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2024 年中考押题预测卷 02【辽宁卷】
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．两千多年前，中国人就开始使用负数．某班期末考试数学的平均成绩是 82分，小亮得了90分，记作
+8分，小英的成绩记作−3分，表示得了（ ）分.
A．87 B．86 C．80 D．79
【答案】D
【分析】本题考查正数和负数以及有理数减法运算，根据正数和负数的实际意义列式计算即可．
【详解】解：82−3=79（分），
故选：D．
2．围棋是中华民族发明的迄今最久远、最复杂的智力博弈活动之一，下列围棋图案中，是轴对称图形的
是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据将图形沿一条直线折叠，两边完全重合的图形叫轴对称图形逐
个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
选项A、B、D的图案不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以
不是轴对称图形，
选项C的图案能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图
形．
故选：C．
3．通过动手操作，小明同学把长为5，宽为1的长方形进行裁剪，拼成如图①所示的正方形．并在数轴上
表示出无理数，如图②，则C点表示的数为（ ）
A．√3 B．√5 C．√4 D．√5−1
【答案】D
【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数，根据题意，得到数轴上圆的半径为√5，再根据两点间
的距离公式进行求解即可．
【详解】解：由题意，可知，数轴上圆的半径为√22+12=√5，
∴点C到−1的距离为√5，
∴C点表示的数为 √5−1；
故选D．
4．下列方程中，有实数解的是（ ）
x−2 x−2
A．2x6+3=0 B． = C．√x−2+3=0 D．2x2+3 y2+1=0
x 2
【答案】B【分析】本题主要考查了任何数的偶次方，以及算术平方根一定是非负数，解分式方程，理解非负数的性
质是关键．
根据任何数的偶次方，以及算术平方根一定是非负数即可判断式子中的等号是否成立，即方程是否有实数
解．
【详解】解：A、∵2x6≥0，故2x6+3>0，则方程一定没有实数解，排除A；
B、两边同时乘以2x得：2x−4=x2−2x，解得：x=2，故选B；
C、√x−2≥0，则√x−2+3>0一定成立，排除C；
D、2x2+3 y2+1>0，排除D．
故选：B．
5．随着科技发展，骑行共享单车这种“低碳”生活方式已融人人们的日常生活．如图是共享单车车架的
示意图，线段AB,CE,DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知
AB∥DE,AD∥EF，∠BCE=67°,∠CEF=137°，则∠ADE的度数为（ ）
A．43° B．53° C．67° D．70°
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
先利用平行线的性质可得∠BCE=∠DEC=67°，再利用角的和差关系可得∠DEF=70°，然后利用平行
线的性质可得∠ADE=∠DEF=70°，即可解答．
【详解】解：∵AB∥DE，
∴∠BCE=∠DEC=67°，
∵∠CEF=137°，
∴∠DEF=∠CEF−∠DEC=70°，
∵AD∥EF，
∴∠ADE=∠DEF=70°，
故选：D．
6．如图，在11×7的点阵中，甲、乙、丙、丁四个玻璃球分别从A、B、C、D四个点处同时出发，按
各自箭头方向作匀速直线运动，运动2秒后分别到达A'、B'、C'、D'处，若按照上述方式继续运动，则第
一次发生碰撞的是（ ）A．甲和乙 B．甲和丙 C．甲和丁 D．丙和丁
【答案】B
【分析】本题考查了图形的变化类，先画各个球的运动路径，再根据图示即可求解，找到变化规律是解题
的关键．
【详解】解：各个球继续运动如图示，
由图示得，甲和乙不相撞，甲和丙经过4秒相撞，甲和丁不相撞，丙和丁不相撞，
故选：B．
7．如图，有甲、乙两个四边形，分别标出了部分数据，则下列判断正确的是（ ）
A．甲是矩形 B．乙是矩形
C．甲、乙均是矩形 D．甲、乙都不是矩形
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的判定．熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
根据矩形的判定定理对甲、乙进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，甲中对角线相等且互相平分，
∴甲中四边形是矩形，如图乙，记AC、BD的交点为O，
由图可知，OA=OD，OB=OC，OA、OB的数量关系未知，
∴乙中四边形不一定是矩形，
故选：A．
8．2023年12月4日是我国第十个宪法日，某校随机抽取50名同学参加宪法知识竞赛，成绩如表所示：
7 9
成绩(分) 80 85 90 100
5 5
人数 1 4 20 18 5 2
下列说法不正确的是（ ）
A．样本容量是50 B．众数是85分
C．中位数是87.5分 D．平均数是87.5分
【答案】D
【分析】本题考查平均数，中位数，众数，样本容量，根据相关定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、样本容量是50，选项正确，不符合题意；
B、85分的人数最多，故众数是85分，选项正确，不符合题意；
1
C、第25个数据和第26个数据分别为：85,90，故中位数为 (85+90)=87.5分，选项正确，不符合题意；
2
1
D、平均数为 (75+80×4+85×20+90×18+95×5+100×2)=87.8（分），选项错误，符合题意；
50
故选D．
9．已知△ABC，AC>BC>AB，∠C=45°．用尺规在边AC上求作一点P，使∠PBC=45°．下图是甲、
乙两位同学的作图，下列判断正确的是（ ）
A．甲、乙的作图均正确 B．甲、乙的作图均不正确C．只有甲的作图正确 D．只有乙的作图正确
【答案】C
【分析】本题考查了作图，角平分线的定义，垂直的定义，三角形内角和定理等，根据甲的作图知，
BP⊥AC，进而可以求出∠PBC=45°，即可判定甲；根据BC>AB得出∠A>45°，从而判定出
1
∠ABC<90°，根据乙的作图知，BP平分∠ABC，可求出∠PBC= ∠ABC<45°，即可判定乙．
2
【详解】解∶ 根据甲的作图知，BP⊥AC，
∴∠BPC=90°，
又∠C=45°，
∴∠PBC=45°，
∴甲的作图正确；
∵BC>AB，
∴∠A>∠C，即∠A>45°，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠ABC<90°，
根据乙的作图知，BP平分∠ABC，
1
∴∠PBC= ∠ABC<45°，
2
∴乙的作图错误，
故选∶C．
10．在矩形ABCD中（AB>BC），AC为对角线，一动点P以每秒1个单位长度，沿AC→CB→BA方
向运动，设动点P的运动时间为x秒，线段AP的长度为y，则y随x变化的函数图象如图所示，则下列说
法不正确的是（ ）
A．AB=8 B．BC=6
C．曲线MN呈反比例函数模型 D．线段NQ呈一次函数模型
【答案】C
【分析】本题考查动点的函数图象问题，从函数图象中有效的获取信息，逐一进行判断即可．【详解】解：由题意和图象得：当点P在AC上运动时，AP=x，为正比例函数，
当点P在CB上运动时，y随x的增大而减小，当P点到达B点时，AP=8，即：AB=8，此时共用了16秒，
∴P点运动的总路程为1×16=16，
设BC的长为a，则：AC的长为(16−a)，
∵矩形ABCD，
∴∠B=90°，
∴AC2=AB2+BC2，
∴(16−a) 2=82+a2，
解得：a=6，
∴BC=6，
∴AC=10，
∴M(10,10)，
∵N(16,8)，10×10≠16×8，
∴曲线MN不是双曲线模型，
当点P在BA上运动时，此时y=8−(x−16)=24−x，
∴线段NQ呈一次函数模型；
综上，错误的是选项C；
故选C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．计算：√(−3) 2= ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式性质√a2=|a|，是解题的关键．
【详解】解：√(−3) 2=|−3|=3．
故答案为：3．
12．矩形ABCD中，AB=6,BC=8，点P在线段BD上，过点P作PE⊥BC，垂足为点E，连接AP，若△APD是等腰三角形，则PE的长为 ．
6
【答案】 或3
5
【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，分AP=PD,AD=PD，两种情况进
行讨论求解即可．
【详解】解：∵矩形ABCD中，AB=6,BC=8，
∴BD=AC=√AB2+BC2=10，CD=AB=6，
当AP=PD时，则：P为BD的中点，
1
∴PC= AC=5，
2
∵∠ABC=90°,PE⊥BC，
AB PE 6 3
∴sin∠ACB= = = = ，
AC PC 10 5
∴PE=3；
当AD=PD=8时，如图：
则：BP=BD−DP=2，
CD PE 6 3
同理可得：sin∠CBD= = = = ，
BD BP 10 5
6
∴PE= ；
5
6
综上：PE= 或PE=3；
5
6
故答案为： 或3．
513．如图， 在△ABC中，∠B=45°，AB=4，点D是AB的中点， 连接CD，∠BCD=30°， 若P 是
平面内一点， 且∠APB=90°， 则线段CP长度的最大值为
【答案】2√2+2
【分析】本题主要考查直径是最长的弦，勾股定理，30°角所对直角边是斜边的一半，由∠APB=90°知
点P在以AB为直径的圆上，当点C,D,P三点在同一条直线上时CP最大，求出CD即可得出结论.
【详解】解：∵∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的圆上，如图，
又AB=4，点D是AB的中点，
1
∴DP=DB=DA= AB=2,
2
当点C,D,P三点在同一条直线上时CP最大，
过点D作DE⊥BC于点E，
∵∠ABC=45°,
∴∠BDE=∠ABC=45°
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=BE=√2，
又∠DCB=30°,
∴CD=2DE=2√2,
∴CP=CD+DP=2√2+2,
故答案为：2√2+2
k−1
14．已知点A(−3,m)，B(−2,n)都在反比例函数y= 上，且m>n，则k的取值范围是 ．
x【答案】k>1
【分析】本题考查对反比例函数性质和其函数图像的掌握，并能够根据给出的坐标点存在的特点，判断参
数的取值范围，进而求出所需未知数的取值范围．关键在于对反比例函数双曲线图像特点的准确把握，并
能够大致判断函数图像走向特点．
k−1
【详解】∵点A(−3,m)，B(−2,n)都在反比例函数y= 上，
x
∴点A，点B在双曲线同一分支上，
又∵−3<−2，且m>n，
∴y随x的增大而减小，
∴k−1>0，
∴k>1．
故答案为：k>1．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L ：y=3x2向右平移m（m>0）个单位得到另一抛物线L ，
1 2
两抛物线相交于点A，记L 的顶点为B，作点A关于x轴的对称点A'．若四边形OAB A'是正方形，则经过
2
O、A'、B三点的抛物线的解析式是 ．
【答案】y=3x2−2x
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数相似，二次函数的平移，正方形的性质；根据题意得出
A
(m
,
m)
，代入y=3x2，进而可得A
(1
,
1)
，B
(2
,0
) ，求得A'(1
,−
1)
待定系数法求解析式，即可
2 2 3 3 3 3 3
求解．
【详解】解：如图所示，过点A作AC⊥x轴于点C，依题意，OB=m，
∵四边形OABA'是正方形，
(m m)
∴AC=OC=BC，则A ,
2 2
(m m)
∵A , 在y=3x2上，
2 2
m (m) 2
∴ =3×
2 2
2
解得：m= 或m=0（舍去）
3
(1 1) (2 )
∴A , ，B ,0
3 3 3
∵点A关于x轴的对称点为A'．
∴A'(1
,−
1)
，
3 3
设经过O、A'、B三点的抛物线的解析式为y=ax
(
x−
2) ，将A'(1
,−
1)
代入，
3 3 3
1 1(1 2)
− =a× −
3 3 3 3
解得：a=3
∴抛物线解析式为y=3x ( x− 2) =3x2−2x，
3
故答案为：y=3x2−2x．三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（1）计算：√(−2) 2−√3−8+|−4|；
(2x−2) ( 1)
（2）化简： ÷ 1− ．
x2 x
2
【答案】（1）8；（2）
x
【分析】
本题考查了实数的混合运算，分式的化简，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先计算二次根式、立方根，绝对值，再进行加减计算即可；
（2）先通分，再将除法化为乘法，然后约分即可．
【详解】解：（1）√(−2) 2−√3−8+|−4|
=2−(−2)+4
=2+2+4
=8；
(2x−2) ( 1)
（2） ÷ 1−
x2 x
2(x−1) x−1
= ÷
x2 x
2(x−1) x
= ×
x2 x−1
2
= ．
x
17．某校组织七年级学生赴社会实践基地开展课外社会实践活动，现有甲、乙两种客车可租，已知每辆甲
种客车的租金比每辆乙种客车的租金多100元，并且用2400元租甲种客车的辆数和用1800元租乙种客车
的辆数相等．
(1)每辆甲种客车和每辆乙种客车的租金分别是多少元？
(2)该校七年级师生共420人，计划租用甲、乙两种客车共10辆．已知甲种客车每辆载客45人，乙种客车
每辆载客30人，则租车所需费用最少为多少元？【答案】(1)每辆甲种客车的租金是400元，每辆乙种客车的租金是300元；
(2)租车所需费用最少为3800元．
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设每辆甲种客车的租金是x元，则每辆乙种客车的租金是(x−100)元，根据用2400元租甲种客车的
辆数和用1800元租乙种客车的辆数相等．列出分式方程，解方程即可；
（2）设租用甲种客车m辆，则租用乙种客车(10−m)辆，根据该校七年级师生共420人，列出一元一次不
等式，求出选择各方案以及所需租车费用，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设每辆甲种客车的租金是x元，则每辆乙种客车的租金是(x−100)元，
2400 1800
由题意得： = ，
x x−100
解得：x=400，
经检验，x=400是原方程的解，且符合题意，
∴x−100=400−100=300，
答：每辆甲种客车的租金是400元，每辆乙种客车的租金是300元；
（2）解：设租用甲种客车m辆，则租用乙种客车(10−m)辆，
由题意得：45m+30(10−m)≥420，
解得：m≥8，
又∵m、10−m均为正整数，
∴m可以为8，9，
∴共有2种租车方案，
①租用8辆甲种客车，2辆乙种客车，所需租车费用为400×8+300×2=3800（元)；
②租用9辆甲种客车，1辆乙种客车，所需租车费用为400×9+300×1=3900（元)；
∵3800<3900，
∴租车所需费用最少为3800元．
答：租车所需费用最少为3800元．
18．老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图2）(1)求抽查学生总数．
(2)求所抽查学生读课外书册数的平均数．（结果保留整数）
(3)老师手里有1本课外读物，七、八年级两位同学都想借阅，为此九年级的一位同学设计了一个转盘游戏，
指针固定不动，分别旋转两个转盘，若先后两次转动出现字母A与B的的混合结果，就借给七年级的同学，
否则就借给八年级的同学．你认为这个游戏公平吗？为什么？
【答案】(1)抽查学生总数为24人
(2)所抽查学生读课外书册数的平均数为5册
(3)这个游戏不公平，理由见解析
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的信息关联，求平均数，画树状图求概率，熟练掌握以上知
识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由读6册的学生 除以所占百分比即可；
（2）求出读5册的学生人数，再由平均数的定义列式计算即可；
（3）画出树状图，共有9种等可能出现的结果，其中出现字母A与B的的混合结果有5种，不出现字母A
与B的的混合结果有4种，再由概率公式分别求出概率，然后比较即可．
【详解】（1）解：抽查学生总数为：6÷25%=24（人）；
（2）解：读5册的学生人数为：24−2−6−4=2（人），
1
∴所抽查学生读课外书册数的平均数为 ×(5×2+9×5+7×6+4×8)≈5（册）；
24
（3）解：这个游戏不公平，理由如下：
画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中出现字母A与B的混合结果有5种，
5 4
∴借给七年级的同学的概率= ，借给八年级的同学的概率= ，
9 9
5 4
∵ ≠ ，
9 9
∴这个游戏不公平．
19．快车和慢车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快车到达乙地卸装货物用时30分钟，结
束后，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与慢车相遇，已知慢车的速度为60km/h．两车之间的距离
y(km)与慢车行驶的时间x(h)的函数图象如图所示．
(1)求出图中线段AB所表示的函数表达式；
(2)两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，求到达甲地还需多长时间．
【答案】(1)y=−60x+300
(2)2h
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是结合函数图象以及数量关系直接计算.依照函数图象找
出点的坐标，再结合数量关系列出算式即可算出结论．
（1）求出B的坐标，再用待定系数法可得答案；
（2）求出快车返回的速度，再根据路程，速度，时间的关系可得到达甲地还需多长时间．
30
【详解】（1）解：由题意得，点B的横坐标为: 3+ =3.5(h)，
60
30
点B的纵坐标为：120− ×60=90(km)，
60∴点B的坐标为(3.5,90),
设线段AB所表示的函数表达式为y=kx+b, 将A(3,120)，B(3.5,90)代入得:
¿，解得 ¿，
∴线段AB所表示的函数表达式为y=−60x+300(3≤x≤3.5)；
（2）解：快车从返回到遇见慢车所用的时间为：4−3.5=0.5(h),
∴快车从乙地返回甲地时的速度为：90÷0.5−60=120(km/h),
∵4×60÷120=2(h)，
∴两车相遇后，如果快车以返回的速度继续向甲地行驶，到达甲地还需2h．
20．小强家想在青岛某小区买一套房子，要求每天至少有2个小时的满窗日照（图1为满窗日照，图2为非
满窗日照），小强先查阅了相关资料，得到如下信息：
信息1：北半球冬至日太阳高度角（太阳光线与水平线的夹角）最小，若这一天的11:00和13:00这2个时
刻能有满窗日照，则整年每天都至少有2个小时的满窗日照；
信息2：如图3，该小区每座楼均为16层，每层楼高2.8米且装有落地窗，小区冬至日11:00和13:00的太
阳高度角∠ANM均为28.36°．
某日小强到该小区进行实地勘测，他在6楼看房时恰好阳光开始射入屋内（太阳光线射在6楼窗户的上边
缘），此时太阳高度角∠AFE=22.8°．
(1)AE=_____米；
(2)小强家要在该小区买房，至少买几楼才能达到要求？
（参考数据：sin22.8°≈0.39，cos22.8°≈0.92，tan22.8°≈0.42，sin28.36°≈0.48，
cos28.36°≈0.88，tan28.36°≈0.54）
【答案】(1)28
(2)至少买13楼才能达到要求
【分析】本题考查了三角函数的应用，解题的关键是掌握三角函数的定义．
（1）先根据题意求出楼层的总高度AB和六楼的高度BE，再根据线段得到和差即可求解；AE AM
（2）根据tan22.8°= =0.42，求出EF，由tan28.36°= =0.54求出AM，即可求解．
EF MN
【详解】（1）解：∵该小区每座楼均为16层，每层楼高2.8米且装有落地窗，
∴ CD=AB=16×2.8=44.8（米），BE=DF=6×2.8=16.8（米），
∴ AE=AB−BE=44.8−16.8=28（米），
故答案为：28；
AE
（2）∵ tan22.8°= =0.42，AE=28，
EF
AE 28
∴ EF= = ≈66.67（米），
tan22.8° 0.42
∴ MN=EF=66.67（米），
AM
∵ tan28.36°= =0.54，
MN
∴ AM=MN·tan28.36°=66.67×0.54≈36（米），
∴ 36÷2.8≈13（楼），
∴至少买13楼才能达到要求．
21．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BD是⊙O的直径，连接AC，∠ACB=45°．
(1)如图1，AB=√2，求⊙O的半径；
(2)如图2，过点O作OE⊥BC于点E，延长EO交AC于点F，连接DF，OC.已知OF=2OE，求证：四
边形OCDF是平行四边形．
【答案】(1)1
(2)见解析
【分析】（1）证明△ABD是等腰直角三角形，则AD=AB=√2，进一步得到BD=√AB2+AD2=2，即
可得到⊙O的半径；1
（2）证明OE是△BCD的中位线，则EF∥CD,OE= CD，由OF=2OE得到CD=OF=2OE，又由
2
CD∥OF，即可得到结论．
【详解】（1）解：∵BD是⊙O的直径，
∴，
∵∠ACB=45°，
∴∠ADB=∠ACB=45°，
∴∠ABD=90°−∠ADB=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=AB=√2，
∴BD=√AB2+AD2=2，
1
∴BO=DO= BD=1，
2
即⊙O的半径为1；
（2）∵过点O作OE⊥BC于点E，
1
∴BE=CE= BC，
2
1
∵OB=OD= BD，
2
∴OE是△BCD的中位线，
1
∴EF∥CD,OE= CD，
2
∵OF=2OE，
∴CD=OF=2OE，
又∵CD∥OF，
∴四边形OCDF是平行四边形．
【点睛】此题考查了垂径定理、圆周角定理、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定和性质、平行四
边形的判定等知识，熟练掌握三角形中位线定理和垂径定理是解题的关键．
22．如图，在边长为m的正方形ABCD中，点E，F分别为CD，AB边上的点，将正方形ABCD沿EF翻
折，点B的对应点为H，点C恰好落在AD边的点G处．(1)【问题解决】
如图①，连接CG，则CG与折痕EF的位置关系是______，CG与EF的数量关系是______；
(2)【问题探究】
如图②，连接CH，在翻折过程中，GC平分∠DGH，试探究△CGH的面积是否为定值，若为定值，请
求出△CGH的面积；若不是定值，请说明理由；
(3)【拓展延伸】若m=3，求出CH+CG的最小值．
【答案】(1)CG⊥EF，CG=EF
1
(2)△CGH的面积为定值 m2 ，理由见解析
2
(3)3√5
【分析】（1）过F作FM⊥CD于M，由翻折的性质得出EF垂直平分CG，利用ASA证明
△EFM≌△GCD，即可得出结论；
（2）作CN⊥GH于N，证明△CGN≌△CGD，得出CN=CD，即可得出结论；
（3）作点C关于AD的对称点Q，连接BG，BQ，GQ，利用SAS证明△BCG≌△HGC，得出BG=HC，
则CH+CG=BG+QG≥BQ，当B、G、Q三点共线时，CH+CG的值最小，最小值为BQ的长，然后在
Rt△BCQ中利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：CG⊥EF，CG=EF
理由：过F作FM⊥CD于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BCD=∠D=90°，CB=CD，
∴四边形BCMF是矩形，∴BC=FM=CD，∠CMF=90°=∠FME，
∵翻折，
∴EF垂直平分CG，
∴∠GCD+∠CEF=90°，
∵∠DGC+∠DCG=90°，
∴∠CEF=∠DGC，
又FM=CD，∠FME=∠D=90°，
∴△EFM≌△GCD，
∴EF=CG，
故答案为：CG⊥EF，CG=EF；
1
（2）解：△CGH的面积为定值 m2 ，
2
理由：作CN⊥GH于N，
∵GC平分∠DGH，
∴∠GCD=∠GCN，
又∠CNG=∠D=90°，CG=CG，
∴△CGN≌△CGD，
∴CN=CD，
∵折叠，
∴GH=BC，
∴CN=CD=BC=GH=m，
1 1
∴S = HG⋅CN= m2 ；
△HCG 2 2
（3）解：作点C关于AD的对称点Q，连接BG，BQ，GQ，则AD垂直平分CQ，
∴CG=QG，
∵折叠，
∴EG=EC，GH=BC，
∴∠EGC=∠GCE，
∵∠EGC+∠HGC=90°，∠GCE+∠BCG=90°，
∴∠HGC=∠BCG，
又CG=CG，GH=BC，
∴△BCG≌△HGC(SAS)，
∴BG=HC，
∴CH+CG=BG+QG≥BQ，
当B、G、Q三点共线时，CH+CG的值最小，最小值为BQ的长，
当m=3时，BC=3，CQ=6，
∴BQ=√BC2+CQ2=3√5，
即CH+CG的最小值为3√5．
【点睛】本题考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，轴对称最短路径
问题等，将CH转化为BG的长是解决第（3）的关键．
23．嘉嘉在一块平整场地玩弹力球，并以此情境编制一道数学题：
如图，在平面直角坐标系xOy中，一个单位长度为1m，嘉嘉从点A处将弹力球（看成点）扔向地面，在地
面上的点B处弹起后其运动路线为抛物线C ，抛物线C 在点C处达到最高，之后落在地面上的点D处，
1 1
已知OB=0.5m，点C坐标为(2.5,4)．(1)求抛物线C 的表达式及点D坐标；
1
(2)弹力球在点D处再次弹起，其运动路线为抛物线C ，抛物线C 与C 的形状一致且在E处最高，点E与
2 2 1
点O的水平距离为6m，
①求抛物线C 与C 最高点的高度差；
1 2
②有一竖直放置的隔板MN高0.29m，且ON=7.6m，若弹力球沿C 下落过程中要落在隔板MN上（含端
2
点），其他条件都不变的情况下，需要将起弹点B右移n米，直接写出n的取值范围．
【答案】(1)y=−(x−2.5) 2+4，D(4.5,0)
(2)①最高点的高度差为1.75m；②0.1≤n≤0.2
【分析】本题考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解答本题的关键．
（1）先用待定系数法求出函数解析式，再令y=0即可求出点D坐标；
（2）①求出抛物线C 的表达式即可求解；
2
②设平移后再次弹起抛物线的表达式y=−(x−6−n) 2+2.25，然后把(7.6,0)和(7.6,0.29)分别代入求解即
可．
【详解】（1）设抛物线C 的表达式y=a(x−2.5) 2+4，
1
把B(0.5,0)代入，得
0=a×(0.5−2.5) 2+4，
解得a=−1，
∴y=−(x−2.5) 2+4
当y=0时，0=−(x−2.5) 2+4，解得x =0.5,x =4.5，
1 2
∴D(4.5,0)；
（2）①设抛物线C 的表达式y=−(x−6) 2+k，
2
把D(4.5,0)代入，得0=−(4.5−6) 2+k，
解得k=2.25，
∴y=−(x−6) 2+2.25
∴抛物线C 与C 最高点的高度差为4−2.25=1.75m；
1 2
②设平移后再次弹起抛物线的表达式y=−(x−6−n) 2+2.25，
当经过点(7.6,0)时，0=−(7.6−6−n) 2+2.25，
解得n =0.1，n =3.1（舍去）；
1 2
当(7.6,0.29)时0.29=−(7.6−6−n) 2+2.25，
解得n =0.2，n =3（舍去）；
1 2
∴n的取值范围为0.1≤n≤0.2．
