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2024 年中考押题预测卷 01【北京卷】
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：100分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．2020年生活垃圾分类工作在我市取得了阶段性的成果，截至目前，累计推广小区 667个，推广家庭户
数39.75万户，其中39.75万用科学记数法表示为（ ）
A．39.75×104 B．3.975×105 C．3.975×104 D．0.3975×106
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数
变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；
当原数的绝对值＜1时，n是负数
【详解】39.75万用科学记数法表示为39.75×104＝3.975×105
故选：B
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可解答．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意．故选：C
3．如图，在长方形纸片 中，点E，F分别在边 上，连接 ，将 对折，使点B落在
直线 上的点 处，得折痕 ；将 对折，使点A落在直线 上的点 处，得折痕 ．若
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查折叠性质，角度运算等．根据题意可得 ， ，利
用平角相加等于 即可得到本题答案．
【详解】解：由题意知： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：A．
4．若 ，则下列各式中一定成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】【考点】不等式的基本性质．
【分析】根据不等式的基本性质即可判断．
【解答】解：A、不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号方向不变，故本选项正确；
B、不知道 的符号，不等号方向不确定，故本选项错误；
C、不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变，故本选项错误；
D、不等式的两边同时乘以-1，不等号方向改变，不等式两边再同时加上4，不等号方向不变，故本选项错
误．
故选A．
5．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且【答案】C
【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当 时，方程有两个不相等的实数
根”是解题的关键．根据二次项系数非零结合根的判别式 ，即可得出关于m的一元一次不等式组，
解之即可得出m的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： 且 ，
故选：C．
6．如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设 ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为 ， ，则
正确的是（ ） △
A． B．
C． D．无法比较 与 的大小
【答案】A
【分析】多边形的外角和为 ， ABC与四边形BCDE的外角和均为 ，作出选择即可．
【详解】解：∵多边形的外角和为 ，
△
∴ ABC与四边形BCDE的外角和 与 均为 ，
∴△ ，
故选：A．
7．三名初三学生坐在仅有的三个座位上，起身后重新就座，恰好有两名同学没有坐回原座位的概率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】画树状图为：（用A、B、C表示三位同学，用a、b、c表示他们原来的座位）共有6种等可能的结果数，其中恰好有两名同学没有坐回原座位的结果数为3，
所以恰好有两名同学没有坐回原座位的概率= ．
故选D．
8．若a+b+c＝0，且|a|＞|b|＞|c|，则下列结论一定正确的是（ ）
A．abc＞0 B．abc＜0 C．ac＞ab D．ac＜ab
【答案】C
【分析】由 的绝对值最小，分析 不符合题意，再由 分析可得 中至少有一个负数，
至多两个负数，再分情况讨论即可得到答案.
【详解】解： a+b+c＝0，且|a|＞|b|＞|c|，
当 时，则 则 不符合题意；
从而： 中至少有一个负数，至多两个负数，
当 且|a|＞|b|＞|c|，
此时B，C成立，A，D不成立，
当 且|a|＞|b|＞|c|，
此时A，C成立，B，D不成立，
综上：结论一定正确的是C，
故选C
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9．使代数式 有意义的x的取值范围是 .
【答案】x≠-3
【分析】直接利用分式的定义分析得出答案．
【详解】∵分式 有意义，
∴x+3≠0，
解得：x≠-3．
故答案为x≠-3．
10．分解因式： ．【答案】
【分析】先提公因式，再用完全平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式
故答案为 ．
11．已知关于x的分式方程 ．
（1）当 时，分式方程的解为 ；
（2）若分式方程的解满足 ，请写出一个满足条件的m的整数值： ．
【答案】 3（答案不唯一）
【分析】（1）把 代入原方程中，然后按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答；
（2）先解分式方程可得 ，然后根据题意可得 ，最后进行计算即可解答．
【详解】解：（1）当 时，原方程即为： ，
去分母得 ，
解得： ，
检验：当 时， ，
∴ 是原方程的根；
故答案为： ；
（2）去分母得 ，
解得： ，
∵分式方程的解满足 ，
∴ ，
解得： ，
又∵
∴
∴满足条件的m的整数值为3或4．
故答案为：3（答案不唯一）．
12．已知反比例函数 经过点 、 ，则m为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数解析式的求解，正确运用待定系数法是解决问题的关键．
先将 代入 求出k，知道了解析式，再将点 代入，即可求出m值．【详解】解：将 代入 得： ，
∴反比例函数解析式为： ，
将 代入 得： ，
故答案为： ．
13．为弘扬中华传统文化，某校组织八年级1000名学生参加汉字听写大赛.为了解学生整体听写能力，从
中抽取部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计分析，得到分数段在70.5～80.5的频数
是50，所占百分比25％，则本次抽样调查的样本容量为 .
【答案】200
【详解】50÷25%＝200，
所以本次抽样调查的样本容量是200．
故答案为200．
14．如图，在 中， ， ，如果 ，那么 ．
【答案】
【分析】利用平行线分线段成比例定理计算即可．
【详解】如图，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
15．如图，以等边 的边AC为腰作等腰 ，使 ，连接BD，若∠CBD=40°，则∠BDC的
度数为 °．
【答案】30
【分析】根据等边三角形的性质和等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
设∠ACD＝∠ADC＝α，则∠BCD＝60°+α，
∵∠CBD＝40°，
∴∠ABD＝60°﹣40°＝20°，
∵AB＝AC＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD＝20°，
∴∠BDC＝180°﹣40°﹣（60°+α）＝α﹣20°，
解得：α＝50°，
∴∠BDC＝α﹣20°＝30°，
故答案为：30．
16．为进一步深化“创城创卫”工作，传播健康环保的生活理念，房山区持续推进垃圾分类工作．各乡镇
（街道）的党员、志愿者纷纷参与“桶前值守”，在垃圾桶旁监督指导居民对垃圾进行分类．某垃圾值守
点有甲、乙、丙、丁四名志愿者，某一天每人可参与值守时间段如下表所示：
志愿者 可参与值守时间段 可参与值守时间段
甲
乙丙
丁
已知每名志愿者一天至少要参加一个时间段的值守，任意时刻垃圾值守点同时最多需要 名志愿者值守，
则该值守点这一天所有参与值守的志愿者的累计值守时间最短为 小时，最长为 小时（假设志愿
者只要参与值守，就一定把相应时间段全部值完）．
【答案】
【分析】本题考查了时间调配问题，先列表表示上午值守时间安排，下午值守时间安排，再结合每名志愿
者一天至少要参加一个时间段的值守，任意时刻垃圾值守点同时最多需要 名志愿者值守，分析得出答案
即可，理解题意，找到突破口，逐步分析是解本题的关键．
【详解】解：上午值守时间如下表，
甲 甲 甲 甲 甲
乙 乙 乙
丙 丙 丙 丙
丁 丁 丁 丁 丁
下午值守时间安排如下表：
甲 甲 甲 甲
乙 乙 乙 乙 乙 乙
丙 丙 丙
丁 丁 丁
时间最短，即每人只参加一次值守，且选择时间最短的时间段，且同一时间值守的人不能超过两个，
甲：均可，
乙： ，
丙： ，
丁： ，
观察时间段，发现没有同一时间值守超过两个人的情况，符合题意，
最短时间 ，
时间最长，即每人尽量都参加两次值守，且同一时间值守的人不能超过两个，
查看表格，时间段 ， ，同时有三个人值守，不符合题意，
去掉时间段最短的丁， ，最长时间 所有时间之和 ，
故答案为： ； ．
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第
25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．计算： ．
【答案】
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】解：
．
18．解不等式组：
【答案】
【分析】分别求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可．
【详解】解： ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴原不等式组的解集是 ．
19．已知a，b互为倒数，c、d互为相反数， ，且 ，求 的值．
【答案】
【分析】根据互为倒数两数积为1，互为相反数两数和为0，解绝对值方程，代入即可求解．
【详解】解：根据题意得： ， ， ，
∴原式 ．
20．如图，在平行四边形 中，点F是 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点E，连接 ．
(1)求证： ；
(2)当 平分 时，请你判定四边形 的形状并加以证明．【答案】(1)见解析
(2)四边形 是菱形，理由见解析
【分析】本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握
菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
（1）由 证 ，再由全等三角形的性质求证即可；
（2）由全等三角形的性质得 ，再证四边形 是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结
论．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
点 是 的中点，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）解：四边形 是菱形，理由如下：
由（1）可知， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
平分 ，
，
，
，
，
，
平行四边形 是菱形，
21．为了更好地治理污染，某市污水处理厂决定用102万元购买A，B两种型号的污水处理设备共10台，
其信息如下表：
单价/(万元/台) 每台处理污水量/(吨/月)
A型 12 240B型 10 200
(1)问购买A，B型设备各多少台？
(2)若每月产生污水2 000吨，问所购设备每月能否处理完这些污水？为什么？
【答案】(1) 购买A，B型设备分别为1台、9台．(2)能，理由见解析.
【分析】(1)设购买A型号设备x台，则购买B型号设备(10－x)台，根据“购买设备的资金为102万元”进
而得出方程求出即可；(2)利用该企业每月产生污水2000吨，结合(1)中所求，得出每月处理污水的吨数进
而得出答案.
【详解】(1)设购买A型污水处理设备x台，则购买B型污水处理设备(10－x)台．
根据题意可列方程12x＋10(10－x)＝102.
解得x＝1.
于是10－x＝10－1＝9.
答：购买A，B型设备分别为1台、9台．
(2)能．因为240×1＋200×9＝2 040(吨)>2 000(吨)，
所以所购设备每月能处理完这些污水．
22．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD关于y轴对称，边AD在x轴上，点B在第四象
限，直线BD：y＝kx+b与反比例函数y＝ 的图象交于点B，点E．
1 2
(1)求反比例函数及直线BD的关系式；
(2)直接写出不等式 ﹣kx﹣b＜0的解集．
【答案】(1) ； ．
(2) 或 ．
【分析】（1）根据正方形的性质以及对称的性质可得点A、B、D的坐标，将 点坐标代入反比例函数中
求得反比例函数解析式，将 点坐标代入一次函数解析式求得一次函数解析式即可；
（2）联立两个函数解析式，然后解方程组，求出点E的坐标，再根据图象解答即可．
【详解】（1）解：由题意得， ，
将 代入 得， ，
解得 ，∴反比例函数解析式为 ；
将 代入 得， ，
解得 ，
∴直线BD的解析式 ；
（2）解∵直线BD与反比例函数 的图象交于点E，
∴ ，
解得 或 ，
∴ ， ．
∴由函数的图象可知： ，即： 的解集为 或 ．
23．某校在一次考试中，甲，乙两班学生的数据成绩统计如下：
请根据表格提供的信息回答下列问题：
6 9
分数 50 70 80 100
0 0
1
甲 1 6 12 11 5
5
人数
1
乙 3 5 15 3 11
3
(1)甲班众数为 分，乙班众数为 分，从众数看成绩较好的是 班；
(2)甲班的中位数是 分，乙班的中位数是 分；
(3)若成绩在80分以上为优秀，则成绩较好的是 班；
(4)甲班的平均成绩是 分，乙班的平均成绩是 分，从平均分看成绩较好的是 班．
【答案】(1)90，70，甲；
(2)80，80；
(3)甲；
(4)79.6；80.2；乙．
【分析】（1）根据众数的概念即可求出答案；
（2）甲乙两班都是50人，50个数据，中位数应是第25个和第26个数据的平均数；（3）分别求出甲班和乙班优秀的人数即可；
（4）利用公式即可求出甲班、乙班的平均成绩，然后比较大小．
【详解】（1）解：甲班90分出现的次数最多，为15次，那么甲班的众数是90（分）．乙班70分出现的
次数最多，为15次，那么乙班的众数是70（分）．从众数看成绩较好的是甲班．
故答案为90，70，甲；
（2）甲乙两班都是50人，50个数据，中位数应是第25个和第26个数据的平均数；中位数都是80；
故答案为80，80；
（3）甲班优秀的有11+15+5=31人，乙班优秀的有3+13+11=27人，所有甲班成绩较好；
故答案为甲；
（4）甲班平均成绩= =79.6，
乙班平均成绩= =80.2，
所以从平均分看成绩较好的是乙班．
故答案为79.6；80.2；乙．
24．如图， 的半径为1，C是 直径 延长线上一点，点D在 上， ．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)已知 ，点P在 上方的 上运动（不与点A，B重合），连接 ．
①求 的度数；
②过点D作 的垂线，交 的延长线于点Q，求 的最大长度．
【答案】(1)见解析
(2)① ；②
【分析】（1）如图：连接OD．根据等腰三角形的性质可得 ，再根据圆周角定理可得
，然后再根据角的和差和等量代换可得 即可证明结论；
（2）①先说明 ，进而得到 ，然后根据圆周角定理即可解答；②先说明 ，
由直角三角形的性质可得 ，再根据勾股定理可得 ；再根据当 达到最大长度时，
达到最大长度，最后求解即可．
【详解】（1）证明：如图：连接OD．
∵ ，∴ ．
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
∵OD是半径，
∴直线 是 的切线．
（2）解：①∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 与 都是 所对的圆周角，
∴ ；
②∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
在 中，根据勾股定理可得 ，
∴当 达到最大长度时， 达到最大长度．
∵ 的最大长度为2，
∴ 的最大长度为 ．
25．甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，两人同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止．
甲、乙两人间的距离 与甲行驶的时间 之间的关系如图所示．；
(1)以下是点M，N，P所代表的实际意义，请将M，N，P填入对应的横线上．
①甲到达终点： ；②甲、乙两人相遇： ；③乙到达终点： ．
(2)甲出发多少小时后，甲、乙两人相距 ？
【答案】(1)P ，M，N；
(2)甲出发 或 小时后，甲、乙两人相距 ；
【分析】本题考查一次函数应用，函数图象的意义：
（1）根据函数图象，两个相距为0时两个相遇，然后距离逐渐增加，当增加量减小时说明一个已经停止，
最后达到最大停止即可得到答案；
（2）分相遇前相距 km，即在第一段图象上，相遇后相距180km，即在第三段图象上，分别求出解析式
代入求解即可得到答案
【详解】（1）解：由图象可得，
点 上 ，此时两人相遇，
点N之后，两人的距离增加速度减少，此时乙先到达终点，
点P表示两人距离为 ，此时甲到达终点
故答案为：P ，M，N；
（2）解：设第一段解析式为： ，
将点 ， 代入得，
，解得： ，
∴ ，
当 时， ，
解得： ，
设第三段解析式为：： ，
将点 ， 代入得，
，解得： ，∴ ，
当 时， ，
解得： ，
综上所述：甲出发 或 小时后，甲、乙两人相距 ．
26．如图，抛物线 经过坐标原点和点 ，其顶点 的纵坐标为 ，点 的坐标为 ，
将抛物线 绕点 旋转 得到抛物线 ，点 对应点为点 ，点 对应点为点 ．
(1)求抛物线 的表达式；
(2)试用含 的代数式表示出点 的坐标，并直接写出抛物线 的表达式；
(3)若直线 为常数 与抛物线 、 均有交点，请直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2) ，
(3)
【分析】（1）根据题意求得顶点坐标，设抛物线的解析式为 ，将原点坐标代入求得 的值，
即可求得抛物线的解析式，
（2）过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 ，证明 ，进而求得
，根据旋转的性质即可求得抛物线 的解析式，
（3）根据当直线 为常数 在点 与点 之间运动时，与抛物线 、 均有交点， 点的纵坐标为
， 点的纵坐标为 ，即可求得 的范围，
【详解】（1） 抛物线 经过坐标原点和点 ，
抛物线 的对称轴为直线 ．
顶点 的纵坐标为 ，
抛物线 的顶点 的坐标为 ．
设抛物线的解析式为 ．
抛物线 经过坐标原点，．
．
抛物线 的表达式为： ．
（2） 点 为旋转中心，
， ．
四边形 为平行四边形．
过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 ，如图，
， ，
．
， ．
，
， ．
．
点 的坐标为 ，
．
．
．
．
．
将抛物线 绕点 旋转 得到抛物线 ，
抛物线 的解析式为： ．
（3） 直线 为常数 是与 轴平行的直线，
当直线 为常数 在点 与点 之间运动时，与抛物线 、 均有交点．
点的纵坐标为 ， 点的纵坐标为 ，
的取值范围为 ．
27．已知等边三角形ABC，点D是边AC上任意一点，延长BC至E，使CE＝AD．
（1）如图1，点D是AC中点，求证：DB＝DE；
（2）如图2，点D不是AC中点，求证：DB＝DE；（3）如图3，点D不是AC中点，点F是BD的中点，连接AE，AF，求证：AE＝2AF．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到BD为∠ABC的角平分线，∠ABC＝∠ACB＝60°，根据等腰三
角形的性质、等腰三角形的判定定理证明；
（2）过D作EF∥DG交AB，交BC于G，证明△BDC≌△EDG，根据全等三角形的性质证明结论；
（3）延长AF至H，使FH＝AF，连接DH，证明△ABF≌△HDF，得到AB＝HD，∠ABF＝∠HDF，证明
△ADH≌△ECA，得到AE＝AH，证明结论．
【详解】证明：（1）∵在等边△ABC中，D是AC的中点，
∴BD为∠ABC的角平分线，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
∵∠CDE+∠CED＝∠ACB，
∴
∴∠CBD＝∠CED＝30°，
∴BD＝DE；
（2）过D作EF∥DG交AB，交BC于G
∴∠DGC＝∠ABC＝60°，又∠DCG＝60°，
∴△DGC为等边三角形，
∴DG＝GC＝CD，
∴BC﹣GC＝AC﹣AD，即AD＝BG，
∵AD＝CE，
∴BG＝CE，
∴BC＝GE，在△BDC和△EDG中，
，
∴△BDC≌△EDG（SAS）
∴BD＝DE；
（3）延长AF至H，使FH＝AF，连接DH，
在△ABF和△HDF中，
，
∴△ABF≌△HDF（SAS）
∴AB＝HD，∠ABF＝∠HDF，
∴AC＝HD，AB∥DH，
∴∠ADH＝180°﹣∠BAC＝120°，
在△ADH和△ECA中，
∴△ADH≌△ECA（SAS）
∴AE＝AH，
∵AH＝2AF，
∴AE＝2AF．
28．如果一个自然数M各个数位均不为0，且能分解成 ，其中A和B都是两位数，且A十位比B的十
位数字大1，A和B的个位数字之和为9，则称M为“九九归一数”，把M分解成 的过程称为“九九
归一分解”．
例如：∵ ， ， ，∴368是“九九归一数”；
∵ ， ， ，∴1632不是“九九归一数”．
(1)判断378和297是否是“九九归一数”？并说明理由；
(2)把一个“九九归一数”M进行“九九归一数分解”，即为 ，A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为 ；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差记 ．且
能被5整除，求出所有满足条件的自然数M．
【答案】(1)378是“九九归一数”，297不是“九九归一数”，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据“九九归一数”的定义，进行判断即可；
（2）设 ，则： ，进而求出 和 ，利用 能被5整除，进行求
解即可．
【详解】（1）解：378是“九九归一数”； 297不是“九九归一数”；理由如下：
∵ ， ， ，
∴378是“九九归一数”；
∵ ， ， ，
∴297不是“九九归一数”；
（2）解：设 ，则： ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 能被5整除，
∴ 是5的倍数，
∵ 为小于 的正整数，
∴当 ， 时， ，符合题意；此时： ， ；
当 ， 时： ，符合题意；此时： ， ；
当 ， 时： ，符合题意；此时： ， ；
当 ， 时： ，符合题意；此时： ， ；
综上，满足题意的条件的自然数为： ．
