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2024 年中考第一次模拟考试（河北卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共16个小题，共38分，1～6小题各3分，7～16小题各2分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D B D D B D B C D D
11 12 13 14 15 16
C C A C B B
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共3个小题，共10分.17小题2分，18～19小题各4分，每空2分）
17．
5 5
18． 或10
7 2
19．（1）5 ，（2）0<EF≤5√3
三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1
20．（9分）（1）解：方程2x+1=0的解是x=− ，
2
3
方程2x+3=0的解是x=− ，
2
∵两个方程的解相差1，
∴方程2x+1=0是方程2x+3=0的后移方程；（4分）
（2）解：2(x−3)−1=3−(x+1)，
2x−6−1=3−x−1
2x+x=3−1+6+1，
3x=9，x=3，（6分）
m+3
∵关于x的方程3(x−1)−m= 是关于x的方程2(x−3)−1=3−(x+1)的“后移方程”，
2m+3
∴3(x−1)−m= 的解为x=3+1=4，（7分）
2
m+3 m+3
把x=4代入3(x−1)−m= 得：3(4−1)−m= ，（8分）
2 2
∴m=5．（9分）
21．（9分）（1）解：由题意主卧的长为5米，宽为(b+3)米，则面积为5(b+3)=5b+15（平方米）；
次卧的长为16−2−3−5=6米，宽为b米，则面积为6b（平方米）；
客厅的长为16−2−5=9米，宽为a米，则面积为9a（平方米）；
故答案为：5b+15，6b，9a；（3分）
（2）解：主卧、次卧的面积和为5b+15+6b=11b+15（平方米）；（4分）
厨房的长为2+5=7米，宽为(a−3)米，则面积为7(a−3)=7a−21（平方米）；（5分）
卫生间的长为3米，宽为b米，则面积为3b（平方米）；（6分）
则厨房、客厅、卫生间的面积和7a−21+3b+9a=16a+3b−21（平方米）；（7分）
整个房屋铺完地面所需的费用为：
200(11b+15)+100(16a+3b−21)
=2200b+3000+1600a+300b−2100
=1600a+2500b+900，（8分）
当a=5，b=4时，
原式=1600×5+2500×4+900=18900（元），
答：整个房屋铺完地面所需的费用为18900元．（9分）
55×3+65×4+75×16+85×7+95×20
22．（9分）（1）解：这次测试中的平均成绩为 =82.40（分），
50
（1分）
故在这次测试中的平均成绩为82.4分．（2分）
20+7
（2）解：800× =432（人）．（3分）
50
答：估计成绩不低于80分的有432人．（5分）
（3）不正确．（6分）
83+84
理由：∵成绩的中位数为 =83.5，中位数反映成绩的中等水平，而83<83.5，（7分）
2
所以陶军同学在这次测试中应该处于中等偏下的水平．（9分）
23．（10分）（1）y与t是二次函数关系，
设y=at²+bt，由题意得：¿，解得： ¿，（2分）
1
∴y=− t2+12t；（3分）
2
1
（2）①依题意, 得− t2+12t=0，
2
解得：t =0(舍)， t =24，（4分）
1 2
当t=24时，x=120，
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为120m；（6分）
②设发射平台相对于安全线的高度为nm，
1
∴飞机相对于安全线的飞行高度y =− t2+12t+n，（7分）
1 2
∵5t=125，
∵,t=25，（8分）
1
在y =− t2+12t+n中，
1 2
当t=25，y ≥0时， n≥12.5，（9分）
1
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于12.5m．（10分）
24．（10分）（1）解：如图1，
当PQ⊥AB时，PQ最小，
PQ 4
∴tan∠BAC= = ，
AP 3
设PQ=4k，AP=3k，
∴ ，
(4k) 2+(3k) 2=102
∴k=2（舍去负值），
∴PQ=4k=8，AP=3k=6，即PQ的最小值是8，∵当圆心O在射线AB上时，AP是⊙O的直径，如图1，
1
∴⊙O的半径为 AP=3，
2
故答案为：8，3；（2分）
（2）当AP=4时，连接PO，作OT⊥AB于T，作QR⊥AB于R，如图2，
1
∴AT=PT= AP=2，∠OTP=∠PRQ=90°，（3分）
2
∴∠TOP+∠OPT=90°，
∵PQ是⊙O的切线，
∴OP⊥PQ，
∴∠OPQ=90°，
∴∠OPT＋∠RPQ=90°，
∴∠TOP=∠RPQ，（4分）
∴△POT∽△QPR，
OT PT OT 2
∴ = ，即 = ，
PR QR 6−4 8
1
∴OT= ，
2
1
∴圆心O到直线AB的距离为 ；（5分）
2
当AP=12时，作QR⊥AP于R，连接OP，如图3，1
∵AR=PR= AP=6，
2
∴QR经过圆心O，
∵PQ是⊙O的切线，
∴∠OPQ=90°，
∴∠QPR+∠OPR=90°，∠O+∠OPR=90°，
∴∠QPR=∠O，
∵∠QRP=∠PRO=90°，
∴△QPR∽△POR，
PR OR 6 OR
∴ = ，即 = ，
QR PR 8 6
9
∴¿= ，
2
9
∴圆心O到AB距离为 ；（8分）
2
（3）当AP=12时，连接OA，如图4，由（2）知：OQ⊥AP，
∵OA=OP，
∴∠AOQ=∠POQ，
又∵OQ=OQ，
∴△AOQ≌△POQ(SAS)，
∴∠OAQ=∠OPQ=90°
∴AQ是⊙O的切线，此时⊙O与线段AQ恰有一个公共点，
∴当⊙O与线段AQ只有一个公共点时，AP≥12．（10分）
25．（12分）（1）由题意可知：m(x+1)+n(2x−1)=5x+2，
整理得：(m+2n)x+m−n=5x+2，
∴¿，（1分）
解得：¿，
故：m=3,n=1．（3分）
（2）解方程组：¿，
解得：¿，（4分）
∵函数y =x−p−2与y =−x+3p的图像相交于点P，
1 2
∴P点坐标为(2p+1,p−1)（5分）
∵函数y ,y 的“组合函数”为：y=m(x−p−2)+n(−x+3p)，
1 2
化简得：y=(m−n)x+3pn−mp−2m，（6分）
①∵点P在函数y ,y 的“组合函数”图像上，
1 2
将点P坐标代入“组合函数”得：p−1=(m−n)(2p+1)+3pn−mp−2m（7分）
整理得：p−1=(m+n)(p−1)，∵p≠1，
∴m+n=1．（8分）
②∵组合函数为y=(m−n)x+3pn−mp−2m，
∴当x=2p+1时，函数值为(m−n)(2p+1)+3pn−mp−2m，（9分）
∵点P在函数y 、y 的“组合函数”图像的上方，
1 2
∴p−1＞(m−n)(2p+1)+3pn−mp−2m， （10分）
整理得：p−1＞(m+n)(p−1)．（11分）
∵m+n＞1
∴p−1＜0即p＜1
∴p的取值范围是p＜1．（12分）
26．（13分）（1）解：∵矩形ABCD绕边AD的中点E逆时针旋转得到矩形A'B'C'D'，
∴AD=A'D'，点E平分AD和A'D'，
∴四边形A A'DD'是矩形，
故答案为：矩形；（1分）
（2）解：CC'=√2A A'，理由如下：（2分）
连接CE,C'E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°,CD=AB=5，
∵点E是AD中点，AD=10，
∴AE=DE=5，（3分）
在 中，勾股定理可得： ，（4分）
Rt△CDE CE=√CD2+DE2=5√2
∵矩形ABCD绕边AD的中点E逆时针旋转得到矩形A'B'C'D'，
∴∠AEA'=∠CEC'=α,AE=A'E,CE=C'E，
∴AE A'E，（5分）
=
CE C'E
∴△AEA'∽△CEC'，
∴A A' AE 5 √2，
= = =
CC' CE 5√2 2
∴CC'=√2A A'；（6分）（3）①连接A A'，（7分）
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
在 中，根据勾股定理可得： ，（8分）
Rt△ABD BD=√AD2+AB2=5√5
由（1）可得，四边形A A'DD'是矩形，
∴∠A A'D=90°，则∠A A'B=90°，
∵∠A A'B=∠DAB=90°,∠ABA'=∠DBA，
∴△ADB∽△A'BA，
AB A'B 5 A'B
∴ = ，即 = ，
BD AB 5√5 5
解得：A'B=√5；（9分）
②解：过点A'作AB的平行线，交AD,BC于点M和点N，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∵∠A'NF=∠C=90°，
∴A'N∥CD，
∴△BA'N∽△BCD，（10分）
BA' A'N BN √5 AN BN
∴ = = ，即 = = ，
BD DC BC 5√5 5 10∴A'N=1,BN'=2，（9分）
∵MN∥AB，
∴∠A'ME=∠A'NF=90°，
∵∠A=∠ABC=∠BNM=90°，
∴四边形ABNM为矩形，
∴AM=BN=2,MN=AB=5，
∴A'M=MN−A'N=4，（10分）
∵点E为AD中点，
1
∴AE= AD=5，
2
∴ME=AE−AM=3，
根据勾股定理可得： ，（11分）
A'E=√M E2+A'M2=5
∵∠B' A'D'=90°，
∴∠M A'E+∠N A'F=90°，
∵∠M A'E+∠A'EM=90°，
∴∠N A'F=∠A'EM，
∴△A'EM∽△F A'N，（12分）
∴A'F ME ，即A'F 1，
= =
A'E A'N 5 3
5
解得：A'F= ．（13分）
3
