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2 0 2 4 年 上 物 理 教 师 资 格 证
大学电 磁 学-第一讲
讲师：余贞
更多干货关注 粉笔教师教育 粉笔教师五 、 刚 体 的 角 动 量 定 理 和 角 动 量 守 恒 定 律
（一）刚体的角动量
1.概念：刚体做定轴转动的角动量的大小等于其转动惯量与角速度的乘积，其方向与角速度方向相同。
2.公式：𝑳 = σ 𝑟 ×△ 𝑚 𝑣 = σ△ 𝑚 𝑟 2 𝝎 = 𝐼𝝎
𝑖 𝑖 𝑖 𝑖
式中， △ 𝑚 为刚体的第𝑖个质元的质量， 𝑟 为该质元到转轴的距离， 𝜔为刚体绕定轴转动的角速度。
𝑖 𝑖
（二）刚体的角动量定理
𝑑𝑳
1.微分形式： 𝑴 = ；该式表明作用于刚体的合外力矩等于刚体的角动量对时间的变化率。
𝑑𝑡
𝑡 𝑡
2.积分形式： 𝑴𝑑𝑡 = 𝑑𝑳 = 𝑳 − 𝑳 = 𝐼𝝎 − 𝐼𝝎
𝟎 𝟎
𝑡 𝑡
0 0
2024FENBI
该式表明作用于刚体的冲量矩等于在作用时间内角动量的增量。（三）角动量守恒定律
若刚体所受合外力矩为零，则刚体的角动量为一常量。
公式： 𝑳 = σ 𝑳 = 常量
𝒊
即： 𝐼 𝝎 = 𝐼 𝝎
1 1 2 2
2024FENBI【例1】在自由旋转的水平圆盘上，站一质量为𝑚的人。圆盘的半径为𝑅，转动惯量
为𝐼，角速度为𝜔。如果这人由盘边走到盘心，求角速度的变化。
2024FENBI六 、 刚 体 转 动 的 功 与 能
（一）刚体的转动动能
刚体由于转动而具有的动能称为刚体的转动动能
1
𝐸 = 𝐼𝜔2
𝑘
2
（二）力矩的功
𝜃
当刚体在力矩𝑀的作用下，从角𝜃 转到角𝜃 时，力矩M所做的总功为：𝐴 = 𝑑𝐴 = 2 𝑀𝑑𝜃
1 2
𝜃
1
若𝑀与𝑑𝜃同号，则𝐴为正；若异号，𝐴为负。
（三）刚体定轴转动的动能定理
2024FENBI
1 1
2 2
𝐴 = 𝐼𝜔 − 𝐼𝜔 = 𝐸 − 𝐸
2 1 𝑘2 𝑘1
2 2【例1】某冲床上飞轮的转动惯量为4.00 × 103𝑘𝑔 ⋅ 𝑚2 ，当它的转速达到30 𝑟Τ𝑚𝑖𝑛时，它
的转动动能是多少？每冲一次，其转速降到10 𝑟Τ𝑚𝑖𝑛，求每冲一次飞轮对外所做的功。
2024FENBI【例2】一根质量为𝑚、长为𝑙的均匀棒𝑂𝐴，可绕通过其一端的光滑轴𝑂在竖直平面内
转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时其中心点𝐶和端点𝐴的
速度。
2024FENBI质点的直线运动 刚体的定轴转动
𝑑𝑥 𝑑𝜃
速度𝑣 = 角速度𝜔 =
𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑣 𝑑𝜔
加速度𝑎 = 角加速度𝛽 =
𝑑𝑡 𝑑𝑡
匀速直线运动𝑥 = 𝑣𝑡 匀角速转动𝜃 = 𝜔𝑡
力𝐹 力矩𝑀
质量𝑚 转动惯量𝐼
牛二𝐹 = 𝑚𝑎 转动定律𝑀 = 𝐼𝛽
动量𝑚𝑣 角动量𝐼𝜔
冲量𝐹𝑡 冲量矩𝑀𝑡
动量定理𝐹𝑡 = 𝑚𝑣 − 𝑚𝑣 角动量定理𝑀𝑡 = 𝐼𝜔 − 𝐼 𝜔
0 0 0
动量守恒定律σ𝑚𝑣 = 常量 角动量守恒定律σ𝐼𝜔 = 常量
1 1
平动动能
𝑚𝑣2
转动动能
𝐼𝜔2
2 2
2024FENBI
常力的功𝐴 = 𝐹𝑠 常力矩的功𝐴 = 𝑀𝜃
1 1 1 1
动能定理𝐹𝑠 = 𝑚𝑣2 − 𝑚𝑣 2 动能定理𝑀𝜃 = 𝐼𝜔2 − 𝐼𝜔 2
0 0
2 2 2 2第 一 节 真 空 中 的 静 电 场
一、真空中的库仑定律
1 𝑞 𝑞
1 2
𝑭 = 𝒓
4𝜋𝜀 𝑟3
0
式中，𝑞 、𝑞 分别为两点电荷所带电量；𝑟为两点电荷之间的距离；𝒓为施力
1 2
电荷指向受力电荷的位置矢量；𝜀 （埃普西隆）称为真空介电常数或真空电
0
容率，𝜀 = 8.85 × 10 −12 F/m。
0
2024FENBI二 、 电 场
（一）点电荷的电场
𝑭 1 𝑞
𝑬 = = 𝒓
𝑞 4𝜋𝜀 𝑟3
0 0
式中，𝑬是电量为𝑞的点电荷产生的电场，𝑞 为
0
试验电荷的电量，𝑭为试验电荷受到的电场力。
（二）电荷连续分布的带电体产生的场强
1 𝒓d𝑞
𝑬 = d𝑬 =
𝑄 4𝜋𝜀 𝑄 𝑟3
0
2024FENBI
表示对整个带电体求积分。
𝑄【例1】在𝑦𝑂𝑧平面上有一半径为𝑅的圆环，均匀带有电量𝑄（正电荷），求均匀带
电圆环轴线上（𝑥轴）某点𝑃处的场强。
𝑬
//
𝑬
⊥
2024FENBI【例2】试计算均匀带电圆盘轴线上与盘心𝑂相距为x的任一给定点𝑃处的电场强度，
设盘的半径为𝑅，电荷面密度为𝜎。
2024FENBI【例3】已知半圆环的半径为𝑅、电荷线密度为𝜆，则均匀带电半圆环圆心处的电场
强度为
2024FENBI三 、 真 空 中 静 电 场 的 高 斯 定 理
（一）电场线的基本性质
1.静电场的电场线总是起始于正电荷（或无穷远），终止于负电荷（或无穷远），
不会在没有电荷的地方中断。这一特点叫做静电场的有源性，即电场线是有头有尾
的，有起点和终点。
2.静电场中的电场线是永不闭合的曲线。这一特点叫做静电场的无旋性。
3.任何两条电场线不会相交。
2024FENBI（二）电通量
1.概念
将通过电场中某一个面的电场线的条数称为通过该面的电通量，用Φ 表示。
𝑒
2.公式
（1）任一曲面的电通量为
Φ = ∬ dΦ = ∬ 𝑬 ⋅ d𝑺
𝑒 𝑒
𝑆 𝑆
这是一个面积分，积分号下标𝑆表示此积分的范围遍及整个曲面。
（2）如果S为闭合曲面，则
Φ = ∯ 𝑬 ⋅ d𝑺
𝑒
𝑆
式中，∯ 表示对闭合曲面的积分。
𝑆
2024FENBI（三）高斯定理
1.内容
在真空中的静电场内，通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的净电荷（电量的
代数和）除以𝜀 。
0
2.公式
1
Φ = ∯ 𝑬 ⋅ d𝑺 = 𝑞
𝑒 𝑖
𝑆 𝜀
0
式中，σ 𝑞 表示闭合曲面S内的电荷的代数和。
𝑖
𝐸
d𝑆 Ԧ d𝑆 Ԧ
2024FENBI【例1】：求电荷呈球对称分布时所激发的电场强度。
（1）电荷量𝑞均匀分布在半径为𝑅的球体内；（2）电荷量𝑞均匀分布在半径为𝑅的球
面上
2024FENBI【例2】：电荷均匀分布于一个无限大平面上，其面密度为𝜎,求其激发的静电场的电场
强度。
𝜎
𝑆 𝑆
2 1
𝒆 𝒆
𝑛2 𝑛1
2024FENBI【例3】：求电荷呈“无限长”半径为𝑅的圆柱形轴对称均匀分布时所激发的电场强
度。
2024FENBI【例4】求半径为𝑅、面电荷密度为𝜎的无限长均匀带电圆柱面内、外的场强。
2024FENBI（真题2018年上高中）【例】球形电容器由两个同心的球壳导体A、B组成，如图5所示。导体𝐴、𝐵的
半径分别为𝑅 和𝑅 ，且𝑅 < 𝑅 ，导体𝐴、𝐵在真空中分别带有电荷+𝑞和−𝑞，求：
𝐴 𝐵 𝐴 𝐵
(1)导体𝐴、𝐵之间的电场强度；
(2)该电容器的电容。
2024FENBI四 、 静 电 场 的 环 路 定 理 电 势 能 电 势
（一）静电场力的功
在点电荷的电场中移动试验电荷时，电场力做的功除了与其电量𝑞 成正比外，还与移动试验电荷的
0
始、末位置有关，而与路径无关。若使试验电荷沿任一闭合回路𝐿绕行一周，则点电荷的静电场力所
做的功为零，即：𝐴 = ∮ 𝑞 𝑬 ⋅ d𝒍 = 0
𝐿 0
（二）环路定理
1．内容：在静电场中沿任意闭合路径，场强的环流恒为零，即静电场是保守力场。
2．公式：∮ 𝑬 ⋅ d𝒍 = 0
𝐿
该公式称为静电场的环路定理，公式左边的积分称为场强𝐸的环流。
𝑞
𝐸
0
𝐴 𝐵
2024FENBI（三）电势能 电势 电势差
1．电势能
当场源电荷局限在有限大小的空间里时，常把电势能零点选在无穷远处，则𝑞 在𝑎
0
点的电势能𝑊 为
𝑎
∞
𝑊 = න 𝑞 𝑬 ⋅ d𝒍
𝑎 0
𝑎
该公式表明，试验电荷𝑞 在电场中𝑎点的电势能，等于将试验电荷由𝑎点沿任意路
0
径移至无穷远处的过程中电场力做的功。
2024FENBI2．电势
（1）公式
∞
𝑊
𝑎
𝑉 = = න 𝑬 ⋅ d𝒍
𝑎
𝑞
0 𝑎
该公式表明，电场中任意点𝑎的电势𝑉 在数值上等于单位正电荷在该点的电势能，
𝑎
也等于单位正电荷从该点沿任意路径移至无穷远处的过程中电场力所做的功。
2024FENBI（2）电势的计算
①点电荷电场的电势
在点电荷𝑞的电场中，若选取无穷远处作为电势零点，在𝑎点产生的电势为
∞ ∞
𝑞 𝑞
°
𝑉 = න 𝑬 ⋅ d𝒓 = න d𝑟𝑐𝑜𝑠0 =
𝑎
4𝜋𝜀 𝑟2 4𝜋𝜀 𝑟
𝑎 𝑟 0 0
式中，𝑟是电荷𝑞到𝑎点的距离。
2024FENBI②点电荷系电场的电势
若真空中有𝑛个点电荷，其电量分别为𝑞 、𝑞 ，…，𝑞 ，这𝑛个点电荷在𝑎点产生的电势为
1 2 𝑛
𝑛
𝑞
𝑖
𝑉 =
𝑎
4𝜋𝜀 𝑟
0 𝑖
𝑖=1
式中，𝑟 、𝑟 ，…，𝑟 分别为各点电荷到𝑎点的距离。
1 2 𝑛
该公式表明，在点电荷系的电场中，某一点的电势等于各点电荷单独存在时在该点产生的
电势的代数和。这一结论称为电势叠加原理
③电荷连续分布带电体系电场的电势
∞ d𝑞
对一个电荷连续分布的带点体系，在𝑎点产生的电势为：𝑉 =
𝑎
𝑎 4𝜋𝜀 𝑟
0
式中，𝑟是电荷元d𝑞到𝑎点的距离。
2024FENBI（四）导体的静电平衡
导体中没有电荷作任何宏观定向运动的状态称为静电平衡状态。
导体静电平衡的必要条件是导体内任一点的电场强度都等于零。
推论：1.导体是等势体，其表面是等势面
2.导体表面的电场强度垂直于导体表面 2024FENBI【例1】一半径为𝑅的带电细圆环，所带电量为𝑞，求在圆环轴线上任一点𝑃的电势。
2024FENBI【例2】计算均匀带电球面电场中的电势分布
2024FENBI【例3】两个同心球面，半径分别为10cm和30cm。小球面均匀带有10 −8 𝐶正电荷，
大球面均匀带有1.5 × 10 −8 𝐶正电荷。求离球心分别为20cm、50cm处的电势。
2024FENBI
