文档内容
2 0 2 5 年 全 国 教 师 资 格 证
中学力学3
主讲老师 余贞
粉笔教师教育 粉笔教师牛顿第二定律
一、牛顿第二定律内容和公式
(一)内容
定义：物体加速度的大小跟作用力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟作用
力的方向相同。
（二）公式
公式：𝐹 = 𝑚𝑎 𝐹的单位：𝑁（牛顿）
2025FENBI超重和失重问题
1. 实重和视重
（1）实重：物体实际所受的重力，它与物体的运动状态无关 .
（2）视重：当物体在竖直方向上有加速度时，物体对弹簧测力计的拉力或对台秤的压力
将不等于物体的重力 此时弹簧测力计的示数或台秤的示数即为视重.
2025FENBI2. 超重、失重和完全失重的比较
现象 实质
物体对支持物的压力或对悬挂物 系统具有竖直向上的加速度或加速
超重
的拉力大于自身重力的现象 度有竖直向上的分量
物体对支持物的压力或对悬挂物 系统具有竖直向下的加速度或加速
失重
的拉力小于自身重力的现象 度有竖直向下的分量
物体对支持物的压力或对悬挂物 系统具有竖直向下的加速度，且
2025FENBI
完全失重
的拉力等于零的现象 𝑎＝𝑔【例 1】（真题 2018 年上 · 初中）图甲是某人站在力传感器上做下蹲、起跳等动作 的示意图，
中间的“·”表示人的重心。图乙是根据传感器采集到的数据画出的力与时间的图像。 两图中a～g
2
各点均对应，其中有几个点在图甲中没有画出 , 取重力加速度𝑔 = 10𝑚/𝑠 , 根据图像分析可知
（ ）。
A.人所受重力为1500𝑁
B. 𝑐 点位置人处于超重状态
C. 𝑒 点位置人处于失重状态
D. 𝑑 点的加速度小于 𝑓 点的加速度
2025FENBI弹簧弹力不突变
(1)甲、乙中小球𝑚 、𝑚 原来均静止，现如果均从图中𝐴处剪断，
1 2
则剪断绳子瞬间图甲中的轻质弹簧的弹力来不及变化；图乙中的下
段绳子的拉力将变为0
(2)得出的结论：绳的弹力可以突变而弹簧的弹力不能突变。
解题思路：
（1）分析瞬时变化前后物体的受力情况
（2）列牛顿第二定律方程
2025FENBI
（3）求瞬时加速度【例1】轻质弹簧上端与一质量为m的物块1相连，下端与另一质量为M的物块2相连，整个系
统置于水平旋转的光滑木板上，并处于静止状态。将木板沿水平方向突然抽后的瞬间，物块1、2
的加速度大小分别为𝑎 、𝑎 ，重力加速大小为g，则（ ）。
1 2
A.𝑎 = 0; 𝑎 = 𝑔 B. 𝑎 = 𝑔;𝑎 = 𝑔
1 2 1 2
𝑚+𝑀 𝑚+𝑀
C.𝑎 = 0; 𝑎 = 𝑔 D. 𝑎 = 𝑔; 𝑎 = 𝑔
1 2 1 2
𝑀 𝑀
2025FENBI传送带类问题模型
顺时针匀速转动的传送带上放上具有一定速度的物块，物块初速度水平向右，设传送带与
物块之间的动摩擦因数为𝜇，如图所示。
1.物块在水平传送带上运动过程的分析
因为物块所受的摩擦力方向与物块和传送带之间的速度大小有关，这种情
况肯定得分情况讨论。
2025FENBI2.物块运动的两种情况
（1）如果𝑣 > 𝑣 ，物块开始将向右做匀减速直线运动。
物 传
①如果传送带不够长，物块将一直减速到传送带右端。
②如果传送带足够长，物块将首先减速到与传送带速度相等，然后与传送带一起匀速。
2025FENBI（2）如果𝑣 < 𝑣 。物块开始将向右做加速运动。
物 传
①如果传送带不够长，物块将一直加速到传送带右端。
②如果传送带足够长，物块将首先加速到与传送带速度相等，然后与传送带一起匀速。
2025FENBI【例1】如图所示，水平放置的传送带以速度𝑣 = 2m/s 向右运行，现将一小物体轻轻地放在传送
带𝐴端，物体与传送带间的动摩擦因数𝜇 = 0.2，若𝐴端与𝐵端相距4m，则物体由𝐴运动到𝐵的时间和物
体到达𝐵端时的速度是（ ）。
A.2.5 s， 2m/s B.1s，2m/s
C.2.5s， 4m/s D.1s，4/s
𝐴 𝐵
𝑣
2025FENBI【例2】如图所示，传送带与水平地面夹角𝜃 = 37°，从A到B长度为𝐿 = 10.25 𝑚，传送带以
𝑣 = 10 𝑚/𝑠 的速率逆时针转动。在传送带上端A无初速地放一个质量为𝑚 = 0.5 𝑘𝑔的黑色煤块，
0
它与传送带之间的动摩擦因数为𝜇 = 0.5。煤块在传送带上经过会留下黑色痕迹。已知𝑠𝑖𝑛 37° = 0.6，
2
𝑔 = 10 𝑚/𝑠 ，求：
(1)煤块从A到B的时间；
(2)煤块从A到B的过程中传送带上形成痕迹的长度。
2025FENBI板块问题
相对静止或相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦
力，则相对静止或相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值。
地面光滑
两物块组合在一起以相同的加速度运动时，二者之间除了相互作用的弹力外，一定有
一对相互作用的静摩擦力，静摩擦力可为0～𝐹 间的任意值，具体大小由物体的受力情
𝑚𝑎𝑥
况以及运动状态决定。
2025FENBI例如：如图，质量分别为𝑚 、𝑚 的 𝐴、𝐵 两物体叠在一起放于光滑水平面上，甲图中
1 2
水平力拉着 𝐵，乙图中水平力拉着 𝐴，当二者一起做匀加速直线运动时：
2025FENBI【例1】如图所示，𝐴、𝐵两物块的质量分别为2𝑚和𝑚，静止叠放在水平地面上。𝐴、𝐵间的动摩擦
1
因数为𝜇，𝐵与地面间的动摩擦因数为 𝜇。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为𝑔。现对𝐴
2
施加一水平拉力𝐹，则下列说法中错误的是（ ）。
A．当𝐹 < 2𝜇𝑚𝑔 时，𝐴、𝐵都相对地面静止
5 1
B．当𝐹 = 𝜇𝑚𝑔时，𝐴的加速度为 𝜇𝑔
2 3
C．当𝐹 > 3𝜇𝑚𝑔时，𝐴相对𝐵滑动
1
D．无论𝐹为何值，𝐵的加速度不会超过 𝜇𝑔
2
2025FENBI曲线运动概述
考点1 一般曲线运动
（一）曲线运动速度的方向
1．曲线运动：轨迹为曲线的运动。质点做曲线运动时，速度方向是时刻改变的。
2．质点在某一点(或某一时刻)的速度方向是在曲线的这一点的切线方向上。
（二）曲线运动的性质
1．曲线运动一定是变速运动
2．做曲线运动的物体一定具有加速度，所受合外力一定不等于零
（三）物体做曲线运动的条件
速度方向与力方向不在同一直线上
2025FENBI运动的合成与分解
（一）合成与分解的基本概念
1.合运动与分运动的关系
（1）等时性：各分运动与合运动总是同时开始、同时结束，经历时间相等。
（2）等效性：各分运动叠加起来与合运动有相同的效果。
（3）独立性：一个物体同时参与几个分运动，其中的任何一个都会保持其运动性质不变，并
不会受其他分运动的干扰。虽然各分运动互相独立，但是它们共同决定合运动的性质和轨迹。
2．运动的合成与分解包括位移、速度、加速度的合成与分解，遵循平行四边形定则。
3．几个结论：
（1）两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动。
（2）两个直线运动的合运动，不一定是直线运动(如平抛运动)。
2025FENBI
（3）两个匀变速直线运动的合运动，一定是匀变速运动，但不一定是直线运动。关联速度问题
1.基本结论：将绳（杆）连接的两个物体的速度沿绳方向和垂直绳方向正交分解，则两
物体沿绳（杆）方向分速度大小相等。
2.常见模型
2025FENBI【例1】某人在岸上用细绳拉船,当人以速度𝑣水平向左匀速拉细绳时,则有关船的运动情况
,下列说法中正确的是（ ）
A.匀速运动 B.减速运动
C.加速运动 D.先增加后减小
2025FENBI【例2】如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的前提下，当小车以速度𝑣匀速向右运动时，图中物
块𝐴的速度大小为 ，绳中拉力 𝐴所受的重力（填大于、小于、等于）
2025FENBI平抛运动
（一）平抛运动的特点
1.平抛运动定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只受重力的作用下所做的运动，
叫做平抛运动。
2.平抛运动的条件
（1）具有水平初速度，且只具有水平初速度
（2）仅受重力
3.平抛运动性质：匀加速曲线运动
2025FENBI（二）平抛运动的分解
平抛轨迹为曲线，采取化曲为直的方法：
1.水平方向：匀速直线运动
2.竖直方向：自由落体运动
（三）平抛运动的规律
1.平抛物体在 t 时刻的瞬时速度：
水平方向分速度：𝑣 ＝𝑣
𝑥 0
竖直方向分速度：𝑣 ＝𝑔𝑡 速度大小：𝑣 = 𝑣 2 + 𝑣 2 = 𝑣 2 + 𝑔2𝑡2
𝑦 𝑥 𝑦 0
𝑣 𝑔𝑡
𝑦
速度方向：𝑡𝑎𝑛 𝛼 = = （其中α叫做速度偏转角）
𝑣 𝑣
𝑥 0 2025FENBI2. 平抛物体在 t 时刻的位移：
水平方向：𝑥 = 𝑣 𝑡
0
1
2
竖直方向：𝑦 = 𝑔𝑡
2
1
位移大小：𝑠 = 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑣 2𝑡2 + 𝑔2𝑡4
0
2
𝑦 𝑔𝑡
位移方向：𝑡𝑎𝑛 𝛽 = = （其中β叫做速度偏转角）
𝑥 2𝑣
0
3.推论：（1）tan𝛼＝2tan𝛽
（2）平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的中点。
2025FENBI（四）平抛运动的结论：
2ℎ
1.运动时间：𝑡 = ，由ℎ, 𝑔决定，与𝑣 无关。
0
𝑔
2ℎ
2.水平射程：𝑥 = 𝑣 𝑡 = 𝑣 ，由ℎ, 𝑔, 𝑣 共同决定。
0 0 0
𝑔
3.瞬时速度：𝑣 = 𝑣 2 + 𝑣 2 = 𝑣 2 + 2𝑔ℎ，由ℎ, 𝑔, 𝑣 共同决定。
𝑡 0 𝑦 0 0
4.任意两个相等时间间隔内的速度变化量相等：𝛥𝑣 = 𝑔 ⋅ 𝛥𝑡，且方向竖直向下。
2025FENBI（1）垂直打到斜面
已知条件：斜面倾角为𝜃，小球水平抛出的初速度为𝑣 。
0
(2)顺着斜面的平抛运动
已知条件：斜面倾角为𝜃，小球水平抛出的初速度为𝑣 。
0
2025FENBI【例1】（真题2015年下高中）如图所示，三个小球𝑎、𝑏、𝑐分别在距离地面不同的高度ℎ 、
1
ℎ 、ℎ 处同时以相同的速度向左边水平抛出，不计空气阻力，三个小球每隔相同的时间间隔依次
2 3
落到地面，小球𝑎落到地面𝐷点，𝐷𝐸 = 𝐸𝐹 = 𝐹𝐺，下列说法正确的是（ ）。
A.𝑏、𝑐两球落在𝐷点的左边
B.𝑏球落在𝐷点，𝑐球落在𝐸点
C.三个小球距离地面高度ℎ : ℎ : ℎ = 1: 3: 5
1 2 3
D.三个小球距离地面高度ℎ : ℎ : ℎ = 1: 4: 9
1 2 3
2025FENBI【例2】如图所示，斜面上有𝑎、𝑏、𝑐、𝑑四个点，𝑎𝑏＝𝑏𝑐＝𝑐𝑑。从a点正上方的O点以
速度𝑣水平抛出一个小球，它落在斜面上𝑏点。若小球从O点以速度2𝑣水平抛出，不计空
气阻力，则它落在斜面上的（ ）。
A.b与c之间某一点 B.c点
C.c与d之间某一点 D.d点
2025FENBI2025FENBI圆周运动的描述
（一）圆周运动
1.圆周运动：轨迹是圆的运动。
2.匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的弧长相等，这
种运动就叫匀速圆周运动。即相等时间内通过的弧长相等。
（二）线速度和角速度
1.线速度：
𝑠
（1）大小：𝑣＝ （𝑠是𝑡时间内通过的弧长）
𝑡
（2）方向：沿圆周的切线方向，时刻变化。
（3）物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢。
2025FENBI2.角速度：
𝛷
（1）大小：𝜔 = (Ф是𝑡时间内半径转过的圆心角）
𝑡
（2）方向：右手定则（中学阶段不要求掌握）
（3）物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢
3.周期𝑇、频率𝑓：
做圆周运动的物体运动一周所用的时间，叫周期；单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，
叫频率，等于周期的倒数。
4.线速度与角速度的关系
2𝜋𝑟
𝑣、、𝑇、𝑓的关系： 𝑣＝ 𝑟 = = 2𝜋𝑟𝑓
𝑇
2025FENBI
即，、𝑇、𝑓若一个量确定，其余两个量也就确定了，而𝑣还和𝑟有关。（三）向心加速度与向心力
1.向心加速度
2 2
𝑣 4𝜋
2
（1）大小：𝑎 ＝ = 𝜔 𝑟 = 𝑟
𝑟 𝑇2
（2）方向：总指向圆心，时刻变化
（3）物理意义：描述线速度方向改变的快慢。
2025FENBI2.向心力
2 2
𝑣 4𝜋
2
（1）大小： 𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚 = m𝜔 𝑟 = 𝑚 𝑟
𝑟 𝑇2
（2）方向：总指向圆心，时刻变化
（3）物理意义
“向心力”是一种效果力。任何一个力，或者几个力的合力，或者某一个力的某个分力，只
要其效果是使物体做圆周运动的，都可以作为向心力。“向心力”不一定是物体所受合外力，
也可以是某个力的分力。
做匀速圆周运动的物体，向心力就是物体所受的合外力，总是指向圆心；做变速圆周运动的
物体，向心力只是物体所受合外力在沿着半径方向上的一个分力，合外力的另一个分力沿着圆
2025FENBI
周的切线，使速度大小改变。水平圆盘面模型：与静摩擦力有关的临界极值问题
解题关键：物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。
【例1】如图所示，小木块𝑎、𝑏和𝑐（可视为质点）放在水平圆盘上，𝑎、𝑏两个质量均为𝑚，𝑐的
𝑚
质量为 。𝑎与转轴OO′的距离为𝑙，𝑏、𝑐与转轴𝑂𝑂′的距离为2𝑙且均处于水平圆盘的边缘。木块与圆
2
盘间的最大静摩擦力为木块所受重力的𝑘倍，重力加速度大小为𝑔，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地
加速转动，下列说法中正确的是（ ）。
A.𝑏、𝑐所受的摩擦力始终相等，故同时从水平圆盘上滑落
B.当𝑎、𝑏和𝑐均未滑落时，𝑎、𝑐所受摩擦力的大小相等
C.𝑏和𝑐均未滑落时线速度一定相等
D.𝑏开始滑动时的转速是 2𝑘𝑔𝑙
2025FENBI2025FENBI竖直平面内的圆周运动（结合临界问题分析）
1.轻绳模型
（1）概述：在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点的受力情况为无支撑，
称为“轻绳模型”，轻绳模型和圆轨道模型的受力特征是相同的。
（2）物体通过最高点的轻绳模型（圆轨道模型）
2
𝑣
弹力特征：弹力可能向下，也可能等于零。力学方程：𝑚𝑔 + 𝐹 = 𝑚 。
𝑇
𝑟
2
𝑣
刚好通过最高点时速度的临界条件：𝐹 = 0，𝑚𝑔 = 𝑚 ，得𝑣 = 𝑔𝑟。
𝑇
𝑟
2025FENBI2.轻杆模型
（1）概述：在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点的受力情况为有支撑，称
为“轻杆模型”，轻杆模型和圆管模型的受力特征是相同的。
（2）通过最高点的轻杆模型（光滑管道模型）
弹力特征：弹力可能向下，可能向上，也可能等于零。
2 2
𝑣 𝑣
力学方程：弹力向上时，为𝑚𝑔 − 𝐹 = 𝑚 ；弹力向下时，为𝑚𝑔 + 𝐹 = 𝑚 。
𝑁 𝑁
𝑟 𝑟
刚好通过最高点时速度的临界条件：𝐹 = 0，此时𝐹 = 𝑚𝑔，𝑣 = 0。
向 𝑁
2025FENBI【例1】一轻杆一端固定质量为𝑚的小球，以另一端𝑂为圆心，使小球在竖直面内做半
径为𝑅的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是（ ）。
A.小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B.小球过最高点的最小速度是 𝑔𝑅
C.小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D.小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
2025FENBI【例2】如图所示，半径为𝑅的光滑半圆轨道竖直放置，一小球以某一速度进入半圆轨
道，通过最高点𝑃时，对轨道的压力为其重力的一半，不计空气阻力，则小球落地点到𝑃点
的水平距离为( )。
A. 2𝑅 B. 3𝑅 C. 5𝑅 D. 6𝑅
2025FENBI𝐵
一、开普勒三定律
𝐴 𝐶
1.开普勒第一定律（轨道定律）
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。行星绕太阳的运动通常
按圆轨道处理。
2.开普勒第二定律（面积定律）
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
常见易错理解
问题：卫星从A点到B点经过的时间为𝑡 ，从B点到C点经过的时间为𝑡 ， 𝑡 和𝑡 是否相等？
𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴𝐵 𝐵𝐶
2025FENBI3.开普勒第三定律（比值定律）
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，
3
𝑎
公式为𝑘 = 。
𝑇2
2025FENBI2025FENBI二、万有引力定律
（1）内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质
量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。
𝑚 𝑚
（2）公式：𝐹 = 𝐺 1 2 （卡文迪许利用扭秤实验测得万有引力常量𝐺 = 6.67 ×
𝑟2
−
11 3 2
10 𝑚 /(𝑘𝑔 · 𝑠 ) ，r为可视为质点的两个物体间的距离，或质量分布均匀的球体球心间的
距离）
（3）万有引力定律的理解
①任何两个物体之间都存在引力。
②物体因为有质量而产生引力（质量是引力产生的原因）。
𝑂
𝑂′
2025FENBI
地球 月球（4）适用条件
①适用于质点间引力大小的计算。当两物体间的距离远远大于每个物体的尺寸时，物体可以看
成质点，可直接利用万有引力定律计算。
②当两物体是质量均匀分布的球体时，它们间的引力也可直接用公式计算，但式中的r指两球
心间的距离。
③当研究的物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出两个物体上每个质
点与另一物体上所有质点的万有引力，然后求合力（此方法仅提供一种思路）
𝑂
𝑂′
2025FENBI
地球 月球三、万有引力定律的应用
（一）太阳—行星模型
环绕天体绕中心天体做圆周运动的向心力是由万有引力提供，有F =F 。
万 向
2
𝑀𝑚 𝑣 𝐺𝑀 2轨道
（1）线速度的推论公式：由𝐺 = 𝑚 ，得𝑣 = ；
𝑟2 𝑟 𝑟
1轨道
𝑀𝑚 𝐺𝑀
2
（2）角速度的推论公式：由𝐺 = 𝑚𝜔 𝑟，得𝜔 = ；
𝑟2 𝑟3
𝐺𝑀 2𝜋 𝑟3
（3）周期的推论公式：由𝜔 = 和𝜔 = ，得𝑇 = 2𝜋 ；
𝑟3 𝑇 𝐺𝑀
𝑀𝑚 𝑀
（4）向心加速度的推论公式：𝐺 = 𝑚𝑎 ，得𝑎 = 𝐺 。
向 向
𝑟2 𝑟2
2025FENBI
总结：𝑟越大，𝑣、𝜔、𝑎越小，𝑇越大。【例1】 （真题 2019 年下 · 初中）我国北斗导航系统中部分卫星的运行轨道如图
所示。已知𝑎、𝑏两颗卫星围绕不同的圆形轨道运行，轨道半径𝑟 > 𝑟 ，则（ ）
𝑎 𝑏
A.𝑎的加速度大于𝑏的加速度
B. 𝑎的线速度大于𝑏的线速度
C. 𝑎的角速度大于𝑏的角速度
D. 𝑎的运行周期大于𝑏的运行周期
2025FENBI【例2】我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高。今年 5 月 9 日发射的“高分五号”
轨道高度约为705 𝑘𝑚，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36000𝑘𝑚，它们都绕地球做圆
周运动。与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是( )。
A.周期 B.角速度
C.线速度 D.向心加速度
2025FENBI万有引力与重力
1. 如果忽略地球自转的影响，质量为m的物体的重力加速度g可以认为是由地球对它的万有引
𝐺𝑀m
力产生的。由万有引力定律和牛顿第二定律有 = 𝑚𝑔，则地球表面的重力加速度
𝑟2
由此式可知，地球表面的重力加速度是由地球的质量和半径决定的。因为地球是椭球的，赤
道的半径大，两极的半径小，所以赤道上的重力加速度小，两极的重力加速度大。
2. 如果忽略地球极半径和赤道半径的差异，考虑自转，那么重力是万有引力的一个分力，物
体随地球自转的向心力是万有引力的另一个分力。
2025FENBI2025FENBI计算天体质量和密度
（1）利用天体表面的重力加速度𝑔和天体半径𝑅；
2
𝑀𝑚 𝑔𝑅 𝑀 𝑀 3𝑔
由于𝐺 = 𝑚𝑔，故天体质量𝑀 = ，天体密度𝜌 = = = 。
𝑅2 𝐺 𝑉 4 𝜋𝑅3 4𝜋𝐺𝑅
3
（2）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期𝑇和轨道半径𝑟；
2 2 3
𝑀𝑚 4𝜋 4𝜋 𝑟
由万有引力提供向心力，即𝐺 = 𝑚 𝑟，得出中心天体质量𝑀 = ；
𝑟2 𝑇2 𝐺𝑇2
3
𝑀 𝑀 3𝜋𝑟
若已知天体半径为𝑅，则天体的平均密度𝜌 = = = ；
𝑉 4 𝜋𝑅3 𝐺𝑇2𝑅3
3
3𝜋
如果卫星贴近星球表面运动：r=R，可得出𝜌 = ，即求出卫星环绕周期便可求出天体密
𝐺𝑇2
2025FENBI
度。卫星的变轨
（1）突变：一般发生在需要改变卫星圆轨道半径的过程中。如图所示，需要卫星从近地轨道Ⅰ
的P点点火加速，进入转移轨道Ⅱ；再在转移轨道Ⅱ的Q点点火加速，进入同步轨道 Ⅲ。卫星由圆
轨道Ⅰ变为圆轨道Ⅲ，线速度减小，周期增大，向心加速度（重力加速度）减小，动能减小，势能
增大，总机械能增大。
2025FENBI（2）渐变：由于某些因素的影响轨道半径渐渐变化，卫星每一周的运动仍能看做匀速圆周运动。
2
𝑀𝑚 𝑣
由于稀薄大气的影响，在轨卫星受到微弱的阻力而变轨。由𝐺 = 𝑚 分析：阻力做负功，速
𝑟2 𝑟
率υ减小，提供的向心力大于需要的向心力，发生向心运动，轨道半径r渐渐减小。该过程非常缓慢，
因此卫星的运动仍能看做圆周运动，渐变过程中速率υ将增大，周期将减小，向心加速度（重力加速
度）将增大，动能增大，重力势能减小，由于克服阻力做功，机械能减少。
2025FENBI【例1】（真题2018年上高中）登上火星是人类的梦想。若将地球和火星公转视为匀速圆
周运动，忽略行星自转影响。根据表，火星和地球相比，下列叙述正确的是（ ）。
A.火星的公转周期较小
行星 半径/m 质量/kg 轨道半径/m
B.火星做圆周运动的加速度较小
地球 6.4×106 6.0×1024 1.5×1011
C.火星表面的重力加速度较大
火星 3.4×106 6.4×1023 2.3×1011
D.火星的第一宇宙速度较大
2025FENBI【例2】（2017上高中）质量为𝑚的人造地球卫星在地面上受到的重力为𝑃，它在到地面的
距离等于地球半径𝑅的圆形轨道上运动时，下列叙述正确的是（ ）。
2𝑃𝑅 𝑚𝑅
A.速度大小为 B.周期为4𝜋
𝑚 𝑃
1
C.动能为 𝑅𝑃 D.重力为0
4
2025FENBI双星问题
宇宙中往往会有相距较近、质量可以相比的两颗星球，
它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可
以忽略不计。在这种情况下，它们将各自围绕它们连线上的
某一固定点做同周期的匀速圆周运动。这种结构叫做双星。
设双星中两颗星球间的距离为L，两颗星球的质量分别
为m1、m2，环绕半径分别为r 、r 。
1 2
2025FENBI（二）双星问题
1.向心力大小的关系
𝐺𝑚 𝑚
（1） 1 2 = 𝑚 𝜔 2 𝑟 = 𝑚 𝜔 2 𝑟
1 1 1 2 2 2
𝐿2
2 2
𝐺𝑚 𝑚 2𝜋 2𝜋
（2） 1 2 = 𝑚 𝑟 = 𝑚 𝑟
1 1 2 2
𝐿2 𝑇 𝑇
1 2
2.角速度和周期的关系
（1）𝜔 = 𝜔 = 𝜔 ；(2)𝑇 = 𝑇 = 𝑇 。
1 2 1 2
3.运动半径与两星间距的关系：𝑟 + 𝑟 = 𝐿
1 2
𝑚 𝑟
4.质量关系： 1 = 2
𝑚 𝑟
2 1
2025FENBI
𝐿3
5.周期大小：𝑇 = 2𝜋
𝐺 𝑚 +𝑚
1 2【例1】2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过
程，在两颗中子星合并前约100s时，它们相距约400km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈，
将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，
可以估算出这一时刻两颗中子星（ ）
A.质量之积 B.质量之和
C.速率之积 D.各自的自转角速度
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