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成立的是（ ）
2024 年中考第二次模拟考试
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：100分）
A． B． C． D．
注意事项：
5．若正多边形的内角和是 ，则该正多边形的一个外角为（ ）
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
A． B． C． D．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 6．已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数a的值是（ ）
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
A． B．1 C．2 D．3
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
7．不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到
第Ⅰ卷 选择题
黄球的概率是（ ）
A． B． C． D．
一、选择题（共16分，每小题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的只有一个．
1．截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表
8．如图，点 A、B、C 在同一条线上，点 B 在点 A，C 之间，点 D，E 在直线 AC 同侧， ，
示应为（ ）
， ，连接 DE，设 ， ， ，给出下面三个结论：①
A． B． C． D．
；② ；③ ；
2．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
3．如图，已知 ， ，则 的度数为( ) 第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题（共16分，每小题2分）
9．要使式子 有意义，则x可取的一个数是 ．
10．将 因式分解为 ．
A． B． C． D．
4．如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定 11．方程 的解为 ．………………
○
………………
外
………………
○
………………
装
………………
○
………………
订
………………
○
………………
线
………………
○
………………
………………
○
………………
内
………………
○
………………
装
………………
○
………………
订
………………
○
………………
线
………………
○
………………
12．在平面直角坐标系 中，点 ， 在反比例函数 的图象上，且 ，
请你写出一个符合要求的k的值 ．
此
13．如图，在 中， 是直径， ， ＝ ， ，那么 的长等于 .
卷
①左至右，按数字从小到大的顺序排列；
②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．
只
将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了
装
标注字母 的位置，标注字母e的卡片写有数字 ．
三、解答题（共68分，17~22题，每题5分，23~26题，每题6分，27~28题，每题7分）解答应写出文字 订
说明、演算步骤或证明过程．
不
14．如图，《九章算术》是中国古代数学专着，是《算经十书》（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要 17．（本题5分）计算： 密
的一种.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与
封
一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株
椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖
18．（本题5分）解不等式组： ．
材料的木杆）设这批椽有 株，根据题意可列分式方程为 .
19．（本题5分）先化简，再求值： ，其中 ．
15．如图，在矩形 中， ， ，E点为 边延长线一点，且 ．连接 交边 于
20．（本题5分）如图，在 中， 平分 ，过点D作 于点 于
点F，过点D作 于点H，则 ．
点F，点H是 的中点，连接 ．
16．有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排
列规则如下：
(1)判断四边形 的形状，并证明；
(2)连接 ，若 ，求 的长．
试题 第27页（共8页） 试题 第28页（共8页）21．（本题5分）已知，图①是一张可以缓解眼睛疲劳的视力远眺回形图，它是由多个大小不等的正方形构
成的二维空间平面图，利用心理学空间知觉原理，通过变化图案可不断改变眼睛晶状体的焦距，强烈显示
出三维空间的向远延伸的立体图形，调节人们的睫状体放松而保护视力．其中阴影部分是由能够缓解视疲
劳的绿色构成，阴影之间的部分是空白区域．某体检中心想定做一张回形图，图②是选取的部分回形图的
示意图，其中最大的正方形边长为 ，且空白区域 两部分的面积相等，若空白区域需要三种不同的护
眼浅色贴纸，铺贴用纸费用分别为：A区域10元 ，B区域15元 ，C区域20元 ，铺贴三个区域
．这30名学生两次知识竞赛获奖情况相关统计表：
共花费150元，求C区域的面积． 参与奖 优秀奖 卓越奖
人数 10 10 10
第一次竞
赛
平均数 82 87 95
人数 2 12 16
第二次竞
赛
平均数 84 87 93
（规定：分数 ，获卓越奖； 分数 ，获优秀奖：分数 ，获参与奖）
22．（本题5分）在平面直角坐标系 中，一次函数 （ ）的图象经过点 ， ，与
．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：
x轴交于点A． 90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98
(1)求该一次函数的表达式及点A的坐标； ．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如下表：
中位
(2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于一次函数 （ ）的值，直接写出m 平均数 众数
数
的取值范围． 第一次竞赛 87.5 88
第二次竞赛 90 91
23．（本题6分）为进一步增强中小学生“知危险会避险”的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知识
根据以上信息，回答下列问题：
竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述
(1)小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“○”圈出代表小松同学的点；
和分析．下面给出了部分信息．
(2)直接写出 的值；
．这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分统计图：
(3)哪一次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高?请说明你的理由（至少两个方面）．
24．（本题6分）如图，圆内接四边形 的对角线 ， 交于点 ， 平分 ，
．………………
○
………………
外
………………
○
………………
装
………………
○
………………
订
………………
○
………………
线
………………
○
………………
………………
○
………………
内
………………
○
………………
装
………………
○
………………
订
………………
○
………………
线
………………
○
………………
(2)结合图表回答，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为___________ ；此时距离 的水平距离为
___________ ；
(3)为了草莓更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地
此
面 时补光效果最好，若在距离 处水平距离 的地方挂补光灯，为使补光效果最好补光灯悬挂部分
卷
的长度应是多少 ？（灯的大小忽略不计）
只
(1)求证 平分 ，并求 的大小；
26．（本题6分）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ． 装
(2)过点 作 交 的延长线于点 ．若 ， ，求此圆半径的长．
(1)求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）； 订
25．（本题6分）兴寿镇草莓园是北京最大的草莓基地，通过一颗颗小草莓，促进了农民增收致富，也促进 (2)若 ，当 时，求y的取值范围；
不
了农旅融合高质量发展．小梅家有一个草莓大棚，大棚的一端固定在离地面高 的墙体 处，另一端固定
(3)已知 ， ， 为该抛物线上的点，若 ，求a的取值范围．
密
在离地面高 的墙体 处，记大棚的截面顶端某处离 的水平距离为 ，离地面的高度为 ，测量得到
封
如下数值：
27．（本题7分）如图，在 中， ， ， 是 的中点， 是
0 1 2 4 5
的中点，连接 ．将射线 绕点 逆时针旋转 得到射线 ，过点 作 交射线 于点 ．
1
(1)①依题意补全图形；
小梅根据学习函数的经验，发现 是 的函数，并对 随 的变化而变化的规律进行了探究．
②求证： ；
下面是小梅的探究过程，请补充完整：
(2)连接 ， ，用等式表示线段 ， 之间的数量关系，并证明．
(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点 ，并画出函数的图象；
28．（本题7分）在平面直角坐标系 中， 的半径为1，对于直线l和线段 ，给出如下定义：若将
线段 关于直线l对称，可以得到 的弦 （ ， 分别为A，B的对应点），则称线段 是 的
关于直线l对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段 是 的关于直线l对称的“关联线段”．
解决问题：
试题 第47页（共8页） 试题 第48页（共8页）(1)如图2，点 ， ， ， ， ， 的横、纵坐标都是整数．
①在线段 ， ， 中， 的关于直线 对称的“关联线段”是______；
②若线段 ， ， 中，存在 的关于直线 对称的“关联线段”，则 ______；
(2)已知 交x轴于点C，在 中， ， ．若线段 是 的关于直线
对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的 长．
