菱形问题
一 阶 方法突破练
1.在如图所示的正方形网格中，有格点A，B，确定两组格点C，D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是
菱形，请通过作图找出符合要求的点C，D.
2. 如图,在平面直角坐标系中,点A(-4,0),B(0,3),点M为x轴上一动点，点N为平面内一动点.若以A，B，M，N
为顶点的四边形是菱形，请求出所有符合条件的点 N的坐标.
3.如图，抛物线 y=−x²+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.若点D是x轴上的动点，在平面直
角坐标系中，存在点E，使得以点A，C，D，E为顶点的四边形是菱形，求点E的坐标.二阶 设问进阶练
2 14
例 如图，抛物线 y=− x2− x−4与x轴交于B，C两点，与y轴交于点 A.
3 3
(1)若抛物线上存在一点P，点H是平面内任意一点，使得四边形 BPOH是菱形,求点 P 的坐标;
(2)若点D为y轴上一点，K为平面内任意一点，当以B，C，D，K为顶点的四边形是以 BC为边的菱形时，
求点 D的坐标；
(3)若点M为抛物线对称轴上一动点，在平面内是否存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形?·
若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；(4)如图④，连接AB，交抛物线对称轴于点 F，点G为x轴上一动点，在平面内是否存在点Q，使得以A，
F，G，Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
(5)如图⑤，将原抛物线向右平移1个单位得到新抛物线，点P 是新抛物线的顶点，点 K是平面内一点，点 H
为x 轴上一点.是否存在点 K，使得以点C，P，H，K为顶点的四边形是菱形?若存在，请求出点K的坐标；若不存
在，请说明理由.三阶综合强化练
1.如图，已知抛物线 y=x²−2x−3与x轴交于A，D两点，与y轴交于点 C，点 B 为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的对称轴及点 B的坐标；
(2)若抛物线上存在一点 E，使得 S =S ,求点E的坐标；
EAD CAD
(3)(任意一点+抛物线上的动点)若平面直角坐标系内存在动点 P，抛物线上是否存在点Q，使得以A，C，P，
Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
作图区 答题区2.如图，抛物线 y=ax²+bx+6(a≠0)与x轴交于A,B(3,0)两点,与y轴交于点 C ,顶点为D,且点 D 的横坐标为
1.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若在线段 BC 上存在一点 M,使得. ∠BMO=45°,，求点M的坐标；
(3)(y轴上的动点+对称轴上的动点)点P是y轴上一动点，点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，Q，
使得以点P，Q，C，D 为顶点的四边形是菱形?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
作图区 答题区3.如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点(点 B在点A右侧),
2
AB=4,与y轴交于点 C，直线 y=− x+2经过点 B,C.
3
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图②,点 P 为BC上方抛物线上一点,过点 P 作. PE‖x轴交直线 BC于点E，作 PF‖y轴交直线 BC 于点 F,
求 △PEF周长的最大值；
(3)(x轴上的动点+任意一点)在(2)的条件下，若点S是x轴上的动点，点Q为平面内一点，是否存在点S，Q，
使得以S，Q，E，F为顶点的四边形是菱形?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
作图区 答题区一阶 方法突破练
1.解：格点C，D的位置如解图所示(答案不唯一).
2. 解:∵A(-4,0),B(0,3),∴AB=5.
①当AB 为菱形的边时，
a.若AB 与AM 为邻边,如解图①,以点 A 为圆心,AB 长为半径画圆，交x轴于点M，
∵BN∥AM,且BN=AM=AB=5,
∴N₁(-5,3),N₂(5,3);
b.若AB 与BM为邻边,如解图②,以点 B 为圆心,AB长为半径画圆，交x轴于点 M，
此时ON₃=OB=3,∴N₃(0,-3);
②当AB 为菱形的对角线时，如解图③，作AB 的垂直平分线交x轴于点M，
∵ BN₄∥AM₄,设N₄(n,3),
∴BM₄=AM₄=BN₄=−n,∴OM₄=4+n,
在 Rt△BOM₄中,由勾股定理得,
25 ( 25 )
n²−(4+n)²=9,解得 n=− ,∴N − ,3 .
8 4 8
( 25 )
综上所述,点N的坐标为(-5,3)或(5,3)或(0,-3)或 − ,3 .
8
3. 解:∵ 抛物线 y=−x²+2x+3与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点 C,
∴A(-1,0),B(3,0),C(0,3),分三种情况讨论：
①如解图①，当 AD 为菱形的对角线时，则AD 与CE互相垂直平分，∴E(0,-3);
②如解图②③，当 CD 为菱形的对角线时，则 CE=AD=AC=√10, ∴E(√10,3)或 E (−√10,3);
③如解图④,当AC 为菱形的对角线时，则CE=AD=CD,
设D(d,0),
由 CD²=AD²,得 d²+3²=(d+1)²,,解得d=4,
∴CE=AD=CD=5,∴E(-5,3).
综上所述,点 E 的坐标为(0,-3)或( (√10,3)或 (−√10,3)或(-5,3).
二阶 设问进阶练
例 解:(1)∵抛物线与x轴交于B,C两点,
∴B(-6,0),C(-1,0),
∵四边形BPOH是菱形，∴线段OB的垂直平分线与抛物线的交点即为点 P.
∵OB=6,∴点P的横坐标为-3.
将x=-3代入抛物线解析式得y=4.
∴点P的坐标为(-3,4);
(2)由(1)可知,B(-6,0),C(-1,0),∴BC=5,
∵ BC为菱形的一边,∴BC=CD.
设D(0,n),. ∴CD²=1²+n²,
则 1²+n²=5²,解得 n=±2√6.
∴点D的坐标为(0,2 √6)或(0,-2 √6);
(3)存在.
2 14
∵ 抛物线的解析式为 y=− x2− x−4,令x=0,得y=-4,∴A(0,-4).
3 3
14
b 3 7
∵− =− =− ,
2a ( 2) 2
2× −
3
( 7 )
∴设点 M的坐标为 − ,m .
2
①当AB为菱形对角线时，如解图①，连接AB，取AB的中点H，过点H作AB的垂线与抛物线对称轴交于
点M₁，过点A作BM₁的平行线，过点B作AM₁的平行线，两平行线交于点 N₁，
∵A(0,-4),B(-6,0),
2
∴H(-3,-2). AB 所在直线的解析式为 y=− x−4.
3
3
设 M₁N₁ 所在直线的解析式为 y= x+d ,
2 1
5
将H(-3,-2)代入得 d = ,
1 2
3 5
∴M₁N₁所在直线的解析式为 y= x+ ,
2 27 11 ( 7 11)
将 x=− 代入，得 y=− .∴M − ,− .
2 4 1 2 4
( 5 5)
∵H为M₁N₁的中点,∴ N − ,− ;
1 2 4
②当AB为菱形的边时，
∵A(0,-4),B(-6,0),∴AB²=6²+4²=52.
( 7) 2 2 √159
a.如解图②,当AM=AB时,则. AM²=AB²,即 − +[m−(−4)] =52,解得 m=−4± ,
2 2
( 7 √159) ( 7 √159)
∴M − ,−4+ ,M − ,−4− .
2 2 2 3 2 2
( 19 √159) 19 √159
∴根据平移性质可得 N − , ,N (− , − );
2 2 2 3 2 2
b.如解图③,当BM=AB时,则. BM²=AB²,
2
[ 7 ] √183 ( 7 √183) ( 7 √183)
即 − −(−6) +m2=52,解得 m=± , ∴M − , ,M − ,− .
2 2 4 2 2 5 2 2
(5 √183 ) (5) √183
∴根据平移性质可得 N , −4 ,N − −4).
4 2 2 5 2 2
( 5 5) 19 √159 ( 19 √159) (5 √183 ) (5)
综上所述，点 N 的坐标为 − ,− 或 (− , )或 − ,− 或 , −4 或
2 4 2 2 2 2 2 2 2
√183
− −4);
2
(4)存在.
2
由(3)得AB所在直线的解析式为 y=− x−4,∵ 点 F 为线段 AB 与抛物线对称轴的交点，
3
( 7 5)
∴F − ,− .
2 3
∵点G在x轴上,
∴ 设点 G的坐标为(g,0).
①如解图④，当AF 为菱形对角线时，
( 7 17)
设线段AF的中点为I，则 I − ,− .
4 6
3 ( 7 17) 5
设G₁Q₁所在直线的解析式为 y= x+d ,将 I − ,− 代入，解得 d =− ,
2 2 4 6 2 24
3 5 5 ( 5 )
∴ G₁Q₁所在直线的解析式为 y= x− .令y=0,解得 x= ∴G ,0 ,
2 24 36 1 36
( 7 17)
∵点 I − ,− 是Q₁G₁的中点,
4 6( 131 17)
∴Q − ,− ;
1 36 3
②当AF 为菱形的边时，
∵A(0,−4),F ( − 7 ,− 5) ,∴AF2= 637
2 3 36
a.如解图⑤,当AG=AF时,则 AG²=AF²,
637 √61
即 g2+(−4) 2= ,解得 g=± ,
36 6
( √61 ) (√61 )
∴G − ,0 ,G ,0 .
2 6 3 6
( √61+21 7) (√61−21 7)
∴ 根 据 平 移 性 质 可 得 Q − , , Q , ;
2 6 3 3 6 3
b.如解图⑥,当FG=AF时,则 FG²=AF²,
( 7 ) 2 ( 5) 2 637
即 − −g + − = ,
2 3 36
7 √537
解得 g=− ± ,
2 6
( 7 √537 ) ( 7 √537 )
∴G − − ,0 ,G − + ,0 .
4 2 6 5 2 6
(√537 7) (√537 7)
∴ 根据平移性质得 Q , ,Q , .
4 6 3 s 6 3
( 131 17) ( √61+21 7) (√61−21 7) ( √537 7)
综上所述，点 Q 的坐标为 − ,− 或 − , 或 , 或 − ,− 或
36 3 6 3 6 3 6 3
(√537 7)
,− ;
6 3
(5)存在.
5 ( 5 25) √706
原抛物线向右平移1个单位后，新抛物线的对称轴为直线 x=− ,∴P − , ,∴CP= ,
2 2 6 6
分以下情况讨论：
①如解图⑦,当 CH 是菱形的对角线时，由菱形的性质得点 P 与点 K₁ 关于x轴对称，
( 5 25)
∴K − ,− ,
1 2 6
√706
②如解图⑦，当CK 为菱形的对角线时，由菱形的性质得， CH=PK=CP= ,
6
(√706 5 25) ( √706 5 25)
∴K − , ,K − − , ,
2 6 2 6 3 6 2 6③如解图⑧，当CP 为菱形的对角线时，由菱形性质得，PC垂直且平分HK，
( 5 25)
∵C(−1,0),P − , ,
2 6
( 7 25)
∴PC中点的坐标为 − , ,
4 12
25 25
∴ 直线 PC 的解析式为 y=− x− ,
9 9
9 ( 7 25) 407
∴设直线KH的解析式为 y= x+d ,将 − , 代入，得 d = ,
25 3 4 12 3 150
9 407
∴ 直线 KH 的解析式为 y= x+ ,
25 150
∵ PK∥HC,
25 109 (109 25)
∴点K的纵坐标为 ,代入直线 KH,得 x= , ∴K , ,
6 27 4 27 6
( 5 25) (√706 5) 25 ( √706 5 25) (109 25)
综上所述，点 K 的坐标为 − ,− 或 − )或 − − , 或 , .
2 6 6 2 6 6 2 6 27 6
三阶 综合强化练
1. 解:(1)B(1,-4);
(2)【思路点拨】由题意知,△EAD 与△CAD 有公共底AD，若想使两三角形面积相等，则高相等即可，设出点
E的坐标，由高相等，列方程求解即可.
如解图①，设 E(x,x²−2x−3),
∵点C为抛物线与y轴的交点,∴C(0,-3),
∵ △EAD 与 △CAD 有 共 同 的 底 边 AD, 且 S =S ,
EAD CAD
∴点E到x轴的距离等于点C到x轴的距离，
∴|x²−2x−3|=3,
解得 x =2,x =0,x =√7+1,x =−√7+1,
1 2 3 4
∴E (2,−3),E (0,−3),E (√7+1,3),E (−√7+1,3),
1 2 3 4
∴点E的坐标为(2,-3)或(0,-3)或( (√7+1,3)或 (−√7+1,3);(3)【思路点拨】因为 AC 为菱形的对角线，由菱形对角线互相垂直且平分的性质，可知菱形对角线过点O，
可求出菱形另一条对角线所在的直线解析式，将其与抛物线解析式联立求解即可.
存在，如解图②，
∵ 四边形是以AC为对角线的菱形，
由菱形对角线互相垂直平分的性质，作AC的垂直平分线交抛物线于点 Q₁，Q₂，
令 x²−2x−3=0,得 x₁=−1,x₂=3,
∴A(3,0),
∴OA=OC=3,
∴AC 的垂直平分线过点O，
设AC的中点为点F，
(3 3)
∴F ,− ,. 直线Q₁Q₂的解析式为y=-x,
2 2
{y=x2−2x−3
,
联立
y=−x
{
√13+1
{
−√13+1
x= x=
2 2
,
解得
√13+1 √13−1
y= y=
2 2
(−√13+1 √13−1) (√13+1 √13+1)
∴Q , ,Q , .
1 2 2 2 2 2
2.解：(1)抛物线的解析式为 y=−2x²+4x+6;
(2)【思路点拨】可作 MN⊥y 轴,OH⊥OM 交 CB 的延长线于点H,作HK⊥y轴,构造△OMN≌△HOK,得到对应
边相等，求得点M的坐标.
由(1)得,点C(0,6),
∵直线 BC经过点 B(3,0),C(0,6),
∴ 直线 BC 的解析式为y=-2x+6,
设点M的坐标为(m,-2m+6)(0<m<3),
如解图①,过点M作MN⊥y轴于点N,过点O 作OH⊥OM 交CB的延长线于点H,过点H作HK⊥y轴于点K,
则∠MNO=∠MOH=∠HKO=90°,
∵∠OMB =45°,∴OM=OH.
易知∠MON=∠OHK,
∴△OMN≌△HOK(AAS),
∴MN=OK,ON=HK.
∴H(-2m+6,-m),
6 18
∴-2(-2m+6)+6=-m,解得 m= ,−2m+6= ,
5 5
(6 18)
∴点 M的坐标为 , ;
5 5
(3)存在.
易知,点 D 的坐标为(1,8),
∵以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形，
∴分两种情况讨论：①当CD为菱形的边时，如解图②，
∵C(0,6),D(1,8),. ∴CD=√5,
∴DQ=CD=√5,
∴点 Q 的坐标为( (1,8−√5)或 (1,8+√5);
②当 CD为菱形对角线时，如解图③，设点Q(1,m),P(0,n),
∵C(0,6),D(1,8),∴m+n=6+8=14,
∴n=14-m,∴P(0,14-m),
∴PC=14-m-6=8-m,
∵CQ=√12+(m−6) 2,PC=CQ,
27
∴8−m=√12+(m−6) 2,解得 m= ,
4
( 27)
∴点Q的坐标为 1, ,
4
( 27)
综上所述，点Q 的坐标为( (1,8−√5)或 (1,8+√5)或 1, .
4
2 4
3.解：(1)抛物线的解析式为
y=− x2+ x+2;
3 3
(2)【思路点拨】设出点 P的坐标，由平行线的性质得到点E的横坐标，通过函数解析式得到点E，F的坐标，
表示出 PE，PF的长，由勾股定理得到 EF 的长，进而表示出三角形的周长，利用二次函数的性质即可求得△PEF
周长的最大值.
2 4
设点 P的坐标为( m,− m2+ m+2)(0<m<3),
3 3
∵ PE∥x轴,PF∥y轴,
2 4 2
∴− m2+ m+2=− x +2,解得 x =m2−2m,
3 3 3 E E
∴E ( m2−2m,− 2 m2+ 4 m+2 ) ,F ( m,− 2 m+2 ) ,
3 3 3
∴PE=m−(m²−2m)=−m²+3m,
PF=− 2 m2+ 4 m+2− ( − 2 m+2 ) =− 2 m2+2m,
3 3 3 3
∴EF= √ (−m2+3m) 2 + ( − 2 m2+2m ) 2
3
√ 4 8
= m4−6m3+9m2+ m4− m3+4m2
9 3√13 26
= m4− m3+13m2
9 3
√13
= (m4−6m3+9m2)
9
√13
= |m2−3m|,
3
√13
∵0<m<3,∴EF= (3m−m2),
3
∴C =−m2+3m+ ( − 2 m2+2m ) + √13 (3m−m2)
PEF 3 3
5+√13( 3) 2 15+3√13
=− m− + ,
3 2 4
5+√13
∴− <0,
3
3 15+3√13
∴ 当 m= 时, C△PEF存 在 最 大 值,最 大 值为 ;
2 4
【一题多解】设点 P 的坐标为 ( m,− 2 m2+ 4 m+2 ) (0<m<3),∵ PF∥y轴, ∴F ( m,− 2 m+2 ) ,∠OCB=
3 3 3
∠EFP,∵∠EPF=∠BOC=90°,∴△EPF∽△BOC, ∴ PF = PE ,∵PF=− 2 m2+ 4 m+2− ( − 2 m+2 ) =
OC OB 3 3 3
√13 √13 2
∴EF=√PE2+PF2= |m2−3m|,∴0<m<3,∴ EF= (3m−m2),∴C =−m2+3m+(− m2+
3 3 PEF 3
2m)+
√13
(3m−m2)=−
5+√13(
m−
3) 2
+
15+3√13
+
3 3 2 4
5+√13 3 15+3√13
∵− <0,.当 m= 时,C△PEF存在最大值，最大值为 .
3 2 4
(3)存在.
3
由(2)知, m= ,
2
( 3 5) (3 ) 3√13
∴E − , ,F ,1 ,EF= ,
4 2 2 4
分以下三种情况：
①线段 EF 为菱形的边,且 EF 与 ES 为邻边,如解图①，以点 E 为圆心，EF 长为半径作圆，交x轴于点S₁,S₂,连
接ES₁,ES₂,过点 S₁,S₂作EF的平行线,过点F作ES₁，ES₂的平行线，两平行线分别交于点Q₁，
3√13
Q ,∴EF=ES =ES = ,
2 1 2 4
设点 S坐标为(s,0),
√ ( 3 ) 2 (5) 2 3√13
∴ES= − −s + = ,
4 2 4
−3−√17 −3+√17
解得 s = ,s = ,
1 4 2 4
(−3−√17 ) (−3+√17 )
∴S ,0 ,S ,0 ,
1 4 2 49 3
∵四边形EFQS 为菱形，点 F 可由点 E 向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度得到，
4 2
9 3
∴点Q可由点S向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度得到，
4 2
(6−√17 3) (6+√17 3)
∴Q ,− ,Q ,− ;
1 4 2 2 4 2
②线段EF 为菱形的边，且 EF 与 FS 为邻边，如解图②，以点 F为圆心，FE长为半径作圆，交x轴于点 S₃，
S₄,连接FS₃,FS₄,过点S₃,S₄作EF的平行线,过点 E作 FS₃,FS₄的平行线,两平行线分别交于点 Q₃,Q₄,
3√13
∴EF=FS =FS = ,
3 4 4
(6−√101 ) (6+√101 )
同①可得 S ,0 ,S ,0 ,
3 4 4 4
9 3
∵ 四边形 EFSQ 为菱形，点E可由点F向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度得到，
4 2
9 3
∴点Q可由点S向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度得到，
4 2
(−3−√101 3) (−3+√101 3)
∴Q , ,Q , ;
3 4 2 4 4 2
③线段 EF 为菱形的对角线，如解图③，作 EF 的垂直平分线交 EF 于点 D,交x轴于点 S₅,连接ES₅,FS₅,过点 E
作 FS₅的平行线,过点 F 作ES₅的平行线，两平行线交于点 Q₅，
∵ 直线 S₅Q₅垂直平分线段 EF,
(3 7)
∴D , ,
8 4
2
∵ 直线EF的解析式为 y=− x+2,EF⟂S Q ,
3 5 s
3 3 19
∴可设直线S₅Q₅的解析式为 y= x+d,将点 D 的坐标代入 y= x+d中，解得 d= ,
2 2 16
3 19 19 ( 19 )
∴ 直线 S₅Q₅的解析式为 y= x+ ,当y=0时, x=− ,∴S − ,0 ,由中点坐标公式可得
2 16 24 5 24
(37 7)
Q , .
5 24 2
(6−√17 3) (6+√17) 3 (−3−√101 3) (−3+√101 3)
综上所述，点Q的坐标为 ,− 或 − )或 , 或 , 或
4 2 4 2 4 2 4 2(37) 7
).
24 2
