
1万元给与奖励。若共发放奖金89万元，则获得1万元奖金的员工有：
A.14人
B.19人
C.20人
D.21人【练习10】（2018上海）现有甲、乙、丙三种货物，若购买甲1件、乙3件、丙7件共需200元；若
购买甲2件、乙5件、丙11件共需350元。则购买甲、乙、丙各1件共需多少元？
A.50
B.100
C.150
D.200作业：今天所讲的题进行“3+2作业”（数量要精做、精刷）
3：三遍（先问题、再题干）（问题圈谁?）数量的表述看似多样，实则相对单一，熟悉和记忆就是最好的
方法。了解方程未知数之间的关系的表述和特征，找等量关系，归纳题型特征，实现考场快速识别题型。
2：计算2遍：问题和式子之间的关系，消元，消谁？计算是思路的展开，题型理解，该做做，该猜猜。
预习：第三章 周期读书虽苦，但值得。
你把时间花在哪里，你的花就会开在哪里，不要东张希望，不要看见别人发光
就觉得自己暗淡，你不必任何人差。别那么焦虑，走好脚下的路，每个人都活在自
己的节奏 里，熬的住就出众，熬不住就出局，如果你的野心很大，那么你就没资
格停下，要沉淀，要有格局，目光放长远，而不是长期留在原地。
间歇性努力就是假努力，考不考的上？有时候，你比考官都清楚。
这个世界上，含着金汤匙出生的人毕竟是少数，绝大多数是普通人。而普通人
想要改变自己的命运，无非是通过读书。要知道，读书是普通人逆袭的最佳途径。
读书不苦，那是你通往世界的路，所以别怕吃学习的苦。
总有一天，那些苦，会变成你遨游天际的翅膀。
做一个善良的人，做一个有棱角的人，做一个自己真正想做的人。
愿你：心有所想，事有所成，有收获，有成就。
高 照如果没有天赋，
那就一直重复，
当你快到本能反应的时候，
你的重复，
就是别人眼里的天赋
高 照
