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2024 年中考第一次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．
目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014
用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】科学计数法的记数形式为： ，其中 ，当数值绝对值大于1时， 是小数点向右移
动的位数；当数值绝对值小于1时， 是小数点向左移动的位数的相反数．
【详解】解： ，
故选A．
【点睛】本题考查科学计数法，掌握科学计数法的记数形式是解题的关键．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转 后，能够与原图形
重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A、绕某一点旋转 后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直
线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转 后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够
互相重合，是轴对称图形，故符合题意；C、绕某一点旋转 后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能
够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转 后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意；
故选：B．
3．估计 的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】C
【分析】先进行二次根式的计算，再根据 的取值范围确定结果的取值范围．
【详解】∵
∵ ，
∴
∴ ，
∴ 的值应在 和 之间，
故选：C
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．如图所示几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．根据从左边看得到的图形是左
视图，可得答案．
【详解】解：从几何体的左面看，是一个长方形，因为中间的棱不能看见，所以长方形的中间有一条横向的虚线．
故选：C．
5．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，求出正六边形的一个内角和一个外角的度数，得到 ，平行线的性
质，得到 ，三角形的外角的性质，得到 ，进而求出 的度数．
【详解】解：如图：
∵正六边形的一个外角的度数为： ，
∴正六边形的一个内角的度数为： ，
即： ，
∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
【点睛】本题考查正多边形的内角和、外角和的综合应用，平行线的性质．熟练掌握多边形的外角和是
，是解题的关键．
6．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．若 ，则下列结论正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大且 可得 、 ，根据有
理数的运算法则逐项排查即可解答．
【详解】解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，并且 可得 、 ，
则有：
A、 ，则A不正确；
B、 ，B正确；
C、 ，C不正确；
D、 ，D不正确．
故选B．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大得出
是解题关键．
7．如图，将线段AB先绕原点O按逆时针方向旋转90°，再向下平移4个单位，得到线段A'B'，则点B的
对应点B'的坐标是( )
A．（－3，－1） B．（－3，－3）
C．（－1，－3） D．（－1，－2）
【答案】A
【分析】画出图形，可得结论．【详解】解：如图，B′（-3，-1）．
故选：A．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，平移变换等知识，解题的关键是正确作出图形．
8．如图， 是 的直径，点 在 上，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于90度，圆的内接四边形，连接 ，
，得出 ， ，进而可得出答案．
【详解】解：连接 ， ，
∵同弧所对的圆周角相等，
∴ ，
∵ 是 的直径，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
9．如图，现有边长为4的正方形纸片 ，点P为 边上的一点（不与点A点D重合），将正方形纸
片沿 折叠，使点B落在P处，点C落在G处， 交 于H，连接 ，则下列结论正确的有（
）
① ；②当P为 中点时， 三边之比为 ；③ ；④ 周长等于8．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】过点F作 于点M，易得 ，由折叠可知 ，于是利用同角的余角相
等可得 ，以此可通过 证明 ，即可判断①；由折叠可知 ，设
，则 ，在 中，利用勾股定理建立方程，求解即可判断②；利用等角的余角
相等即可判断③；过点B作 于点N，易通过 证明 ，得到 ，
以此再通过 证明 ，得到 ，则 ，即可判断④．
【详解】解：如图，过点F作 于点M，
∵四边形 为正方形，
∴
∵ ，∴四边形 为矩形，
∴
由折叠可知，
∴
∵
∴ ，即
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，故①正确；
由折叠可知， ，
设 ，则 ，
∵P为 中点，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得：
∴ ，
∴
即 三边之比为 ，故②正确；
由折叠可知， ，
∴
∵
∴ ，故③正确；
如图，过点B作 于点N，∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④正确．
综上，正确的结论有①②③④．
故选：D．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，正确作出辅助
线，构建合适的全等三角形解决问题是解题关键．
10．如图所示，已知二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，对称轴为直
线 ，直线 与抛物线 交于 ， 两点， 点在 轴下方且横坐标小于 ，则下
列结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的有（ ）A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】解：①由图象可知：抛物线的对称轴为直线 时，
点 关于直线 对称的点为 ，
时， ，
，
，故①正确；
②令 代入 ，
，
由图象可知： ，
由图象可知： ，
，
，故②正确；
③由图象可知： 时，二次函数的最大值为 ，
当 取全体实数时， ，
即 ，故③正确；
④联立 ，
化简得： ，或 ，
即 的横坐标为 ，
由于 ， ，且 ，
，
，故④错误，
故选：B．
【点睛】该题考查二次函数，解答该题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了5棵，每棵产量的平均数 （单位：千克）
及方差s2（单位：千克2）如表所示：
甲 乙 丙
45 45 42
s2 1.8 2.3 1.8
明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是 ．
【答案】甲
【分析】先比较平均数得到甲和乙产量较高，然后比较方差得到甲比较稳定．
【详解】解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高，
又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定，
即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲；
故答案为：甲．
【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，
则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数．
12．已知m是方程式 的根，则式子 的值为 ．【答案】2020
【分析】由题意可得出 ，可变形为 ， ．再由
，将 代入化简得 ，再将
代入求值即可．
【详解】∵m是方程式 的根，
∴ ，
∴ ， ．
，
将 代入，得： ，
再将 代入，得： ．
故答案为：2020．
【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义，代数式求值．利用整体代入的思想是解题关键．
13．某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资9000元建设几间直播教室，为了保证教学
质量，实际每间建设费用增加了 ，并比原计划多建设了两间直播教室，总投资追加了3000元，根据
题意，则原计划每间直播教室的建设费用是 ．
【答案】500元
【分析】设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x元，根据“实际每间建设
费用增加了20%，并比原计划多建设了两间直播教室，总投资追加了3000元”列出方程求解即可．
【详解】解：设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x元，根据题意得：
，
解得：x=500，
经检验：x=500是原方程的解，
所以，原计划每间直播教室的建设费用是500元，
故填：500元．
【点睛】考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系，难度不大．14．如图， 是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数 的图象
上，则经过点A的函数图象表达式为 ．
【答案】 /
【分析】作 轴于 ， 轴于 ，根据 是等腰直角三角形，可证明 ，利用反
比例函数 的几何意义得到 ，则 ，所以 ，然后求出 得到经过点 的反比例函
数解析式．
【详解】解：如图，作 轴于 ， 轴于 ，
，
，
，
，
，
，
，
点 在反比例函数 的图象上，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵经过点A的函数图象在第二象限内，
，
经过点 的反比例函数解析式为 ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了反比例函数k的意义，全等三角形的判定与性质以及反比例函数的图象性质．此题难
度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
15．如图，在 中， ， ， ，以B为圆心 为半径画弧交平行四边形的对
边 、 分别于F、E，再以C为圆心 为半径画弧恰好交 边于E点，则图中阴影部分的面积为
．
【答案】
【分析】如图（见解析），连接 ，交于点 ，先根据平行四边形的性质、菱形的判定证出四边
形 是菱形，再根据菱形的性质可得 ， ，然后利用扇形的面积公
式求解即可得．
【详解】解：如图，连接 ，交于点 ，∵在 中， ， ， ，
，
由题意可知， ，
，
是等边三角形，
，
，
四边形 是平行四边形，
又 ，
平行四边形 是菱形，
，
则图中阴影部分的面积为
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、扇形的面积等知识点，熟练掌握扇形的面积
公式是解题关键．
16．如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，点E、F分别在AD、CD上，且AE＝DF，AF与CE相交于点G，BG与AC相交于点H．下列结论：①AF＝CE；②∠AGE＝60°；③若DF＝2CF，则CE＝6GF；④S
四
ABCG ．其中正确的结论有 ．
边形
【答案】①②④
【分析】根据等边三角形的性质证明 ACF≌△CDE，可判断①；过点F作FP∥AD，交CE于P点，利用平
行线分线段成比例可判断③；过点B△作BM⊥AG于M，BN⊥GC于N，得到点A、B、C、G四点共圆，从而
证明 ABM≌△CBN，得到S ABCG=S BMGN，再利用S BMGN=2S BMG求出结果即可判断④；
四边形 四边形 四边形
△
根据△全等得出∠DCE=∠CAF，根据三角形外角性质得出判断②．
【详解】解：∵ABCD为菱形，
∴AD=CD，
∵AE=DF，
∴DE=CF，
∵∠ADC=60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠D=∠ACD=60°，AC=CD，
∴△ACF≌△CDE（SAS），故①正确；
过点F作FP∥AD，交CE于P点，
∵DF=2CF，
∴FP：DE=CF：CD=1：3，
∵DE=CF，AD=CD，
∴AE=2DE，
∴FP：AE=1：6=FG：AG，
∴AG=6FG，
∴CE=AF=7GF，故③错误；
过点B作BM⊥AG于M，BN⊥GC于N，∵∠AGE=∠ACG+∠CAF=∠ACG+∠GCF=60°=∠ABC，
即∠AGC+∠ABC=180°，
∴点A、B、C、G四点共圆，
∴∠AGB=∠ACB=60°，∠CGB=∠CAB=60°，
∴∠AGB=∠CGB=60°，
∴BM=BN，又AB=BC，
∴△ABM≌△CBN（HL），
∴S ABCG=S BMGN，
四边形 四边形
∵∠BGM=60°，
∴GM= BG，BM= ，
∴S BMGN=2S BMG=2× × BG× = ，故④正确；
四边形
△
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC，
∵AD=AC，
∴AD=DC=BD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠AGE=∠ACE+∠CAG=∠DCE+∠ACE=∠ACD=60°，则②正确；
故答案为：①②④
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造
出全等三角形，把不规则图形的面积转化为两个全等三角形的面积是解题的关键．三、作图题（本大题共4分．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
17．如图，在 中， ．
作 的角平分线，交 于点D，作 的垂直平分线，交 于点P（保留痕迹，不写作法）。
【答案】见解析
【分析】根据尺规作角平分线和线段垂直平分线的方法作图即可；
【详解】解：如图所示：
【点睛】本题考查了尺规作角平分线和线段垂直平分线，熟练掌握尺规作图的方法是解题的关键．
四、解答题（本大题共9个小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．已知不等式组
(1)解上述不等式组．
(2)从（1）的结果中选择一个整数是方程 的解，求m的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据解一元一次不等式组的一般步骤进行解答即可；
（2）先求出（1）中不等式组的整数解，再考虑分母x-2≠0，然后把整数代入分式方程得出关于m的方程，
解方程即可求出m的值．【详解】（1）解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为 ；
（2）解：∵ ，且x为整数，
∴x=1或2，
∵ ，
∴ ，
∴x=1，
把x=1代入 得：
，
解得： ．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组及分式方程的解，掌握解一元一次不等式组的一般步骤，理解分
式方程解的含义是解决问题的关键．
19．学生的学业负担过重会严重影响学生对待学习的态度，为此某市教育部门对某学校的七年级学生对待
学习的态度进行了一次调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣：B级：对学习较感兴趣；
C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成如下统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下
列问题：(1)此次调查中，共调查了______名学生；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)求出扇形图中最小的扇形的圆心角的度数．
(4)如果该校共有2000名学生，请你估计对学习很感兴趣和对学习较感兴趣的学生一共有多少名？
【答案】(1)200
(2)详见解析
(3)
(4) 人
【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，正确读懂统计图是解题的关键．
（1）用A级的人数除以其人数占比即可求出参与调查的学生人数；
（2）根据（1）所求求出C级的人数进而补全统计图即可；
（3）人数最少的等级即为扇形统计图所对应的圆心角度数最小的扇形，用360度乘以对应的人数占比即可
得到答案．
（4）用2000乘以对学习很感兴趣和对学习较感兴趣的学生人数所占的百分比求解即可．
【详解】（1）解： 名，
∴此次调查中，共调查了200名学生，
故答案为：200；
（2）解：由（1）得C级的学生人数为 名，
补全统计图图形如下：
（3）解：图②中最小的扇形的圆心角的度数为 ．
（4）解： （人）．
20．已知反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于 和 两点．(1)求k和n的值；
(2)若点 也在反比例函数 图象上，求当 时，函数值y的取值范围；
(3)直接写出关于x的不等式 的解集 ．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】此题考查一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求函数解析式，利用图象求函数值的范围，
求不等式的解集：
（1）将点 的坐标代入一次函数解析式及反比例函数解析式即可求出k和n的值；
（2）根据反比例函数的增减性解答；
（3） 即为反比例函数图象在一次函数图象上方，据此解答．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴点B的坐标为 ．
∵反比例函数 的图象过点 ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴当 时，y随x值增大而减小，
∵ 时 ， 时 ，
∴当 时， ；（3）由图象可知，不等式 的解集是 或 ，
故答案为 或 ．
21．如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾器CD，测倾器的顶部C与
树底部B恰好在同一水平线上（即BC//MN），此时测得树顶部A的仰角为50°．已知山坡的坡度i＝1∶3
（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结果精确到0.1m．参考数据：
sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
【答案】约为5.7m
【分析】先求出BC＝4.8m，再由锐角三角函数定义即可求解．
【详解】解：∵山坡BM的坡度i＝1∶3，
∴i＝1∶3＝tanM，
∵BC//MN，
∴∠CBD＝∠M，
∴tan∠CBD＝ ＝tanM＝1∶3，
∴BC＝3CD＝4.8（m），
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝ ＝tan50°≈1.19，
∴AB≈1.19BC＝1.19×4.8≈5.7（m），
即树AB的高度约为5.7m．
【点睛】此题考查解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．正确掌握解直角三角形的应
用﹣坡度坡角问题、仰角俯角问题是解题的关键．
22．【初步思考】（1）如图1．在四边形 中， ，E，F分别是边 ， 上的点，且
．求证： ．
小阳发现此题是证明线段的和（差）问题，根据证明此类题型的常见方法，于是就有了如下的思考过程：
请你在下面的框图中填空帮他补全证明思路．
第一步：延长 至点H，使 ，连接 ，易证 ，得出①_____ ，
．
第二步： ，得出 ，所以②______
．
第三步：易证 ，得出③______ ，于是 ④_______ ，即 ．
【问题解决】
（2）如图2，在四边形 中， ，E、F分别是边BC，CD上的点，且
，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，四边形 是边长为7的正方形， ，求 的周长．
【答案】（1） ， ， ， ；（2）（1）中的结论仍然成立，见解析；（3）14
【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理、灵活运用类
比思想是解题的关键．
（1）延长 至点H，使 ，连接 ，证明 ，根据全等三角形的性质得到
， ，再证明 ，根据全等三角形的性质得出 ，结合图形计
算，即可证明结论；
（2）延长 至 ，使 ，连接 ，仿照（1）的证明方法解答；
（3）在 上截取 ，连接 ，仿照（2）的证明方法解答．
【详解】解：（1）如图，延长 至点H，使 ，连接 ，∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ， ， ， ；
（2）（1）中的结论仍然成立，
理由如下：
如图2，延长 至 ，使 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∴延长 至G，使 ，连接 ，如图，
同理， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
在 中 中，
，
∴ ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴ 的周长 ．
23．某商场经销一种儿童玩具，该种玩具的进价是每个 元，经过一段时间的销售发现，该种玩具每天的
销售量y（个）与每个的售价x（元）之间的函数关系如图所示．
(1)求y关于x的函数关系式，并求出当某天的销售量为 个时，该玩具的销售利润；
(2)每天的销售量不低于 个的情况下，若要每天获得的销售利润最大，求该玩具每个的售价是多少？最大
利润是多少？
(3)根据物价部门规定，这种玩具的售价每个不能高于 元．该商场决定每销售一个这种玩具就捐款n元（
），捐款后发现，该商场每天销售这种玩具所获利润随售价的增大而增大，求n的取值范围．
【答案】(1)当某天的销售量为 个时，该玩具的销售利润 元
(2)要每天获得的销售利润最大，该玩具每个的售价是 元，最大利润为 元
(3)
【分析】（1）设 ，由题意知，图象过 ， 两点，待定系数法求得解析式为，当 时， ，解得 ，根据利润为： ，计算求解即可；
（2）由题意得， ，即 ，设每天的销售利润为W（元），依题意得，
，然后根据二次函数的图象与性质求
解作答即可；
（3）设捐款后每天所获得的利润为Q（元），依题意得，
，则抛物线的对称轴为直线 ，由
，可知当 时，Q随x的增大而增大．由物价部门规定这种玩具的售价每个不能高于
元，可得 ，计算求解然后作答即可．
【详解】（1）解：设 ，
由题意知，图象过 ， 两点，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，
解得 ，
利润为： （元），
∴当某天的销售量为 个时，该玩具的销售利润 元；
（2）解：由题意得， ，
解得 ，
设每天的销售利润为W（元），
依题意得， ，
∵ ，
∴当 时，W取最大值，最大值为 ，∴要每天获得的销售利润最大，该玩具每个的售价是 元，最大利润为 元；
（3）解：设捐款后每天所获得的利润为Q（元），
依题意得， ，
∵抛物线的对称轴为直线 ， ，
∴当 时，Q随x的增大而增大．
∵物价部门规定这种玩具的售价每个不能高于 元，
∴ ，
解得 ，
又∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，有理数混合运算的应用，一元一次不等式的应用，
二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握一次函数的应用，一元一次
不等式的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数的最值是解题的关键．
24．【阅读理解】
排列：从n个元素中选取m（m≤n）个元素，这m个元素称为一个排列，不同顺序视作不同排列，排列数
量记作 ．
组合：从n个元素中选取m（m≤n）个元素，这m个元素称为一个排列，不同顺序视作同一排列，组合数
量记作 ．
例如：（甲、乙），（乙、甲）是两种不同的排列，确实同一种组合．
【问题提出1】在5个点中选取其中3个，有多少种排列？有多少种组合？【问题解决1】
将5个点分别编号为“1”“2”“3”“4”“5”．
（一）排列：
（1）选取第1个点：
如图①，从全部5个点中选取1个，有5种情况；
（2）选取第2个点：
如图①，从剩余4个点中选取1个，有4种情况；
（3）选取第3个点：
如图①，从剩余3个点中选取1个，有3种情况；
综上所述，从5个点中任选3个点，共有5×4×3=60种排列，即 =60．
（二）组合：
因为每个组合都包含了3个点，所有每3个点共有 =3×2×1=6（种）排列．例如：包含“1”“2”“3”这3个
点的组合，就有（1，2，3）（1，3，2）（2，1，3）（2，3，1）（3，1，2）（3，2，1）共6种不同排
列……像这样，每个组合都重复了6次（即 次），即组合数=排列数的 ，故“在5个点中选取其中3
个”对应组合数
（种）．
(1)填空① = ；② = （n≥3）；③ = （n≥2）．
(2)【问题提出2】在五边形中，每次取其中的3个顶点连接成三角形，可以构造多少个三角形？
【问题解决2】
解：问题可以抽象成在5个点中取其中3个，有多少种组合．
∵ （种），∴在5个点中取其中3个，有10种组合．
即在五边形中，每次取其中的3个顶点连接成三角形，可以构造10个三角形．
【问题延伸】在六边形中，每次取其中的4个顶点连接成四边形，可以构造多少个四边形？
（请仿照【问题解决2】利用排列、组合的计算方法解决问题）
解：
【建立模型】在n（n≥3）边形中，每次取其中的m（m≤n）个顶点连接成m角形，可以构造 个m边形．
(3)【模型应用】在如图②所示的正方形网格图中，以格点为顶点的三角形共有 个．
【答案】(1)① ；② ；③ ；
(2)[问题延伸]见解析；[建立模型]
(3)76；
【分析】（1）由前面的示例直接进行计算即可；
（2）仿照[问题解决2]总结出公式并进行计算即可；
（3）在正方形网格图中，共9个格点，任取3个格点，则共有84种，其中3个格点在同一直线上的共有8
种，减去8即可；
【详解】（1）① ；② （n≥3）；③ （n≥2）．
故答案为：① ；② ；③ ；
（2）在六边形中，每次取其中的4个顶点连接成四边形，可以构造 个四边形；
在n（n≥3）边形中，每次取其中的m（m≤n）个顶点连接成m角形，可以构造 个m边形；故答案为： ；
（3）在如图②所示的正方形网格图中，共9个格点，
任取3个格点，则共有 ，
其中3个格点在同一直线上的共有8种，
则以格点为顶点的三角形共有84-8=76（个）．
【点睛】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪
些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像与 轴交于 、 两点， 点在原点的左
侧， 点的坐标为 ，与 轴交于 点，点 是直线 下方的抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)连接 、 ，并把 沿 翻折，得到四边形 ，那么是否存在点 ，使四边形 为
菱形？若存在，请求出此时点 的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)当点 运动到什么位置时，四边形 的面积最大？求出此时 点的坐标和四边形 的最大面积．
【答案】(1)
(2)存在，
(3) 点的坐标为 ，四边形 的面积的最大值为
【分析】（1）将 ， 代入 ，可得关于 ， 的二元一次方程，求解可得抛物线
的解析式；（2）设 ，则 ，由菱形的性质可知 垂直平分 ，求出 的中点坐标为
，则 ，求出 即可得出点 的坐标；
（3）过点 作 轴交 于点 ，交 轴于点 ，求出 点坐标，则 ，设 ，
则 ，则可求 ，所以 ，当 时，
四边形 的面积最大．
【详解】（1）解：∵ ， 在二次函数 的图像上，
∴ ，
解得： ，
∴二次函数的表达式为 ；
（2）存在点 ，使四边形 为菱形，理由如下：
设 ，则 ， 交 于 ，
∵四边形 是菱形，
∴ 垂直平分 ，
∵ ，
∴ 的中点坐标为 ，
∴ ，
解得： ， （负值不合题意，舍去），∴ 点的坐标为 ；
（3）过点 作 轴交 于点 ，交 轴于点 ，
∴ 轴，
∵二次函数 的图像与 轴交于 、 两点， 点在原点的左侧，
当 时，得 ，
解得： ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，过点 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，四边形 的面积最大，最大值为 ，
此时P点的坐标为 ，
∴当 点的坐标为 时，四边形 的面积的最大值为 ．
【点睛】本题是二次函数的综合应用，考查了待定系数法确定二次函数的解析式和一次函数解析式，函数
图像上点的坐标特征，菱形的性质，中点坐标，二次函数的最值，三角形和四边形的面积等知识点．熟练
掌握二次函数的图像及性质，菱形的对称性，及三角形面积的计算是解题的关键．
26．如图，在 中， ， 于点 ， .点 从点 出发，沿 方向匀
速运动，速度为 ，同时直线 由点 出发，沿 的方向匀速运动，速度为 ，运动过程中始终
保持 ．直线 交 于点 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 .设运动时间为
．(1)当 __________s时，四边形 是平行四边形；
(2)设四边形 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式；
(3)连接 ，是否存在某一时刻 ，使点 在线段 的垂直平分线上?若存在，求出此时 的值；若不存
在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由平行四边形对边平行可得，四边形 是平行四边形时 ，根据相似三角形
对应边成比例可得 ，结合 ，可得 ，结合运动方式即可求解；
（2）四边形 为梯形，先证 ，根据相似三角形相似比等于高的比可求出 ，再用含t
的代数式表示出梯形的上下底即可；
（3）根据垂直平分线的性质可得 ，过点 作 于点H，可证 ，根据相
似三角形对应边成比例可得 ，进而用含t的代数式表示 和 ，再根据勾股定理表示
出 ，根据 即可求出t．
【详解】（1）解：四边形 是平行四边形时， ，
在 中， ，
， ，
，，
，
，
由运动方式可知 ， ，
，
，
即当 时，四边形 是平行四边形，
故答案为： ；
（2）解： ，
， ，
，
中， ，即 是等腰三角形，
也是等腰三角形， ，
，
，即 ，
解得 ，
，
又 ，
，
即 与 之间的函数关系式为 ；
（3）解：假设存在某一时刻 ，使点 在线段 的垂直平分线上，则 ，
如图，过点 作 于点H，， ，
，
，
又 ，
，
， ，
，
在 中， ，
，
又 ，
，即 ，
解得 ， （舍），
当 时，点 在线段 的垂直平分线上．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的应用，梯形的面积公式，线
段的垂直平分线的性质，勾股定理，解一元二次方程等，通过添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．
