文档内容
5．赫米纳尔·丹德林是一位著名的法国数学家．他在圆锥与圆的切线等研究上取得了巨大的成果，并且举世
2024 年中考第三次模拟考试（南通卷）
闻名的丹德林双球（如图）就以他的名字命名．在双球中，一个球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥
的底面平行．利用这个模型，丹德林证明了平面截圆锥的截面为椭圆．若图中所示为该模型的正面，且
数 学
该模型不具有透光性，则丹德林双球的正视图为（ ）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
A． B． C． D．
1．分式 有意义，则 的取值范围是（ ）
A．全体实数 B． C． D．
2．下列各式中，计算正确的是（ ） 6．在某次综合与实践活动中，小华同学了解到鞋号（码）与脚长（毫米）的对应关系如下表：
鞋号（码） … 33 34 35 36 37 …
A． B．
脚长（毫米） … …
C． D．
若小华的脚长为259毫米，则他的鞋号（码）是（ ）
3．如图，在数轴上A、B两点分别对应数轴a、b，则下列结论中正确的是（ ） A．39 B．40 C．41 D．42
7．已知 ， 是一元二次方程 的两个根，则 的值等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．与 的值有关
8．如图， 中， ，利用尺规在 ， 上分别截取 ，使 ；分别以
A． B． C． D．
为圆心、以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ；作射线 交 于点 ．在 上
4．某校为落实“双减”政策，每周星期三下午开展“”活动，为学生全面发展搭建平台．小田在素描课堂
找一点 ，使得 ，若 ，则 的度数为（ ）
上观察一几何体的主视图如图所示，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．无法确定
A． B． C． D．9．如图，在矩形 中，对角线 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ．设 ，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是 ，点E，A，C在同一水平线上，则建筑物 的
高为 （结果用含有根号的式子表示）
，则 关于 的函数图像大致为（ ）
16．如图，已知，在矩形 中， ，分别以 所在直线为x轴和y轴，建立如图所
示的平面直角坐标系，F是边 上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数 （
A． B． C． D．
）的图象与 边交于点E，将 沿 对折后，C点恰好落在 上的点D处，则k的值为
．
10．已知非负数 ， ， 满足 ， ，设 的最大值为 ，最小值为 ，则
的值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每题4分，共30分） 17．如图，矩形 中，已知 为 边上一动点，将 沿 边翻折到 ．点
11．因式分解： ． 与点 重合．连接 ．则 的最小值为 ．
12．刘慈欣科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约 光年，它们之间被大量氢气和暗物
质纽带连接，看起来似乎是连在一起的“三体星系”．其中数字 用科学记数法表示为 ．
13．某商场购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为45元时，每天可售出100盒．
每盒的售价每降低1元，每天的销量增加10盒．要使该款大礼包每天的销售额达到6000元，每盒的售
价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价x元，则可列方程为 ． 18．如图， ， ，点 是线段 上一个动点，连接 ，将线段 沿直线 进
行翻折，点 落在点 处，连接 ，以 为斜边在直线 的左侧 或者下方 构造等腰直角三角形
14．如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于 两点，过点 作 轴于点 ，
，则点 从 运动到 的过程中，线段 的最小值是 ，当 从点 运动到点 时，点
连接 ．若 的面积为 ，则 的值为 ． 的运动总路径长是 ．
15．如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物 的高
三、解答题（本大题共8个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为 ，且D离地面的高度 ．坡底
19．（12分）计算：(1)不等式组 的解集；
(2)计算： ．
20．（10分）随着社会经济发展和物质消费水平的大幅度提高，我国每年垃圾产生量迅速增长，为了倡导
绿色社区，做好垃圾分类工作，某社区成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式对辖区内
四个小区进行抽查，并且每个小区不重复检查．
(1)若由甲组对 四个小区进行抽查，则抽到B小区的概率是________；
(2)若甲、乙两组同时抽查，请用画树状图法或列表法求出甲组抽到C小区，同时乙组抽到D小区的概
率． 23．（10分）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为 ，宽为 的长方形地毯上爬行，地毯上堆
21．（10分）近期教育部表示 “双减”依然是今年工作中的“重中之重”，作为“双减”政策落地后第二
放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽 ，木块从正面看是一个边长为 的等边三角
个学期，不少学校的作业总量已经大幅减少．依据政策要求，初中书面作业平均完成时间不超过 分
形，求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
钟，学生每天完成作业的时长不能超过 小时．某中学自纠自查，对本校学生的作业情况进行了抽样调
(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木
查，统计结果如图所示：
块的侧面展开图，并用实线连接 ；
(2)线段 的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是_________；
(3)问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．
(1)这次抽样共调查了 名学生，并补全条形统计图；
(2)计算扇形统计图中表示作业时长为 小时对应的扇形圆心角度数为 ； 24．（12分）如图是一个东西走向近似于抛物线的山坡，以地面的东西方向为 轴，西侧的坡底为原点建立
(3)若该中学共有学生 人，请据此估计该校学生的作业时间不少于 小时的学生人数；
平面直角坐标系，山坡近似满足函数解析式 ，无人机从西侧距坡底 为10米处的 点
(4)通过本次调查，你认为该学校作业布置是否满足教育部的“双减”政策要求？请说明理由．
22．（10分）如图， 是 的外接圆， 为 的直径，点 为弧 中点，连接 ，作 的
平分线交 于点 ，连接 ． 起飞，沿山坡由西向东飞行，飞行轨迹可以近似满足抛物线 ．当无人机飞越坡底上空
(1)求证： ；
时（即点 ），与地面的距离为20米．
(2)若过C点的切线与 的延长线交于点F，已知 ，求弧 、线段 围成的阴影部分
(1)求无人机飞行轨迹的函数解析式；
面积．
(2)当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，求无人机与山坡的竖直距离 ；
(3)由于山坡上有障碍物，无人机不能离山坡过近．当无人机与山坡的竖直距离大于9米时，无人机飞行
才是安全的，请判断无人机此次飞行是否安全，并说明理由．25．（13分）问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形
的 边上取一点 ，将 沿 翻折，使点 恰好落在 边上点 处．
实践探究：（1）如图1，若 ，求 的度数；
（2）如图2，当 ，且 时，求 的长；
问题解决：（3）如图3，延长 ，与 的角平分线交于点 ， 交 于点 ，当
时，求 的值．
26．（13分）对某一个函数给出如下定义：如果函数的自变量 与函数值 满足：当 时，
（ 为实数，且 ，我们称这个函数在 上是“民主函数”．比如：函数
在 上是“民主函数”．理由： 由 ，得 ． ，
，解得 ， ， 是“民主函数”．
(1)反比例函数 是 上的“民主函数”吗？请判断并说明理由：
(2)若一次函数 在 上是“民主函数”，求此函数的解析式（可用含 的代数式表示）；
(3)若抛物线 在 上是“民主函数”，且在 上的最小值为 ，
设抛物线与直线 交于 点，与 轴相交于 点．若 的内心为 ，外心为 ，试求 的
长．
