文档内容
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ii版权专有侵权必究
图书在版编目（CIP）数据
张宇考研数学真题大全解.专题分册.数学二/张
宇，高昆轮主编.一北京：北京理工大学出版社，
2022. 5（2023. 6 重印）
ISBN 978- 7 - 5763 - 1322 -2
I.①张… U.①张… ②高…HI .①高等数学-研
究生-入学考试-习题集IV.①013 - 44
中国版本图书馆CIP数据核字（2022）第079272号
出版发行/北京理工大学出版社有限责任公司
社 址/北京市海淀区中关村南大街5号
邮 编 / 100081
电 话 / （010）68914775（总编室）
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经 销/全国各地新华书店 <
印 刷/三河市文阁印刷有限公司
开 本/ 787毫米X1092毫米 1/16
印 张/5 责任编辑/多海鹏
字 数/ 125千字 文案编辑/多海鹏
版 次/ 2022年5月第1版2023年6月第2次印刷 责任校对/周瑞红
定 价/ 179. 90元（共3册） 责任印制/李志强
图书出现印装质量问题，请拨打售后服务热线,本社负责调换2024版《张宇考研数学真题大全解》如期与读者见面了，本书完整地收集了 1987-2023
年考研数学真题及其详细解析，是对考研数学的一个完整见证！
真题是最好的指挥棒，特别是新大纲下的试题(2021-2023年)更是研究当下考试规律的
宝贵材料.关于真题的使用给出如下两点建议.
一、 使用时间上，从9月份开始练习真题即可，因为在做真题前，考生需要经过一轮或两
轮的完整知识点复习与题型训练,所以建议考生在完成《张宇高等数学18讲》《张宇线性代数
9讲》《张宇概率论与数理统计9讲》和《张宇考研数学题源探析经典1000题》之后再使用真
题，这样效果会更佳.
二、 使用方式上，建议考生一套一套地去做，一套一套地去练(尤其是近些年的试卷)，希
望考生通过反复地练习能积累经验、把握重点、突破计算.
值得一提的是，我们对近10年(2014-2023年)的真题录制了完整的视频讲解，书中配有
二维码，考生可以扫码观看.另外，本书还专门配备了专题分册,此分册完整地汇总了考研数
学每个专题的重要定理、性质与公式等，方便考生做模考后的总结使用.
希望大家能够通过真题的练习完善自己的知识结构与解题方法，更期待和大家在冲刺阶
段的《考研数学命题人终极预测8套卷》《张宇考研数学最后4套卷》相见！
俩K
2023年5月于北京场第一部分高等教学&
弛•
函数极限与连续.........................................................................(3)
弛
数列极限................................................................................(6)
&题:.
一元函数微分学的概念....................................................................(9)
。•题四
一元函数微分学的计算.................................................................(11)
一元函数微分学的应用(一)一几何应用................................................(14)
►
一元函数微分学的应用(二)——中值定理、微分等式与微分不等式......................... (18)
一元函数微分学的应用(三)——物理应用................................................(22)
V题八
一元函数积分学的概念与性质............................................................(24)
;题凡
一元函数积分学的计算.................................................................(27)
1
▲邪-放暨就乡考研数学真题大全解（数学二）
G题I
一元函数积分学的应用（一）一一几何应用................................................（30）
题|・
一元函数积分学的应用（二）——积分等式与积分不等式................................... （33）
弛I•:
一元函数积分学的应用（三）一物理应用................................................（35）
他卜：一
多元函数微分学.........................................................................（37）
题I四
二重积分..............................................................................（40）
微分方程..............................................................................（43）
4第二部分线，性代数&
。•题
行列式................................................................................（47）
余子式和代数余子式的计算 ............................................................ （50）
。•题
矩阵运算..............................................................................（52）
;题四
矩阵的秩..............................................................................（56）
弛
线性方程组..............................................................................（58）ii in
&题六
向量组................................................................................（61）
特征值与特征向量......................................................................（64）
&题八
相似理论..............................................................................（67）
&题九
二次型................................................................................（70）
2^g
U胃题一函数极限与连续
O函数极限的局部保号性(不等式脱帽法与戴帽法)
(1) 若lim/(x) = A > 0(或 V 0)=>/(x) > 0(或 V 0).
(2) 若 x -*•时,/(x) 2。(或 V 0)且lim/(x) = A,则 A 2。(或 V 0).
e函数极限的等式脱帽法
lim/(j?) = A0/Xz)=A+a,其中 lima = 0.
【注】"1"与“2”要求考生“脱帽”"戴帽”的技能娴熟，脱戴自如.
❸泰勒公式(熟记以下十大公式)
2 8 ”
(1* = i+z+命+•••+% +…=£ %
2! n\ n!
1 1 冬 T2rrH
(2) sin r =工―(― 1)”(2.+ 1)产并［+'" = £(一】)' (2〃+1)「
OO 2n
(3) cos z = 1 — -^TJC2 -\---- \- (— 1)”(今、产2兀 H----=、(— 1)" 7*
2! (2〃)！ (")!
OO
(4) ln(l +z) = x — x2 + ••• + (— 1)1 — + ••• =、(— l)i — > — 1 < 1.
2 n n
8
(5) = l+z + z2+..・+" + ...=、儿 I x |<1.
1一］ 〃=。
8
(6) t-4— = 1 — Z + 了2 —史 + ・・・ + (— 1)%” + …=5? (— 1)%” , I Z | V 1.
1+z =
(7) (1 +1)。= 1 + ar +。(。2 1)乂2 +o(j?2)(x f 0).
(8) tan x = jc-\- §史 + o(x3)(x f 0).
(9) arcsin x = x + —x3 +o(x3)(x —► 0).
o
(10) arctan x = x x3 +。(史)(z 0).
V
【注】每天起床头件事，先背一遍展开式.
❹无穷小比阶
也,，［0, ①
A彳考研数学真题大全解(数学二)
① 称心是比gGr)高阶的无穷小.
② 称f (工)与g(_r)是同阶无穷小.
③ 称/(t)是比gCz)低阶的无穷小.
f(T) I
【注】常考带参数或带积分号的式子，比如lim号，lim ---------,临/皿等，
无穷小比阶本质上是考极限计算，这一点对考生要求较高.
❸函数极限的夹逼准则
若给出具体函数求极限，但极限不满足使用洛必达法则三个条件中的至少一个
或,，竺，，型；⑵分子、分母均可导;⑶结果为O,c(c尹0) ,8,则洛必达法则失效.
OQ
此时，可考虑用夹逼准则:若①g(z) V六了)V九(]);②limg(z) = A,limA(x) =A，则
x-^» x-*-*
lim/(x) = A.
这里,a.①中不需要验证等号;b.②中A可为0,c(c尹0),8.
【注】 此考点难度较大，能出综合性大题，具有未来命制大题的可能性.
0函数极限的单调有界准则
若给出抽象函数，证明lim /(x)存在，可考虑用单调有界准则:若工T 8时,/&)
单调增加(减少)且六工)有上界(下界)，则lim/(x)存在.
x-*+oo
【注】如何证明/(X)的有界性是难点，也是命题的重点，具有未来命制大题的可能性.
Q间断点的定义与分类
前提：r(z)在x = 左、右两侧均有定义.
对于① lim/(x) ?② lim/(x) 5(3)/(xo).
(1) 若①，②均存在但①不等于②，则Z =工。为跳跃间断点.
(2) 若①，②均存在且①等于②但不等于③，则工=xo为可去间断点.
跳跃间断点、可去间断点组成第一类间断点. ■
(3) 若①，②至少有一个不存在且等于无穷，则工=工。为无穷间断点.
(4) 若①,②至少有一个不存在且振荡，则x = x0为振荡间断点.
无穷间断点、振荡间断点属于第二类间断点.
【注】此考点属于常规题,但考生每年丢分不少，需重视.第•部分EFS数学
7 I
学刀笔记
。▲亲-考研数学真题大全解(数学二)
J
"专题二数列极限
g
解题要点n
o数列极限的归结原则的使用(变量连续化)
若lim/U) =A,则当S,｝以五为极限时，有lim/(z.) = A.
常考①当而,—Q 时，若lim/(x) = A,则lim/Xz”)= A.
x-*-a
②当 zf 0 时，取而,=1■，即若lim/(j;) = A,则—)= A.
n \ n /
x-*-q n->oo
【注】 事实上，当时，亦可取而.=4,4等，即只要H.fO就可满足,考生见
n n
到相应的题目时，要能够准确识别.
e数列极限的单调有界准则
若｛*,｝单调增加(减少)且有上界(下界)，则临工, =a(存在).
«~*8
(1) 证什么.
① 单调是证:务rM与而.的大小关系.可考虑,a.作差"1 一而,,与0比大小;b.在同号时，亦
可考虑作商知■，与1比大小;c.当T^-1 — Xn与同号时，｛而,｝单调等.
② 有界是证：3M>0, |石| 0,工一1 2 In工,如考z计1 = In工” + 1 <孤，｛石｝单调减少；
<
d. a,3 > 0,廊< 如考而巾=„ —工,)< 五+'_工，=芸，｛召｝有上界.
② 题设给出条件来推证，比如证明不等式或求函数的最值，均可能会有不等关系产生，从
而得出单调或有界的结论.
❸数列极限的夹逼准则
若 ①必 < n W 2,② lim必 =a, limzn =。，则 limz” = a.
n—^oo
>oo n-A8
这里,a.①中不需要验证等号;b.②中a可为O,c(c尹0),8.
(1)证什么.
»= ▲。① 对放缩：V. z„.
② 取极限.
【注】X„的放缩是难点，只要证明了*〈工” W%,取极限很容易.
(2)怎么证.
主要有两种证法.
®用基本放缩方法.
{n . ttmin w Ui + 初---- Un ,
2 0 时'1 . "max W 勺 + 地 ---- "" W 〃 • Wn»x.
②题设给出条件来推证，比如证明不等式或求函数的最值.这一点与“2”的情形一样.
O数列极限的相关综合题
数列极限的存在性与计算问题可与很多经典知识综合，故常作为压轴题出现在试卷中，考
生应多做总结，看看这些综合的点在哪里，打通它们，建立知识结构，便有思路了，比如可
做如下总结.
(1) 用导数综合.
(2) 用积分综合.
(3) 用中值定理综合.
(4) 用方程(列)综合.
(5) 用区间(列)综合.
(6) 用极限综合.
d乡考研数学真题大全解（数学二）
幺灰§叙一部芬—高等数学
j
;专题三一元函数微分学的概念
O
'导数定义（导数在一点处的问题）
r愆。)=临 g + %)—g)= lim ■/'(G-V(血)
Ar-*0 X — JCq
【注】（1）/（工。）=关
是指r对z在为处的（瞬时）变化率.
工=工0
（2），（x0）存在 <=>/L（x0） = f+（JCo）.
尸6）= lim尸5 一疔？皿
（3）高阶导数
X 一 Xo
（4）常考题型：
①分段函数（含绝对值函数）在分段点
特指点xo,
②抽象函数在一点
泛指点X；
f=m，
太复杂的点
f = f\ • ft.... f*,
③四则运算中的特殊点
不成立的点.
、整理错题，总结经验，查漏补缺，完善思电 反反复复扎扎实实
念念不忘必有回响放斧欢彳考研数学真题大全解（数学二）第一部分高等数学
3
幻专题四一元函数微分学的计算&
冬解题要点
❶反函数求导
（1） 设丁 = fS 可导，且f S 尹0,则存在反函数x =（p（y（,且
* =七即妒（少=击.
dr
（2） 在〃 =/（J；）二阶可导的情况下，记f （工）=j40（；y） = xy{xy^ 0），则有
All 12 日（平）d（4） d（A）］ 〃
/ dy 1 1 〃 d y \dz/ \xy / \JCy / 1 一z列
x dr Ajc xy 在 dz2 dr dr 83; xy （xy ）3 *
反过来，则有 Z；=十,Xyy —（J元.
【注】反函数求导，不仅可以单独考题，亦可能在微分方程的求解中起到关键作用，
考生应注意.
❷分段函数（含绝对值）的求导规则
, f（pi（J7）, …
对于六了）=〈 或 r（z）= | v（z）—。1 等.
S（z）, zVq,
（1） 在分段点用导数定义求导（定义法）.
（2） 在非分段点用导数公式求导（公式法）.
【注】 掌握好这个规则，便可顺利解决问题.
❸蓦指函数求导法
对于"O）仙（〃（z）〉0,“（z）养1）,可以先化成指数函数
妃％）徐）=理工冶始）,
然后对Z求导得［“（工）心丁 = ［^工山心丁 = “（工）条＞P'（z）lnu（£）+u（工）• §滂}
【注】“（z）彖〉是命题热点，比如等.
❹参数方程确定的函数求导
设函数v =火Q由参数方很T二E?'确定,且平。），见）均二阶可导，＜?'（£）乂 0,其中t
若研梅子版,姑）www. pdf2booK. com放亨M彳考研数学真题大全解(数学二)
仲)常"常扣・
是参数，喧=螭=滞，熟=华=哩妲=
【注】参数方程求导也是命题热点，一般是送分题.
。高阶导数
(1) 用归纳法.
比如，设)=3工,则 y = 3xln 3,yr = 3x(ln 3)2
得出通式 = 3"(ln 3)",n = 0,1,2,-.
(2) 用莱布尼茨公式.
设u = w(x) ,v = v(jc')，均n阶可导，则
(w + v)(n) = u(n) 士 v(n),
(uu)(n) = M(n) V + CJuV + C^M ("-2) V H------ H------------------------Cr'wv^15 +uuM
k=Q
(3) 用展开式(十个).
展开为麦克劳林公式，通过比较系数来获得rn,Uo).
① 任何一个无穷阶可导的函数都可写成＞ =/(x) = S 之字(z 一 工。)',或者
n=O n •
＞ = /(-)= S O22-".
n=0 n*
② 题目给出一个具体的无穷阶可导函数＞ = 可以通过已知公式展开成蓦级数.这些
已知公式见“专题一的3”. '
③ 根据函数展开式的唯一性，比较①，②中公式的系数，就可以得到产0(西)或者
/n)(0).
I
学刃笔记可
、整理错题，总结经验，查漏补缺,完善思路。 反反复复扎扎实实
念念不忘 必有回响
12厂部赤3竹数学考研数学真题大全解（数学二）
幻.专题五 一几何应用}
兀函数微分学的应用（）
❶切线、法线、截距
设' =火了）可导且J（z）夭0,则
（1） 在怎点）处的切线斜率为k = ya）；
（2） 法线斜率为一土=一太；
（3） 切线方程为丫一）= J（z）（X —工）；
（4） 法线方程为Y—v =一 志（X —工）；
（5） 令X = 0,则切线在丁轴上的截距为v一可'（工）,法线在丁轴上的截距为
（6） 令y = o,则切线在工轴上的截距为工一云法线在工轴上的截距为z+无'（z）.
【注】以上结论要熟练掌握，是常考点.
e单调性与极值的判别
（1） 单调性的判别.
若V = /（X）在区间I上有f'（x） ＞ 0,则V = f（x）在I上严格单调增加；
若＞ =f（q在区间I上有E）＜ o,则＞ =f&）在I上严格单调减少.
（2） 一阶可导点是极值点的必要条件.
设/（*）在1 =互处可导，且在点心处取得极值,则必有f'5 = o.
（3） 判别极值的第一充分条件.
设f（H）在Z =工。处连续，且在Z。的某去心邻域U{x0 ,3）内可导.
① 若了 e（血一3,工°）时，,（工）＜o,而工£（工。，了° +a）时，广（工）＞o,则/XQ在工=工。
处取得极小值；
② 若工£ （他一a,工°）时,/（工）＞0,而工6 （工0,工（）+3）时,f （工）V0,则在工=工＜）
处取得极大值；
③ 若/（X）在（了0 —3,工0）和（Zo ,Xo +3）内不变号，则点*0不是极值点.
（4） 判别极值的第二充分条件.
设fG）在JC = x0处二阶可导，且f'（工0）=。，/"”（两）尹0.
① 若fv（xo） V o,则/X，）在工。处取得极大值；
② 若f"（工0）〉0,则在Xo处取得极小值.
（5） 判别极值的第三充分条件.
设 /（x）在工0 处。阶可导，且 /＜m＞ （x0） = 0（m = 1,2,•••,«— 1），/＜n）（Xo）尹 0（n 2 2）.
考研电子版网站：www. pdf2book. com
140
第-部分高箸数学
① 当n为偶数且产”＞危。）＜ 0时，则在xo处取得极大值；
② 当〃为偶数且fM危。）＞ 0时，则心在xo处取得极小值.
❸凹凸性与拐点的判别
（1） 判别凹凸性的充分条件.
设函数r（*）在I上二阶可导.
①若在 I上广'危）〉0,则（工）在I上的图形是凹的；
，②若在I上/'（工）VO,则/'（*）在I上的图形是凸的.
（2） 二阶可导点是拐点的必要条件.
设，6）存在，且点（工。，/6））为曲线上的拐点测f'5 = 0.
（3） 判别拐点的第一充分条件.
设V = f（H）在点工=JC0处连续，在点工=Xo的某去心邻域打（工0 ,3）内二阶导数存在，且
在该点的左、右邻域内fS变号（无论是由正变负，还是由负变正），则点（工。，/'（工。））为
曲线y = fM）上的拐点.
【注】6，«r。））为曲线、= _/•（/）上的拐点时，并不要求，（工）在点Z。的导数存在，
如y =务在z = 0的情形.
（4） 判别拐点的第二充分条件.
设/Cr）在r = x0的某邻域内三阶可导，且尸3）） =。，/'”（血）尹0,则（xo 为拐点.
（5） 判别拐点的第三充分条件.
设，（z）在了。处n阶可导,且尸6）=0（m = 2,“・，"一1）,笋＞&0）尹03 2 3）,则当
n为奇数时，Oo,y（Zo））为拐点.
【注】拐点的判别是命题的热点，近年来常出现认工）*＞或£/（f）di形式的研究对
象，增加了考题的难度.
。渐近线
（1） 铅垂渐近线.
若lim/（^）= 8（或hmf （工）=8）,则王=工。是曲线＞ =/（x）的一条铅垂渐近线.
【注】 此处的以一般是函数的无定义点.
（2） 水平渐近线.
若lim/（jc）= y}，则y = y\是曲线y 的一条水平渐近线；
X
»-{-oo
若%,则y = y2是曲线y = f3 的一条水平渐近线；
若lim /（x） = lim /（j?）=弘，贝0 y = yo是曲线y = /&）的一条水平渐近线.
x-
JT T~oo oo
（3） 斜渐近线.
若 lim』3〉= kx, lim \_f {r）— kxx~\ = bx 测 y = kxx-\-bx 是曲线 y = /Xz）的一条斜渐
* |o° 工 x 00 考研电子版网站：www. pdf2book. com
15 —弄乡考研数学真题大全解(数学二)
近线；
若 lim = k2, lim ［_f (z)—&2幻=b2，则 y = k2x + b2 是曲线 y = /(z)的一条斜渐
x- *—x JC r-*—8
近线；
若 lim』顷)=lim 么也=加 lim ［/Xi)—奴］=lim \_f{x)—kx~\=b3则;y = fcc+b是
X x-*~~8 JC x » 4-oo ~oo
曲线J = f(工)的一条斜渐近线.
【注】 ①按顺序求渐近线：先(1)后(2)再(3),便可不重不漏.
②求渐近线本质上也是极限计算问题,近年来常出现 ”(工)心或形式的研究
J a
对象，对考生计算能力提出了较高要求.
❸最值(值域)
(1) 求闭区间也,切上连续函数/(工)的最大值M和最小值％.
① 求出f(x)在(a,b)内的可疑点——驻点与不可导点，并求出这些可疑点处的函数值.
② 求出端点的函数值f(a)和f(b).
③ 比较以上所求得的所有函数值,其中最大者为f(工)在也,6］上的最大值M,最小者为
f(x)在［a,6〕上的最小值m.
【注】有时这类问题也可命制为“求连续函数八r)在闭区间也,妇上的值域
(2) 求开区间(a,b)内连续函数/(z)的最值或者取值范围.
① 求出八工)在(a,b)内的可疑点——驻点与不可导点，并求出这些可疑点处的函数值.
② 求(a /)两端的单侧极限:若a,b为有限常数，则求limf(z)与lim/(x);若a为一8,则
x-^-cT T-^b
求lim y(x)；若b为十8,则求lim fs.记以上所求左端极限为A,右端极限为B.
J—•—OO x * I'°°
③ 比较①，②所得结果，确定最值或取值范围.
【注】这类问题有时没有最大值、最小值.
曲率与曲率半径
曲率卜房法T曲率半径R ==
【注】 求出y,y,套公式即可，是热门考点.
相关变化率
dA dC ^u-u-dA m.|dA dA dC
题设告之无'而'欲求而'则而=无.而.
【注】有时#或舞要在题目中挖掘条件后才能得出，考生抓住一个关键信息，如“A
aC aB
对C的变化率”，立即写出票 即可.
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16I亦二H而3等数学弄警"佐乡考研数学真题大全解(数学二)
、专题六一元函数微分学的应用(二)-
——中值定理、微分等式与微分不等式/顼
I
解题要点言
❶介值定理
设/(X)在［a,可上连续,m < M,当m V" W M时，存在& £ ［a,切，使得f(& =产
常用于找 /(c)= “(由 /(a) = A,f(b) =B,A2.
【注】 关键是证/(a) = f(b).
❸拉格朗日中值定理
〜、出口］①［a0］上连续/ ,、任，曰
设/'(工)满足/ ，、上-TB则存在$£(a,6),使碍
【②(a,b)内可导，
f(b)-~f(a) = g(b — a),
或者写成 /(^)= f(b)「. f«a).
b — a
常用于
(1) 题设中有，与，的关系或“了。)- /(a)".
(2) 证 F'(Q > (或 V)0.
(3) 证 F〈">(Q > (或 <)0,n^2.
(4) 证 F(/(7),/(t)) = 0. •
(5) /(^)可考到单调性.
O泰勒公式及其应用
(1) 带拉格朗日余项的n阶泰勒公式.
设心在点瓦的某个邻域内n + 1阶导数存在，则对该邻域内的任一点工，有
f (工)=f (工°) + f (xo)(x —Xo) + + 土尸'>(>ro)(>r —工。)”+ £ 工普;(工-工。尸】,
其中£介于*，工0之间.
(2) 带佩亚诺余项的n阶泰勒公/电子版网站：
ww. pdf2book. com
…18Ck
第•部分高等数学
设g)在点工。处”阶可导,则存在孔的一个邻域，对于该邻域中的任一点Z,有
fj) = f0) +r(ITo)(_r —他)H------ 土尸">(血)(了一工0)" +o((w — Zo)').
n\
常用于
(1) 题设中有与的关系,“2 2.
(2) 证 F<">(Q > (V 或=)0/2 2.
<3)/a)可考到凹凸性.
&微分等式问题
(1) 理论依据.
① 零点定理及其推广.
设fS)在［a,们上连续，且j\a)f(b) < 0,则/(x) = 0在(a,b)内至少有一个根.
【注】 推广的零点定理：若/(x)在(a,6)内连续,lim/(x) = a, lim/Cx) = 0,且
a «/3<0,则/(x) = 0在(a,分内至少有一个根，这里a,b,a,R可以是有限数，也可以
是无穷大.
② 用导数工具研究函数性态.
③ 罗尔原话(罗尔定理的推论).
若/"> (工)=0至多有&个根，则/'怎)=0至多有k + n个根.
④ 实系数奇次方程H-------a2nx +a2n+i = 0至少有一个实根.
(2) 考法.
① 证明恒等式.
② 函数的零点个数(方程根的个数、曲线交点的个数).
a. 至少几个.
b. 至多几个.
c. 恰有几个.
【注】常含参数讨论.
(1) 导数中不含参数，即辅助函数/Cz)中不含参数，于是研究函数性态的过程中不
讨论参数，结果中讨论参数，即根据参数的取值不同，研究曲线与*轴的交点个数.
(2) 导数中含参数，即辅助函数7a)中含参数，于是研究过程中讨论参数，即根据参
数取值不同，研究曲线不同的性态，从而确定其与工轴的交点个数.
③ 方程(列)问题.
④ 区间(列)问题.
&微分不等式问题
(1)用单调性.
①如果 limF(x)三0,且当x G (a,b)时F’Cr) 20,则在(a,6)内F(z)三0.若存在z = a
的右侧一个小邻域有F'(z) > 0,则结论中的不等式是严格的(即FG) > 0).若在z = a
处F (工)右连续，则可用F(毓葛碱董与思炳夜温胤
x-*a放乡考研数学真题大全解(数学二)
②如果 limF(x) 2。，且当 z 6 (a,b)时F‘(z) VO,则在(g,5)内 F(x) >0.若存在z = b
i-*-b
的左侧一个小邻域有F'(工)V 0,则结论中的不等式是严格的(即F(z) > 0).若在工=b处
FG)左连续，则可用F(6) 0代替limF(z) >0.
x-*-b
上面讲的区间(a,6)改为半开区间、闭区间、无穷区间、半无穷区间，结论仍成立.
(2)用拉格朗日中值定理.
如果所给题中的FJ)在区间［a,5］上满足拉格朗日中值定理条件,并设当x 6 (a,6)时
F'G) NA(或 WA),则有
F(6)-F(a) >A(6-a)(或 FE) — F(a) ，("为偶函数.
(2) /(x)为偶函数=>/(x)为奇函数.
(3) /(x)是以T为周期的周期函数=，Cz)是以T为周期的周期函数.
『了(河为偶函数，
(4) /(x)为奇函数士 °
J /"(£)&为偶函数(a尹0).
为奇函数，
(5) /(工)为偶函数* :
U / (i)di不确定(a尹0).
r/U)是以T为周期的周期函数，是以T为周期的周期函数，
J 0
Uo/(x)dr = ° [j/(^)dr是以T为周期的周期函数(a尹0).
CT fa+T
(/(7x)) 是以T为周期的周期函数= L V常数a.
【注】考生要熟记以上七条，常考客观题或大题中的某一关键环节.
e定积分定义
(1)基本形(能凑成Z).
n
若数列通项中含下面四种形式：
①〃 + i(an +bi ,ab 砖 0)；②必 + 矿；③/ +&•；◎_£.
n
则能凑成三，比如
n
①〃 + 3 = 〃(1+：):②/ + i2 =〃2〔1 + (：)]；③必 + ni =必(1 + ')・
于是可直接写定积分定义
胴郭0 +邪)守=叩了)&'
或 四 W 了(° + 守')守=£'&)&•
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（2） 放缩形（凑不成里）.
n
① 夹逼准则.
如通项中含n2+i,则凑不成三,这时考虑对通项放缩，用夹逼准则.
n
② 放缩后再凑
n
如通项中含耳岂,虽凑不成;，但经过放缩（号）2 V七拦V （甲）2 ,则可凑成:.
（3） 变量形.
若通项中含于/,则考虑下面的式子：
四事（。+专勺宁=捉腿
i
学习笔记i
ry
、整理错题，总结经验，查漏补缺，完善思路。 反反复复扎扎实实
L--------------- - ---------------------
念念不忘必有回响
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q专题九一元函数积分学的计算忐』
解题要q
。'判别反常积分的敛散性
(1)判别时要求每个积分有且仅有一个奇点.
0< 1时,收敛，
力21时，发散，
(2)尺度<
P>1时,收敛，
g i j
P W 1时,发散.
【注】 o cos^sin^^2"等'
❷华氏公式(点火公式)大全
sin% dr = cos% dr
o o
n 一 1 n 一 3
- • 1, n为大于1的奇数,
n n — 2
n — 1 n — 3
…•夸，n为正偶数.
n n 一 2 乙 乙
2 • -—- • -—|.........W，1， n为大于1的奇数,
. n n — Z 3
sin% dr = <
2 • • -~~|...........§ .夸,n 为正偶数.
n n 一 Z Z Z
fO, n为正奇数,
cos^dz = ( n- 1 72-3
号•号，”为正偶数.
J 0 2 •------- •------
n n 一
l
n为正奇数,
'2n r2n
cos% dr = sin%dz = < n—i n一q 号•专，〃为正偶数.
o J o 4 • ------- •-------
I n n — 2
【注】 以上公式必须熟记，这是考试中命题频率极高的知识点.
。对称性下的定积分问题
考生应能理解并解决
C2n
(1) — l)(z — 2)・・・(z — 〃)…愆一2n)dz；
J 0
(2) [ X J板—工? &.
J 0 考研电子版网站：www. pdf2book. com
27穴考研数学真题大全解（数学二）
这两种典型问题均使用了对称性命题的手法.
❹定积分分部积分法中的“升阶"“降阶"问题
（1） “升阶"问题:如已知则
［（z — lV/XQdz = #（«Z — l）3/*（z） |---［ （z — l）3f （Qdz.
J o o I o o J o
（2） “降阶”问题：（1）的反向题.
o求分段函数的变限积分
设 f（G = f '工 S .'求 FJ） = ［7（z）dr.
［物 3） , Z £ 妁， J a
对于这种题目考生要熟练掌握两个要点:①分段讨论;②累积函数.
O变限积分的直接求导型
可直接用求导公式（i）,（n）求导的变限积分称为直接求导型.
• (t)
s = j J[—'(£)]2 +[jZ(£)Td£.
(3) 若平面光滑曲线由极坐标方程r = r(0)(a <。给出，则曲线弧长为
s =『J[r(g+[/(@)]2 血
o旋转曲面的面积(旋转体的侧面积)
(1) 曲线、=火*)在区间[a,5〕上的曲线弧段绕工轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积为
S = 2jrj | >(j:) | yi + [y(j?)H2dr.
(2) 曲线工=xW) ,y = >(Z)(a w £ W/?,Z‘Q)丰0)在区间[a,何上的曲线弧段绕x轴旋
转一周所得到的旋转曲面的面积为
S = 2* | y(t) | JCz'R)予 +
e “平面上的曲边梯形“的形心坐标公式
设 D ={(*,、)| OWyW/'G'aWzW 6},)= /■(*)在[a,3〕上连续，如图所示.D 的形
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心坐标正,3的计算公式:
'b
'b
/(x)dz
4-［产(工)&
u J a
y = -f* ,
J fCx^dx
若考题为求质量均匀分布的平面薄片物体的质心，也就是平面D的形心问题.公式如上.
［注】“3”至“5"是常见考点，考生须（1）会套公式，（2）要亲自动手计算，这里的计算
往往不简单.
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32命―部而3等数学
妇专题十一 一元函数积分学的应用(二)，
& --- 积昇等式与积分不等式 *
g
解题要点导
o通过证明某特殊积分等式求特殊积分
如证明了［ xf^x^Ax =/(j?)(lz(n = 1,2,3,…)，则可得
J o Z J o
［x | sin z | & = | sin x \ dr =必兀.
J o Z J o
e积分不等式
(1) 用函数的单调性.
首先将某一限(取上限或下限)变量化，然后移项构造辅助函数，由辅助函数的单调性来证
明不等式，此方法多用于所给条件为“了(z)在也,M上连续”的情形.
(2) 处理被积函数.
① 用分部积分法.
利用分部积分法处理被积函数，再利用已知条件进一步推证.
② 用换元法.
见到复合函数的积分，可考虑换元法.
(3) 曲边梯形面积的连续化与离散化问题.
① 若函数了愆)在［1,招上单调增加，且非负，则有
/(1)+/(2)H------ f(〃一 1) o）=y（Ar A>） 7 二 .）+ 火2.
Z Uyr JJx。'△火
/L（Jo 顽）==A,
记 ip
—3,火）=仅3,火）—B,A—AC — B2.
、fyy,、））— C,
a.正定.
当， f'L
>0, ＞ 0,即△〉0 时＞ f（jco 成），f （工G ,'o）为极小值.
b.负定.
当 / : <0, ＞0,即△＞（）时＜ f （工0，Vo），f（Ho，丁0）为极大值.
X。 以 X。
/X
当 /: V 0,即△ ＜ 0时，二次型变号，（孔,）0）非极值点.
c.
//; 以
X。
d. /X
当 !/ : =0,即△ = 0,（了0 ,了0）可能为极值点，也可能不是极值点.
X。
（2）条件最值与拉格朗日乘数法.
求在约束条件（pC^9y） = 0下f盘,y）的最值.
① 构造辅助函数F（z,j/,/O = +部
+溯：（1点）=0,
② 令＜ + 部;（z,«y） = 0,
（p（j：9y） = 0；
③ 解方程组得到驻点，比较驻点处函数值的大小，取最大者为最大值，最小者为最小值.特
别地,只有一个值时，根据实际问题，其即为所求最值.
❹已知偏导数（或偏增量）的表达式，求2 = r（z,少
已知偏导数襄，亲或偏增量求Z = fkjCjy'）.
【注】这种考题需注意在首次积分时，加的是一个函数而不是常数.
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38Ci
第-部分高等数学
O给出变换，化已知偏微分方程为常微分方程，求/（U）
如给出f：（工,y） +/'（］,））=。，求这是一道极为重要的题源.
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3七4,乡考研数学真题大全解（数学二）
专题十四二重积分遢
号解题要点§
O二重积分比大小
（1） 用好对称性.
（2） 用好保号性.
【注】 这种题目常考客观题.
e二重积分的计算
（1）直角坐标系与换序.
① X型积分区域（如图（a））：［|y（3）cb=「七（w）dv.
JDJ J a J q% （x）
② 丫型积分区域（如图（b）） : = I* dy
JJ J c J 牝（.y）
【注】有一点需要指出，这里的下限都必须小于等于上限.
（2）极坐标系与换序.
在极坐标系下，按照积分区域与极点位置关系的不同，一般将二重积分的计算分为三种情况.
①『/、（*，））费=,费「/（rcos 9,rsin 0）rdr（极点。在积分区域。外部，如图（a））;
JJ J a Jr, （&）
D 1
= j'd"。/（rcos。，厂sin 0）rdr（极点。在积分区域。边界上，如图（b））;
（3）直极互化.
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,40第•部分高等数学
（4）关于积分区域D.
'图形变换
直角系方程给出
关于积分区域 极坐标方程给出
参数方程给出
、动区域（含其他参数）
,（5）关于被积函数yg）.
分段函数（含绝对值）
最大值、最小值函数
取整函数
关于被积函数符号函数
抽象函数 工
复合函数3，y
、偏导函数
【注】以上的（4）,（5）是各种题型的总结，考生需通过大量做题掌握各种积分区域D
与各种被积函数/的命题.
g
学习笔记§
V 反反复复扎扎实实
整理错题，总结经验，查漏补缺，完善思路。
念念不忘必有回响
41豉乡考研数学真题大全解（数学二）
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"专题十五觞方程 }
0一阶微分方程的求解
(1) 齐次型.
① 能写成J = 令.="片•换元后分离变量，即y =="+工若=原方
程化为z平+ u = 洁一=里>|■可平一=|■些
dz j (u) — u x J j (u) — u J x
② 能写成j = _/(§)=>令子=Q•换元后分离变量，即工=■忠=« + 原方
程化为了平 +” = ^“)=77平一■蚁
ay j (u) — u y J j {u) — u J y
(2) 一阶线性型(或可换元化为它).
能写成 y + p^y = q(x)n)= [jef""* • qO)dr + c].
e二阶可降阶微分方程的求解(能写成y = /(>,/))
(1) 缺工，令J ="则丁 =乎=乎•乎=平•。，原方程变为一阶方程瘁 =7W);
ar d> ar d> a>
(2) 若求得其解为p = y3，G),则由》=宝得亲=中3，G),分离变量得忐汶=位；
(3) 两边积分得j ?(%)= 了 + G,即可求得原方程的通解.
❸用变化率建微分方程的应用题
(1) 元素衰变问题.
(2) 人口增长问题.
(3) 曳物线问题(追踪问题).
(4) 冷却定律.
(5) 牛顿第二定律.
【注】这是难点，综合性强，要求高.
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二
部
分
线
性
代
数
0
www. paiZDooK. com帆"5, / .■ •■ - '
O行列式的计算
(1)化为“12 + 1”型行列式.
①主对角线行列式.
Q11 为2 …din an 0 … 0 a\ 0 ••• 0
n
0 a22 …a2„ = "21 a22 ••• 0 = 0 a22 0 =Ha«
• • • • • : i = l
0 0 …am an2 ,•* J 0 0 … am
②副对角线行列式.
<211 ,*• Ql,n-1 O,\n 0 … 0 hn 0 … 0 aln
衣1 …口2,«-1 0 0 …a2,n-i ^2n 0 …fl2,n-l 0
• • ・ ・
• • •
• . • • • • • , .
a„i … 0 0 a„i …an,n-i a„] … 0 0
/ 1、■")
=(―1)2 aid…a』.
③拉普拉斯展开式.
设A为/»阶矩阵,B为&阶矩阵，则
. 4 O" C"
-=|A||B|,
O B\ \O B\ \C i>
O A| |C A| |O A
=(-iriAiiBi.
B O\ \B O| \B C
④范德蒙德行列式.
i i - i
Xi X2 … Tn
Xi … 云=II (x7 — Xi).
X1
. . . yw”
zRi xF1 ,,,
(2)用递推法(高阶-低阶)计算行列式.
①找出递推公式,即找出Dn与Di的关系.
②Di与D„的元素要有完全相同的分布规律，只是Di比Dn少了一阶.
【注】递推法是考试的一个难点，也是重点，考生需要重视.
(3)用行列式性质计算行到舞子版网站：皿 pdf2book. com豉孕考研数学真题大全解(数学二)
用行列式性质将要求的行列式进一步化成已知行列式.
(4) 用矩阵知识计算行列式.
① 设 C = AB,A,B 为同阶方阵，则 |C|= |AB|= |A| \B\.
② 设C = A+B,A,B为同阶方阵，则| C| = 14+B| ,作恒等变形,转化为矩阵乘积的行列式.
③ 设 A 为”阶矩阵,则 = lAK1, I (A*)* | = | |A|ta | = | A
【注】③极为重要.
(5) 用相似理论计算行列式.
① IA | = Xi.
i=i
② 若A相似于B,则|A|= \B\.
【注】以上关于行列式计算的公式易记，好用，考生应熟知.
I：
学习笔记i
、整理错题，总结经验，查漏补缺，完善思路。 反反复复扎扎实实
念念不忘必有回响
k --------------------------------------------——-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
WWW.第"祁序线性代数豉考研数学真题大全解（数学二）
罗 专题二 余子式和代数余子式的计算 二
I解题要点I
❶余子式和代数余子式的计算
（1） 用矩阵计算代数余子式.
当⑷乂 0时,A* = lAlA-1 .由于A*由A"组成，求出A* ,即得到所有的&,但要注意,
此方法要求|A|#0,这是前提，也是一种限制.
（2） 用特征值计算代数余子式.
设A为3阶矩阵，当A为可逆矩阵时，记其特征值为万,A2，足则Q的特征值为疽，莅1,
京，且由A* = |A|A_1 =义以2捕4—|,可知A*的特征值为
AT = AiA2A3 • Ai1 = A2A3 9X2 =—AiA2A3 • A2 1 =义1 义3=A1A2A3 , A3 1 =人1人2，
'An A21 A3i
故由 A* =A12 A22 A32 ,
_A13 A23 人33_
知 A?2 + tr(A* ) Xi AiAs + AiAz.
An + A33 = = AT + + A3 = A2A3 +第：部分线性代数考研数学真题大全解(数学二)
厂专题三矩阵运算
咨解题要点？
o求矩阵A的〃次蓦A”
(DA为方阵,r(4) = 1且
也
A afiT
于是 (呻)(W) • • • (aflT) = a(件 a)(fiTa)”・(fira)fir
3
(a,6,)^4 = [tr(A)]wA.
i=i
(2) 试算A"或A’)，找规律.
①若 A2 = kA,则 A" = k^A.
= knE(若 k =-l,则 A，=E),
②若木=kE,
1 = knA.
亦有可能试算A，,如A3 =kA,这些次数不会太高.
(3) 4 —B+C.
若 A = B + C,BC = CB,则
A" = (B + C)" = B' + nBic+ 必* 〒 1) bic2---- C".
z!
① 若 B = E,则 A" =E + "C + "("；1)C2------ C".
乙!
② 若 BC = CB = O,则 A" = Bn +C".
(4) 用初等矩阵知识求HAP?.
若R『2均为初等矩阵,m,n为正整数，则P^APl表示对A作了与R相同的初等行变换,
且重复m次;再对PTA作了与R相同的初等列变换,且重复n次.
(5) 用相似理论求A".
若A ~A,BP P^ AP =A,则 A = JHPT,# =玖”pT. -
【注】 求A"是一类区分度很高的题目，未来很有可能在这五个方面命制考题.
©关于4*的公式
设A为技n2 2)阶可逆矩阵，则
① AA* =A'A = \A\E.
② \A'\=⑷—
③(AD* = (A*)T.
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l52第.部分线性代数
④ (M)* =k^ A* ,(~A)* = A*
⑤ A-1 = WA，/
⑥ A* = \A\A~1.
⑦ (A，rl =出4 = (A」')*.
⑧ (A*)* = \A\^2A.
，⑨| (A-)*| =
⑩(AB)* = B'A'.
【注】这些公式要熟记并会用.
❸分块矩阵
A A2 - ~Bi B2 "I 「Ai+Bi A2 + B2 "
(1)加法:同型，且分法一致，则
・人3 A4 -
十 -B3 B4J~ La3+B3
A4+B4-
「A B1 [kA kBl
⑵数乘成
-L u — LkC kDJ
「A Bl[X Y1 + BZ AY + BW
(3)乘法: ，要可乘、可加.
LC D Z W」 + DZ CY + DW
【注】 对于(3)的运算要注意，分块相乘后，左边的仍在左边，右边的仍在右边.
(4)求逆.
①若域= ，其中B是厂阶可逆矩阵,C是s阶可逆矩阵，且A可逆，则
LD CJ
- 矿i o -
A'1
・一C】DBT c-1-
②若
[O B-] 「D B1
Ai = 9A2 = ，03 =
LO CJ LC D-I O」
其中B,C可逆，则
「B~i -B-iDC】 ■— CXDB~X c-1n C 1
at1 =
,4丁
o
C1 - -B-DC1
4 A/
A2 A2
③主对角线分块矩阵p= .副对角线分块矩阵Q=
一 人一 A 一
若AG = 1,2,-,5)均可逆，且P,Q均可逆，则
PT =
A丁
考研电子版网站■际M pdf2book. cJlI1弄乡考研数学真题大全解（数学二）
【注】考研对分块矩阵的运算要求不太高，掌握以上四种运算公式即能达到要求.
O初等矩阵的性质
① |E"| =— 1, |E”。）I = 1, |E,以）| = k.
② Eg = ,E* （b） = E,.以）,E?以）=E以）.
③ EU=E"E铲以）=E,, （—D,ET"） =E,（十）.
④ Ej = |E,|E了 =—Ev,
E； （k） = | Ey （h） I E了 （k） = E.J （- k）,
E' （k） = |EQ）|ETO）=杯;（七）.
【注】记住④，能很快解决问题.
❸求解矩阵方程
根据题设条件和矩阵的运算规则,将方程进行恒等变形，使方程化成AX = B,XA = 8或
AXB = C的形式.
（1） 若A或A且B可逆，则分别可得解为X = AT B,X = BA1 ,X = A 'CB1.
（2） 对于AX = B,若4不可逆，则将X和B按列分块，得
A（& ,务，…，&）=（。1 ,位，•"，&）,即 = fli,i = 1,2,
求解上述线性方程组，得解g,,从而得X = （& ,弟.
（3） 若无法化成上述几种形式，则应该设未知矩阵为X =（刊）,直接代入方程得到含未知
量为心的线性方程组，求得X的元素工"，从而求得未知矩阵（即用待定元素法求X）.
【注】（2）与（3）考查较多，若含参数，则易命制大题.
g
学刃笔记司
V 反反复复扎扎实实
整理错题，总结经验，查漏补缺，完善思路9
念念不忘必有回响第•.部分线性代数考研数学真题大全解(数学二)
［专题四矩阵的秩或
O矩阵的秩的15个公式
(1) 设 A 是 mXn 矩阵，则 0 < r(A) < min(nt,n)(由定义).
(2) 设A是mXn矩阵，则r(M) = r(A)以乂 0)(由定义).
(3) 设A是mXn矩阵,P,Q分别是m阶、”阶可逆矩阵，则
r(4) = r(B4) = r(AQ) = r(PAQ).
【注】 若r(4B) Vr(4),3为”阶矩阵，则r(B)V”.
(4) 设 A 是 mXn 矩阵,B 是 nX s 矩阵，则 r(AB) V min(r(A) ,r(B)}.
(5) 设 A,B 为同型矩阵，则 r(A + B)1)阶方阵，则
(1) 当 n = 2 时,(A*), =A；
(2) 当n>2,且A是可逆矩阵时,(A*)* = | A ^Ai
(3) 当n>2,且A是不可逆矩阵时=O.
(11) 设 A 是 Ti 阶方阵,A2 = 4,则 r(A) + r(A — E) = n.
(12) 设 A 是。阶方阵=E，则 r(A + E)+r(A —E) = n.
(13) Ac = 0,其基础解系所含向量的个数s = n — r(A).
(14) 若A〜A,则也=n — r(XiE ~A)，其中是•重特征根.
(15) 若A〜A,则r(A)等于非鞘痢|融个熙耕蒋戛葬算.
▲ 56第：部分线性代敖
【注】 秩是必考点，考生应多做训练，反复运用以上公式与结论.
考研电子版网站：www. pdf2book. com弄率考研数学真题大全解(数学二)
$3^
五线性方程组§
O解含参数的具体型线性方程组
(1) 将系数矩阵(齐次方程组)或增广矩阵(非齐次方程组)先用初等行变换化为阶梯形,
再用方程组理论判别、求解.
(2) 对“方形”(方程个数=未知数个数)的方程组.
① | A |尹00方程组有唯一解不是/(A)的零点.此时可用克拉默法则求解.
② |A| = 00人是/(A)的零点.得出这些零点后，逐个代入方程组，再求解.
③ 注意这个知识点的变体形式:含参数的向量之间的关系.
e求解两个具体型方程组的公共解与同解问题
(1)求两个方程组的公共解.
①齐次线性方程组 A*,、=。和= 0的公共解是满足方程组x = 0的解,即联立
求解.同理，可求Ax=a与Bx =0的公共解.这里对读者的计算能力提出较高要求,理论
上没有什么难点.
② 求出A^„x = 0的通解知& +炬言2 H------雄,，代入BgX = 0,求出kt(i = 1,2,…,s)之
间的关系，代回A汕“X = 0的通解，即得公共解.
③ 若给出AmX„x = 0的基础解系&，&z ,•••，*与BmX„x = 0的基础解系功…，叩，则公
共解
y =+加昼 H------ 虹切=Zifji +l2i}2 H---------
即 灼容 +为法2 + …+么& — Z1IJ1 —，2邛2 ―— ItTjt = 0,
解此式子，求出k,或&3 = 1,2,…，s；j = 1,2,•••"),即可写出y.
(2)同解方程组.
若两个方程组= 0和Bgx = 0有完全相同的解，则称为同解方程组.于是，
Ax = O,Bx = 0是同解方程组
e仙=o的解满足m = o,且Bx = o的解满足如=0(互相把解代入求出结果即可)•
Or(A) = r(B)，且Ax = 0的解满足Bx = 0(或Bx = 0的解满足Ax = 0)
<=>r(A) =r(B) (三秩相同，此方法较方便).
❺抽象型方程组的解的判定
主要有以下三条.
(DAx = 0： 总有解,至少有零解.
(A2) mXnX = 0： r(A)= 〃，只有零解；
"A' < 可存野诂：www.pdf2book.com第•.部分线性代数
(A3^) nx = b： r(A) # r(A \ ft),无解；
r(A) = r(A i b) = zz,有唯一解；
r(A) = r(A i b) = r J口］.
(3) 讨论.
① r(A)尹r(A : 0)0无解 <=> 不能表示.
② r(A) = r(A ：/»)=««唯一解 <=> 唯一表示法.
③ r(A) = r(A \ p) 无穷多种表示法.
【注】含未知参数是常考题.
❸ai ,a2,--,a„的向量个数与维数的关系
(1) 若向量个数大于维数，则必相关.
(2) 若向量个数等于维数，则
I a】 a” 1 = 00线性相关；I ai血，…，a, |尹00线性无关.
(3) 若向量个数小于维数，则
儿叭心m ,， 、初等行变换r-1 -1
化阶梯形 A = (ai ,a2,…，a”)------------* E h_ J.
① rG4) < n<=>线性相关.
② r(A) = n<=>线性无关.
③ 若线性相关，问as与afW电褂耶曲4W!航i的表示关系,则回到"2”即可.
61乡考研数学真题大全解（数学二）
【注】含参数亦常考.
O求极大线性无关组
给出向量组ai ,a2,・・・，a”.
（1） 初等行变换不改变列向量组的线性相关性.
（2） 求此极大线性无关组.
① 构造A = （ai血，••・□”）・
②6 4a-- 初 ---- 等 --- 行 ---- 变 B 换 （阶 叭出 梯 m 形） 、 .
③ 算出台阶数〃，按列找出一个秩为r的子矩阵即可.
o向量组等价
给出向量组（I）：。1 ,口2,…，a ；向量组（n）:Pi
在a（，= 1,2,…,s）与fij（j = 1,2,…"）同维的条件下，若Oi均可由fii ,%,•••,山线性表
示，且0均可由S 02，…,E线性表示，则称（I）与（口）等价.
【注】（1）向量组等价和矩阵等价是两个不同的概念.矩阵等价要同型，当然行数、列
数都要相等；向量组等价要同维，但向量个数可以不等.
（2） 4,B 同型时,A^B<=>r（A）=广（B）U）R4Q = B（P,Q 是可逆矩阵）.
（3） = l,2,・・・,s；j = 1,2,…”）同维，则
｛妨血，…,aQ三｛$ ,&,・・•，△｝
血与｛&,fh，・・・,fit）可以相互表出
<=>r（ai,・・・,。3）=尸（pi，阳且可单方向表出，即只需知ai血，・・・0与fii 9
%, •，仇这两个向量组中的某一个向量组可由另一个向量组线性表出
0广（。1 02，・・・皿）=尸（0曲，…或）=广（。1，。2，,・・，血! A，&广・，A）（三秩相同）.
、整理错题，总结经验，查漏补缺，完善思路。 反反复复扎扎实实
念念不忘必有回响
I _____-------------------------------------------"第.部分线性代数
多，考研数学真题大全解（数学二）
3 J
［飞商工 征值与特征向量
o用特征值命题
（DAo是A的特征值<=> |AoE-A|=O（建方程求参数或证行列式|%E —A|=0）；
Ao不是A的特征值0 |AoE-A|#O（矩阵可逆，满秩）.
【注】这里常见的命题手法：若|oA+6E| = 0（或oA+翊不可逆）,a尹0,则一也是
a
A的特征值.
I A | =万描…人，
⑵若兀,A2，…,人”是A的n个特征值，则，
tr(A) = Ai +义2 H------ A„.
（3）重要结论.
①记住下表.
矩阵 A kA A" /(A) A"' A' P-'AP
特征值 A A* /(A) 十 1 A
对应的特征向量 i i i i i i P'i
表中义在分母上的，设人尹0.
② /Cr）为多项式,若矩阵A满足/（A） =O,A是A的任一特征值，则人满足/'CD = 0.
③ 虽然AT的特征值与A相同，但特征向量不再是g,要单独计算才能得出.
。用特征向量命题
（1） 依尹0）是A的属于特征值扁的特征向量是GUE —A）x = 0的非零解.
（2） 重要结论.
① A重特征值义至多只有为个线性无关的特征向量.
② 若&，金分别是A的属于不同特征值知,A2的特征向量，则&，争线性无关.
③ 若如，备是A的属于同一特征值A的线性无关的特征向量测互街+妫如（知奶不同时
为零）仍是A的属于特征值4的特征向量.（常考其中一个系数（如奶）等于0的情形）
④ 若& &分别是A的属于不同特征值妇,A2的特征向量，则当灼尹0,妫乂 0时，灯& +
心不是A的特征向量.（常考幻=炬=1的情形）
❸用矩阵方程命题
（DAB =O>A（0i, &,•••,"> = （0,0,•••,0）,即部,=00,（i = 1,2, •••,”）,若其中 0,均为
非零向量，则每一个艮均为A的属于特征值才=0的特征向量.
若
（2）AB=C=>A（fli，位，…，用）=镐善戚碱）=岛说E沸，…，皿），即部，=标& =第：部分线性代数
1,2,•••,〃),其中r. 为非零向量，则r为
a
的属于特征值兀的特征向量.
(3) AP = PB,P 可逆 nP*】AP = B=>A - B=>Aa = AB.
H [] P'
(4) 若A的每行元素之和均为妇则A : = J 是特征值，!是A的属于特征值
k的特征向量.
Q用秩命题
若r(A) = 1,则Ai =…=人I = 0,A„ = tr(A)，且&,・・・,『是n— \重特征值人=0的
线性无关的特征向量.考研电子版网站：www. pdf2book. com第：部分线性代数
j
"专题八相似理论一
3
解题要点§
❶A的相似对角化
设A为n阶矩阵.
(1) 充要条件.
① A有n个线性无关的特征向量<=>A〜A.
② A 是 rii 重根，则 ni = n — r(A,E — A)0A 〜A.
(2) 充分条件.
(DA是实对称矩阵=>A〜A.
②A有n个互异特征值=>A〜A.
®A2 = A^>A 〜A.
®A2 = E=>A 〜A.
⑤r(A) = 1 且 tr(A) # 0=>A 〜A.
(3) 必要条件.
4〜A》r(A)=非零特征值的个数(重根按重数算).
(4) 否定条件.
① A尹O,Ak = O(k为大于1的整数)nA不可相似对角化.
② A的特征值全为妇但A尹kE^A不可相似对角化.
。A相似于B
设A,B是两个〃阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P,使得= B,则称A相似于B,记成
A〜B.
【注】 若4〜B,B〜C,则A〜C.这个性质(传递性)以后常用.
(1) 四个性质.
若A〜B,则
① I A | = | B I.
② 心)=r(B).
③ tr(A) = tr(B).
@Aa =扁(或 |AE — A| = |AE —B|).
(2) 重要结论.
® A - B=>AT - BT ,A 1〜矿'A*〜B*.(后面两个要求A可逆)
②A ~ B=>Am ~职，/XA*新野砾］站：
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67孩乡考研数学真题大全解（数学二）
【注】 由 P ]AmP =Bm,p-1/(A)P = /(B),有曲=PB-P-1 ,/(A) =W(B)PT.
若 B = A,则 Am =玖叩 t ,y(4)= p/(A)p-i.
③A ~ B,B ~- A=>A 〜A.
【注】 P~AP = = A-^Q^P-APQ = A=>(PQ) XAPQ = A,
令PQ =C，则C 'AC = A,考试可求C.
®A ■〜A, B 〜A=PTAP = QTBQ*piAPQT=B
=>(PQT)-“(pqt)=b.
令PQ 1 = C,则CTA7 = 0,考试可求C.
'A O~ C O~
⑤A〜C,B〜£)=>
O B- -O D-
❸实对称矩阵与正交矩阵
（1） 若A为实对称矩阵，则
① 特征值均为实数，特征向量均为实向量.
② 不同特征值对应的特征向量正交.
（即 Ai 尹人2=& 如,如）—0）
③ 可用正交矩阵相似对角化.
（即存在正交矩阵P,使pTAP = PrAP = A）
（2） 若P为正交矩阵，则
P P = E <=>pT = pr
0P由规范正交基组成
OPT是正交矩阵
CP-"是正交矩阵
0P*是正交矩阵
0 — P是正交矩阵.
（3） 若P,Q为同阶正交矩阵，则PQ为正交矩阵.（P + Q不一定）
【注】（2）,（3）结合，若P,Q为同阶正交矩阵，则^PQT1，-P Q等均为正交矩阵.
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一瑚第：部分线性代数
69放彳考研数学真题大全解（数学二）
o配方法化二次型
（1） 含平方项.
将某个变量的平方项及与其有关的混合项合并在一起，配成一个完全平方项.如法炮制,
直到配完.
（2） 不含平方项.
创造平方项，如含有工i皿项，令
Jzi = Ji + %，
1-^2 = ）1 一）2 ,
使 工1匕2 = >1 —展，出现平方项，再按（1）的方法配方.
（3） 常用场合.
① 仅要求求出正、负惯性指数P，q及其反问题.
② 判断A的正定性.
③ 小题居多.
（4） 矩阵语言.
对于实对称矩阵A,必存在可逆矩阵C,使得C^AC = A，其中A是对角矩阵.
【注】（1）A（标准形）不唯一，视C而定.
（2） 正、负惯性指数P，q唯一.
（3） r（A） — p + q.
。正交变换法
对于 f = xTAx.
① 求A的特征值Ai,A2, —,A„; —
② 求A的对应于特征值义奇2，”・，人的特征向量&,包，•••,&; ■
③ 将&，鸵，…，&正交化（若需要的话）、单位化为邛1 ,可2，…，裕；
④ 令Q=（功，华，…，华），则。为正交矩阵，且QT'AQ = QTAQ = A.
于是
f = xrAx * ■ （Qy）TA（2y） = yTQ^AQy = yTAj.
e实对称矩阵的合同
（1）A,B是同阶实对称矩阵，则
A B合同0存在可逆矩阵C，傀瑁备前鹭满，亩f诳祺 1慕S
70第：部分线性代数
【注】要区分4,B合同与4,8的等价、相似.
(DA,B 同型，则 A,B 等价 *(A) = r(B).
IA,B相似 <=> 存在可逆矩阵P,使P~ AP =B,
（2）4,B为同阶方阵，则
IA 〜Ay.B 〜Af^A.〜B,
（2） 已知 A,B,求 C,使得 CT4C = B.
（3） A合同于合同于C,则A合同于C.
【注】PrAP = B，STBg = C^Q!tPtAPQ = C=>（PQ）TA（PQ） = C.
令D = PQ,则DTAD = C,考试可求D.
o正定二次型
n元二次型/■（工i，血，…，而,）=xTAx,若对任意的x =（而，工2，…,z,）t尹0,均有x7Ax >
o,则称y为正定二次型，称二次型的对应矩阵A为正定矩阵.
（1） 前提.
A = AT（A是对称矩阵）.
（2） 二次型正定的充要条件.
&元二次型f = xrAx正定
0对任意x尹。,有仙>0（定义）
<=>A 的特征值摭 > 0（i = 1,2,
Gf的正惯性指数p = n
0存在可逆矩阵。,使A = DTD
或与E合同
0 的全部顺序主子式均大于0.
（3） 二次型正定的必要条件.
① a*〉0（/ = 1,2,•••,"）.
② |A|>0.
（4） 重要结论.
① 若A正定，则,A”,CTAC正定（h>0,m为正整数，|C|#0）.
② 若A,B正定，则A+B正定,E 正定.
-O D -
【注】 ①一与②结合，若"定，则述3+242+3£ + 4妒+ 54*正定，° ］正
L O A 」
定等.
③ 若正定且AB =BA,则AB正定.
④ 若A正定且是正交矩阵，则A = E.
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